Dystrybucja Bayesa. Formuła pełnego prawdopodobieństwa, Formuła Bayesa

Krótka teoria

Jeśli zdarzenie wystąpi tylko pod warunkiem, że pojawi się jeden z zdarzeń formowania kompletnej grupy niekompletnych zdarzeń, jest równa ilości prawdopodobieństwa każdego z zdarzeń do odpowiedniego warunkowego prawdopodobieństwa portfela.

Jednocześnie wydarzenia nazywane są hipotezą i prawdopodobieństwami - a priori. Ta formuła nazywana jest pełnym formulem prawdopodobieństwa.

Wzór Bayesa jest używana w rozwiązywaniu zadań praktycznych, gdy zdarzenie pojawiające się w połączeniu z każdym z zdarzeń generujących pełną grupę zdarzeń, a wymagana jest ilościowa przeszacowanie prawdopodobieństw hipotez. Wiadomo, że znany jest a priori (przed doświadczeniem). Wymagane jest obliczenie Posteriori (po doświadczeniu) prawdopodobieństwa, tj. Zasadniczo musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwa. Formuła Bayes wygląda tak:

Następna strona dotyczy zadania.

Przykład rozwiązania problemu

Warunek zadania 1.

W fabryce maszyny 1,2 i 3 produkują 20%, 35% i 45% wszystkich części. W swoich produktach małżeństwo jest odpowiednio 6%, 4%, 2%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany produkt okazał się uszkodzony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostało wyprodukowane: a) maszyna 1; b) maszyna 2; c) Maszyna 3?

Rozwiązanie problemu 1.

Oznaczając zdarzenie, które jest to, że standardowy produkt okazał się uszkodzony.

Wydarzenie może wystąpić tylko wtedy, gdy wystąpi jeden z trzech zdarzeń:

Produkt jest wykonany na maszynie 1;

Produkt jest wykonany na maszynie 2;

Produkt jest wykonany na maszynie 3;

Piszemy warunkowe prawdopodobieństwa:

Formuła pełne prawdopodobieństwo

Jeśli zdarzenie może wystąpić tylko podczas wykonywania jednego z zdarzeń, które tworzą komisję niezrozumiałe zdarzeń, prawdopodobieństwo zdarzenia jest obliczane przez wzór

Zgodnie z pełnym formulem prawdopodobieństwa, znajdziemy prawdopodobieństwo wydarzenia:

Formula Bayes.

Formuła Bayes pozwala na "zmienić przyczynę i konsekwencję": Według znanego faktu, wydarzenie oblicza prawdopodobieństwo, że został spowodowany tym powodem.

Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt jest wykonany na maszynie 1:

Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt jest wykonany na maszynie 2:

Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt jest wykonany na maszynie 3:

Warunek zadania 2.

Grupa składa się z 1 doskonałego ucznia, 5 uczniów i 14 uczniów, którzy mają czas, aby mieć czas. Doskonały student reaguje na 5 i 4 o równym prawdopodobieństwie, dobra reaguje na 5, 4 i 3 z równym prawdopodobieństwem, a przeciętny kolejny student reaguje na 4,3 i 2 z równym prawdopodobieństwem. Losowo wybrany student odpowiedział 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeciętny student został wywołany?

Rozwiązanie zadania 2.

Hipoteza i prawdopodobieństwa warunkowe

Możliwe są następujące hipotezy:

Odpowiedział doskonały student;

Odpowiedział na dobry;

- Mediokre student;

Niech zdarzenie otrzyma 4.

Odpowiedź:

Cena silnie wpływa na pilność roztworu (od dnia do kilku godzin). Pomoc online na egzaminie / stoiskach jest wykonywana na spotkanie.

Aplikacja może pozostać bezpośrednio na czacie, po uprzednio wyrzuceniu stanu zadań i informowania potrzebnych decyzji. Czas odpowiedzi - kilka minut.

Niech prawdopodobnie będą znane i odpowiednie warunkowe prawdopodobieństwa. Wtedy prawdopodobieństwo wydarzeń jest równe:

Ta formuła została nazwana formuły pełne prawdopodobieństwo. W podręcznikach jest sformułowany przez twierdzenie, którego dowód jest podstawowy: zgodnie z algebra wydarzeń, (Wystąpiło zdarzenie. i lub Zdarzenie się stało i Po tym jak kiedykolwiek lubzdarzenie się stało i Po tym jak kiedykolwiek lub …. lub Zdarzenie się stało i Po tym, jak przyszedł wydarzenie). Ponieważ hipoteza niespójny i wydarzenie - w zależności od twierdzenie o dodaniu prawdopodobieństwa niekompletnych zdarzeń (pierwszy krok) i intencję zdarzeń zależnych od prawdopodobieństwa (drugi krok):

Prawdopodobnie wiele przewiduje zawartość pierwszego przykładu \u003d)

Gdziekolwiek pluję - wszędzie Urn:

Zadanie 1.

Istnieją trzy identyczne urny. W pierwszym urna jest 4 biali i 7 czarnych kulek, w drugim - tylko białe i w trzecich - tylko czarne kulki. Maudoku wybrano jedną urnę, a piłka jest wyodrębniona losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta piłka jest czarna?

Decyzja: Rozważmy zdarzenie - czarna piłka zostanie ekstrahowana z atmosfery wybranego urna. To zdarzenie może wystąpić lub nie występują w wyniku realizacji jednego z następujących hipotez:
- zostanie wybrany 1st Urn;
- zostanie wybrany 2nd Urn;
- zostanie wybrany trzeci urn.

Ponieważ Urn jest wybrany losowo, wybór któregokolwiek z trzech urn równy możliwy, W związku z tym:

Należy pamiętać, że wymienione hipotezy pełna grupa wydarzeńOznacza to, że pod warunkiem, czarna piłka może pojawić się tylko z tych urn, a na przykład nie lataj z tabeli bilardowej. Wyciągniemy prostą kontrolę pośrednią:
, OK, idź dalej:

W pierwszym Urn 4 White + 7 Black \u003d 11 kulek, przez klasyczna definicja:
- Prawdopodobieństwo ekstrakcji czarnej piłki jeśli się uwzględniże zostanie wybrany pierwszy urn.

W drugim urnie, tylko białe kulki, tak w razie wyboru Pojawienie się czarnej piłki niemożliwy: .

I wreszcie, w trzecim urn jednym czarnym kulkowym, a zatem odpowiadający warunkowe prawdopodobieństwo Będzie czarny ekstrakt z kulki (Wydarzenie jest niezawodnie).

- Prawdopodobieństwo, że czarna piłka zostanie wyodrębniona z losowego wybranego urna.

Odpowiedź:

Rezontowany przykład ponownie sugeruje, jak ważne jest, aby zagłębić się w stan. Weź te same zadania z urnami i piłkami - gdy są podobieństwem zewnętrznym, rozwiązania mogą być zupełnie inne: gdzieś musisz zastosować tylko klasyczna definicja prawdopodobieństwa, gdzieś wydarzenia. niezależnygdzieś zależnyi gdzieś mówimy o hipotezach. Jednocześnie nie ma wyraźnego formalnego kryterium, aby wybrać roztwór rozwiązania - prawie zawsze musi myśleć o tym. Jak poprawić swoje kwalifikacje? Decydujemy, decydujemy się i ponownie rozwiązujemy!

Zadanie 2.

W desce rozdzielczej jest 5 różnych bitwy karabinu. Prawdopodobieństwa wprowadzenia celu dla tej strzałki są odpowiednio 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 i 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo uderzenia celu, jeśli strzelanka wykonuje jeden strzał losowo wybranego karabinu?

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

W większości zadań tematycznych hipoteza oczywiście nie równa się równa:

Zadanie 3.

W piramid 5 karabinów, z których trzy są wyposażone w widok optyczny. Prawdopodobieństwo, że strzelanka trafi do celu, gdy strzał karabin z wzrokiem optycznym, równa 0,95; Dla karabinu bez wzroku optycznego, prawdopodobieństwo to 0,7. Znajdź szansę, że cel będzie zdumiony, jeśli strzelanka wytwarza jeden strzał z rzędu zarazu.

Decyzja: W tym zadaniu liczba karabinów jest dokładnie taka sama jak w poprzednim, ale istnieją tylko dwie hipotezy:
- Shooter wybierze karabin ze wzrokiem optycznym;
- Shooter wybierze karabin bez wzroku optycznego.
Przez klasyczna definicja prawdopodobieństwa: .
Kontrola:

Rozważmy wydarzenie: - Shooter uderzy w cel z losowych karabinów.
Według stanu :.

Zgodnie z pełnym wzorem prawdopodobieństwa:

Odpowiedź: 0,85

W praktyce, dość skrócony sposób rejestracji zadania, którego również znasz:

Decyzja: Przez klasyczną definicję: - Prawdopodobieństwo wyboru karabinu z optycznym i bez wzroku optycznego odpowiednio.

Według stanu - prawdopodobieństwa wprowadzania celu z odpowiednich typów karabinów.

Zgodnie z pełnym wzorem prawdopodobieństwa:
- Prawdopodobieństwo, że strzelanka trafi do celu z rampy wybranego karabinu.

Odpowiedź: 0,85

Następne zadanie dla samotnych rozwiązań:

Zadanie 4.

Silnik pracuje w trzech trybach: normalny, wymuszony i na biegu jałowym. W trybie na biegu jałowym prawdopodobieństwo jego awarii wynosi 0,05, w normalnym trybie pracy - 0,1 i z wymuszonym - 0,7. 70% czasu silnik działa w trybie normalnym, a 20% w przymusowym. Jakie jest prawdopodobieństwo awarii silnika podczas pracy?

Na wypadek, gdybym ci przypomniał - uzyskanie wartości prawdopodobieństwa odsetki muszą być podzielone na 100. Bądź bardzo ostrożny! Według moich obserwacji warunki zadań na temat pełnego formuły prawdopodobieństwa często próbują podjąć; I specjalnie podeszłam taki przykład. Powiem ci tajemnicę - nie zdezorientowałem się prawie \u003d)

Rozwiązanie na końcu lekcji (ozdobione w krótki sposób)

Zadania dla formuł Bayes

Materiał jest ściśle związany z treścią poprzedniego akapitu. Niech wydarzenie wystąpiło w wyniku wdrożenia jednego z hipotez . Jak określić prawdopodobieństwo, że było miejsce takiej hipotezy?

Jeśli się uwzględnito wydarzenie już się stałoHipoteza prawdopodobieństwa przeszacowany Według formuł, które otrzymały nazwę angielskiego księdza Thomasa Bayes:

- prawdopodobieństwo, że była hipoteza;
- prawdopodobieństwo, że była hipoteza;
…
- Prawdopodobieństwo, że była hipoteza.

Na pierwszy rzut oka wydaje się być kompletny nonsensów - po co przeliczyć prawdopodobieństwo hipotez, jeśli są tak sławne? Ale w rzeczywistości istnieje różnica:

- to jest apriorycznie (Oceniony przed Testy) Prawdopodobieństwo.

- to jest apaperia. (Oceniony po Testy) Prawdopodobieństwo tych samych hipotez, przeliczane z powodu "z nowo odkrytymi okolicznościami" - biorąc pod uwagę fakt, że wydarzenie zdarzył się wiarygodne.

Rozważ to rozróżnienie na konkretnym przykładzie:

Zadanie 5.

Magazyn otrzymał 2 produkty wsadowe: pierwsze - 4000 sztuk, drugi - 6000 sztuk. Średni procent niestandardowych produktów w pierwszej partii wynosi 20%, aw drugim - 10%. Raduchi pobrane z magazynu produkt okazał się standardowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) z pierwszej partii, b) z drugiej partii.

