Podstawowe operacje na zbiorach. Diagramy Eulera-Venna

Sekcje: Informatyka

1. Wstęp

Na zajęciach z Informatyki i ICT w szkole podstawowej i liceum poruszane są takie ważne tematy jak „Podstawy logiki” i „Wyszukiwanie informacji w Internecie”. Przy rozwiązywaniu określonego rodzaju problemu wygodnie jest używać okręgów Eulera (diagramy Eulera-Venna).

Odniesienie matematyczne. Diagramy Eulera-Venna są używane głównie w teorii mnogości jako schematyczne przedstawienie wszystkich możliwych przecięć kilku zbiorów. Ogólnie rzecz biorąc, reprezentują one wszystkie 2 n kombinacji n właściwości. Na przykład przy n=3 diagram Eulera-Venna jest zwykle przedstawiany jako trzy okręgi ze środkami w wierzchołkach trójkąta równobocznego i o tym samym promieniu, w przybliżeniu równym długości boku trójkąta.

2. Reprezentacja spójników logicznych w zapytaniach wyszukiwania

Studiując temat „Wyszukiwanie informacji w Internecie”, bierze się pod uwagę przykłady zapytań wykorzystujących spójniki logiczne o znaczeniu podobnym do spójników „i”, „lub” języka rosyjskiego. Znaczenie spójników logicznych stanie się jaśniejsze, jeśli zilustruje się je za pomocą diagramu graficznego - okręgów Eulera (diagramy Eulera-Venna).

3. Powiązanie operacji logicznych z teorią mnogości

Diagramy Eulera-Venna można wykorzystać do wizualizacji związku między operacjami logicznymi a teorią mnogości. Do demonstracji możesz użyć slajdów w Aneks 1.

Operacje logiczne są określone przez ich tablice prawdy. W Załącznik 2 Szczegółowo omówiono ilustracje graficzne operacji logicznych wraz z ich tablicami prawdy. Wyjaśnijmy zasadę konstruowania diagramu w ogólnym przypadku. Na diagramie obszar koła o nazwie A ukazuje prawdziwość twierdzenia A (w teorii mnogości okrąg A jest oznaczeniem wszystkich elementów wchodzących w skład danego zbioru). W związku z tym obszar poza okręgiem wyświetla „fałszywą” wartość odpowiedniego stwierdzenia. Aby zrozumieć, w którym obszarze diagramu zostanie wyświetlona operacja logiczna, należy zacieniować tylko te obszary, w których wartości operacji logicznej na zbiorach A i B są równe „prawda”.

Na przykład wartość implikacji jest prawdziwa w trzech przypadkach (00, 01 i 11). Zacieniujmy kolejno: 1) obszar poza dwoma przecinającymi się okręgami, który odpowiada wartościom A=0, B=0; 2) obszar związany wyłącznie z okręgiem B (księżyc), który odpowiada wartościom A=0, B=1; 3) obszar związany zarówno z okręgiem A, jak i okręgiem B (przecięciem) - odpowiada wartościom A=1, B=1. Połączenie tych trzech obszarów będzie graficzną reprezentacją logicznego działania implikacji.

4. Wykorzystanie kręgów Eulera w dowodzie równości logicznych (praw)

W celu udowodnienia równości logicznych można posłużyć się metodą diagramu Eulera-Venna. Udowodnimy następującą równość ¬(АvВ) = ¬А&¬В (prawo de Morgana).

Aby wizualnie przedstawić lewą stronę równości, zróbmy to sekwencyjnie: zacienij oba koła (zastosuj alternatywę) kolorem szarym, następnie, aby wyświetlić inwersję, zacień obszar poza okręgami kolorem czarnym:

Ryc.3 Ryc.4

Aby wizualnie przedstawić prawą stronę równości, zróbmy to sekwencyjnie: zacień obszar wyświetlania inwersji (¬A) na szaro i analogicznie obszar ¬B również na szaro; następnie, aby wyświetlić koniunkcję, musisz wziąć przecięcie tych szarych obszarów (wynik nałożenia jest przedstawiony na czarno):

Ryc.5 Ryc.6 Ryc.7

Widzimy, że obszary wyświetlania lewej i prawej części są równe. co było do okazania

5. Zadania w formacie egzaminu państwowego i jednolitego egzaminu państwowego na temat: „Wyszukiwanie informacji w Internecie”

Zadanie nr 18 z wersji demonstracyjnej GIA 2013.

