Czy układ wektorowy jest ortogonalny? Ortogonalny układ wektorowy

44. System organów rządowych Francji, prawo wyborcze i system wyborczy Francja jest republiką mieszaną (półprezydencką), której system organów rządowych opiera się na zasadzie podziału władzy.Francja jest dziś republiką o silnym

Rozdział IV. System dopasowania podwójnej głowicy. System „owad”. Minisystem

Rozdział IV. System dopasowania podwójnej głowicy. System „owad”. Minisystem Podwójny system korespondencji z głową Na palcach rąk i nóg istnieją dwa systemy korespondencji z głową: system „typu ludzkiego” i system „typu zwierzęcego”. System „typu ludzkiego”. Granica

Pierwszy ośrodek emocjonalny – układ kostny, stawy, krążenie krwi, układ odpornościowy, skóra

Pierwszy ośrodek emocjonalny - układ kostny, stawy, krążenie krwi, układ odpornościowy, skóra.Zdrowy stan narządów związanych z pierwszym ośrodkiem emocjonalnym zależy od poczucia bezpieczeństwa w tym świecie. Jeśli jesteś pozbawiony wsparcia rodziny i przyjaciół to Ty

Konstrukcja PLM to LSI, wykonany w postaci układu szyn ortogonalnych, w węzłach których umieszczone są podstawowe elementy półprzewodnikowe – tranzystory lub diody. Przygotowanie PLM do wymaganej transformacji logicznej (programowanie PLM) polega na odpowiedniej organizacji połączeń pomiędzy podstawowymi elementami logicznymi. Programowanie PLM odbywa się albo w trakcie jego produkcji, albo przez użytkownika za pomocą urządzenia programującego. Dzięki takim właściwościom PLM jak prostota organizacji strukturalnej i duża szybkość przekształceń logicznych, a także stosunkowo niski koszt, determinowany możliwościami produkcyjnymi i produkcją masową, PLM znajdują szerokie zastosowanie jako baza elementowa w projektowaniu systemów komputerowych i systemów automatyzacji produkcji .

Nawet na tym poziomie nie ma dobrych „systemów mechanicznych”, które można zastosować. Moim zdaniem nigdy nie było udanego układu „mechanicznego”, który można by opisać modelem liniowym. Nie ma go teraz i prawdopodobnie nigdy nie będzie, nawet przy wykorzystaniu sztucznej inteligencji, procesorów analogowych, algorytmów genetycznych, regresji ortogonalnych i sieci neuronowych.

Wyjaśnijmy znaczenie normy - G. W przestrzeni (n+1)-wymiarowej wprowadza się ukośny układ współrzędnych, którego jedną osią jest prosta Xe, a drugą osią jest n-wymiarowa hiperpłaszczyzna G , ortogonalny do g. Dowolny wektor x można przedstawić w postaci

Regresja paraboliczna i układ ortogonalny

Dla określoności ograniczmy się do przypadku m = 2 (przejście do przypadku ogólnego m > 2 odbywa się w sposób oczywisty i bez trudności) i przedstawimy funkcję regresji w układzie funkcji bazowych jeśli > 0 (n ), (x), ip2 to), które są ortogonalne (na całości obserwowanych

Wzajemna ortogonalność wielomianów (7- (JK) (w układzie obserwacji xlt k..., xn) oznacza, że

Przy takim planowaniu, zwanym ortogonalnym, macierz X X stanie się diagonalna, tj. układ równań normalnych dzieli się na k+l niezależnych równań

Układ punktów spełniający warunek ortogonalności (plan I rzędu)

Jest oczywiste, że tensor deformacji w ruchu sztywnym zanika. Można wykazać, że jest też odwrotnie: jeśli we wszystkich punktach ośrodka tensor odkształcenia jest równy zeru, to prawo ruchu w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych obserwatora ma postać (3.31) z macierzą ortogonalną a A. Zatem ruch sztywny można zdefiniować jako ruch ośrodka ciągłego, w którym odległość między dowolnymi dwoma punktami ośrodka nie zmienia się podczas ruchu.

Mówi się, że dwa wektory są ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Układ wektorów nazywamy ortogonalnym, jeśli wektory tego układu są ortogonalne parami.

O Przykład. Układ wektorów = (, O,..., 0), e% = = (O, 1,..., 0), . .., e = (0, 0,..., 1) jest ortogonalne.