Pierwsza część rozwiązania Składa się w stosowaniu pełnego formuły prawdopodobieństwa. Innymi słowy, obliczenia są utrzymywane przy założeniu, że test jeszcze nie produkowane Zdarzenie "Produkt okazał się standardowy" aż przyszło.

Rozważ dwie hipotezy:
- Produkt praworęczny będzie od pierwszej imprezy;
- Granica podjęta produkt będzie od drugiej strony.

Razem: 4000 + 6000 \u003d 10 000 produktów w magazynie. Przez klasyczną definicję:
.

Kontrola:

Rozważmy zdarzenie zależne: - Powiększanie produktu pobranego z magazynu będzie Standard.

W pierwszej partii 100% - 20% \u003d 80% standardowych produktów, więc: jeśli się uwzględniże należy do pierwszej imprezy.

Podobnie, w drugiej partii 100% - 10% \u003d 90% standardowych produktów i - prawdopodobieństwo, że produkt wykonany w magazynie będzie standardowy jeśli się uwzględniże należy do drugiej strony.

Zgodnie z pełnym wzorem prawdopodobieństwa:
- Prawdopodobieństwo, że produkt podjęty w magazynie będzie standardowy.

Część druga. Niech błotniste pobrane z magazynu, produkt okazał się standardowy. Ta fraza jest bezpośrednio napisana w stanie i stanowi fakt, że wydarzenie wystąpił.

Według Wakulasów Bayes:

a) - prawdopodobieństwo, że wybrany standardowy produkt należy do pierwszej partii;

b) - prawdopodobieństwo, że wybrany standardowy produkt należy do drugiej partii.

Po przeszacowanie Hipotezy oczywiście są nadal tworzone pełna grupa:
(Sprawdź ;-))

Odpowiedź:

Ivan Vasilyevich pomoże nam zrozumieć znaczenie przeszacowania hipotez, którzy ponownie zmienili zawód i stał się dyrektorem rośliny. Wie, że dziś pierwszy warsztat wysłany 4000 do magazynu, a drugi sklep to 6000 produktów i przychodzi, aby upewnić się, że. Przypuśćmy, że wszystkie produkty tego samego typu znajdują się w jednym pojemniku. Oczywiście, Ivan Vasilyevich wstępnie obliczył, że produkt, który teraz usuwa, aby sprawdzić, jest prawdopodobnie wydany przez pierwszy warsztat i prawdopodobieństwo - drugi. Ale po tym, jak wybrany produkt okazuje się standardowy, wykrzyknie: "Co za fajna śruba! - był najprawdopodobniej wydany drugi sklep. " W związku z tym prawdopodobieństwo drugiej hipotezy jest przeszacowane na lepsze, a prawdopodobieństwo pierwszej hipotezy jest niedoceniane :. A ta przeszacowanie nie jest przesunięte - ponieważ drugi sklep wyprodukował nie tylko więcej produktów, ale także działa 2 razy lepszy!

Czy mówisz czystego bieliwizmu? Częściowo tak, ponadto samodzielnie interpretowany apaperia. prawdopodobieństwo poziom zaufania. Jednak nie wszystko jest takie proste - w podejściu Bayesian znajduje się obiektywne ziarno. W końcu prawdopodobieństwo, że produkt będzie standardowy (0,8 i 0,9 odpowiednio 1 i drugiego warsztatu) to jest wstępny (a priori) i Środkowyszacunki. Ale wyrażając filozoficznie - wszystko płynie, wszystko się zmienia i prawdopodobieństwa, w tym. Możliwie, że w czasie badań Bardziej udany drugi warsztat podniósł odsetek standardowych produktów (i / lub pierwszy warsztat zredukowany)A jeśli sprawdzisz więcej lub wszystkie 10 tysięcy produktów w magazynie, wtedy wartości przeszacowane będą znacznie bliższe prawdzie.

Nawiasem mówiąc, jeśli Ivan Vasilyevich usuwa niestandardowe szczegóły, wręcz przeciwnie - będzie bardziej "podejrzewaniem" pierwszego warsztatu i mniej - drugi. Proponuję upewnić się, że:

Zadanie 6.

Magazyn otrzymał 2 produkty wsadowe: pierwsze - 4000 sztuk, drugi - 6000 sztuk. Średni odsetek niestandardowych produktów w pierwszej partii wynosi 20%, w drugim - 10%. Raduch zabrany z produktu magazynu okazało się niestandard. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) z pierwszej partii, b) z drugiej partii.

Stan wyróżnia się dwoma literami, które podkreślałem odważne czcionki. Zadanie można rozwiązać za pomocą "czystego arkusza" lub skorzystać z wyników poprzednich obliczeń. W próbce miałem pełne rozwiązanie, ale aby nie mieć formalnej nakładki z zadaniem numer 5, wydarzeniem "Produkt pobrany z magazynu będzie nie standardowy" oznaczony.

Bayesski wykres transakcji prawdopodobieństwa występuje wszędzie i jest aktywnie wykorzystywany przez różne rodzaje oszustów. Rozważmy negatywną JSC na trzy litery, które przyciąga depozyty ludności, rzekomo inwestuje gdzieś, jest odpowiednio wypłacane dywidendy itd. Co się dzieje? Potrzeba dnia po dniu, miesiąc po miesiącu i coraz więcej nowych faktów, zgłoszonych przez reklamę i "Sorrolhed Radio", zwiększa tylko poziom zaufania do piramidy finansowej (Wycena Bayesov Posteriori w związku z wydarzeniami, które wystąpiły!). Oznacza to, że w oczach deponentów istnieje ciągły wzrost prawdopodobieństwa "To jest poważne biuro"; W tym przypadku prawdopodobieństwo odwrotnej hipotezy ("Są to kolejne dłuta"), Oczywiście zmniejsza się i zmniejsza. Ponadto myślę, zrozumiałe. Warto zauważyć, że zaraza zaraza daje organizatorom czas na z powodzeniem ukryć się z Ivan Vasiewicz, który pozostał nie tylko bez partii Bolt, ale także bez spodni.

Nie mniej ciekawe przykłady, wrócimy trochę później, a także kolejkę, być może najczęstszym przypadkiem z trzema hipotezami:

Zadanie 7.

Elektrolle są wykonane na trzech fabrykach. Pierwsza roślina produkuje 30% całkowitej liczby lamp, 2ND - 55%, a 3 ° C jest reszta. Produkty pierwszej instalacji zawiera 1% wadliwe lampy, 2ND - 1,5%, 3 - 2%. Sklep przychodzi produkty wszystkich trzech roślin. Zakupowa lampa była małżeństwem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest produkowany przez drugą roślinę?

Należy pamiętać, że w zadaniach dla wzorów Bayesa w stanie przed Niektóre pojawia się co się stałowydarzenie w tym przypadku - kupowanie lampy.

Dodane wydarzenia i decyzja Jest to wygodniejsze w stylu "szybkim".

Algorytm jest dokładnie taki sam: W pierwszym kroku znajdziemy prawdopodobieństwo, że nabyta lampa w ogóle sprawdzi się wadliwy.

Korzystając z danych źródłowych, tłumaczymy zainteresowanie prawdopodobieństwem:
- Prawdopodobieństwo, że lampa jest produkowana odpowiednio przez 1, 2 i trzeci rośliny.
Kontrola:

Podobnie: - prawdopodobieństwa wytwarzania wadliwej lampy dla odpowiednich fabryk.

Zgodnie z pełnym wzorem prawdopodobieństwa:

- prawdopodobieństwo, że zakupiona lampa będzie z małżeństwem.

Krok sekunda. Niech zakupioną lampę będzie uszkodzona (wydarzenie się stało)

Przez Wayes Formula:
- prawdopodobieństwo, że zakupioną wadliwą lampę jest wykonana przez drugą roślinę

Odpowiedź:

Dlaczego początkowe prawdopodobieństwo drugiej hipotezy po dokonaniu przeszacowania? W końcu druga roślina produkuje medium w jakości lampy (pierwsze - lepiej, trzecia jest gorsza). Więc dlaczego wzrosło apottery Prawdopodobieństwo, że uszkodzona lampa jest z drugiej instalacji? Nie jest to wyjaśnione przez "reputację", ale wielkość. Ponieważ roślina nr 2 wydała największą ilość lamp, a następnie na nim (przynajmniej subiektywnie) i piana: "Najprawdopodobniej ta wadliwa lampa jest stamtąd".

Interesujące jest zauważenie, że prawdopodobieństwa pierwszego i trzecich hipotez zostało przeszacowanych w oczekiwanych kierunkach i równych:

Kontrola: Co było wymagane do sprawdzenia.

Przy okazji, o zaniżonych i przecenionych szacunkach:

Zadanie 8.

W grupie studenckiej 3 osoby mają wysoki poziom przygotowania, 19 osób - średnich i 3 - niski. Prawdopodobieństwa pomyślnego przechodzącego egzaminu dla danych uczniów są odpowiednio równe: 0,95; 0,7 i 0,4. Wiadomo, że niektórzy student przeszli egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo:

a) był przygotowany bardzo dobrze;
b) Przygotowano średnią;
B) był dobrze przygotowany.

Wykonaj obliczenia i analizuj wyniki przeszacowania hipotez.

Zadanie jest bliskie rzeczywistości i jest szczególnie wiarygodne dla grupy studentów architekta, gdzie nauczyciel praktycznie nie zna zdolności studenta. W tym przypadku wynik może spowodować ładne nieoczekiwane konsekwencje. (szczególnie na egzaminy w pierwszym semestrze). Jeśli słabo przygotowany student miał szczęście biletu, nauczyciel prawdopodobnie uważa go za dobrze, a nawet silnego studenta, który przyniesie dobre dywidendy w przyszłości (Oczywiście musisz "podnieść pasek" i utrzymać swój obraz). Jeśli uczeń 7 dni i 7 nocy nauczali, zamknął się, powtórzył, ale po prostu nie ma szczęścia, kolejne wydarzenia mogą rozwinąć się w bardzo złym forniru - z liczne remont i równoważenie na skraju wyjazdu.

Co powiedzieć, reputacja jest najważniejszym kapitałem, nie jest przypadkiem, że wiele korporacji nosi nazwiska nazwiska ich ojców założycieli, którzy prowadzili pracę 100-200 lat temu i stał się znany z nienagannej reputacji.

Tak, podejście bayesskie do pewnego stopnia jest subiektywne, ale ... życie jest tak zorganizowane!

Wypełnij materiał ostatecznym przykładem przemysłowym, w którym powiem ci, że nadal nie spełniał technicznego zrozumienia decyzji:

Zadanie 9.

Trzy warsztaty fabryczne produkują podobne elementy, które wprowadzają montaż do wspólnego pojemnika. Wiadomo, że pierwsze warsztaty produkuje 2 razy więcej szczegółów niż drugi warsztat i 4 razy więcej niż trzeci warsztat. W pierwszym warsztacie małżeństwo ma 12%, w drugim - 8%, w trzecim - 4%. Aby sterować pojemnikiem jest pobierany jeden szczegół. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie wadliwy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyekstrahowany wadliwy przedmiot wydał 3RD?

