Wszystkie własności trapezu wraz z dowodem. Co to jest trapez: właściwości czworoboku, twierdzenia i wzory

\[(\Large(\text(Swobodny trapez)))\]

Definicje

Trapez to wypukły czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe.

Równoległe boki trapezu nazywane są jego podstawami, a pozostałe dwa boki nazywają się jego bokami.

Wysokość trapezu to prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu jednej podstawy do drugiej podstawy.

Twierdzenia: własności trapezu

1) Suma kątów bocznych wynosi \(180^\circ\) .

2) Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, z których dwa są podobne, a pozostałe dwa mają taką samą wielkość.

Dowód

1) Ponieważ \(AD\równoległy BC\), to kąty \(\kąt BAD\) i \(\kąt ABC\) są jednostronne dla tych prostych, a kąt poprzeczny \(AB\), zatem \(\kąt ZŁY +\kąt ABC=180^\circ\).

2) Ponieważ \(AD\parallel BC\) i \(BD\) są siecznymi, wówczas \(\kąt DBC=\kąt BDA\) leżą w poprzek.
Również \(\angle BOC=\angle AOD\) jako pionowe.
Dlatego pod dwoma kątami \(\trójkąt BOC \sim \trójkąt AOD\).

Udowodnijmy to \(S_(\trójkąt AOB)=S_(\trójkąt COD)\). Niech \(h\) będzie wysokością trapezu. Następnie \(S_(\trójkąt ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trójkąt ACD)\). Następnie: \

Definicja

Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków.

Twierdzenie

Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.

Dowód*

1) Udowodnijmy równoległość.

Przeprowadźmy przez punkt \(M\) linię prostą \(MN"\równoległą AD\) (\(N"\in CD\) ). Następnie, zgodnie z twierdzeniem Talesa (od \(MN"\równoległy AD\równoległy BC, AM=MB\)) punkt \(N"\) jest środkiem odcinka \(CD\). Oznacza to, że punkty \(N\) i \(N"\) będą się pokrywać.

2) Udowodnijmy wzór.

Zróbmy \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Pozwalać \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Następnie, zgodnie z twierdzeniem Talesa, \(M"\) i \(N"\) są środkami odpowiednio odcinków \(BB"\) i \(CC"\). Oznacza to, że \(MM"\) jest środkową linią \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) jest środkową linią \(\triangle DCC"\) . Dlatego: \

Ponieważ \(MN\równoległy AD\równoległy BC\) i \(BB", CC"\perp AD\), wówczas \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) są prostokątami. Zgodnie z twierdzeniem Talesa z \(MN\równolegle AD\) i \(AM=MB\) wynika, że ​​\(B"M"=M"B\) .Stąd \(B"M"N"C "\) i \(BM"N"C\) są równymi prostokątami, zatem \(M"N"=B"C"=BC\) .

Zatem:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Twierdzenie: własność dowolnego trapezu

Środki podstaw, punkt przecięcia przekątnych trapezu i punkt przecięcia przedłużeń boków bocznych leżą na tej samej prostej.

Dowód*
Zalecane jest zapoznanie się z dowodem po przestudiowaniu tematu „Podobieństwo trójkątów”.

1) Udowodnijmy, że punkty \(P\) , \(N\) i \(M\) leżą na tej samej prostej.

Narysujmy linię prostą \(PN\) (\(P\) jest punktem przecięcia przedłużeń boków bocznych, \(N\) jest środkiem \(BC\)). Niech przecina bok \(AD\) w punkcie \(M\) . Udowodnimy, że \(M\) jest środkiem \(AD\) .

Rozważ \(\trójkąt BPN\) i \(\trójkąt APM\) . Są podobne pod dwoma kątami (\(\kąt APM\) – ogólny, \(\kąt PAM=\kąt PBN\) jako odpowiedni w \(AD\równoległy BC\) i \(AB\) secans). Oznacza: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Rozważmy \(\triangle CPN\) i \(\triangle DPM\) . Są one podobne pod dwoma kątami (\(\kąt DPM\) – ogólny, \(\kąt PDM=\kąt PCN\) jako odpowiedni w \(AD\równoległy BC\) i \(CD\) secans). Oznacza: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Stąd \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ale \(BN=NC\) zatem \(AM=DM\) .