Operator Fredholma z jądrem k (to - TI, 4 - 12) ma kompletny układ ortogonalny wektorów własnych w przestrzeni Hilberta (zgodnie z twierdzeniem Hilberta). Oznacza to, że φ(t) stanowi pełną bazę w Lz(to, T). Dlatego jestem ze mną.

Ortogonalny układ n-zero wektorów jest liniowo niezależny.

Podany sposób konstruowania układu ortogonalnego wektorów t/i, yb,. ..> ym+t dla danej liniowo niezależnej

W przypadku biotechnicznego systemu wierceń odwiertów, w którym ilość pracy fizycznej pozostaje znaczna, szczególnie interesujące są badania obszarów aktywności biomechanicznej i motorycznej. Skład i strukturę ruchów roboczych, ilość, obciążenia dynamiczne i statyczne oraz siły rozwinięte badaliśmy na wiertnicach Uralmash-ZD przy użyciu filmowania stereoskopowego (z dwiema synchronicznie działającymi kamerami przy użyciu specjalnej techniki z częstotliwością 24 klatek na 1 s) oraz metoda ganiograficzna z wykorzystaniem trójkanałowego oscyloskopu medycznego. Sztywne unieruchomienie osi optycznych, równoległych do siebie i prostopadłych do linii bazowej (obiektu filmowania), umożliwiło ilościowe badanie (na podstawie rzutów perspektywiczno-ortogonalnych na klatki filmu, jak pokazano na ryc. 48) póz roboczych, trajektorie ruchu środków ciężkości pracowników podczas wykonywania poszczególnych operacji, technik, działań i określania wysiłków, kosztów energii itp.

Obiecującym podejściem do identyfikacji niezależnych alternatyw musi być identyfikacja niezależnych wskaźników czynników syntetycznych. Pierwotny system wskaźników czynnikowych Xi zostaje przekształcony w system nowych syntetycznych niezależnych wskaźników czynnikowych FJ, które są ortogonalnymi składowymi układu wskaźników Xg. Transformację przeprowadza się wykorzystując metody analizy składowej 1. Matematycznej

Jednym z komponentów ADAD jest moduł do trójwymiarowego projektowania złożonych systemów rurociągów. Graficzna baza danych modułu zawiera elementy objętościowe rurociągów (przyłącza, krany, kołnierze, rury). Element wybrany z biblioteki jest automatycznie dopasowywany do charakterystyki układu rurociągów projektowanego modelu. Moduł przetwarza rysunki i tworzy obrazy dwu- i trójwymiarowe, w tym konstruuje modele izometryczne i rzuty ortogonalne obiektów. Istnieje możliwość wyboru części do rurociągów, rodzajów powłok i rodzajów izolacji według zadanej specyfikacji.

Z zależności (2.49) wynika, jak należy skonstruować rozwiązanie równań (2.47). Najpierw konstruuje się rozkład polarny tensora i wyznacza tensory p"b. Ponieważ tensory a"b i pI są równe, macierz s ma postać (2.44), (2.45) w głównym układzie współrzędnych tensor str. Naprawiamy macierz Su. Następnie aad = lp labsd. Według aad au oblicza się z równania aad = = biljд x ad. „Część ortogonalną” zniekształcenia można znaleźć na podstawie (2.49) id = nib sd.

Pozostałe gałęzie nie spełniają warunku (2,5 1). Udowodnijmy to stwierdzenie. Macierz x = A 5, f = X Mfs jest ortogonalna. Oznaczmy przez X j macierz odpowiadającą pierwszej macierzy s” (2.44), a przez X j macierz odpowiadającą dowolnemu innemu wyborowi macierzy sa (2.44). Suma „a + Aza według konstrukcji s” jest równa albo podwójna wartość jednej z przekątnych

Równe zero:

Układ ortogonalny, jeśli jest kompletny, może służyć jako podstawa przestrzeni. W takim przypadku rozkład dowolnego pierwiastka można obliczyć za pomocą wzorów: , gdzie .

Przypadek, w którym normę wszystkich elementów nazywamy układem ortonormalnym.

Ortogonalizacja

Podstawą jest dowolny kompletny, liniowo niezależny układ w przestrzeni skończenie wymiarowej. Z prostej bazy można zatem przejść do bazy ortonormalnej.