Taki Ivan Vasilyevich ponownie na koniu \u003d) Musi być szczęśliwy wykończenie z filmu)

Decyzja: W przeciwieństwie do zadań nr 5-8, wyraźnie otrzymuje pytanie, które jest dozwolone przy użyciu pełnego formuły prawdopodobieństwa. Ale z drugiej strony stan jest nieco "zaszyfrowany", a do rozwiązania tego Rebus pomoże nam pomóc umiejętnościom szkolnym utworzyć najprostsze równania. Za "X" wygodne, aby zaakceptować najmniejsze znaczenie:

Pozwolić - proporcja szczegółów wytwarzanych przez trzeci warsztaty.

Według stanu pierwszy sklep produkuje 4 razy trzeci warsztat, dlatego udział w warsztacie pierwszego warsztatu jest.

Ponadto pierwszy warsztat produkuje produkty 2 razy więcej niż drugi warsztat, co oznacza, że \u200b\u200bten ostatni udział :.

Pozwól nam i rozwiązać równanie:

Tak więc: - prawdopodobieństwo, że część wyodrębniona z pojemnika jest zwolniona odpowiednio 1, 2 i trzeci sklepy.

Kontrola :. Ponadto nie będzie zbędny, aby spojrzeć na frazę "Wiadomo, że pierwszy sklep produkuje produkty 2 razy więcej niż drugi warsztat i 4 razy więcej niż trzeci warsztat" I upewnij się, że uzyskane wartości prawdopodobieństwa odpowiadają temu warunkom.

Dla "x" Początkowo można było wziąć udział w 1. lub udział drugiego warsztatu - prawdopodobieństwa wyjdą tak samo. Ale w taki czy inny sposób, najtrudniejsza działka została przekazana, a decyzja jest zawarta w walcowanej koleiny:

Z warunku znajdziemy:
- prawdopodobieństwa wytwarzania wadliwej części dla odpowiednich warsztatów.

Zgodnie z pełnym wzorem prawdopodobieństwa:
- Prawdopodobieństwo, że cały szczegół ekstrahowany z pojemnika będzie niestandardowy.

Pytanie jest drugie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyodrębniona wadliwa część wydała trzeci sklep? To pytanie sugeruje, że przedmiot jest już wyodrębniony i okazał się uszkodzony. Nisze hipotezę przez Wayesa:
- pożądane prawdopodobieństwo. Absolutnie oczekiwany - ponieważ trzeci warsztat produkuje nie tylko najmniejszy udział szczegółów, ale także prowadzi jakość!

W tym przypadku musiałem uprość czteropiętrowy strzałŻe w zadaniach do wzorów Bayes musi robić dość często. Ale dla tej lekcji, jakoś przypadkowo odebrał przykłady, w których można przeprowadzić wiele obliczeń bez zwykłych frakcji.

Ponieważ wkrótce nie ma punktów "A" i "Be", odpowiedź jest lepsza do podania komentarzy tekstowych:

Odpowiedź: - prawdopodobieństwo, że część wydobyta z pojemnika będzie wadna; - Prawdopodobieństwo, że pobrany wadliwy przedmiot wydał 3RD sklep.

Jak widać, zadania na temat formuły do \u200b\u200bpełnego prawdopodobieństwa i formuły Bayes są dość proste, a prawdopodobnie z tego powodu, często starają się utrudnić utrudnianie pomyślenia o tym, o czym wspomniałem początek artykułu.

Dodatkowe przykłady znajdują się w pliku z gotowe rozwiązania na F.P.v. i Formuła Bayes.Ponadto prawdopodobnie będziesz życzyć bardziej głęboko zapoznać się z tym tematem w innych źródłach. A temat jest naprawdę bardzo interesujący - co jest tylko jeden paradox Bayes.Co usprawiedliwia, że \u200b\u200bcodzienna rada, że \u200b\u200bjeśli osoba zdiagnozowana jest rzadką chorobą, ma sens do powtórzenia, a nawet dwóch powtarzających się niezależnych badań. Wydawałoby się, że sprawia wyłącznie od rozpaczy ... - ale nie! Ale nie będziemy zasmucać.

- Prawdopodobieństwo, że arbitralny wybrany student przejdzie egzamin.
Niech student przekazuje egzamin. Według Wakulasów Bayes:
ale) - prawdopodobieństwo, że student, który minął egzamin, był przygotowany bardzo dobrze. Obiektywne początkowe prawdopodobieństwo jest przecenione, ponieważ prawie zawsze niektóre "pośrednik" ma szczęście z pytaniami i bardzo mocno reagują, co powoduje błędne wrażenie nienagannego szkolenia.
b) - Prawdopodobieństwo, że student, który przeszedł egzamin, został przygotowany przez średnią. Początkowe prawdopodobieństwo jest nieco drogie, ponieważ Studenci ze średnim poziomem preparatu są zwykle większość, ponadto nauczyciel zabierze nieudanych "doskonałych studentów", a czasami i słabo wydawał studenta, który ma szczęście z biletem.
w) - prawdopodobieństwo, że student, który minął egzamin był dobrze przygotowany. Początkowe prawdopodobieństwo jest przeszacowane na gorsze. Nie zaskakujący.
Czek:
Odpowiedź :

Zrozumienie (badanie) prawdopodobieństw rozpoczyna się, gdzie kończy się klasyczny kurs teorii prawdopodobieństwa. Z jakiegoś powodu szkoła i uniwersytet uczą prawdopodobieństwo częstotliwości (kombinatoryczne) lub prawdopodobieństwo określenia tego. Ludzki mózg działa inaczej. Mamy teorie (opinie) o wszystkim na świecie. Subiektywnie oceniamy prawdopodobieństwo niektórych wydarzeń. Możemy również zmienić swoją opinię, jeśli wydarzyło się coś nieoczekiwanego. To właśnie robimy każdego dnia. Na przykład, jeśli spotykasz się z dziewczyną na pomniku Puszkina, rozumiesz, czy będzie to w czasie, późno przez 15 minut lub pół godziny. Ale chodzenie do obszaru metra i widząc 20 cm świeżego śniegu, aktualizujesz swoje prawdopodobieństwa, aby wziąć pod uwagę nowe dane.

Takie podejście zostało po raz pierwszy opisane przez Bayesa i Laplace. Chociaż Laplace, myślę, że nie znał pracy Bayesa. Według niezrozumiałego powodu podejście Bayesowe jest dość słabo reprezentowane w literaturze rosyjskojęzycznej. Dla porównania zauważę, że na życzenie Bayes Ozon daje 4 odniesienia, a Amazon ma około 1000.

Niniejsza uwaga to tłumaczenie małej angielskiej książki i da ci intuicyjne zrozumienie, jak korzystać z twierdzenia Bayesa. Zaczyna się od definicji, a następnie używa przykładów w programie Excel, który umożliwi śledzenie całego przebiegu rozumowania.

Scott Hartshorn. Przykłady twierdzenia Bayesa: przewodnik wizualny dla początkujących. - 2016, 82 p.

Pobierz Uwaga w formacie lub przykłady w formacie

Definicja twierdzenia Bayesa i intuicyjne wyjaśnienie

Theore Bayes.

gdzie A i B są wydarzeniami, p (a) i p (b) - prawdopodobieństwa A i B z wyłączeniem siebie, P (A | B) jest warunkowym prawdopodobieństwem zdarzenia A, pod warunkiem że B jest prawdziwe, p (b | a ) - Prawdopodobieństwo warunkowe B, jeśli i naprawdę.

W rzeczywistości równanie jest nieco bardziej skomplikowane, ale dla większości aplikacji wystarczy. Wynik obliczeń jest po prostu znormalizowana wartość ważona na podstawie wstępnego założenia. Więc weź początkowe założenie, ważąc go w stosunku do innych początkowymi możliwościami, normalizują na podstawie obserwacji:

W trakcie rozwiązywania problemów będziemy wykonać następujące kroki (zwane dalej stają się jaśniejsze):

Określ, jakie prawdopodobieństwa chcemy obliczyć, a co obserwujemy.
Oceń początkowe prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych opcji.
Zakładając prawdę o określonej opcji początkowej, oblicz prawdopodobieństwo naszej obserwacji; I tak dla wszystkich opcji początkowych.
Znajdź zawieszoną wartość jako pracę początkowego prawdopodobieństwa (etap 2) i warunkowe prawdopodobieństwo (etap 3), a więc dla każdej z pierwszych opcji.
Normalizuj wyniki: Podziel każdy ważony prawdopodobieństwo (krok 4) dla sumy wszystkich zawieszonych prawdopodobieństw; Suma znormalizowanych prawdopodobieństw \u003d 1.
Powtórz kroki 2-5 dla każdej nowej obserwacji.

Przykład 1. Prosty przykład z kościami

Przypuśćmy, że twój przyjaciel ma 3 kości: od 4, 6 i 8 twarzy. Losowo wybiera jeden z nich, nie pokazuje, rzuca się i informuje o wyniku - 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano 4-latek, 6-latek, 8-latek.

Krok 1. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo 4-stopniowego wyboru, 6-latek lub 8-latek. Obserwujemy upuszczoną liczbę - 2.

Krok 2. Ponieważ kości były 3, początkowe prawdopodobieństwo wyboru każdego z nich jest 1/3.

Krok 3. Obserwacja - Kość spadła jako twarz 2. Jeśli podjęto 4-latek, szanse na to są równe 1/4. Za 6-stopniowaną szansę na 2-literowe szanse - 1/6. Za 8 stopniowo - 1/8.

Krok 4. Utrata 2-Ki dla 4-letnim \u003d 1/3 * 1/4 \u003d 1/12, dla 6-klasy \u003d 1/3 * 1/6 \u003d 1/18, przez 8 lat \u003d 1 / 3 * 1/8 \u003d 1/24.

Krok 5. Ogólne prawdopodobieństwo utraty 2-Ki \u003d 1/12 + 1/18 + 1/24 \u003d 13/72. Jest to mniej niż 1, ponieważ szanse na rzucanie 2-Ku mniej niż 1. Ale wiemy, że rzuciłeś już 2-KU. W ten sposób musimy podzielić szanse na każdą wersję z kroku 4 do 13/72, tak że suma wszystkich szans na wszystkie kości do położenia drugiego 1. Proces ten nazywany jest normalizacją.

Normalizowanie każdego ważonego prawdopodobieństwa, znajdziemy prawdopodobieństwo, że ta kość została wybrana:

4-letni \u003d (1/12) / (13/72) \u003d 6/13
6-letni \u003d (1/18) / (13/72) \u003d 4/13
8-letni \u003d (1/24) / (13/72) \u003d 3/13

I to jest odpowiedź.

Kiedy zaczęliśmy rozwiązać zadanie, zasugerowaliśmy, że prawdopodobieństwo wyboru pewnej kości wynosi 33,3%. Po upadku 2-Ki obliczymy szanse, że 4-stopniowała 4-stopniowana szansa została wybrana do 46,1%, szanse na wybór 6-latek zmniejszył się do 30,8%, a szanse, że 8-letni Stary został wybrany i upadł w ogóle do 23,1%.

Jeśli zrobisz kolejny rzut, możemy użyć nowych obliczonych interesów jako nasze wstępne założenia i wyjaśnić prawdopodobieństwa w oparciu o drugą obserwację.

Jeśli masz jedyną obserwację, wszystkie kroki są wygodne, aby przedstawić w formie tabeli:

Stół. 1. Rozwiązanie krok po kroku w formie tabeli (formularzy, patrz plik Excel na arkuszu Przykład 1.)

Uwaga:

Jeśli zamiast 2-ki wypadł, na przykład, 7-KA, wtedy szanse w kroku 3 byłyby zerowe, a po normalizacji szanse na 8-latek będą w 100%.
Jako przykład obejmuje tylko trzy kości i jeden rzut, użyliśmy prostych frakcji. Dla większości problemów z dużą liczbą opcji i wydarzeń łatwiej jest pracować z ułamkami dziesiętnymi.