Tabela przedstawia zapytania kierowane do serwera wyszukiwania. Dla każdego żądania wskazany jest jego kod - odpowiednia litera od A do G. Ułóż kody żądania od lewej do prawej w kolejności malejąco liczba stron, które wyszukiwarka znajdzie dla każdego żądania.

Dla każdego zapytania zbudujemy diagram Eulera-Venna:

Odpowiedź: VAGB.

Zadanie B12 z wersji demonstracyjnej egzaminu Unified State Exam 2013.

Tabela pokazuje zapytania i liczbę znalezionych stron dla określonego segmentu Internetu.

Ile stron (w tysiącach) zostanie znalezionych dla zapytania? Niszczyciel?

Uważa się, że wszystkie zapytania były wykonywane niemal jednocześnie, tak że zbiór stron zawierających wszystkie wyszukiwane słowa nie uległ zmianie w trakcie realizacji zapytań.

Ф – liczba stron (w tysiącach) na żądanie Fregata;

E – liczba stron (w tysiącach) na żądanie Niszczyciel;

X – liczba stron (w tysiącach) dla zapytania, które wspomina Fregata I Nie wspomniany Niszczyciel;

Y – liczba stron (w tysiącach) dla zapytania, które wspomina Niszczyciel I Nie wspomniany Fregata.

Zbudujmy diagramy Eulera-Venna dla każdego zapytania:

Według schematów mamy:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Stąd znajdziemy Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Odpowiedź: 2200.

6. Rozwiązywanie logicznych problemów znaczących przy użyciu metody diagramów Eulera-Venna

W klasie jest 36 osób. Uczniowie tej klasy uczęszczają do kół matematyczno-fizycznych i chemicznych, przy czym do koła matematycznego uczęszcza 18 osób, do koła fizycznego 14 osób, do koła chemicznego 10 osób. Ponadto wiadomo, że do wszystkich trzech kół uczęszczają 2 osoby, czyli 8 osób uczęszczać na zajęcia matematyczno-fizyczne, 5 i matematyczno-chemiczne, 3 - zarówno fizyczne, jak i chemiczne.

Ilu uczniów w klasie nie należy do żadnych klubów?

Aby rozwiązać ten problem, bardzo wygodne i intuicyjne jest użycie kręgów Eulera.

Największy okrąg to zbiór wszystkich uczniów w klasie. Wewnątrz okręgu znajdują się trzy przecinające się zbiory: elementy zbioru matematycznego ( M), fizyczne ( F), chemiczny ( X) kółka.

Pozwalać MFC- wielu chłopaków, z których każdy uczęszcza do wszystkich trzech klubów. MF-X- dużo dzieciaków, z których każde uczęszcza do klubów matematyczno-fizycznych i Nie odwiedza chemię. ¬M¬FH- wielu chłopaków, z których każdy uczęszcza do klubu chemicznego, a nie uczęszcza do klubów fizyki i matematyki.

Zestawy wprowadzamy podobnie: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Wiadomo, że we wszystkich trzech kołach uczestniczą zatem po 2 osoby w regionie MFC Wprowadźmy cyfrę 2. Ponieważ Do kół matematycznych i fizycznych uczęszcza 8 osób, a wśród nich są już 2 osoby uczęszczające do wszystkich trzech kółek, to w regionie MF-X wejdźmy 6 osób (8-2). W podobny sposób określmy liczbę uczniów w pozostałych zbiorach:

Podsumujmy liczbę osób we wszystkich regionach: 7+6+3+2+4+1+5=28. W efekcie do klubów uczęszcza 28 osób z klasy.