Rozkład ortogonalny

Rozkładając wektory przestrzeni wektorowej według podstawy ortonormalnej, obliczenie iloczynu skalarnego jest uproszczone: , gdzie i .

Zobacz też

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, co „układ ortogonalny” znajduje się w innych słownikach:

1) Och... Encyklopedia matematyczna

- (greckie ortogonios prostokątny) skończony lub przeliczalny układ funkcji należących do (rozdzielnej) przestrzeni Hilberta L2(a,b) (funkcje całkowalne kwadratowo) i spełniający warunki F tion g(x) tzw. ważenie O. s. f.,* oznacza... ... Encyklopedia fizyczna

Układ funkcji n(x)?, n=1, 2,..., określony na odcinku PRZEKSZTAŁCENIE ORTOGONALNE transformacja liniowa przestrzeni wektorów euklidesowych, z zachowaniem niezmienionych długości lub (co jest temu równoważne) iloczynu skalarnego wektorów. .. Wielki słownik encyklopedyczny

Układ funkcji (φn(x)), n = 1, 2, ..., zdefiniowany na przedziale [a, b] i spełniający warunek ortogonalności: dla k≠l, gdzie ρ(x) jest pewną funkcją zwana wagą. Na przykład układ trygonometryczny to 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... słownik encyklopedyczny

Układ funkcji ((фn(х)), n=1, 2, ..., zdefiniowany na przedziale [a, b] i spełniający ślad, warunek ortogonalności dla k nie jest równy l, gdzie p(x ) to pewna funkcja, zwana wagą.Na przykład układ trygonometryczny 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. z wagą... ... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Układ funkcji ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonalny o wadze ρ (x) na odcinku [a, b], tj. taki, że Przykłady. Układ trygonometryczny 1, cos nx , sin nx;n = 1, 2,..., O. s.f. o wadze 1 na odcinku [π, π] Bessel... Wielka encyklopedia radziecka

Współrzędne ortogonalne to takie, w których tensor metryczny ma postać diagonalną. gdzie d W ortogonalnych układach współrzędnych q = (q1, q², …, qd) powierzchnie współrzędnych są względem siebie prostopadłe. W szczególności w kartezjańskim układzie współrzędnych... ... Wikipedia

ortogonalny system wielokanałowy- - [L.G. Sumenko. Słownik angielsko-rosyjski dotyczący technologii informatycznych. M.: Przedsiębiorstwo Państwowe TsNIIS, 2003.] Tematyka informatyka w ogólności EN multipleks ortogonalny...

układ współrzędnych obrazu (fotogrametrycznego).- Prawy ortogonalny układ współrzędnych przestrzennych, utrwalony na obrazie fotogrametrycznym za pomocą obrazów znaków odniesienia. [GOST R 51833 2001] Tematyka: fotogrametria... Przewodnik tłumacza technicznego

system- System 4.48: Kombinacja współdziałających elementów zorganizowana w celu osiągnięcia jednego lub większej liczby określonych celów. Uwaga 1 System można uznać za produkt lub usługi, które zapewnia. Uwaga 2 W praktyce... ... Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

Taki podzbiór wektorów $\backslash left\backslash (\backslash varphi\_i\; \backslash right\backslash )\backslash subset\; H$że dowolne dwa z nich są ortogonalne, to znaczy ich iloczyn skalarny jest równy zero:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Układ ortogonalny, jeśli jest kompletny, może służyć jako podstawa przestrzeni. Ponadto rozkład dowolnego elementu $\backslash vec\; a$ można obliczyć korzystając ze wzorów: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, Gdzie $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Przypadek, gdy norma wszystkich elementów $||\backslash varphi\_i||=1$, nazywany jest układem ortonormalnym.

Ortogonalizacja

Podstawą jest dowolny kompletny, liniowo niezależny układ w przestrzeni skończenie wymiarowej. Z prostej bazy można zatem przejść do bazy ortonormalnej.

