Dowód niedostępnego i prostokątnego trapezu. Trapez

W tym artykule staramy się, jak to możliwe, aby w pełni odzwierciedlać właściwości trapezu. W szczególności porozmawiamy o ogólnych znakach i właściwościach trapezu, a także właściwości wpisanego trapezu i okręgu wpisane w trapez. Wpływa na właściwości niedostępnego i prostokątnego trapezu.

Przykład rozwiązania problemu przy użyciu uważanych właściwości pomoże Ci rozkładać się w miejscach w mojej głowie i lepiej pamiętać materiał.

Trapeze i all-all-wszystkie

Na początku jest krótko pamiętać, co jest trapezem i jakie inne koncepcje są z nim związane.

Tak więc trapez - czworobok z czworokąt, których dwie boki są równoległe do siebie (jest to fundament). A dwa nie są równoległe - są to boki.

W trapezie wysokość może być obniżona - prostopadła na tereny. Przeprowadzono środkowej linii i przekątnej. A także z dowolnego kąta trapezu możliwe jest przeprowadzenie wagi.

O różnych właściwościach związanych ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami, porozmawiamy teraz.

Właściwości diagonalnych trapezu

Aby być jaśniejszym podczas czytania, szkicuj się na arkuszu Acklace i spędzić w niej przekątną.

Jeśli znajdziesz środek każdej z przekątnych (oznaczamy te punkty x i t) i podłączyć je, okazuje się segment. Jedną z właściwości przekątnych trapezów jest fakt, że segment HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, oddzielając różnicę w bazach dla dwóch: Ht \u003d (a - b) / 2.
Przed nami cały ten sam trapezowy ACME. Przekątni przecinają się w punkcie O. Spójrzmy na trójkąty OO i IOC utworzone przez segmenty przekątnych wraz z zasadami trapezu. Te trójkąty są podobne. Trójkąty współczynników podobieńności K są wyrażone w stosunku do stosunku baz trapezu: k \u003d ae / km.
Stosunek obszarów trójkątów i IOC jest opisany przez współczynnik K2.
Cały ten sam trapez, tej samej przekątnej przecinają się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które przecinają przekątne utworzone razem z bokami trapezu. Obszar trójkątów AKO i EMO są równe - ich kwadraty są takie same.
Inna właściwość trapezu obejmuje budowę przekątnych. Więc jeśli kontynuujesz boki AK i mnie w kierunku mniejszej bazy, a następnie prędzej czy później będą przejść do pewnego punktu. Ponadto przez środek podstawek trapezu wydać bezpośrednie. Przecina fundamenty w punktach X i T.
Jeśli teraz rozszerzymy bezpośrednie HT, łączy się ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu, punkt, w którym kontynuacja boku i środka baz X i T.
Poprzez punkt przecięcia przekątnych prowadzimy segment, który łączy podstawę trapezu (t leży na mniejszej podstawie CM, X - na większym AE). Punkt przekątnej przecinania dzieli tego segmentu w następującym współczynniku: Następnie / oh \u003d km / ae.
A teraz przez punkt przekątnej przecięcia, przeprowadzamy równoległe podstawy trapezu (A i b) segmentu. Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Możesz znaleźć długość segmentu według formuły 2Ab / (A + B).

Właściwości środkowej linii

Środkowa linia w trapezie równolegle do jego podstaw.

Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, jeśli długości podstawy są złożone i podzielić je na pół: m \u003d (a + b) / 2.
Jeśli spędzasz przez obie zasady, trapez o dowolnym segmencie (na przykład wysokość), środkowa linia podzieli ją na dwie równe części.

Nieruchomość Trapez Bisector.

Wybierz kąt trapezu i Swivectris. Weźmy, na przykład, kąt naszego trapezowego ACME. Po wykonaniu konstrukcji możesz łatwo upewnić się, że waga jest odcięta z podstawy (lub jej kontynuację na wyjęciu z samej postaci) segment tej samej długości co bok.

Właściwości narożników trapezu

Co z dwoma parami sąsiednich z boku rogów, których nie wybrałeś, suma kątów w pary jest zawsze 180 0: α + β \u003d 180 0 i γ + δ \u003d 180 0.
Podłącz środek podstawy segmentu trapezowego TX. Teraz spójrz na rogi w bazach trapezu. Jeśli suma kątów w którymkolwiek z nich wynosi 90 0, długość segmentu TX jest łatwa do obliczenia na podstawie różnicy długości zasad, na pół: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Jeśli przez bok kąta trapezu do przeprowadzenia równoległych linii prostych, rozdzielają stronę kąta na segmentach proporcjonalnych.