Oznacza to, że 36-28 = 8 uczniów nie uczęszcza do klubów.

Po feriach wychowawczyni zapytała, które z dzieci chodzi do teatru, kina czy cyrku. Okazało się, że na 36 uczniów w klasie dwóch nigdy nie było w kinie. ani w teatrze, ani w cyrku. do kina poszło 25 osób, do teatru 11, do cyrku 17; zarówno w kinie, jak i w teatrze - 6; zarówno w kinie, jak iw cyrku - 10; oraz w teatrze i cyrku - 4.

Ile osób było w kinie, teatrze i cyrku?

Niech x będzie liczbą dzieci, które były w kinie, teatrze i cyrku.

Następnie możesz zbudować następujący diagram i policzyć liczbę facetów w każdym obszarze:

Zatem koła Eulera (diagramy Eulera-Venna) znajdują praktyczne zastosowanie w rozwiązywaniu problemów w formacie Unified State Examination i State Examination oraz w rozwiązywaniu znaczących problemów logicznych.

Literatura

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logika w informatyce. M.: Informatyka i Edukacja, 2006. 155 s.
2. LL. Bosowa. Arytmetyczne i logiczne podstawy komputerów. M.: Informatyka i Edukacja, 2000. 207 s.
3. LL. Bosova, A.Yu. Bosowa. Podręcznik. Informatyka i ICT dla klasy 8: BINOM. Laboratorium Wiedzy, 2012. 220 s.
4. LL. Bosova, A.Yu. Bosowa. Podręcznik. Informatyka i ICT dla klasy 9: BINOM. Laboratorium Wiedzy, 2012. 244 s.
5. Strona internetowa FIPI: http://www.fipi.ru/

Jeżeli myślisz, że nic nie wiesz o kręgach Eulera, to się mylisz. Tak naprawdę prawdopodobnie spotkałeś się z nimi nie raz, po prostu nie wiedziałeś, jak to się nazywa. Gdzie dokładnie? Schematy w formie kręgów Eulera stały się podstawą wielu popularnych memów internetowych (krążących w Internecie obrazów na określony temat).

Zastanówmy się razem, jakie to są kręgi, dlaczego tak się nazywają i dlaczego są tak wygodne w użyciu do rozwiązywania wielu problemów.

Pochodzenie terminu

to diagram geometryczny, który pomaga znaleźć i/lub uczynić bardziej przejrzystymi logiczne powiązania między zjawiskami i pojęciami. Pomaga także zobrazować związek pomiędzy zbiorem a jego częścią.

Nie jest to jeszcze zbyt jasne, prawda? Spójrz na ten obrazek:

Na zdjęciu różnorodność - wszystkie możliwe zabawki. Część zabawek to zestawy konstrukcyjne – zaznaczono je osobnym owalem. Jest to część dużego zestawu „zabawek” i jednocześnie osobny zestaw (w końcu zestawem konstrukcyjnym mogą być „Lego” lub prymitywne zestawy konstrukcyjne z klocków dla dzieci). Pewną część szerokiej gamy „zabawek” mogą stanowić zabawki nakręcane. Nie są konstruktorami, dlatego rysujemy dla nich osobny owal. Żółty owalny „nakręcany samochód” odnosi się zarówno do zestawu „zabawka”, jak i jest częścią mniejszego zestawu „nakręcaną zabawkę”. Dlatego jest przedstawiony wewnątrz obu owali jednocześnie.

No cóż, czy stało się jaśniejsze? Dlatego kręgi Eulera to metoda, która jasno pokazuje: lepiej raz zobaczyć, niż usłyszeć sto razy. Jego zaletą jest to, że przejrzystość ułatwia rozumowanie i pomaga szybciej i łatwiej uzyskać odpowiedź.

Autorem metody jest naukowiec Leonhard Euler (1707-1783). O diagramach nazwanych jego imieniem powiedział tak: „koła są odpowiednie, aby ułatwić nam myślenie”. Euler uważany jest za niemieckiego, szwajcarskiego, a nawet rosyjskiego matematyka, mechanika i fizyka. Faktem jest, że przez wiele lat pracował w Akademii Nauk w Petersburgu i wniósł znaczący wkład w rozwój nauki rosyjskiej.