Przykład 2. Więcej kości. Więcej rzutów

Tym razem mamy 6 kości z 4, 6, 8, 10, 12 i 20 twarzy. Wybieramy jeden z nich losowo i rzucimy 15 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo wybranej pewnej kości?

Używam modelu w programie Excel (rys. 1; patrz liść Przykład 2.). Losowe liczby są generowane w kolumnie B za pomocą funkcji \u003d racjonowanie (1; $ B 9 $). W tym przypadku wybrano 8-letnią komórkę związaną w komórce B9, więc liczby losowe mogą odbierać wartości od 1 do 8. Ponieważ Excel aktualizuje liczby losowe po każdej zmianie na arkuszu, kopiowałem kolumnę do bufora i wstawiono tylko wartości w kolumnie C. Teraz wartości nie są zmieniane i będą używane do kolejnych rysunków. (Dodałem ci możliwość "gry" z wyborem liczby twarzy i losowych rzutów na arkuszu Przykład 2 gra. Uzyskane są szczególnie ciekawe wyniki, jeśli w komórce B9 ustaw numer 13 🙂 - Około. Baguzin..)

Figa. 1. Numery losowe generatora

Krok 2. Od tylko sześciu kostek, prawdopodobieństwo wyboru jednego losowego wynosi 1/6 lub 0,167.

Kroki 3 i 4. Piszemy równanie dotyczące prawdopodobieństwa pierwszego wyboru pewnej kości po odpowiednim rzucie. Jak widzieliśmy na końcu przykładu 1, niektóre rzuty mogą nie odpowiadać jednej lub innej kości. Na przykład, utrata 9-Ki utrata powoduje prawdopodobieństwo, że kości 4-, 6- i 8-twarzowe są równe zero. Jeśli spadł "uzasadniony" numer, jego prawdopodobieństwo tej kości jest równe jednostce podzielonej przez liczbę twarzy. Dla wygody łączyliśmy kroki 3 i 4, więc natychmiast odzyskujemy formułę prawdopodobieństwa rzutu pomnożonego przez znormalizowane prawdopodobieństwo po poprzednim rzucie (rys. 2):

Jeśli (rzut\u003e numery twarzy; 0; 1 / liczba twarzy * Poprzednie znormalizowane prawdopodobieństwo)

Jeśli starannie użyjesz, możesz przeciągnąć tę formułę do wszystkich linii.

Figa. 2. Równanie prawdopodobieństwa; Aby powiększyć obraz Kliknij prawym przyciskiem myszy i wybierz Otwórz obraz w nowej karcie

Krok 5. Ostatnim krokiem jest normalizacja wyników po każdym rzucie (region L11: R28 na FIG. 3).

Figa. 3. Normalizacja wyników

Tak więc, po 15 strzale z prawdopodobieństwem 96,4%, możemy założyć, że pierwotnie wybrano 8 stopniowej kości. Chociaż istnieją szanse, że kość została wybrana z b o przez liczbę powierzchni: 3,4% dla kości 10 stopniowej, 0,2% - za 12 stopniowanych, 0,0001% - dla 20 stopniowych. Ale prawdopodobieństwo 4- i 6-stopniowanych kości wynosi zero, ponieważ wśród upadłych numerów było 7 i 8. To, naturalnie, odpowiada sobie fakt, że wszedł do numeru 8 do komórki B9, ograniczając wartości dla generatora liczb losowych.

Jeśli skonstruujemy wykres prawdopodobieństwa każdej opcji początkowego wyboru kości, rzucanie rzucaniem, zobaczymy (rys. 4):

Po rzucie pierwszego prawdopodobieństwo wyboru kości 4-twarzowych spada do zera, ponieważ 6-Ka natychmiast spadła. Dlatego przywództwo przejął wersję kości 6-twarzowej.
Dla kilku pierwszych zdjęć, kość 6 twarz ma największe prawdopodobieństwo, ponieważ zawiera najmniej twarze wśród kości, które mogą reagować na opadłe wartości.
Na piątym rzucie spadły 8-Ka prawdopodobieństwo 6-letnich kropli do zera, a 8-latek staje się liderem.
Prawdopodobieństwa 10-, 12- i 20-stopniowanych kości w pierwszym rzuceniu płynnie zmniejszyły się, a następnie doświadczył splash, gdy kość 6 twarzy spadła z wyścigu. Wynika to z faktu, że wyniki znormalizowano w znacznie mniejszej próbce.

Figa. 4. Zmiana rzutu prawdopodobieństwa przez rzut

Uwaga:

Twierdzenie Bayes dla wielu zdarzeń jest po prostu powtarzające się mnożenie w sekwencyjnie zaktualizowanych danych. Ostateczna odpowiedź nie zależy od tego, jak wystąpiły zdarzenia.
Nie jest konieczne normalizacja prawdopodobieństw po każdym wydarzeniu. Możesz to zrobić raz na samym końcu. Problem polega na tym, że jeśli nie jest stale znormalizowane, prawdopodobieństwa stają się tak małe, że Excel może działać nieprawidłowo z powodu błędów zaokrąglania. W ten sposób jest bardziej praktyczny, aby znormalizować na każdym kroku niż sprawdzić, czy nie dotarłeś do granicy dokładności Excel.

Twierdzenie bayesa. Terminologia

Początkowym prawdopodobieństwem jest prawdopodobieństwo każdej możliwości przed wystąpieniem obserwacji apriorycznie.
Normalna odpowiedź po obliczeniu prawdopodobieństwa każdego punktu danych (dla każdej obserwacji) nazywa się a posteriori..
Całkowite prawdopodobieństwo użyte do normalizacji odpowiedzi jest ciągła normalizacja.
Prawdopodobieństwo warunkowe, tj. Prawdopodobieństwo każdego wydarzenia jest nazywane gra.

Oto jak wyglądają te warunki pierwszego przykładu (porównywanie Rys. 1).

Figa. 5. Warunki twierdzenia Bayesa

Same bayes twierdzenie w nowych definicjach wygląda tak (w porównaniu z Formułą 2):

Przykład 3. Nieuczciwa moneta

Masz monetę, że podejrzewasz, nie jest uczciwy. Rzucasz to 100 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że nieuczciwe monety spadnie z orłem z prawdopodobieństwem 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100% .

Patrz plik Excel, Arkusz Przykład 3.. W komórkach B13: B112, wygenerowałem losową liczbę od 0 do 1, a za pomocą specjalnej wkładki przesunąłem wartość do kolumny C w komórce B8, wskazując, że oczekiwany odsetek orzeł spadający na tę nieuczciwą monetę . W kolumnie D za pomocą funkcji, jeśli zmieniłem prawdopodobieństwo jednostek (orły, na prawdopodobieństwo r. od 0,35 do 1) lub w zerach (zależy r. od 0 do 0,35).

Figa. 6. Dane początkowe dla nieuczciwych monet

Dostałem 63 orły i 37, co odpowiada dobrze dla generatora liczb losowych, jeśli zainstalowaliśmy prawdopodobieństwo orłów 65%.

Krok 1. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że orły odnoszą się do koszy z 0%, 10%, ... 100%, oglądając 63 orły i 37 rzek z 100 strzałami.

Krok 2. Istnieje 11 możliwości początkowych: prawdopodobieństwa 0%, 10%, ... 100%. Będziemy naiwny, że wszystkie początkowe możliwości mają równe prawdopodobieństwo, czyli 1 szansa na 11 (ryc. 7). (Możemy bardziej realizować początkowe prawdopodobieństwa zlokalizowane na powierzchni 50% dużych ciężarów niż prawdopodobieństwa na krawędziach - 0% i 100%. Ale najbardziej niezwykłe jest to, że ponieważ mamy całe 100 rzutów, początkowe prawdopodobieństwa nie są tak ważne!)

Krok 3 i 4. Obliczanie prawdy. Aby obliczyć prawdopodobieństwo po każdym podrzuceniu w programie Excel, funkcja jest używana, jeśli. W przypadku spadł orzeł, wiarygodność jest równa pracy możliwości poprzedniego znormalizowanego prawdopodobieństwa. Jeśli rzeka wypadła, wiarygodność jest równa (1 minus zdolność) * poprzednie znormalizowane prawdopodobieństwo (rys. 8).

Figa. 8. Niewolność

Krok 5. Normalizacja jest wykonywana jak w poprzednim przykładzie.

Wyniki są najbardziej wizualizowane w formie serii histogramów. Wstępny harmonogram jest prawidłowością priori. Wtedy każdy nowy harmonogram jest sytuacją po następnym 25 strzale (rys. 9). Ponieważ ustawienie prawdopodobieństwa orzeł 65% przy wejściu, przedstawione wykresy nie powodują zaskoczenia.

Figa. 9. Prawdopodobieństwo opcji po serii rzutów

Co rzeczywiście oznacza 70% szans na możliwość 0,6? To nie jest 70% szansa, że \u200b\u200bmoneta dokładnie spadnie o 60%. Ponieważ mieliśmy boisko 10% między opcjami, oszacujemy, że istnieje 70% szansa, że \u200b\u200bta moneta spaść w zakres między 55 a 65%. Rozwiązanie do użycia 11 opcji wstępnych, przy czym 10% przyrost był całkowicie arbitralny. Możemy użyć 101 początkowej możliwości z 1% przyrostami. W takim przypadku otrzymamy wynik maksymalnie na 63% (ponieważ mieliśmy 63 orzeł) i płynniejsze spadek wykresu.

Należy pamiętać, że w tym przykładzie obserwowaliśmy wolniejszą konwergencję w porównaniu z przykładem 2. Wynika to z faktu, że różnica między monetą, obracając 60% w stosunku do 70%, mniej niż między kostkami z 8 do 10 twarzy.

Przykład 4. Więcej kości. Ale z błędami w strumieniu danych

Wróćmy na przykład 2. Przyjaciel w torbie kostnej od 4, 6, 8, 10, 12, 20 Grands. Wyjmuje jedną kość losowo i rzuca go 80 razy. Nagrywa spadły liczby, ale w 5% przypadków jest błędne. W tym przypadku liczba losowa pojawia się od 1 i 20, zamiast rzeczywisty wynik rzutu. Po 80 rzutach, co myślisz, jaki rodzaj kości został wybrany?

Jak wejście w programie Excel (arkusz Przykład 4.) Wprowadziłem liczbę stron (8), a także prawdopodobieństwo, że dane zawierają błąd (0,05). Formuła do wartości rzutu (rys. 10):

Jeśli (adhał ()\u003e prawdopodobieństwa błędu; stałe (1; liczba twarzy); racjonowanie (1; 20))

Jeśli liczba losowa jest większa niż prawdopodobieństwo błędu (0,05), nie było rzutu błędów, tak że generator liczb losowych wybiera wartość między 1 a "zamontowanymi" stronami kostki, w przeciwnym razie powinieneś wygenerować losową liczbę całkowitą między 1 a 20.

Figa. 10. Obliczanie wartości rzucania

Na pierwszy rzut oka mogliśmy rozwiązać ten problem w taki sam sposób, jak w przykładzie 2. Ale jeśli nie uwzględniasz prawdopodobieństwa błędów, otrzymamy harmonogram prawdopodobieństwa na FIG. 11. (Najłatwiejszym sposobem na uzyskanie go w Excel jest najpierw wygenerować rzuty w kolumnie w wartości 0,05; następnie przenieść wartości rzutów do kolumny C i wreszcie zmienić wartość w komórce B11 do 0; Od czasu formuły obliczania przypisania w zakresie D14: J94 odnoszą się do komórki B11, zostanie osiągnięty efekt błędów księgowych.)