2) Udowodnijmy, że punkty \(N, O, M\) leżą na tej samej prostej.

Niech \(N\) będzie środkiem \(BC\), a \(O\) będzie punktem przecięcia przekątnych. Narysujmy prostą \(NO\) , przetnie ona bok \(AD\) w punkcie \(M\) . Udowodnimy, że \(M\) jest środkiem \(AD\) .

\(\trójkąt BNO\sim \trójkąt DMO\) wzdłuż dwóch kątów (\(\kąt OBN=\kąt ODM\) leżących poprzecznie do \(BC\równoległego AD\) i \(BD\) siecznej; \(\kąt BON=\kąt DOM\) jako pion). Oznacza: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Podobnie \(\trójkąt CON\sim \trójkąt AOM\). Oznacza: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Stąd \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ale \(BN=CN\) zatem \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapez równoramienny)))\]

Definicje

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty.

Trapez nazywa się równoramiennym, jeśli jego boki są równe.

Twierdzenia: właściwości trapezu równoramiennego

1) Trapez równoramienny ma równe kąty przy podstawie.

2) Przekątne trapezu równoramiennego są równe.

3) Dwa trójkąty utworzone przez przekątne i podstawę są równoramienne.

Dowód

1) Rozważmy trapez równoramienny \(ABCD\) .

Z wierzchołków \(B\) i \(C\) upuszczamy prostopadłe \(BM\) i \(CN\) odpowiednio na bok \(AD\). Ponieważ \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , to \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , to \(MBCN\) jest równoległobokiem, zatem \(BM = CN\) .

Rozważmy trójkąty prostokątne \(ABM\) i \(CDN\) . Ponieważ ich przeciwprostokątne są równe, a noga \(BM\) jest równa nodze \(CN\) , to te trójkąty są równe, zatem \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Ponieważ \(AB=CD, \angle A=\kąt D, AD\)- ogólnie, to według pierwszego znaku. Dlatego \(AC=BD\) .

3) Ponieważ \(\trójkąt ABD=\trójkąt ACD\), następnie \(\kąt BDA=\kąt CAD\) . Dlatego trójkąt \(\trójkąt AOD\) jest równoramienny. Podobnie udowodniono, że \(\trójkąt BOC\) jest równoramienny.

Twierdzenia: znaki trapezu równoramiennego

1) Jeśli trapez ma równe kąty przy podstawie, to jest równoramienny.

2) Jeśli trapez ma równe przekątne, to jest równoramienny.

Dowód

Rozważmy trapez \(ABCD\) taki, że \(\angle A = \angle D\) .

Dokończmy trapez do trójkąta \(AED\), jak pokazano na rysunku. Ponieważ \(\angle 1 = \angle 2\) , to trójkąt \(AED\) jest równoramienny i \(AE = ED\) . Kąty \(1\) i \(3\) są równe kątom odpowiadającym prostym równoległym \(AD\) i \(BC\) oraz siecznej \(AB\). Podobnie kąty \(2\) i \(4\) są równe, ale \(\kąt 1 = \kąt 2\), wówczas \(\kąt 3 = \kąt 1 = \kąt 2 = \kąt 4\), zatem trójkąt \(BEC\) jest również równoramienny i \(BE = EC\) .

W końcu \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), czyli \(AB = CD\), co należało udowodnić.

2) Niech \(AC=BD\) . Ponieważ \(\trójkąt AOD\sim \trójkąt BOC\), wówczas ich współczynnik podobieństwa oznaczamy jako \(k\) . Następnie jeśli \(BO=x\) , to \(OD=kx\) . Podobnie do \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Ponieważ \(AC=BD\) , następnie \(x+kx=y+ky \Strzałka w prawo x=y\) . Oznacza to, że \(\trójkąt AOD\) jest równoramienny i \(\kąt OAD=\kąt ODA\) .

Zatem zgodnie z pierwszym znakiem \(\trójkąt ABD=\trójkąt ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- ogólny). A więc \(AB=CD\) , dlaczego.