Przed nim podobną zasadą konstruując swoje wnioski kierował się niemiecki matematyk i filozof Gottfried Leibniz.

Metoda Eulera zyskała zasłużone uznanie i popularność. A po nim wielu naukowców wykorzystało go w swojej pracy, a także zmodyfikowało na swój sposób. Na przykład czeski matematyk Bernard Bolzano zastosował tę samą metodę, ale z obwodami prostokątnymi.

Swój wkład wniósł także niemiecki matematyk Ernest Schroeder. Ale główne zasługi należą do Anglika Johna Venna. Był specjalistą w dziedzinie logiki i opublikował książkę „Logika symboliczna”, w której szczegółowo opisał swoją wersję metody (wykorzystywał głównie obrazy przecięć zbiorów).

Dzięki wkładowi Venna metoda ta nazywana jest nawet diagramami Venna lub diagramami Eulera-Venna.

Dlaczego potrzebne są kręgi Eulera?

Koła Eulera mają cel aplikacyjny, to znaczy za ich pomocą rozwiązywane są w praktyce problemy związane z sumą lub przecięciem zbiorów w matematyce, logice, zarządzaniu i nie tylko.

Jeśli mówimy o typach kręgów Eulera, to możemy je podzielić na takie, które opisują unifikację niektórych pojęć (na przykład związek między rodzajem a gatunkiem) - przyjrzeliśmy się im na przykładzie na początku artykułu.

A także te, które opisują przecięcie zbiorów według jakiejś cechy. Tą zasadą kierował się w swoich planach John Venn. I to właśnie leży u podstaw wielu popularnych memów w Internecie. Oto jeden przykład takich kręgów Eulera:

To zabawne, prawda? A co najważniejsze, wszystko od razu staje się jasne. Możesz poświęcić wiele słów na wyjaśnienie swojego punktu widzenia lub po prostu narysować prosty diagram, który natychmiast umieści wszystko na swoim miejscu.

Nawiasem mówiąc, jeśli nie możesz zdecydować, który zawód wybrać, spróbuj narysować diagram w postaci okręgów Eulera. Być może taki rysunek pomoże Ci w dokonaniu wyboru:

Te opcje, które będą na przecięciu wszystkich trzech kręgów, to zawód, który nie tylko będzie w stanie cię nakarmić, ale także sprawi ci przyjemność.

Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem kręgów Eulera

Spójrzmy na kilka przykładów problemów, które można rozwiązać za pomocą kręgów Eulera.

Tutaj na tej stronie - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina oferuje ciekawe i proste problemy, których rozwiązanie będzie wymagało metody Eulera. Korzystając z logiki i matematyki, przeanalizujemy jeden z nich.

Problem z ulubionymi kreskówkami

Uczniowie klas szóstych wypełnili ankietę, w której pytali o swoje ulubione kreskówki. Okazało się, że większości z nich podobały się „Królewna Śnieżka i siedmiu krasnoludków”, „SpongeBob Kanciastoporty” oraz „Wilk i cielę”. W klasie jest 38 uczniów. 21 uczniów lubi Królewnę Śnieżkę i siedmiu krasnoludków. Co więcej, troje z nich lubi także „Wilk i cielę”, sześć – „SpongeBob Kanciastoporty”, a jedno dziecko w równym stopniu lubi wszystkie trzy kreskówki. „Wilk i cielę” ma 13 fanów, z czego pięciu w ankiecie wymieniło dwa komiksy. Musimy ustalić, ilu szóstoklasistów lubi SpongeBoba Kanciastoportego.