Właściwości równowagi (równej) trapezu

W trapezie równowagi kąty są równe dowolnej z podstaw.
Teraz zbuduj trapez, aby sobie wyobrazić, o co chodzi. Spójrz uważnie na podstawie AE - górna część przeciwnej bazy M jest przewidywana do gatunku na linii prostej, która zawiera AE. Odległość od góry A do punktu projekcji wierzchołka M i średnia linia zrównoważonego trapezu jest równa.
Kilka słów o właściwości przekątnych w sprawiedliwym trapezie - ich długości są równe. Jak również te same kąty przechyłu tych przekątnych do podstawy trapezu.
Tylko o trapezie równowagi można opisać na obwodzie, ponieważ suma przeciwległych kątów czworokąt 180 0 jest dla tego warunkiem wstępnym.
Z poprzedniego akapitu, właściwość trapezu równowagi następuje - jeśli możesz opisać okrąg w pobliżu trapezu, jest to konieczne.
Z funkcji trapezu równowagi, wysokość przepływów trapezu: jeśli jego przekątna przecinają się pod kątem prostym, długość wysokości jest równa połowie ilości podstawy: h \u003d (a + b) / 2.
Ponownie, spędzić segment TX przez środek podstawy trapezu - w trapezie równowagi jest prostopadły do \u200b\u200bpodstaw. A jednocześnie TX - oś symetrii trapezu w promieniowaniu.
Tym razem pomiń do większej bazy (oznaczamy to a) wysokość odwrotnego wierzchołka trapezu. Okazuje się dwa segmenty. Długość jednej można znaleźć, jeśli długości podstawowe są składane i podzielone przez połowę: (A + b) / 2. Drugi otrzymamy, gdy z większej bazy, mniejsza i wynikowa różnica jest podzielona na dwa: (A - b) / 2.

Właściwości trapezu zawarte w kręgu

Raz chodziło o trapeza wpisane w okrąg, skupimy się na tym problemie. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj zaleca się również, aby nie być leniwy, aby wziąć ołówek do rąk i narysować coś o tym, co zostanie omówione poniżej. Więc zrozumiesz szybciej i lepiej pamiętasz.

Lokalizacja środka koła jest określona przez kąt nachylenia przekątnej trapezowej na bok. Na przykład przekątna może wyjść z wierzchołka trapezu pod kątem prostym na bok. W tym przypadku większą bazę przecina środek okręgu opisanego dokładnie w środku (R \u003d ½ae).
Przekątna i strona może wystąpić pod ostrym kątem - wtedy środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
Centrum opisanego kręgu może być poza trapezami, dla jego dużej podstawy, jeśli między przekątną trapezową a bokiem jest głupim kątem.
Kąt utworzony przez przekątną i dużą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest połową tego kątem centralnym, co odpowiada: Maj \u003d ½ m..
Krótko około dwóch sposobów na znalezienie promienia opisanego kręgu. Najpierw metoda: Spójrz uważnie na rysunku - co widzisz? Możesz łatwo zauważyć, że przekątna przełamuje trapez na dwa trójkąty. Promień można znaleźć przez stosunek boku trójkąta do zatoki przeciwnika przeciwnika, pomnożone przez dwa. Na przykład, R \u003d ae / 2 * sinam. Podobnie formuła może być pomalowana dla dowolnej z boków obu trójkątów.
Metoda drugiego: Znajdujemy promień opisanego kręgu przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R \u003d jestem * mnie * ae / 4 * s.

Właściwości trapezu opisane w pobliżu okręgu

Możesz wprowadzić obwód w trapezie, jeśli obserwuje się jeden warunek. Więcej o tym poniżej. A razem, ta kombinacja liczb zawiera wiele interesujących właściwości.