Rozkład ortogonalny

Rozkładając wektory przestrzeni wektorowej według podstawy ortonormalnej, obliczenie iloczynu skalarnego jest uproszczone: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, Gdzie $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$ I $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

Zobacz też

Napisz recenzję o artykule "Układ ortogonalny"

Fragment charakteryzujący układ ortogonalny

Jeśli wybierzemy na płaszczyźnie dowolne dwa wzajemnie prostopadłe wektory o jednostkowej długości (ryc. 7), to dowolny wektor w tej samej płaszczyźnie można rozwinąć w kierunkach tych dwóch wektorów, tj. przedstawić w postaci

gdzie są liczby równe rzutom wektora na kierunki osi.Ponieważ rzut na oś jest równy iloczynowi długości i cosinusa kąta z osią, to, przypominając definicję iloczynu skalarnego , możemy pisać

Podobnie, jeśli w przestrzeni trójwymiarowej wybierzemy dowolne trzy wzajemnie prostopadłe wektory o jednostkowej długości, to dowolny wektor w tej przestrzeni można przedstawić jako

W przestrzeni Hilberta można rozważać także układy parami wektorów ortogonalnych tej przestrzeni, czyli funkcje

Takie układy funkcji nazywane są ortogonalnymi układami funkcji i odgrywają ważną rolę w analizie. Można je znaleźć w różnorodnych zagadnieniach fizyki matematycznej, równaniach całkowych, obliczeniach przybliżonych, teorii funkcji zmiennej rzeczywistej itp. Uporządkowanie i ujednolicenie pojęć związanych z takimi układami było jedną z zachęt, które doprowadziły na początku XX wiek. w kierunku stworzenia ogólnej koncepcji przestrzeni Hilberta.

Podajmy dokładne definicje. Układ funkcjonalny

nazywa się ortogonalnym, jeśli dowolne dwie funkcje tego układu są względem siebie ortogonalne, tj. jeśli

W przestrzeni trójwymiarowej wymagaliśmy, aby długości wektorów układu były równe jedności. Przywołując definicję długości wektora widzimy, że w przypadku przestrzeni Hilberta wymóg ten zapisany jest następująco:

Układ funkcji spełniający wymagania (13) i (14) nazywa się ortogonalnym i znormalizowanym.

Podajmy przykłady takich układów funkcji.

1. Na przedziale rozważ sekwencję funkcji

Każde dwie funkcje tego ciągu są do siebie ortogonalne. Można to sprawdzić po prostu obliczając odpowiednie całki. Kwadrat długości wektora w przestrzeni Hilberta jest całką kwadratu funkcji. Zatem kwadraty długości wektorów sekwencji

istota całek

tj. sekwencja naszych wektorów jest ortogonalna, ale nie znormalizowana. Długość pierwszego wektora ciągu jest równa

reszta ma długość. Dzieląc każdy wektor przez jego długość, otrzymujemy ortogonalny i znormalizowany układ funkcji trygonometrycznych

Układ ten jest historycznie jednym z pierwszych i najważniejszych przykładów układów ortogonalnych. Powstała w pracach Eulera, D. Bernoulliego i d'Alemberta w związku z problemem drgań strun. Jej badania odegrały znaczącą rolę w opracowaniu całej analizy.

Pojawienie się ortogonalnego układu funkcji trygonometrycznych w związku z problemem drgań strun nie jest przypadkowe. Każde zagadnienie dotyczące małych oscylacji ośrodka prowadzi do pewnego układu funkcji ortogonalnych opisujących tzw. drgania naturalne danego układu (patrz § 4). Przykładowo w związku z problemem drgań kuli pojawiają się tzw. funkcje sferyczne, w związku z problemem drgań okrągłej membrany lub cylindra pojawiają się tzw. funkcje cylindryczne itp.

2. Możesz podać przykład ortogonalnego układu funkcji, którego każda funkcja jest wielomianem. Takim przykładem jest ciąg wielomianów Legendre’a

tj. istnieje (aż do stałego współczynnika) pochodna rzędu . Zapiszmy kilka pierwszych wielomianów tego ciągu:

Jest oczywiste, że w ogóle istnieje wielomian stopnia. Pozostawiamy czytelnikowi, aby przekonał się, że te wielomiany reprezentują ciąg ortogonalny na przedziale

Ogólną teorię wielomianów ortogonalnych (tzw. wielomianów ortogonalnych z wagą) opracował wybitny rosyjski matematyk P. L. Czebyszew w drugiej połowie XIX wieku.