Rozwiązanie:

Ponieważ zgodnie z warunkami zadania mamy trzy zbiory, rysujemy trzy okręgi. A ponieważ odpowiedzi chłopaków pokazują, że zestawy przecinają się ze sobą, rysunek będzie wyglądał następująco:

Pamiętamy, że zgodnie z warunkami zadania wśród fanów kreskówki „Wilk i cielę” pięciu chłopaków wybrało jednocześnie dwie kreskówki:

Okazało się, że:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – chłopaki wybrali tylko „Królewnę Śnieżkę i siedmiu krasnoludków”.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – chłopaki oglądają tylko „Wilka i cielę”.

Pozostaje tylko dowiedzieć się, ilu szóstoklasistów woli kreskówkę „SpongeBob SquarePants” od pozostałych dwóch opcji. Od całkowitej liczby uczniów odejmujemy wszystkich, którzy lubią pozostałe dwie kreskówki lub wybieramy kilka opcji:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – ludzie oglądają tylko „SpongeBob SquarePants”.

Teraz możemy bezpiecznie dodać wszystkie wynikowe liczby i dowiedzieć się, że:

kreskówkę „SpongeBob SquarePants” wybrało 8 + 2 + 1 + 6 = 17 osób. To jest odpowiedź na pytanie postawione w problemie.

Przyjrzyjmy się także zadanie, który w 2011 roku został poddany testowi demonstracyjnemu Unified State Examination z informatyki i ICT (źródło - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Warunki problemu:

W języku zapytań wyszukiwarki symbol „|” używany jest do oznaczenia logicznej operacji „LUB”, a symbol „&” służy do logicznej operacji „AND”.

Tabela pokazuje zapytania i liczbę znalezionych stron dla określonego segmentu Internetu.

Ile stron (w tysiącach) zostanie znalezionych dla zapytania? Krążownik i pancernik?

Zakłada się, że wszystkie pytania są wykonywane niemal jednocześnie, tak aby zbiór stron zawierających wszystkie wyszukiwane słowa nie zmieniał się w trakcie realizacji zapytań.

Rozwiązanie:

Za pomocą kręgów Eulera przedstawiamy warunki problemu. W tym przypadku używamy liczb 1, 2 i 3 do oznaczenia powstałych obszarów.

Na podstawie warunków zadania tworzymy równania:

1. Krążownik | Pancernik: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Krążownik: 1 + 2 = 4800
3. Pancernik: 2 + 3 = 4500

Znaleźć Krążownik i pancernik(oznaczony na rysunku jako obszar 2), podstaw równanie (2) do równania (1) i dowiedz się, że:

4800 + 3 = 7000, z czego otrzymujemy 3 = 2200.

Teraz możemy podstawić ten wynik do równania (3) i dowiedzieć się, że:

2 + 2200 = 4500, z czego 2 = 2300.

Odpowiedź: 2300 - liczba stron znalezionych na żądanie Krążownik i pancernik.

Jak widać, kręgi Eulera pomagają szybko i łatwo rozwiązać nawet dość skomplikowane lub po prostu mylące na pierwszy rzut oka problemy.

Wniosek

Myślę, że udało nam się Cię przekonać, że kręgi Eulera to nie tylko fajna i ciekawa rzecz, ale także bardzo przydatna metoda rozwiązywania problemów. I to nie tylko abstrakcyjne problemy na lekcjach w szkole, ale także problemy całkiem codzienne. Na przykład wybór przyszłego zawodu.

Zapewne zaciekawi Cię także fakt, że we współczesnej kulturze popularnej kręgi Eulera znajdują swoje odzwierciedlenie nie tylko w formie memów, ale także w popularnych serialach telewizyjnych. Takie jak „Teoria wielkiego podrywu” i „4Isla”.

Użyj tej przydatnej i wizualnej metody do rozwiązywania problemów. I pamiętaj, aby powiedzieć o tym swoim przyjaciołom i kolegom z klasy. W tym celu pod artykułem znajdują się specjalne przyciski.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Fabuła

Definicja 1

Leonhardowi Eulerowi zadano pytanie: czy spacerując po Królewcu można ominąć wszystkie mosty miasta, nie przechodząc dwukrotnie przez żaden z nich? W załączeniu plan miasta z siedmioma mostami.