Jeśli krąg jest wpisany na trapez, długość linii środkowej można łatwo znaleźć, składając długość boków i dzieląc kwotę uzyskaną na pół: m \u003d (C + D) / 2.
Tapez ACME opisany w pobliżu obwodu, suma długości podstawowych jest równa sumie długości boków: AK + ME \u003d KM + AE.
Z tej właściwości podstawy trapezu oznacza odwrotną instrukcję: Krąg można wprowadzić do tego trapezu, którego suma zasad jest równa sumie boków.
Punkt dotykania okręgu o promieniu R, wpisany w trapez, przerywa bok przez dwa segmenty, zadzwońmy do nich a i b. Promień koła można obliczyć o wzorze: r \u003d √AB..
I jeszcze jedna nieruchomość. Aby nie zostać zdezorientowanym, ten przykład też się rysuje. Mamy starego trapezu akme, opisane w pobliżu kręgu. Przekrywa się ukośnie w punkcie O. Trójkąty AOK i boki utworzone przez kawałki przekątnych i boków są prostokątne.
Wysokość tych trójkątów, obniżone na hipotetach (to znaczy boków trapezu) zbiegły się z promieniem kółka wpisanego. I wysokość trapezu - pokrywa się o średnicy wpisanego okręgu.

Właściwości prostokątnego trapezu

Prostokątne połączenie trapezium, którego jeden z rogów jest bezpośredni. I jego właściwości wynikają z tej sytuacji.

Prostokątny trapez ma jedną z bocznych boków prostopadłych na tereny.
Wysokość i strona trapezu, przylegające do prostego rogu, są równe. Pozwala to obliczyć obszar prostokątnego trapezu (ogólna formuła S \u003d (a + b) * h / 2) Nie tylko przez wysokość, ale także przez bok boczny, przylegający do bezpośredniego rogu.
W przypadku prostokątnego trapezu ogólne właściwości przekątnej trapezu są istotne powyżej.

Dowody niektórych właściwości trapezu

Równość kątów na podstawie niedostępnego trapezu:

Prawdopodobnie już się domyśliłeś, że będzie ponownie potrzebować trapezowego Akme - narysuj równie zachowywanie trapecy. Wydaj z wierzchołka MT Prosty MT równolegle z bokiem AK (Mt || AK).

Uzyskany czworokątny AKMT - równoległobok (AK || Mt, km || AT). Od mnie \u003d ka \u003d Mt, Δ MTA jest przewodniczącym i met \u003d MTT.

AK ||. MT, MTA \u003d KAE, MET \u003d MTA \u003d KA.

Od miejsca AKM \u003d 180 0 - Met \u003d 180 0 - Kate \u003d kme.

co było do okazania

Teraz na podstawie własności równowagi trapezu (równość przekątnych), udowodniamy to akme trapez jest kondygnacyjny:

Zacznijmy, spędzimy bezpośrednio MX - MX || Ke. Dostajemy równoległobok KMCHCH (Base - MX || Ke i km || Ex).

ΔAMH jest odpadami, ponieważ am \u003d ke \u003d mx i max \u003d mea.

Mx ||. Ke, Kea \u003d Moss, Dlatego Maj \u003d Moss.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są równe sobie nawzajem, ponieważ Am \u003d Ke i AE - wspólna strona dwóch trójkątów. Jak również MOX \u003d Moss. Możemy stwierdzić, że AK \u003d IU, a zatem następuje i że Akme trapez jest odpadami.

Zadanie powtórzenia

Podstawa trapezowego ACME wynosi 9 cm i 21 cm, boczna strona 8 cm, tworzy kąt 150 0 z mniejszą podstawą. Wymagany jest znalezienie obszaru trapezu.

Roztwór: od góry, aby obniżyć wysokość do większej podstawy trapezu. I zacznijmy rozważyć rogi trapezu.

Kąty AEM i Kahn są jednostronne. A to oznacza, że \u200b\u200bdają 180 0 0. Dlatego Kan \u003d 30 0 (w oparciu o właściwości kątów trapezu).

Rozważmy teraz prostokątny ΔANc (przypuszczam, że ten moment jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Od niego znajdziemy wysokość trapezu KN - w trójkącie jest cebetorem, który leży naprzeciw kąta 30 0. Dlatego kn \u003d ½aw \u003d 4 cm.

Obszar trapezu znajduje się wzorem: S ACME \u003d (km + AE) * kN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Rzadki

Jeśli starannie i starannie studiowałeś ten artykuł, nie miałem ołówku ołówkiem w rękach rysowania trapezu dla wszystkich podanych właściwości i demontuj ich w praktyce, materiał miał być dobrze rozumiany.