- (Trapez grecki). 1) w geometrii czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a dwa nie. 2) figurę przystosowaną do ćwiczeń gimnastycznych. Słownik słów obcych zawartych w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZ... ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego

Trapez- Trapez. TRAPEZ (od greckiego trapezu, dosłownie stół), wypukły czworobok, w którym dwa boki są równoległe (podstawy trapezu). Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy podstaw (linii środkowej) i wysokości. ... Ilustrowany słownik encyklopedyczny

Czworokąt, pocisk, poprzeczka Słownik rosyjskich synonimów. rzeczownik trapezowy, liczba synonimów: 3 poprzeczka (21) ... Słownik synonimów

- (z greckiego trapezu, dosłownie stół), czworokąt wypukły, w którym dwa boki są równoległe (podstawy trapezu). Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy podstaw (linii środkowej) i wysokości... Nowoczesna encyklopedia

- (z greckiego trapezu, dosł. tabela), czworobok, w którym dwa przeciwległe boki, zwane podstawami trapezu, są równoległe (na rysunku AD i BC), a pozostałe dwa są nierównoległe. Odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu (w ... ... Wielki słownik encyklopedyczny

TRAPEZ, czworokątna płaska figura, w której dwa przeciwległe boki są równoległe. Pole trapezu jest równe połowie sumy równoległych boków pomnożonej przez długość prostopadłej między nimi... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

TRAPEZ, trapez, damski (z greckiego stołu trapezowego). 1. Czworokąt z dwoma bokami równoległymi i dwoma nierównoległymi (mat.). 2. Urządzenie gimnastyczne składające się z poprzeczki zawieszonej na dwóch linach (sportowe). Akrobatyka... ... Słownik wyjaśniający Uszakowa

TRAPEZ i kobieta. 1. Czworokąt mający dwa boki równoległe i dwa nierównoległe. Podstawy trapezu (jego boki równoległe). 2. Urządzenie cyrkowe lub gimnastyczne to poprzeczka zawieszona na dwóch linkach. Słownik objaśniający Ożegowa. Z … Słownik wyjaśniający Ożegowa

Kobieta, geom. czworobok o nierównych bokach, z których dwa są równoległe (równoległe). Trapez, podobny czworokąt, w którym wszystkie boki się rozchodzą. Trapezoedr, bryła o fasetach trapezowych. Słownik wyjaśniający Dahla. W I. Dahla. 1863 1866… Słownik wyjaśniający Dahla

- (Trapez), USA, 1956, 105 min. Melodramat. Początkujący akrobata Tino Orsini dołącza do trupy cyrkowej, w której pracuje Mike Ribble, słynny były artysta na trapezie. Mike kiedyś występował z ojcem Tino. Młody Orsini chce Mike'a... Encyklopedia kina

Czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe. Nazywa się odległość między równoległymi bokami. wysokość T. Jeśli równoległe boki i wysokość zawierają metry a, b i h, wówczas powierzchnia T zawiera metry kwadratowe ... Encyklopedia Brockhausa i Efrona

Książki

• Zestaw tabel. Geometria. 8 klasa. 15 tabel + metodologia, . Tabele drukowane są na grubej tekturze zadrukowanej o wymiarach 680 x 980 mm. W zestawie broszura zawierająca wskazówki dydaktyczne dla nauczycieli. Album edukacyjny składający się z 15 arkuszy. Wielokąty...
• Zestaw tabel. Matematyka. Wielokąty (7 tabel), . Album edukacyjny składający się z 7 arkuszy. Wielokąty wypukłe i niewypukłe. Czworoboki. Równoległobok i trapez. Znaki i właściwości równoległoboku. Prostokąt. Romb. Kwadrat. Kwadrat…

Wielokąt to część płaszczyzny ograniczona zamkniętą linią przerywaną. Kąty wielokąta są oznaczone punktami wierzchołków wielokąta. Wierzchołki rogów wielokąta i wierzchołki wielokąta są punktami pokrywającymi się.

Definicja. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe.

Właściwości równoległoboku

1. Przeciwne strony są równe.
Na ryc. jedenaście AB = płyta CD; PNE. = OGŁOSZENIE.

2. Kąty przeciwne są równe (dwa ostre i dwa rozwarte).
Na ryc. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Przekątne (odcinki linii łączące dwa przeciwne wierzchołki) przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Na ryc. 11 segmentów AO = OC; BO = OD.

Definicja. Trapez to czworokąt, w którym dwa przeciwległe boki są równoległe, a pozostałe dwa nie.

Boki równoległe nazywają się nią powodów, a pozostałe dwie strony są boki.