W liście do znanego mu włoskiego matematyka Euler podał krótkie i piękne rozwiązanie problemu mostów w Królewcu: przy takim układzie problem jest nierozwiązalny. Jednocześnie dał do zrozumienia, że ​​pytanie wydało mu się interesujące, ponieważ... „Ani geometria, ani algebra nie wystarczą, aby go rozwiązać…”.

Rozwiązując wiele problemów, L. Euler przedstawiał zbiory za pomocą okręgów, stąd wzięła się ich nazwa „Kręgi Eulera”. Metodę tę stosował już wcześniej niemiecki filozof i matematyk Gottfried Leibniz, który stosował ją do geometrycznego wyjaśniania logicznych powiązań między pojęciami, częściej jednak posługiwał się diagramami liniowymi. Euler opracował tę metodę dość dokładnie. Metody graficzne stały się szczególnie sławne dzięki angielskiemu logikowi i filozofowi Johnowi Vennowi, który wprowadził diagramy Venna, a podobne diagramy nazywane są często Diagramy Eulera-Venna. Wykorzystuje się je w wielu dziedzinach, na przykład w teorii mnogości, teorii prawdopodobieństwa, logice, statystyce i informatyce.

Zasada diagramowania

Do tej pory diagramy Eulera-Venna były szeroko stosowane do schematycznego przedstawiania wszystkich możliwych przecięć kilku zbiorów. Diagramy pokazują wszystkie $2^n$ kombinacje n właściwości. Na przykład, gdy $n=3$ diagram przedstawia trzy okręgi o środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego i o tym samym promieniu, który jest w przybliżeniu równy długości boku trójkąta.

Operacje logiczne definiują tablice prawdy. Diagram przedstawia okrąg z nazwą zbioru, który reprezentuje, na przykład $A$. Obszar w środku okręgu $A$ będzie reprezentował prawdziwość wyrażenia $A$, a obszar poza okręgiem będzie wskazywał fałsz. Aby wyświetlić operację logiczną, zacienione są tylko te obszary, w których wartości operacji logicznej dla zbiorów $A$ i $B$ są prawdziwe.

Na przykład koniunkcja dwóch zbiorów $A$ i $B$ jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zbiory są prawdziwe. W tym przypadku na diagramie wynikiem koniunkcji $A$ i $B$ będzie pole w środku okręgów, które jednocześnie należy do zbioru $A$ i zbioru $B$ (przecięcie z zestawów).

Rysunek 1. Koniunkcja zbiorów $A$ i $B$

Używanie diagramów Eulera-Venna do udowadniania równości logicznych

Przyjrzyjmy się, jak metoda konstruowania diagramów Eulera-Venna jest wykorzystywana do udowadniania równości logicznych.

Udowodnijmy prawo De Morgana, które opisuje równość:

Dowód:

Rysunek 4. Inwersja $A$

Rysunek 5. Inwersja $B$

Rysunek 6. Koniunkcja inwersji $A$ i $B$

Po porównaniu obszaru wyświetlania lewej i prawej części widzimy, że są one równe. Z tego wynika ważność równości logicznej. Prawo De Morgana można udowodnić za pomocą diagramów Eulera-Venna.

Rozwiązywanie problemu wyszukiwania informacji w Internecie za pomocą diagramów Eulera-Venna

Aby wyszukiwać informacje w Internecie, wygodnie jest używać zapytań z spójnikami logicznymi, podobnymi do spójników „i”, „lub” w języku rosyjskim. Znaczenie spójników logicznych staje się jaśniejsze, jeśli zilustruje się je za pomocą diagramów Eulera-Venna.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono przykładowe zapytania do serwera wyszukiwania. Każde żądanie ma swój własny kod - literę od $A$ do $B$. Kody żądań należy uporządkować malejąco według liczby stron znalezionych dla każdego żądania.

Rysunek 7.

Rozwiązanie:

Zbudujmy diagram Eulera-Venna dla każdego żądania:

Cyfra 8.

Odpowiedź: BVA.