Oczywiście istnieje wiele informacji tutaj, różnorodne i w miejscach, nawet mylące: nie jest tak trudne do mylizowania właściwości opisanego trapezu z napisami właściwościami. Ale sam upewniłeś się, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowe podsumowanie wszystkich wspólnych właściwości trapezeli. Jak również specyficzne właściwości i oznaki trapezów odizolowanych i prostokątnych. Są bardzo wygodne, aby przygotować się do kontroli i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link z przyjaciółmi!

wymagana jest witryna, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału odniesienia do oryginalnego źródła.

Sekcja zawiera zadania geometrii (planowanie sekcji) o trapezach. Jeśli nie znalazłeś rozwiązań zadania - napisz o tym na forum. Kurs z pewnością zostanie uzupełniony.

Trapez. Definicja, formuły i właściwości

The Trapezium (od Dr.-Greek. Τραπέιι - - "Tabela"; τράπεζα - "Tabela, Żywność") - czwarty, w której dokładnie jedna para przeciwnych stron jest równoległa.

Trapez jest quadicon, który ma równolegle równolegle.

Uwaga. W tym przypadku równoległobok jest prywatną literą trapezową.

Równoległe strony naprzeciwko są nazywane podstawami trapezu, a pozostałe dwa są bokiem.

Trapez to:

- wszechstronny ;

- równoważący;

- prostokątny

.
Czerwone i brązowe kwiaty wskazują boczne strony, zielony i niebieski - podstawę trapezu.

A - równość (konkurencyjna, równa) trapez
B - Prostokątny trapez
C - Wszechstronny trapez

W wszechstronnym trapezie wszystkie strony różnych długości i podstawa są równoległe.

Boki są równe, a podstawa jest równoległa.

U podstawy jest równoległe, jedna strona jest prostopadła do baz, a druga strona boczna jest skłonna do baz.

Właściwości trapezu.

Średni linia trapeza. równolegle do terenu i równa ich połowie
Wytnij łączenie środkowych przekątnychJest równa połowie różnicy w bazie i leży na linii środkowej. Jego długość
Równoległe linie proste przekraczające strony dowolnego kąta trapezów, odcięte z boku segmentów proporcjonalnych kąt (patrz Twierdzenie Falez)
Punkt przecięcia przekątnych trapezuPunkt przecięcia kontynuacji boków bocznych, a środek bazowych leży na jednej linii prostej (patrz także właściwości czworoboku)
Trójkąty leżące na terenie Trapezy, których wierzchołki są punktem przekątnej, są podobne. Stosunek obszarów takich trójkątów jest równy kwadratowi stosunku zasad trapezu
Trójkąty leżące na bokach Trapezy, których wierzchołki są punktem przecinania jego przekątnych są równe (równe w obszarze)
W trapezie. możesz wprowadzić kołoJeśli suma długości podstawowych trapezu jest równa sumie długości jego bocznych stron. Środkowa linia w tym przypadku jest równa sumie boku boków, podzielona przez 2 (ponieważ przeciętna linia trapezu jest równa podstawy podstawy)
Wytnij bazy równoległe. i przechodzące przez punkt przekątnej przecięcia, jest on podzielony przez ostatnie na pół i jest równa podwojonym produktowi zasad podzielonych przez ilość 2AB / (A + B) (wzula Burakowa)

Narożniki trapezu

Narożniki trapezu są ostre, proste i głupie.
Istnieje tylko dwa kąt prosto.

Prostokątny trapez ma dwa narożniki, a dwa inne są ostre i głupi. Inne typy trapezów to: dwa ostre narożniki i dwa głupie.

Głupie kąciki trapezu należą do mniejszych pod długością bazy i ostry - większy Baza.

Można rozważyć każdy trapez jak trainclektóry ma linię przekrojową równoległą do podstawy trójkąta.
Ważny. Należy pamiętać, że w ten sposób (dodatkowe trapeze do trójkąta) może rozwiązać pewne zadania na temat trapezu, a niektóre teoremy są udowodnione.

Jak znaleźć strony i ukośne trapez

Znalezienie boków i przekątnych trapezu są wykonane przy użyciu poniższych formuł:

Określone wzory stosują notowanie jak na rysunku.

a - mniej z zasad trapezu
b - Więcej z baz trapezu
C, d - strona
H 1 H 2 - Diagonal

Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa podwójnym produktowi podstawy trapezu plus suma kwadratów boku boków (wzula 2)

Wielobok - część samolotu ograniczona zamkniętą linią złamaną. Narożniki wielokątu są oznaczone punktami szczytów złamanych. Wierzchołki narożników wielokątnego i wierzchołków wielokątem są punkty zbieżne.