Figa. 11. Przetwarzanie wartości rzutów bez uwzględnienia prawdopodobieństwa obecności błędów

Ponieważ prawdopodobieństwo błędu jest małe, a generator liczb losowych jest skonfigurowany do 8-latka, prawdopodobieństwo tego ostatniego z każdym rzutem staje się dominującym. Ponadto, ponieważ błąd może z prawdopodobieństwem 40% (osiem dwadzieścia), aby uzyskać wartość w ciągu 8, to wartość błędu, która wpływa na wynik, pojawił się tylko na 63 rzucie. Jeśli jednak nie są brane pod uwagę błędy, prawdopodobieństwo 8-letniego będzie zmieniające się do zera, a 100% otrzyma 20-latek. Zauważ, że przez 63 rzut prawdopodobieństwo 20-klasy wynosiło tylko 2 * 10 -25.

Szanse na wystąpienie błędu - 5%, a prawdopodobieństwo, że błąd otrzyma wartość większą niż 8, wynosi 60%. Te., 3% rzutów spowoduje błąd o wartości ponad 8, która wydarzyła się na rzucie 63, gdy nagranie zostało wykonane 17. Jeśli prawdopodobieństwo wzoru nie uwzględnia możliwych błędów, dostajemy startu prawdopodobieństwa 20-letniej klasy od 2 * 10 -25 do 1, jak na FIG. jedenaście.

Jeśli osoba skrupulatnie monitoruje dane, może wykryć ten błąd i nie podejmować błędnych wartości. Aby zautomatyzować proces, dodaj równanie sprawdzania błędów prawdy. Nigdy nie instaluj zerowych prawdopodobieństw błędów, jeśli przyznaję, że nie można ich całkowicie wykluczyć. Jeśli weźmiesz pod uwagę prawdopodobieństwa błędów, wtedy setki "poprawnych" danych nie pozwolą na oddzielne błędne wartości do zepsucia obrazu.

Uzupełniamy równanie wiarygodności sprawdzenia błędu (rys. 12):

Jeśli ($ C15\u003e 3 $; $ B $ 11 * 1/20 * N14; ($ B 11 * 1/20 + (1- $ B $ 11) / f 13 $) * N14)

Figa. 12. Funkcja głośności z błędami

Jeśli zarejestrowana wartość rzutu jest większa niż liczba twarzy ($ C15\u003e F $ 13), warunkowe prawdopodobieństwo nie jest resetowane, ale zmniejszyć, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo błędu ($ B $ 11 * 1/20 * N14). Jeśli nagrany numer jest mniejszy niż liczba twarzy, prawdopodobieństwo warunkowe nie jest w pełni, a także uwzględniając możliwy błąd ($ B $ 11 * 1/20 + (1 $ B $ 11) / F $ 13) * N14). W tym drugim przypadku uważamy, że nagrany numer może być w konsekwencji błędu ($ B $ 11 * 1/20) oraz wynikiem właściwego wpisu (1- $ B $ 11) / f 13 $).

Zmiana znormalnego prawdopodobieństwa staje się bardziej odporna na możliwe błędy (rys. 13).

Figa. 13. Zmiana znormalizowanego prawdopodobieństwa z rzutu do rzutu

W tym przykładzie, 6-stopniowa kość jest początkowo ulubionym, ponieważ pierwszy rzut 3 rzut - 5, 6, 1. Następnie 7-Ka i prawdopodobieństwo 8-letniego przechodzi w górę. Jednak pojawienie się 7-Ki nie zresetuje prawdopodobieństwa 6-latka, ponieważ 7-KA może być błędem. A następne dziewięć strzałów zdaje się potwierdzić, gdy wartości nie są więcej niż 6: Prawdopodobieństwo 6-latka zaczyna ponownie rosnąć. Niemniej jednak w dniu 14 i 15 rzutów, 7-Ki znów się wypada, a prawdopodobieństwo 6-twarzowej kości zbliża się zero. Później pojawiają się wartości 17 i 19, które "system" określa, jak wyraźnie błędne.

Przykład 4a. Co jeśli naprawdę masz wysoką częstotliwość błędów?

Ten przykład jest podobny do poprzedniej, ale częstotliwość błędów wzrasta z 5% do 75%. Ponieważ dane stały się mniej istotne, zwiększyliśmy liczbę strzałów do 250., stosując te same równania, jak w przykładzie 4, otrzymujemy następujący wykres:

Figa. 14. Znormalizowane prawdopodobieństwo na 75% błędnych wpisów

Z taką wysoką częstotliwością błędów wzięło wiele rzutów. Ponadto wynik jest mniej zdefiniowany, a 6-latek okresowo staje się bardziej prawdopodobny. Jeśli masz jeszcze wyższą częstość błędu, na przykład 99%, nadal możesz uzyskać poprawną odpowiedź. Oczywiście, im wyższa częstotliwość błędów, tym więcej rzutów należy wykonać. W przypadku 75% błędów otrzymujemy jedną prawidłową wartość czterech. Jeśli prawdopodobieństwo błędu wynosi 99%, otrzymamy tylko jedną poprawną wartość z stu. Jesteśmy prawdopodobnie potrzebowani 25 razy więcej danych, aby zidentyfikować opcję dominującej.

A co jeśli nie znasz prawdopodobieństwa błędu? Polecam "Play" z przykładami 4 i 4a, ustawiając różne wartości od bardzo małej w komórce B11 (na przykład 2 * 10 -25 na przykład 4) do bardzo dużej (na przykład 90% na przykład 4a). Oto główne wnioski:

Jeśli oszacowanie częstotliwości błędu jest wyższe niż rzeczywista częstotliwość błędów, wyniki zbiegają się powoli, ale nadal zbieżną do prawidłowej odpowiedzi.
Jeśli oceniasz częstotliwość błędu zbyt niska, istnieje ryzyko, że wyniki nie będą poprawne.
Im mniejsza częstotliwość błędów, tym większa jest miejscem manewru, zgadniesz częstotliwość błędów.
Im wyższa częstotliwość błędów, tym więcej potrzebnych danych.

Przykład 5. Problem zbiornika niemieckiego

W tym zadaniu próbujesz ocenić, ile zbiorników zostało wyprodukowanych na podstawie numerów seryjnych przechwyconych czołgów. The Bayes Twierdzenie był wykorzystywany przez sojuszników podczas II wojny światowej, a ostatecznie wydały wyniki niższe niż ta zgłoszona inteligencja. Po wojnie rekord wykazał, że szacunki statystyczne za pomocą twierdzenia Bayes były bardziej dokładne. (Jest ciekawy, że napisałem notatkę na ten temat, jeszcze nie wiedząc, jakie prawdopodobieństwo Bayesu; Około. Baguzin..)

Więc analizujesz numery seryjne usunięte z uszkodzonych lub schwytanych zbiorników. Celem jest ocena, ile zbiorników zostało wyprodukowanych. To właśnie wiesz o numerach seryjnych zbiorników:

Zaczynają się od 1.
Są to liczby całkowite bez pomijania.
Znalazłeś następujące numery seryjne: 30, 70, 140, 125.

Jesteśmy zainteresowani odpowiedzią na pytanie: jaka jest maksymalna liczba zbiorników? Zacznę od 1000 zbiorników. Ale ktoś inny mógł zacząć od 500 zbiorników lub zbiorników 2000, a możemy uzyskać różne wyniki. Zamierzam przeanalizować co 20 zbiorników, co oznacza, że \u200b\u200bmam 50 początkowych możliwości dla liczby zbiorników. Możesz komplikować model i analizować dla każdej osoby w programie Excel, ale odpowiedź nie zmienia wiele, a analiza się znacznie skomplikuje.

Zakładam, że wszystkie możliwości liczby zbiorników jest równe (tj. Prawdopodobieństwo 50 zbiorników jest takie samo jak 500). Należy pamiętać, że plik Excel ma więcej kolumn niż pokazano na rysunku. Konwencjonalne prawdopodobieństwo funkcji prawdopodobieństwa jest bardzo podobne do warunkowego prawdopodobieństwa z przykładu 2:

Jeśli obserwowany numer seryjny jest większy niż maksymalny numer seryjny dla tej grupy, prawdopodobieństwo obecności takiej liczby zbiorników wynosi 0.
Jeśli obserwowany numer seryjny jest mniejszy niż maksymalny numer seryjny dla tej grupy, prawdopodobieństwo jest jednostką podzieloną przez liczbę zbiorników pomnożonych przez znormalizowane prawdopodobieństwo w poprzednim etapie (rys. 15).

Figa. 15. Prawdopodobieństwa warunkowe dystrybucji zbiorników według grup

Prawdopodobieństwa znormalizowane wyglądają następująco (rys. 16).

Figa. 16. Znormalizowane prawdopodobieństwo zbiorników

Istnieje duży plusk prawdopodobieństwa dla maksymalnego obserwowanego numeru seryjnego. Po tym pojawia się asymptotyczne zmniejszenie zero. W przypadku 4 wykrytych numerów seryjnych maksymalna reaguje na 140 zbiorników. Ale pomimo faktu, że ta liczba jest najbardziej prawdopodobna odpowiedź, to nie jest najlepsza ocena, ponieważ prawie na pewno nie doceniają liczbę zbiorników.

Jeśli weźmiesz ważoną średnią liczbę zbiorników, tj. Podsumować pomnożone grupy i ich prawdopodobieństwa dla czterech zbiorników, stosując wzór:

Zaokrąglony (BD9: DA9; BD14: DA14); 0)

dostajemy najlepszy szacunek 193 roku.

Jeśli pierwotnie przystąpiliśmy z 2000 zbiorników, byłoby średnie ważona z 195 zbiorników, co zasadniczo nic nie zmienia.

Przykład 6. Testowanie leków

Wiesz, że 0,5% ludności wykorzystuje leki. Masz test, który daje 99% prawdziwych pozytywnych wyników dla leku i 98% prawdziwych negatywnych wyników dla nieużywania. Losowo wybierasz osobę, wydać test i uzyskać pozytywny wynik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba faktycznie używa narkotyków?

Dla naszej losowej osoby początkowe prawdopodobieństwo Fakt, że jest to konsument narkotykowy wynosi 0,5%, a prawdopodobieństwo, że nie jest to konsument narkotykowy, jest 99,5%.

Kolejnym krokiem jest obliczenie warunkowego prawdopodobieństwa:

Jeśli przedmiot zużywa leki, test będzie pozytywny w 99% przypadków i ujemnych w 1% przypadków.
Jeśli obiekt nie używa leków, test będzie pozytywny w 2% przypadków i ujemnych w 98% przypadków.

Funkcje wiarygodności dla spożywanych i narkotyków przedstawiono na FIG. 17.

Figa. 17. Funkcje wiarygodności: (a) do użytku narkotyków; (b) dla narkotyków

Po normalizacji widzimy, że pomimo pozytywnej opinii prawdopodobieństwo, że ta losowa osoba używa leków, jest tylko 0,1992 lub 19,9%. Wynik ten zaskakuje wielu ludzi, ponieważ w końcu dokładność testu jest dość wysoka - aż 99%. Ponieważ początkowe prawdopodobieństwo było zaledwie 0,5%, nawet duży wzrost tego prawdopodobieństwa nie wystarczy, aby odpowiedź była naprawdę duża.