Rozwiązywanie logicznego, znaczącego problemu za pomocą diagramów Eulera-Venna

Przykład 2

W czasie ferii zimowych uczniowie klasy 2$ z 36$ nie poszli do kina, teatru ani do cyrku. Ludzie po 25 dolarów poszli do kina, po 11 dolarów do teatru, po 17 dolarów do cyrku; zarówno w kinie, jak iw teatrze – 6 dolarów; zarówno do kina, jak i do cyrku - 10 $; oraz do teatru i cyrku - 4 $.

Ile osób było w kinie, teatrze i cyrku?

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczbę dzieci, które były w kinie, teatrze i cyrku jako $x$.

Zbudujmy diagram i znajdźmy liczbę facetów w każdym obszarze:

Rysunek 9.

Nie byłem w teatrze, kinie ani cyrku – 2 dolary za osobę.

Zatem 36–2 USD = 34 USD osób. uczestniczył w wydarzeniach.

Do kina i teatru poszli ludzie za 6 dolarów, czyli tylko do kina i teatru (6 dolarów – x) dolarów.

Do kina i cyrku poszli ludzie za 10 dolarów, czyli tylko do kina i cyrku (10 dolarów - x$).

Ludzie za 4 dolary poszli do teatru i cyrku, co oznacza, że ​​tylko 4 dolary – x $ osób poszło do teatru i cyrku.

Do kina poszło 25 dolarów, co oznacza, że ​​25 dolarów - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ poszło do samego kina.

Podobnie tylko (1$+x$) ludzie poszli do teatru.

Tylko (3$+x$) ludzie poszli do cyrku.

Poszliśmy więc do teatru, kina i cyrku:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 $;

Te. tylko jedna osoba chodziła do teatru, kina i cyrku.

Federalna Agencja Edukacji

Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej

Badania Krajowe

Politechnika Tomska

Instytut Zasobów Naturalnych

Katedra VM

ABSTRAKCYJNY

Temat : « Diagram Eulera-Venna»

Wykonawca:

Studentka grupy 2U00

Kierownik:

Wprowadzenie…………………………………………………………………………….………..3

1. Z historii…………………………………………………………………………….….…..4

2. Diagram Eulera-Venna…………………………………………………………….…..4

3. Operacje na zbiorach diagramów Eulera-Venna………………….5

a) Stowarzyszenie……………………….. ……………………………….……7

b) Przecięcie, dodanie………………….……………………………..7

c) Strzałka Peirce’a, udar i różnica Schaeffera............................8

d) Różnica……………………………………………………………8

e) Różnica symetryczna i równoważność………………….…….9

Zakończenie…………………………………………………………………………………10

Referencje………………………………………………….………..11

Wstęp

Okręgi Eulera to diagram geometryczny, którego można użyć do przedstawienia relacji między podzbiorami w celu reprezentacji wizualnej. Koła zostały wynalezione przez Leonharda Eulera. Stosowane w matematyce, logice, zarządzaniu i innych obszarach stosowanych.

Ważnym szczególnym przypadkiem kręgów Eulera są diagramy Eulera-Venna, które przedstawiają wszystkie 2n kombinacji n właściwości, czyli skończoną algebrę Boole'a. Gdy n = 3, diagram Eulera-Venna jest zwykle przedstawiany jako trzy okręgi ze środkami w wierzchołkach trójkąta równobocznego i o tym samym promieniu, w przybliżeniu równym długości boku trójkąta.

Rozwiązując szereg problemów, Leonhard Euler wykorzystał pomysł przedstawiania zbiorów za pomocą okręgów. Jednak metodę tę stosował jeszcze przed Eulerem wybitny niemiecki filozof i matematyk (1646-1716). Leibniz wykorzystywał je do geometrycznej interpretacji logicznych powiązań między pojęciami, ale nadal wolał posługiwać się diagramami liniowymi.