Definicja. Równoległobok jest czworobokiem, który ma przeciwne partie równolegle.

Właściwości równoległoboku

1. Partie przeciwne są równe.
Na rys. jedenaście Ab = Płyta CD; PNE. = OGŁOSZENIE.

2. przeciwległe kąty są równe (dwa ostre i dwa głupie kąt).
Na rys. 11 ∠. ZA. = ∠DO.; ∠B. = ∠RE..

3 przekątne (cięcia, łączące dwa przeciwne wierzchołki) przecinające się i punkt przecięcia jest podzielony na pół.

Na rys. 11 segmentów Ao. = OC.; Bo. = Od..

Definicja. Trapez jest czworobokiem, który ma dwie przeciwne strony równolegle, a dwa inne - nie.

Równoległe boki nazwano to basiniei dwie inne imprezy - bokiem.

Rodzaje trapezu.

1. Trapezgdzie boki nie są równe,
nazywa wszechstronny (Rys. 12).

2. Tapez, który ma boki, nazywane na równi (Rys. 13).

3. Trapez, nazywa się, że jedna strona jest prostym rogiem prostokątny (Rys. 14).

Segment łączący środkowe boki trapezu (rys. 15) nazywana jest środkowa linia trapezu ( Mn.). Środkowa linia trapezu jest równoległa do podstaw i jest równa pół pół.

Tapez można nazwać trójkąt ścięty (rys. 17), nazwiska trapezu są podobne do nazw trójkątów (trójkąty są wszechstronne, równe, prostokątne).

Kwadratowy równoległobok i trapez

Reguła. Kwadratowy pulgogram. Jest równy produktowi boku do wysokości przeprowadzonej do tej strony.

Trapez - Jest to czworobok posiadający dwie równoległe boki, które są podstawą i dwie równoległe boki, które są stronami bocznymi.

Również są takie nazwy równoważący lub równość.

- To jest trapez, który ma narożniki z boku prostych.

Elementy trapezu.

a, B - założenie trapezu (Równolegle b),

m, n - boczne boki trapez

d 1, D 2 - przekątna trapez

h wysokość trapez (segmentowe podstawy łączące i jednocześnie prostopadły do \u200b\u200bnich)

Mn - Środkowa linia (Wytnij łączące boki).

Kwadratowy trapez.

O połowę zasad A, B i wysokość H: S \u003d FRAC (A + B) (2) CDOT H
Przez środkową linię Mn i wysokość H: S \u003d MN CDOT H
Przez przekątne D 1, D2 i kąt (sin Varphi) między nimi: S \u003d frac (D_ (1) D_ (2) Sin Varphi) (2)

Właściwości trapezu.

Średni linia trapeza.

Środkowa linia Równolegle do przycisków równych pół pół półtora i oddziela każdego segmentu końcami, znajdującym się na bezpośrednim, które zawierają podstawy (na przykład wysokość figury) na pół:

MN ||. A, MN || b, Mn \u003d frac (A + b) (2)

Suma narożników trapezu

Suma narożników trapezuprzylegający z każdej strony, równej 180 ^ (Circ):

Alfa + beta \u003d 180 ^ (Circ)

Gamma + delta \u003d 180 ^ (Circ)

Trójkąt izometryczny trapez

IzometrycznyTo znaczy, mające równe obszary, są cięciami przekątnych i trójkątów AOB i Doc utworzone przez boczne strony.

Jak utworzone trójkąty trapezowe

Podobne trójkąty są AOD i COB, które są utworzone przez ich podstawy i segmenty przekątnych.

Trójkąt AOD \\ Triangle COB

Współczynnik podobieństwa. K znajduje się przy formule:

k \u003d frac (ad) (bc)

Ponadto stosunek obszarów tych trójkątów jest K ^ (2).

Stosunek długości segmentów i baz

Każdy segment łączący zasady i przechodzenie przez punkt przecinania przekątnych trapezu jest podzielony na ten punkt w stosunku do:

Frac (OX) (Oy) \u003d FRAC (BC) (AD)

Będzie to sprawiedliwe i na wysokość z samymi przekątnymi.