Intuicja większości ludzi nie uwzględnia początkowego prawdopodobieństwa. Nawet jeśli warunkowe prawdopodobieństwo jest naprawdę wysokie, bardzo niskie prawdopodobieństwo początkowe może prowadzić do niskiego prawdopodobieństwa skończonego. Intuicja większości ludzi jest skonfigurowana wokół początkowego prawdopodobieństwa 50/50. Jeśli tak jest, wynik testowy jest dodatni, znormalizowane prawdopodobieństwo będzie oczekiwane 98%, potwierdzające, że osoba wykorzystuje leki (rys. 18).

Figa. 18. Wynik testu z początkowym prawdopodobieństwem 50/50

Alternatywne podejście do wyjaśnienia takich sytuacji, zobacz.

Wygląda na bibliografię na twierdzeniu Bayes na końcu notatek.

Jeśli wydarzenie ALE może wystąpić tylko podczas wykonywania jednego z poniższych zdarzeń kompletna grupa niekompletnych zdarzeń Następnie prawdopodobieństwo wydarzenia ALE Obliczone według formuły

Ta formuła jest nazywana formuła pełne prawdopodobieństwo .

Ponownie uwzględniamy pełną grupę niepełnych zdarzeń, których prawdopodobieństwo wyglądu . Zdarzenie ALE może się zdarzyć tylko z dowolnym z wydarzeń, które zostaną wywołane hipoteza . Następnie zgodnie z formułą pełnego prawdopodobieństwa

Jeśli wydarzenie ALE Zdarzyło się, może zmienić prawdopodobieństwa hipotez .

Przez prawdopodobieństwo twierdzenia mnożenia

Podobnie, dla pozostałych hipotez

Otrzymany formuła jest nazywany formuła Bayes. (formuła Bayes. ). Prawdopodobieństwo hipotez jest nazywane prawdopodobieństwa Posteriori. , natomiast - prawdopodobieństwa a priori .

Przykład. Sklep otrzymał nowe produkty z trzech przedsiębiorstw. Odsetek tego produktu jest następujący: 20% - produkty pierwszego przedsiębiorstwa, 30% - produkty drugiego przedsiębiorstwa, 50% to produkty trzeciego przedsiębiorstwa; Ponadto, 10% produktów pierwszego przedsiębiorstwa najwyższej klasy, w drugim przedsiębiorstwie - 5%, a trzeci - 20% produktów najwyższej klasy. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo zakupione nowe produkty będą najwyższą klasą.

Decyzja. Oznaczać W Impreza, która polega na tym, że produkty najwyższej klasy zostaną zakupione, poprzez wydarzenia, aby kupić produkty należące do pierwszych, drugich i trzecich przedsiębiorstw zgodnie z pierwszym, drugim i trzecimi przedsiębiorstwami.

Możesz zastosować pełną formułę prawdopodobieństwa, aw naszym notacji:

Zastępowanie tych wartości w formule pełnego prawdopodobieństwa, otrzymujemy pożądane prawdopodobieństwo:

Przykład. Jeden z trzech strzelców jest wezwany do linii ognia i wytwarza dwa strzały. Prawdopodobieństwo uderzenia w cel jednym ujęciem dla pierwszej strzałki wynosi 0,3, dla drugiego - 0,5; Za trzeci - 0,8. Cel nie jest zdumiony. Znajdź szansę, że strzały wykonane przez pierwszą strzelankę.

Decyzja. Możliwe są trzy hipotezy:

Pierwsza strzelanka nazywa się na linii ognia,

Druga strzelanka nazywa się na linii ognia,

Trzeci strzelec jest spowodowany linią ognia.

Ponieważ wyzwanie na linii ognia jest równowaga, a następnie

W wyniku doświadczenia obserwowano wydarzenie - po wykonaniu strzelców cel nie był zdumiony. Warunkowe prawdopodobieństwa tego zdarzenia z hipotezami są równe:

według Formuły Bayes znajdujemy prawdopodobieństwo hipotezy po doświadczeniu:

Przykład. Na trzech maszynach maszyn są przetwarzane przez ten sam rodzaj części przybywających po przetworzeniu na wspólnym przenośniku. Pierwsza maszyna daje 2% małżeństwa, drugi - 7%, trzeci - 10%. Wydajność pierwszej maszyny jest 3 razy więcej wydajności drugiego, a trzecia jest 2 razy mniejsza niż druga.

a) Jaki jest odsetek małżeństwa na przenośniku?

b) Jakie są stawki szczegółów każdej maszyny wśród wadliwych części na przenośniku?

Decyzja. Weź z przenośnika, aby przynieść jeden szczegół i rozważyć wydarzenie a - szczegół jest uszkodzony. Jest to związane z hipotezami, gdzie ten szczegół został przetworzony: - Szczegóły wykonane przez maszynę przetwarzano przez maszynę.

Prawdopodobieństwa warunkowe (w warunkach problemu podano w formie zainteresowań):

Związek między producentami maszyn oznacza następujące informacje:

A ponieważ hipoteza tworzy pełną grupę.

Decydując o wynikowym systemie równań, znajdziemy :.

a) Pełna szansa, że \u200b\u200bszczegóły pobrane z przenośnika są uszkodzone:

Innymi słowy, w masie części zbieżnych z przenośnika, małżeństwo wynosi 4%.

b) Niech wiem, że pobrane szczegóły są uszkodzone. Korzystając z formuły Bayes, znajdziemy warunkowe prawdopodobieństwo hipotez:

Tak więc, w całkowitej masie wadliwych części na przenośniku, udział pierwszej maszyny wynosi 33%, druga wynosi 39%, trzeci wynosi 28%.

Praktyczne zadania

Ćwiczenie 1.

Rozwiązywanie zadań dla głównych sekcji teorii prawdopodobieństwa

Celem jest uzyskanie praktycznych umiejętności w rozwiązywaniu problemów

sekcje teorii prawdopodobieństwa

Przygotowanie do wdrożenia praktycznego zadania

Przeczytaj materiał teoretyczny na tym temacie, aby zbadać zawartość teoretyki, a także odpowiednie sekcje w źródłach literackich

Procedura wykonywania zadania

Rozwiąż 5 zadań zgodnie z liczbą wersji zadań podanej w tabeli 1.

Opcje danych źródłowych

Tabela 1

	numer zadania

Skład raportu na zadaniu 1

5 Rozwiązane zadania zgodnie z liczbą opcji.

Zadania dla samotnych rozwiązań

1 .. są następujące grupy zdarzeń: a) doświadczenie - rzucanie monet; Wydarzenia: A1.- pojawienie się herbu; A2.- pojawienie się figur; b) Doświadczenie - rzucanie dwóch monet; Wydarzenia: W 1- pojawienie się dwóch warstw broni; O 2 -pojawienie się dwóch cyfr; W 3.- pojawienie się jednej herbu i jednej cyfry; c) Doświadczenie - rzucanie kością grą; Wydarzenia: C1 -pojawienie się nie więcej niż dwóch punktów; C2 -pojawienie się trzech lub czterech punktów; C3 -wygląd co najmniej pięciu punktów; d) Doświadczenie - strzał docelowy; Wydarzenia: D1.- trafienie; D2 -poślizg; e) Doświadczenie - dwa strzały docelowe; Wydarzenia: E0.- Nie pojedynczy hit; E1.- jeden hit; E2.- dwa hit; e) Doświadczenie - Usuń dwie karty z pokładu; Wydarzenia: F1 -pojawienie się dwóch czerwonych kart; F2.- Wygląd dwóch czarnych kart?

2. W Urn Black i B czarne kulki. Jedna piłka jest usuwana z urn. Znajdź szansę, że ta piłka jest biała.

3. W Urn A biały I. B. czarne kulki. Z urn biorą jedną piłkę i odkładają. Ta piłka była biała. Po tym kolejna piłka zajmuje od urna. Znajdź szansę, że ta piłka będzie również biała.

4. W Urn A biały i B. czarne kulki. Jedna piłka została wyjęta z urn i, bez patrzenia, odłóż na bok. Po tym kolejna piłka wzięła od urna. Był biały. Znajdź szansę, że pierwsza kula odchylona na bok jest również biała.

5. Od urna zawierającego biały i B. czarne kulki, wyjmij jedną po kolejnej kule z wyjątkiem jednego. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatnia pozostała piłka w kuli będzie biała.

6. Z urna, w którym białe kulki i b czarny, usuń w nim wszystkie kulki. Znajdź szansę, że drugi balon zostanie wyjęty w porządku.

7. W urn białe i czarne kulki (ZA. > 2). Dwie kulki są usuwane z URN. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie piłki będą białe.

8. W Urn Black i B czarne kulki (A\u003e 2, B\u003e 3). Pięć kulek jest usuwane z URN. Znajdź prawdopodobieństwo r.że dwa z nich będą białe i trzy czarne.

9. Na imprezie składającej się z X produkty, dostępne JA.wadliwy. Z imprezy jest wybrany do sterowania I produkty. Znajdź prawdopodobieństwo r.że z nich dokładnie j produkty będą wadliwe.

10. Gra kość Raz pęka. Znajdź prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: ALE -pojawienie się parzystej liczby punktów; W- pojawienie się co najmniej 5 punktów; Z-pojawienie się nie więcej niż 5 punktów.

11. Odtwarzanie kości pojawia się dwa razy. Znajdź prawdopodobieństwo r.fakt, że oboje razy pojawi się ta sama liczba punktów.

12. Dwie kości gry są rzucane w tym samym czasie. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: ALE- suma upadłych punktów wynosi 8; W- Produkt upadłych punktów wynosi 8; Z-ilość punktów spadła więcej niż ich praca.

13. Dwie monety pośpiechu. Który z wydarzeń jest bardziej prawdopodobny: ALE -monety będą kłamać z tymi samymi stronami; W -monety będą kłamać w różnych stronach?

14. W Urn A biały i B. czarne kulki (ZA. > 2; B. > 2). Z urn w tym samym czasie dwie kulki. Jakie wydarzenie jest bardziej prawdopodobne: ALE- kulki tego samego koloru; W -kulki różnych kolorów?

15. Trzy gracze grają w karty. Każdy z nich przekazał 10 kart, a dwie karty pozostają w bona. Jeden z graczy widzi, że ma 6 map garnitur Bubnova i 4 - a nie bubnova. Resetuje dwie karty od tych czterech i zabiera się bony. Znajdź prawdopodobieństwo, że kupi dwie kamienne karty.

16. Z URN zawierający p.piłki przeznaczone, losowe wyjmują jeden po kolejnych wszystkich kulkach w nim. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba piłek ciętych trafi w kolejność: 1, 2, ..., p.

17. Ta sama Urna jak w poprzednim zadaniu, ale każda piłka po usunięciu jest osadzona i mieszana z innymi, a jego numer jest rejestrowany. Znajdź szansę, że naturalna sekwencja numerów zostanie zarejestrowana: 1, 2, ..., str.

18. Pełny pokład kart (52 arkuszy) jest podzielony na dwie równe opakowania 26 arkuszy. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: ALE -w każdej z opakowań będą dwa asy; W- W jednej z opakowań nie będzie pojedynczy as, a w drugim - wszystkie cztery; C-b.jedna klamra będzie jedną ace, a w drugiej - trzy.

19. Na rysunku mistrzostw koszykówki zaangażowanych jest 18 zespołów, z których dwie grupy z 9 zespołów są losowo uformowane w każdym. Wśród uczestników konkursu jest 5 zespołów

dodatkowa klasa. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: ALE -wszystkie dodatkowe polecenia spadną do tej samej grupy; W- Dwie zespoły awaryjne spadną do jednej z grup i trzech do drugiego.