Rozwinięcie w ortogonalne układy funkcji. Podobnie jak w przestrzeni trójwymiarowej, każdy wektor może być reprezentowany

jako kombinacja liniowa trzech parami ortogonalnych wektorów o jednostkowej długości

w przestrzeni funkcyjnej pojawia się problem rozwinięcia dowolnej funkcji w szereg w ortogonalnym i znormalizowanym układzie funkcji, czyli przedstawienia funkcji w postaci

W tym przypadku zbieżność szeregu (15) do funkcji rozumiana jest w sensie odległości między elementami w przestrzeni Hilberta. Oznacza to, że pierwiastek średniokwadratowy odchylenia sumy częściowej szeregu od funkcji dąży do zera jako , tj.

Tę zbieżność nazywa się zwykle „średnią konwergencją”.

Rozszerzenia w zakresie pewnych układów funkcji ortogonalnych są często spotykane w analizie i są ważną metodą rozwiązywania problemów fizyki matematycznej. Na przykład, jeśli układ ortogonalny jest układem funkcji trygonometrycznych na przedziale

wówczas takie rozwinięcie jest klasycznym rozwinięciem funkcji w szereg trygonometryczny

Załóżmy, że rozwinięcie (15) jest możliwe dla dowolnej funkcji z przestrzeni Hilberta i znajdź współczynniki takiego rozwinięcia. Aby to zrobić, pomnóżmy skalarnie obie strony równości przez tę samą funkcję naszego układu. Otrzymamy równość

z czego, ze względu na fakt, że przy ustalaniu wartości współczynnika

Widzimy, że podobnie jak w zwykłej przestrzeni trójwymiarowej (patrz początek tej sekcji), współczynniki są równe rzutom wektora na kierunki wektorów.

Przypominając definicję iloczynu skalarnego, stwierdzamy, że współczynniki rozwinięcia funkcji w ortogonalnym i znormalizowanym układzie funkcji

określone wzorami

Jako przykład rozważ ortogonalny znormalizowany układ trygonometryczny funkcji podany powyżej:

Otrzymaliśmy wzór na obliczenie współczynników rozwinięcia funkcji w szereg trygonometryczny zakładając oczywiście, że rozwinięcie to jest możliwe.

Ustaliliśmy postać współczynników rozwinięcia (18) funkcji w ortogonalnym układzie funkcji przy założeniu, że takie rozwinięcie ma miejsce. Jednak nieskończony ortogonalny układ funkcji może nie wystarczyć, aby możliwe było rozwinięcie dowolnej funkcji z przestrzeni Hilberta. Aby takie rozwinięcie było możliwe, układ funkcji ortogonalnych musi spełniać dodatkowy warunek - tzw. warunek zupełności.

Ortogonalny układ funkcji nazywa się kompletnym, jeśli nie można do niego dodać jednej nieidentycznie zerowej funkcji ortogonalnej do wszystkich funkcji układu.

Łatwo jest podać przykład niekompletnego układu ortogonalnego. Aby to zrobić, weźmy jakiś układ ortogonalny, na przykład taki sam

układ funkcji trygonometrycznych i wyeliminować jedną z funkcji tego układu, na przykład Pozostały nieskończony układ funkcji

nadal będzie ortogonalny, oczywiście nie będzie pełny, ponieważ funkcja, którą wykluczyliśmy, jest ortogonalna do wszystkich funkcji układu.

Jeśli układ funkcji nie jest kompletny, to nie każdą funkcję z przestrzeni Hilberta można na niego rozwinąć. Rzeczywiście, jeśli spróbujemy rozwinąć w takim układzie funkcję zerową ortogonalną do wszystkich funkcji układu, to na mocy wzorów (18) wszystkie współczynniki będą równe zeru, natomiast funkcja nie będzie równa zeru.

Obowiązuje następujące twierdzenie: jeśli dany jest kompletny ortogonalny i znormalizowany układ funkcji w przestrzeni Hilberta, to dowolną funkcję można rozwinąć w szereg ze względu na funkcje tego układu

W tym przypadku współczynniki rozszerzalności są równe rzutom wektorów na elementy ortogonalnego układu znormalizowanego

Twierdzenie Pitagorasa w § 2 w przestrzeni Hilberta pozwala znaleźć interesującą zależność między współczynnikami a funkcją. Oznaczmy przez różnicę i sumę pierwszych wyrazów jej szeregu, tj.