Segment łączący środek przekątnych trapezu jest równy połowie różnicy
Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i segmentów przekątnych do punktu ich skrzyżowania - jak
Trójkąty utworzone przez segmenty przekątnej trapezu, których boków leży na bocznych bokach trapezu - areometryczne (mają ten sam obszar)
Jeśli rozszerzysz boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, będą przejść w pewnym momencie z linią prostą łączącą środek baz
Wytnij łączenie podstawy trapezu i przechodzi przez punkt przekątnej przekątnej trapezu, dzieli ten punkt w proporcji równej stosunku podstaw tapezu
Wytnij, równoległe podstawy trapezu i wydane na przecięciu przekątnych, dzieli ten punkt na pół, a jej długość wynosi 2Ab / (A + B), gdzie A i B - podstawa trapezu

Obejze właściwości łączące środek przekątnych trapezu

Podłączyć środek przekątnych trapezu ABCD, w wyniku którego pojawia się segment LM.
Wytnij łączący środek przekątnych trapezu, leży na środkowej linii trapezu.

To cięte równoległy do \u200b\u200bpodstaw trapezu.

Długość segmentu łączącego środek przekątnej przekątnej jest równa wysokości jej baz.

Lm \u003d (ad - bc) / 2
lub
Lm \u003d (a-b) / 2

Właściwości trójkątów utworzonych przez przekątną trapezową

Trójkąty, które są utworzone przy terenie trapezu i punktu przecięcia przekątnych trapezu - są podobne.
Trójkąty BOC i AOD są podobne. Ponieważ kąty BOC i AOD są pionowe - są równe.
Kąty OCB i OAD są wewnętrzne kłodycze z równoległym reklamą Direct i BC (podstawa trapezu jest równoległa między sobą) a Dlatego Secant Direct AC, Dlatego są równe.
Kąty OBC i ODA są równe z tego samego powodu (leżące wewnętrzne zamknięcia).

Ponieważ wszystkie trzy kąt jednego trójkąta jest równe odpowiednie rogi innego trójkąta, wówczas te trójkąty są podobne.

Co następuje z tego?

Aby rozwiązać problemy geometrii, podobieństwo trójkątów jest używany w następujący sposób. Jeśli znamy długości długości dwóch istotnych elementów takich trójkątów, znajdziemy współczynnik podobieństwa (podzielić jedną rzecz). Od miejsca, w którym długość wszystkich innych elementów odpowiada sobie nawzajem dokładnie w tym samym znaczeniu.

Właściwości trójkątów leżących na boku i przekątnych trapezu

Rozważmy dwa trójkąty leżące na bocznych bokach trapezu AB i CD. Są to trójkąty AOB i COD. Pomimo faktu, że wielkość poszczególnych stron w tych trójkątach może być zupełnie inny, ale kwadrat trójkątów utworzonych przez boczne boki i punkt przecięcia przekątnych trapezu są równeOznacza to, że trójkąty są równe.

Jeśli rozszerzysz boki trapezu w kierunku mniejszej bazy, punkt przecięcia stron będzie pokrywa się z linią prostą, która przechodzi przez środek baz.

Tak więc każdy trapez można wypełnić do trójkąta. W którym:

Trójkąty utworzone przez podstawy trapezów o łącznej wierzchołku w punkcie przecięcia rozszerzonych boków bocznych są podobne
Bezpośredni, łączący środek podstawy trapezu, jest w tym samym czasie, zbudowany w średnim trójkącie

Obniżone właściwości łączące podstawę trapezu

Jeśli spędzasz segment, końce leży na podstawie trapezu, które leży w punkcie przekątnej trapezu (kN), a następnie stosunek składników swoich segmentów z boku podstawy do skrzyżowania punkt przekątnej (KO / ON) będzie równy stosunkowi podstawy trapezu (BC / AD).

KO / ON \u003d BC / AD

Ta właściwość wynika z podobieństwa odpowiednich trójkątów (patrz wyżej).