20. Dziewięć kart są numery pisemnych: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dwa z nich są usuwane losowo i ułożone na stole w kolejności wyglądu, a następnie wynikowy numer jest odczytywany na przykład 07 (siedem), 14 (czternaście) itp. Znajdź prawdopodobieństwo, że numer jest nawet.

21. Na pięć kart, numery są pisane: 1, 2, 3, 4, 5. dwa z nich, jeden po drugim usunięto. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba na drugiej karcie będzie większa niż pierwsza.

22. To samo pytanie jest to, że w zadaniu 21, ale pierwsza karta po usunięciu jest umieszczona z powrotem i zmieszana z resztą, a numer, który na nim jest napisany.

23. W Urn A biały, B. czarno i czerwone kulki. Z urnów wyjmij jeden po kolejnych wszystkich kulkach i napisz swoje kolory. Znalezienie szans, że na tej liście biały kolor pojawi się przed czarnym.

24. Istnieją dwa urny: w pierwszym biały i B. czarne kulki; W drugim C. biały i D. czarny. Z każdej urny usuniętej nad piłką. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie piłki będą białe.

25. Zgodnie z warunkami zadań 24, znajdź prawdopodobieństwo, że piłki będą różne kolory.

26. W bębnie rewolwerowej, siedem gniazd, z których ułożono pięć, a dwa pozostały puste. Bęben jest napędzany obrotem, w wyniku którego jeden z gniazdek wychodzi na pniu. Po tym spust jest naciśnięty; Jeśli komórka była pusta, strzał nie występuje. Znajdź prawdopodobieństwo r.fakt, że powtarzając takie doświadczenie dwa razy z rzędu, oboje oboje nie zostaliśmy przesuniętym.

27. W takich samych warunkach (patrz Zadanie 26) Znajdź prawdopodobieństwo, że oboje razy strzał.

28. W urnie jest A; piłki oznaczone liczbami 1, 2, ..., doZ urn JA.po usunięciu jednej kuli (JA.<к), numer piłki jest napisany, a piłka powstrzymuje się w urnę. Znajdź prawdopodobieństwo r.że wszystkie nagrane liczby będą różne.

29. Z pięciu liter alfabetu podzielonego słowo "książka" jest sporządzona. Dziecko, które nie wie, jak czytać, rozrzucić te litery, a następnie zebrać w kolejności losowej. Znajdź prawdopodobieństwo r.fakt, że znowu okazał się słowo "książka".

30. Słowo "ananas" został sporządzony z liter alfabetu podzielonego. Dziecko, które nie wie, jak czytać, rozrzucić te litery, a następnie zebrać w kolejności losowej. Znajdź prawdopodobieństwo r.że znowu ma słowo "ananas

31. Wiele map jest usuwane z pełnej talii kart (52 arkuszy, 4 apartamentów). Ile kart musi zostać usunięty, aby był bardziej prawdopodobny niż 0,50, aby twierdzić, że wśród nich będzie te same karty?

32. N.mężczyzna losowo zniknie nad okrągłym stołem (N\u003e2). Znajdź prawdopodobieństwo r.że dwie stałe twarze ALEi Wbędzie blisko.

33. To samo zadanie (cm 32), ale tabela jest prostokątna i n osoba jest szybko przypadkowo wzdłuż jednej z jego boków.

34. Beczki Lotto są pisemne liczby od 1 do N.Tych N.beczki są przypadkowo wybrane dwa. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczby mniejsze niż K są napisane na obu beach (2

35. Na beczkach piśmienniały liczby od 1 do N.Tych N.beczki są przypadkowo wybrane dwa. Znajdź szansę, że jeden z beczków napisał numer większy niż k , a na drugim - mniej niż k . (2

36. Bateria na zewnątrz M.pistolety prowadzą ogień na grupie składającą się z N.cele. (M.< N). Pistolety wybierają swoje cele konsekwentnie, losowo, pod warunkiem, że żadne dwa pistolety mogą strzelać do jednego celu. Znajdź prawdopodobieństwo r.co będzie wystrzelone przez cele z liczbami 1, 2, ..., M.

37 .. bateria, składająca się z dopistolety, prowadzi ogień na grupie składającą się z JA.samolot (do< 2). Każdy instrument wybiera cel przypadkowo i niezależnie od innych. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystko dopistolety będą strzelać w tym samym celu.

38. W warunkach poprzedniego zadania znajdziesz prawdopodobieństwo, że wszystkie pistolety strzelają do różnych celów.

39. Cztery kulki losowo rozpraszają się na czterech otworach; Każda piłka wchodzi do tego lub innego dobrze z tym samym prawdopodobieństwem i niezależnie od innych (przeszkody, aby dostać się do tego samego i tych samych studni kilku piłek). Znajdź szansę, że trzy kulki będą w jednym z studni, do drugiego, a w innych lewej otwory nie będzie piłek.

40. Masza kłóciła się z Piotrem i nie chce iść z nim w jednym autobusie. 5 autobusów wyjeżdża z hostelu do Instytutu od 7 do 8. Kto nie miał czasu na te autobusy, spóźni się na wykład. Ile sposobów na Masha i Peter może dostać się do Instytutu dla różnych autobusów i nie spóźnić się na wykład?

41. Istnieją 3 analityki, 10 programistów i 20 inżynierów w zarządzaniu informacjami banku. Na nadgodziny na wakacjach szef Departamentu powinien przydzielić jednego pracownika. Ile tego można zrobić?

42. Głowa usługi bezpieczeństwa Banku powinna oddzielić 10 strażników na 10 postów. Ile tego można zrobić?

43. Nowy prezes banku musi wyznaczyć 2 nowych wiceprzewodniczących spośród 10 dyrektorów. Ile tego można zrobić?

44. Jedna z walczących stron uchwyconych 12, a drugi - 15 jeńców. Ile sposobów mogę wymienić 7 więźniów wojennych?

45. Petya i Masza Zbieraj wideo wideo. Petit ma 30 komedii, 80 bojowników i 7 meloderów, Masha - 20 komedii, 5 bojowników i 90 meloderów. Ile sposobów Peter i Masza może wymieniać 3 komedie, 2 bojowników i 1 melodrama?

46. \u200b\u200bPod względem problemów z 45, w jakiś sposób Piotr i Masha mogą wymieniać 3 melodramy i 5 komedii?

47. Zgodnie z warunkami zadań 45, w pewnym sensie Piotr i Masha mogą wymieniać 2 bojowników i 7 komedii.

48. Jedna z walczących stron zdobyła 15, a drugi - 16 więźniów. Ile sposobów mogę wymienić 5 jeńców wojennych?

49. Ile samochodów można zarejestrować w 1 mieście, jeśli numer ma 3 cyfry i 3 litery (tylko te, których pisanie pokrywa się z łaciną - A, B, E, K, M, N, O, P, C, T, Y, Y, Y, Y , X)?

50. Jedna z walczących stron uchwyconych 14, a drugi - 17 jeńców. Ile sposobów mogę wymienić 6 więźniów wojennych?

51. Ile różnych słów można wykonać, zmieniając litery w słowie "matka"?

52. W koszu 3 czerwonych i 7 zielonych jabłek. Bierze jeden jabłko z niego. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie czerwony.

53. W koszu 3 czerwonych i 7 zielonych jabłek. Został wyjęty z tego i odłożył jedno zielone jabłko. Po tym, 1 jabłko zostanie wyjęte z kosza. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to jabłko będzie zielone?

54. W partii składającej się z 1000 produktów, 4 mają wady. Aby kontrolować, wybierz partię 100 produktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w liście kontrolnej nie będzie wadliwe?

56. W latach 80. gra SportoTo 5 z 36 była popularna w ZSRR. Gracz zauważył na karcie 5 numerów od 1 do 36 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgaduje inną liczbę numerów ogłoszonych przez Komisję CirCulation. Znajdź szansę, że gracz nie zgadł jednego numeru.

57. W latach 80-tych w ZSRR, gra "Sportlot 5 z 36" była popularna. Gracz zauważył na karcie 5 numerów od 1 do 36 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgaduje inną liczbę numerów ogłoszonych przez Komisję CirCulation. Znajdź szansę, że gracz odgadnie jeden numer.

58. W latach 80. w USSR, gra "Sportoto 5 z 36" była popularna. Gracz zauważył na karcie 5 numerów od 1 do 36 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgaduje inną liczbę numerów ogłoszonych przez Komisję CirCulation. Znajdź szansę, że gracz odgadnie 3 liczby.

59. W latach 80-tych w ZSRR, gra "Sportoto 5 z 36" była popularna. Gracz zauważył na karcie 5 numerów od 1 do 36 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgaduje inną liczbę numerów ogłoszonych przez Komisję CirCulation. Znajdź szansę, że gracz nie zgadł wszystkich 5 liczb.

60. W latach 80. Gameloto 6 z 49 był popularny w ZSRR. Gracz zauważył na karcie 6 numerów od 1 do 49 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgadnia inną liczbę liczb zadeklarowanych przez Komisję Circulation. Znajdź szansę, że gracz odgadnie 2 liczby.

61. W latach 80. Greyoto 6 z 49 był popularny w ZSRR. Gracz zauważył na karcie 6 numerów od 1 do 49 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgadnia inną liczbę liczb zadeklarowanych przez Komisję Circulation. Znajdź szansę, że gracz nie zgadł jednego numeru.

62. W latach 80. Greyloto 6 z 49 był popularny w ZSRR. Gracz zauważył na karcie 6 numerów od 1 do 49 i otrzymał nagrody o różnych zaletach, jeśli odgadnia inną liczbę liczb zadeklarowanych przez Komisję Circulation. Znajdź prawdopodobieństwo, że gracz dał wszystkie 6 liczb.

63. W partii składającej się z 1000 produktów, 4 mają wady. Aby kontrolować, wybierz partię 100 produktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tylko 1 wadliwe będzie w liście kontrolnej?

64. Ile różnych słów może być wykonane przez zmiany liter w "Book"?

65. Ile różnych słów można wykonać, przełączając litery w słowie "ananas"?

66. 6 osób wszedł do windy, a hostel ma 7 pięter. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy 6 osób wyjdzie na tym samym piętrze?

67. 6 osób wszedł do windy, budynek ma 7 pięter. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy 6 osób wyjdzie na różnych piętrach?

68. Podczas burzy z piorunami na działce od 40 do 79 km, wystąpiły linie energetyczne. Biorąc pod uwagę, że przerwa jest równie możliwa w dowolnym miejscu, znajdź prawdopodobieństwo, że złamane nastąpiło między 40. i 45 kilometrów.

69. na 200 kilometrów odcinka gazociągu występuje wyciek gazu między stacjami sprężarkami A i B, co jest równie możliwe w dowolnym punkcie rurociągu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciek odbywa się nie dalej niż 20 km od

70. Na 200 kilometrów odcinka gazociągu występuje wyciek gazu między stacjami sprężarkami A i B, co jest równie możliwe w dowolnym miejscu w rurociągu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciek występuje bliżej i niż K

71. Inspektor DPS Radar ma dokładność 10 km / godzinę i rundy w następnym kierunku. Co dzieje się częściej - zaokrąglanie na korzyść kierowcy lub inspektora?

72. Masha spędza na drodze do Instytutu od 40 do 50 minut, a każdy czas w tej szczelinie jest równoważny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spędzi na drodze od 45 do 50 minut.

73. Petya i Masza zgodzili się spotkać się na pomniku Puszkina od 12 do 13 godzin, ale nikt nie mógł określić czasu przyjazdu. Zgodzili się odczekać 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo ich spotkania?