Rodzaje trapezów

1. Trapez, którego boki nie są równe,
zwany wszechstronny(ryc. 12).

2. Nazywa się trapez, którego boki są równe równoramienny(ryc. 13).

3. Nazywa się trapez, w którym jeden bok tworzy z podstawami kąt prosty prostokątny(ryc. 14).

Odcinek łączący środki bocznych boków trapezu (ryc. 15) nazywany jest linią środkową trapezu ( MN). Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.

Trapez można nazwać trójkątem ściętym (ryc. 17), dlatego nazwy trapezów są podobne do nazw trójkątów (trójkąty to skalen, równoramienny, prostokątny).

Obszar równoległoboku i trapezu

Reguła. Obszar równoległoboku jest równa iloczynowi jego boku i wysokości narysowanej na ten bok.

Powiązane definicje

Elementy trapezowe

• Nazywa się boki równoległe powodów trapezoidy.
• Pozostałe dwie strony są nazywane boki.
• Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową trapezu.
• Odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

Rodzaje trapezów

Trapez prostokątny

Trapez równoramienny

• Nazywa się trapez, którego boki są równe równoramienny Lub równoramienny.
• Nazywa się trapez, który ma po bokach kąty proste prostokątny.

Właściwości ogólne

• Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.
• Odcinek łączący środki przekątnych jest równy połowie różnicy podstaw.
• Linie równoległe przecinające boki kąta odcinają proporcjonalne odcinki z boków kąta.
• W trapez można wpisać okrąg, jeżeli suma podstaw trapezu jest równa sumie jego boków.

Właściwości i znaki trapezu równoramiennego

• Linia prosta przechodząca przez środki podstaw jest prostopadła do podstaw i stanowi oś symetrii trapezu.
• Wysokość obniżona od góry do większej podstawy dzieli ją na dwie części, z których jedna jest równa połowie sumy podstaw, druga - połowie różnicy podstaw.
• W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
• W trapezie równoramiennym długości przekątnych są równe.
• Jeżeli trapez można wpisać w okrąg, to jest on równoramienny.
• Okrąg można opisać wokół trapezu równoramiennego.
• Jeżeli przekątne trapezu równoramiennego są prostopadłe, to wysokość jest równa połowie sumy podstaw.

Okrąg wpisany i opisany

Kwadrat

Wzory te są takie same, ponieważ połowa sumy podstaw jest równa linii środkowej trapezu.

Rozważmy kilka kierunków rozwiązywania problemów, w których trapez jest wpisany w okrąg.

Kiedy trapez można wpisać w okrąg? Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego przeciwległych kątów wynosi 180°. Wynika, że W okrąg można zmieścić tylko trapez równoramienny.

Promień okręgu opisanego na trapezie można obliczyć jako promień okręgu opisanego na jednym z dwóch trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątną.

Gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na trapezie? Zależy to od kąta między przekątną trapezu a jego bokiem.

Jeżeli przekątna trapezu jest prostopadła do jego boku, to środek okręgu opisanego wokół trapezu leży pośrodku jego większej podstawy. Promień okręgu opisanego na trapezie jest w tym przypadku równy połowie jego większej podstawy:

Jeżeli przekątna trapezu tworzy ze swoim bokiem kąt ostry, to środek okręgu opisanego wokół trapezu leży wewnątrz trapezu.

Jeżeli przekątna trapezu tworzy ze swoim bokiem kąt rozwarty, to środek okręgu opisanego na trapezie leży na zewnątrz trapezu, za dużą podstawą.

Promień okręgu opisanego na trapezie można obliczyć z twierdzenia o sinusach. Z trójkąta ACD

Z trójkąta ABC

Inną opcją znalezienia promienia opisanego okręgu jest

Sinusy kąta D i kąta CAD można znaleźć na przykład z trójkątów prostokątnych CFD i ACF:

Rozwiązując zadania dotyczące trapezu wpisanego w okrąg, można też wykorzystać fakt, że kąt wpisany jest równy połowie odpowiadającego mu kąta środkowego. Na przykład,

Nawiasem mówiąc, możesz także użyć kątów COD i CAD, aby znaleźć pole trapezu. Korzystanie ze wzoru na znalezienie pola czworoboku za pomocą jego przekątnych