Wytnij właściwości, równolegle do baz trapezu

Jeśli spędzasz segment, równolegle podstawy trapezu i przechodzą przez punkt przecinania przekątnej trapezu, będzie miał następujące właściwości:

Określone cięcie (km) dzieli punkt przecięcia przekątnych trapezu na pół
Długość cięciaPrzechodząc przez punkt przekątnej przekątnej trapezu i równoległych zasad jest równy Km \u003d 2Ab / (A + b)

Formuły do \u200b\u200bznalezienia przekątnych

a, B. - założenie trapezu

pŁYTA CD. - boczne boki trapezu

d1 D2. - Diagonal trapez.

α β - kąty z większą podstawą

Formuły znalezienie przekątnych trapezu przez bazy, boczne boki i kąty u podstawy

Pierwsza grupa formuł (1-3) odzwierciedla jedną z głównych właściwości przekątnych trapezów:

1. Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów boku boku plus dwa razy produkt jego zasad. Ta właściwość przekątnych trapezu można udowodnić jako oddzielny twierdzenie

2 . Formuła ta otrzymuje się poprzez konwersję poprzedniej formuły. Kwadrat drugiej przekątnej jest przesadny przez oznakę równości, po czym pierwiastek kwadratowy jest ekstrahowany z lewej i prawej strony wyrażenia.

3 . Ta formuła do znalezienia długości przekątnej trapezu jest podobna do poprzedniego, z różnicą, że kolejna przekątna pozostaje w lewej części wyrażenia

Poniższa grupa formuł (4-5) jest podobna w znaczeniu i wyraża podobny stosunek.

Grupa formuł (6-7) umożliwia znalezienie przekątnej trapezu, jeśli znana jest większa podstawa trapezu, jedna strona i kąt u podstawy.

Formuły znalezienie przekątnych trapezu przez wysokość

Uwaga. W tej lekcji podano roztwór geometrii trapezów. Jeśli nie znalazłeś rozwiązania do zadania geometrii, jesteś zainteresowany - zadaj pytanie na forum.

Zadanie.
Po przekątnej trapezu ABCD (ad |

Decyzja.
Rozwiązanie tego zadania na ideologii jest absolutnie identyczne z poprzednimi zadaniami.

Trójkąty AOD i Boc są podobne w trzech rogach - AAD i Boc są pionowe, a pozostałe narożniki są parami, ponieważ są one utworzone przez przecięcie jednej prostej i dwóch równoległych linii prostych.

Ponieważ trójkąty są podobne, wszystkie ich wymiary geometryczne są między sobą, ponieważ geometrycznie rozmiary znane nam pod warunkiem zadania segmentów AO i OC. To znaczy

AO / OC \u003d AD / BC
9/6 \u003d 24 / bc
BC \u003d 24 * 6/9 \u003d 16

Odpowiedź: 16 cm

Zadanie .
W trapezie ABCD wiadomo, że ad \u003d 24, Sun \u003d 8, AC \u003d 13, BD \u003d 5√17. Znajdź kwadrat trapezu.

Decyzja .
Aby znaleźć wysokość trapezu ze szczytów mniejszej podstawy B i C, aby większyć dwie wysokości. Ponieważ trapez nie jest równy - wtedy oznaczamy długość AM \u003d A, długość KD \u003d B ( nie należy mylić z oznaczeniami w formule Szukasz obszaru trapezu). Ponieważ podstawa trapezu jest równoległa, a obniżamy dwie wysokości prostopadle do większej podstawy, a następnie MBCK jest prostokątem.

Więc
Ad \u003d am + bc + kd
A + 8 + B \u003d 24
A \u003d 16 - b

Trójkąty DBM i ACK są prostokątne, więc ich bezpośrednie kąty są utworzone przez wysokości trapezu. Oznacz wysokość trapezu przez H. Następnie przez twierdzenie Pitagora

H2 + (24 - A) 2 \u003d (5√17) 2
i
H2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Wziąć pod uwagę, że a \u003d 16 - b, a następnie w pierwszym równaniu
H2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
H 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Zastępujemy wartość kwadratu wysokości do drugiego równania uzyskanego na twierdzeniu Pitagorysu. Dostajemy:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 \u003d 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 \u003d -256
-64 - 16b - B2 + 576 - 48B + B 2 \u003d -256
-64B \u003d -768.
B \u003d 12.

Tak więc KD \u003d 12
Z
H2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
H \u003d 5.

Znajdź kwadrat trapezu przez jego wysokość i połowa terenów
gdzie b jest podstawą trapezu, h - wysokość trapezu
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2

Odpowiedź: Obszar trapezu wynosi 80 cm2.