74. Rybacy złapali 120 ryb w stawie, z których 10 ogrzewano. Jakie jest prawdopodobieństwo połowu ryb ocenionej?

75. Z koszyka zawierającego 3 czerwone i 7 zielonych jabłek Usuń wszystkie jabłka z kolei. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 jabłko będzie czerwone?

76. Z koszyka zawierającego 3 czerwone i 7 zielonych jabłek Usuń wszystkie jabłka z kolei. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnie jabłko będzie zielone?

77. Uczniowie uważają, że spośród 50 biletów 10 są "dobre". Petya i Masha na zmianę ciągnąc jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Masza ma bilet "dobry"?

78. Uczniowie uważają, że z 50 biletów 10 są "dobre". Petya i Masha na zmianę ciągnąc jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje ma "dobry" bilet?

79. Masza przyszła do egzaminu, wiedząc o odpowiedzi na 20 pytań programu z 25. Profesor określa 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Masha odpowie na 3 pytania?

80. Masza przyszła do egzaminu, wiedząc o odpowiedzi na 20 pytań programu z 25. Profesor określa 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Masza nie odpowie na jakiekolwiek pytanie?

81. Masza przyszła do egzaminu, wiedząc o odpowiedzi na 20 pytań programu z 25. Profesor określa 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Masza odpowie na 1 pytanie?

82. Statystyki wniosków kredytowych w Banku są następujące: 10% - stan. Władze, 20% - inne banki, reszta są jednostkami. Prawdopodobieństwo braku zwrotu pożyczek, odpowiednio 0,01, 0,05 i 0,2. Jaki udział pożyczek nie wraca?

83. Prawdopodobieństwo, że cotygodniowe obroty handlowca lodów przekroczy 2000 rubli. Jest 80% z czystą pogodą, 50% z zmienną chmurową i 10% z deszczową pogodą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obrót przekracza rubli 2000. Jeśli prawdopodobieństwo wyraźnej pogody wynosi 20%, a zmienna zachmurzenie i deszcz wynosi 40%.

84. W Urnie i Biały (B) i czarne (h) kulki. Z urn wyjęte są (w tym samym czasie lub sekwencyjnie) dwie kulki. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie piłki będą białe.

85. W Urn A biały i B.

86. W Urn A. biały i B.

87. W Urn A. biały i B. czarne kulki. Jedna piłka jest usuwana z Urna, jego kolor i piłka wraca do Urna. Po tym jedna piłka jest pobierana z Urna. Znajdź prawdopodobieństwo, że te kulki będą różne kolory.

88. Jest pudełko z dziewięcioma nowymi piłkami tenisowymi. W celu odebrania trzech celów; Po grze zostaną odłożone. Wybierając kulki, gracze nie są wyróżniani od nie-krzeseł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzech grach w pudełku nie pozostaną dla piłek?

89. Pozostawienie mieszkania, N. każdy gość umieści helos;

90. Opuszczenie mieszkania, N.goście mające te same rozmiary buta są umieszczane na trzpieniu w ciemności. Każdy z nich może odróżnić właściwą Calico od lewej strony, ale nie można odróżnić swoich nieznajomych. Znaleźć prawdopodobieństwo każdy gość umieszcza Kalosh, należący do jednej pary (może nie własną).

91. W warunkach zadania 90 nocy prawdopodobieństwo tego, co wszyscy zostawiają w swoich kalorii jeśli goście nie mogą odróżnić właściwej Calosa od lewej i po prostu weź pierwsze dwa Caloshs.

92. Łucznictwo jest prowadzone przez samolot, którego wrażliwe części są dwoma silnikami i kabiną pilotażową. Aby trafić (wyjście) samolotem, wystarczy uderzyć w obu silników, albo kabina pilotowa. W tych warunkach strzelania prawdopodobieństwo uszkodzenia pierwszego silnika jest równe p1.drugi silnik p2,kabiny pilotowe. p3.Części samolotu są dotknięte niezależnie od siebie. Znajdź szansę, że samolot będzie zdumiony.

93. Dwie strzałki, niezależnie od siebie, wykonaj dwa strzały (każde przez ich cel). Prawdopodobieństwo uderzenia w cel z jednym strzałem na pierwszą strzałkę p1.na sekundę p2.Zwycięska konkurencja jest uważana za strzelankę, w celach będzie bardziej wydrukowany. Znajdź prawdopodobieństwo RH.co wygra pierwsze strzały.

94. Za obiektem kosmosu obiekt jest wykrywany z prawdopodobieństwem r.Wykrywanie obiektu w każdym cyklu występuje niezależnie od innych. Znajdź prawdopodobieństwo, że kiedy p.wykryto obiekt cykli.

95. 32 Listy alfabetu rosyjskiego są napisane na okręgu alfabetu podzielonego. Pięć kart jest usuwany losowo po drugim i ułożone na stole w kolejności wyglądu. Znajdź szansę, że będzie słowo "koniec".

96. Dwie kulki są rozproszone przez przypadek i niezależnie od siebie w czterech komórkach znajdujących się w linii prostej. Każda piłka o tym samym prawdopodobieństwie 1/4 wchodzi do każdej komórki. Znajdź szansę, że kulki spadną do sąsiednich komórek.

97. Łucznictwo wykonane są przez płytki powietrzne. Paliwo na płaszczyźnie koncentruje się w czterech zbiornikach znajdujących się w kadłubie jeden po drugim. Zbiorniki Plaza są takie same. Aby zapalić samolot, wystarczy dostać dwie skorupy w tym samym zbiorniku lub w sąsiednich zbiornikach. Wiadomo, że dwa pociski wpadły w obszar zbiorników. Znajdź szansę, że samolot zapali się.

98. Cztery karty są usuwane z pełnej talii map (52 arkuszy). Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie te cztery karty będą różne tekstury.

99. Cztery karty są usuwane z pełnego pokładu kart (52 arkuszy), ale każda karta po usunięciu powrót do pokładu. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie te cztery karty będą różne tekstury ..

100. Gdy zapłon jest włączony, silnik zaczyna pracować z prawdopodobieństwem r.

101. Urządzenie może działać w dwóch trybach: 1) normalne i 2) nieprawidłowe. Tryb normalny obserwuje się w 80% wszystkich przypadków urządzenia; Nienormalny - 20%. Prawdopodobieństwo awarii urządzenia w porządku t.w trybie normalnym wynosi 0,1; W nienormalnym - 0,7. Pełne prawdopodobieństwo r.niepowodzenie urządzenia jest na zewnątrz.

102. Sklep odbiera towary od 3 dostawców: 55% pierwszego, 20 2 i 25% trzeciej. Udział małżeństwa wynosi odpowiednio 5, 6 i 8 procent. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupione wadliwe towary pochodzą z drugiego dostawcy.

103. Pojazdy przez stację benzynową składają się z 60% ładunku i 40% samochodów osobowych. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia stacji benzynowej ciężarówki, jeśli prawdopodobieństwo tankowania 0,1 i pasażera - 0,3

104. Przepływ samochodów stacji benzynowej składa się z 60% ładunków i 40% samochodów osobowych. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia stacji benzynowej ciężarówki, jeśli prawdopodobieństwo tankowania 0,1 i pasażera - 0,3

105. Sklep odbiera towary od 3 dostawców: 55% pierwszego, 20 z drugiego i 25% trzeciej. Udział małżeństwa wynosi odpowiednio 5, 6 i 8 procent. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupione wadliwe towary pochodzą z pierwszego dostawcy.

106. 32 Litery alfabetu rosyjskiego są zapisywane na okręgu alfabetu podzielonego. Pięć kart jest usuwany losowo po drugim i ułożone na stole w kolejności wyglądu. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie słowo "książka" będzie.

107. Sklep odbiera towary od 3 dostawców: 55% pierwszego, 20 z 2 i 25% trzeciej. Udział małżeństwa wynosi odpowiednio 5, 6 i 8 procent. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupione wadliwe towary pochodzą z pierwszego dostawcy.

108. Dwie kulki są rozproszone przez przypadek i niezależnie od siebie w czterech komórkach znajdujących się jeden po drugim w linii prostej. Każda piłka o tym samym prawdopodobieństwie 1/4 wchodzi do każdej komórki. Znajdź prawdopodobieństwo, że 2 kulki spadnie w jedną komórkę

109. Podczas włączenia zapłonu silnik zaczyna pracować z prawdopodobieństwem r. Znajdź prawdopodobieństwo, że silnik rozpocznie pracę z drugim wyłącznikiem zapłonu;

110. Strzelanie samolotów wykonane są przez niebieskie skorupy. Paliwo na płaszczyźnie koncentruje się w czterech zbiornikach znajdujących się w kadłubie jeden po drugim. Zbiorniki Plaza są takie same. Aby zapalić samolot, wystarczy dostać dwa pociski do tego samego zbiornika. Wiadomo, że dwa pociski wpadły w obszar zbiorników. Znajdź prawdopodobieństwo, że samolot zapali się

111. Strzelanie samolotów wykonane są przez niebieskie skorupy. Paliwo na płaszczyźnie koncentruje się w czterech zbiornikach znajdujących się w kadłubie jeden po drugim. Zbiorniki Plaza są takie same. Aby zapalić samolot, wystarczy dostać dwa pociski w sąsiednich zbiornikach. Wiadomo, że dwa pociski wpadły w obszar zbiorników. Znajdź prawdopodobieństwo, że samolot zapali się

112. Urn A. biały i B. czarne kulki. Jedna piłka jest usuwana z Urna, jego kolor i piłka wraca do Urna. Po tym jedna piłka jest pobierana z Urna. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba cięte kulki będą białe.

113. W Urn A. biały i B. czarne kulki. Dwie kulki są usuwane z Urn. Znajdź prawdopodobieństwo, że te kulki będą różne kolory.

114. Dwie kulki są rozproszone przez przypadek i niezależnie od siebie w czterech komórkach znajdujących się w linii prostej. Każda piłka o tym samym prawdopodobieństwie 1/4 wchodzi do każdej komórki. Znajdź szansę, że kulki spadną do sąsiednich komórek.

115. Masza przyszła do egzaminu, wiedząc o odpowiedzi na 20 pytań programu z 25. Profesor określa 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Masha odpowie na 2 pytania?

116. Uczniowie uważają, że spośród 50 biletów 10 są "dobre". Petya i Masha na zmianę ciągnąc jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje ma "dobry" bilet?

117. Statystyki wniosków kredytowych w Banku są następujące: 10% - stan. Władze, 20% - inne banki, reszta są jednostkami. Prawdopodobieństwo braku zwrotu pożyczek, odpowiednio 0,01, 0,05 i 0,2. Jaki udział pożyczek nie wraca?

118. 32 Litery alfabetu rosyjskiego są zapisywane na okręgu alfabetu podzielonego. Pięć kart jest usuwany losowo po drugim i ułożone na stole w kolejności wyglądu. Znajdź szansę, że będzie słowo "koniec".

119 Statystyki wniosków o pożyczki w banku są następujące: 10% - stan. Władze, 20% - inne banki, reszta są jednostkami. Prawdopodobieństwo braku zwrotu pożyczek, odpowiednio 0,01, 0,05 i 0,2. Jaki udział pożyczek nie wraca?

120. Prawdopodobieństwo, że tygodniowy obrót do lodów przekroczy 2000 rubli. Jest 80% z czystą pogodą, 50% z zmienną chmurową i 10% z deszczową pogodą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obrót przekracza rubli 2000. Jeśli prawdopodobieństwo wyraźnej pogody wynosi 20%, a zmienna zachmurzenie i deszcz wynosi 40%.