Ale sam L. Euler opracował tę metodę dość dokładnie. Metodę koła Eulera zastosował także niemiecki matematyk Ernst Schröder (1841-1902) w swojej książce „Algebra logiki”. Metody graficzne osiągnęły szczególny rozkwit w twórczości angielskiego logika Johna Venna (1843-1923), który szczegółowo je opisał w wydanej w Londynie w 1881 roku książce „Logika symboliczna”. Dlatego takie diagramy nazywane są czasami diagramami Eulera-Venna.

1.Z historii

Leonarda Eulera(1707 - 1783, Petersburg, Imperium Rosyjskie) - matematyk, mechanik, fizyk. Adiunkt fizjologii, profesor fizyki, profesor matematyki wyższej, który wniósł znaczący wkład w rozwój matematyki, a także mechaniki, fizyki, astronomii i szeregu nauk stosowanych.

Euler jest autorem ponad 800 prac z zakresu analizy matematycznej, geometrii różniczkowej, teorii liczb, obliczeń przybliżonych, mechaniki niebieskiej, fizyki matematycznej, optyki, balistyki, przemysłu stoczniowego, teorii muzyki itp.

Prawie połowę życia spędził w Rosji, gdzie wniósł znaczący wkład w rozwój rosyjskiej nauki. W 1726 roku został zaproszony do pracy w Petersburgu, dokąd przeniósł się rok później. Od 1711 do 1741, a także od 1766 był akademikiem petersburskiej Akademii Nauk (w latach 1741-1766 pracował w Berlinie, pozostając jednocześnie członkiem honorowym Akademii Petersburskiej). Znał dobrze język rosyjski i publikował niektóre swoje prace (zwłaszcza podręczniki) w języku rosyjskim. Pierwsi rosyjscy matematycy akademiccy (S.K. Kotelnikow) i astronomowie (S.Ya. Rumowski) byli uczniami Eulera. Część jego potomków nadal mieszka w Rosji.

Johna Venna (1, logik angielski. Zajmował się logiką klasową, gdzie stworzył specjalny aparat graficzny (tzw. diagramy Venna), który znalazł zastosowanie w logiczno-matematycznej teorii „formalnych sieci neuronowych”. Venn jest odpowiedzialny za uzasadnieniem działań odwrotnych w rachunku logicznym J. Boole'a Głównym obszarem zainteresowań Johna była logika, który opublikował na ten temat trzy prace: The Logic of Chance, która wprowadziła interpretację częstotliwości lub częstościową teorię prawdopodobieństwa. 1866, wraz z którym w 1881 r. wprowadzono diagramy Venna; w 1889 r. wprowadzono logikę empiryczną, która dostarcza uzasadnienia dla operacji odwrotnych w logice Boole'a.

W matematyce rysunki w postaci okręgów przedstawiających zbiory są stosowane od bardzo dawna. Jednym z pierwszych, którzy zastosowali tę metodę, był wybitny niemiecki matematyk i filozof (1W jego przybliżonych szkicach odnaleziono rysunki z takimi okręgami. Następnie metodę tę dość dokładnie rozwinął Leonhard Euler. Przez wiele lat pracował w petersburskiej Akademii im. Nauki. Tym razem datuje się od jego słynnych „Listów do niemieckiej księżniczki”, napisanych w latach 1761–1768. W niektórych z tych „Listów…” Euler opowiada o swojej metodzie. Po Eulerze opracowano tę samą metodę przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano (1Dopiero w przeciwieństwie do Eulera rysował nie kołowe, ale prostokątne diagramy. Metodę Eulera z okręgami stosował także niemiecki matematyk Ernest Schroeder (1Metoda ta jest szeroko stosowana w książce „Algebra logiki”). metody graficzne osiągnęły swój największy rozkwit w pracach angielskiego logika Johna Venna (1C metoda ta osiągnęła największą kompletność) metodę tę opisał w książce „Logika symboliczna”, opublikowanej w Londynie w 1881 r. Na cześć Venna, zamiast okręgów Eulera odpowiednie rysunki nazywane są czasami diagramami Venna; w niektórych książkach nazywane są one również diagramami Eulera-Venna (lub okręgami).

2. Diagram Eulera-Venna

Pojęcia zbioru i podzbioru są używane przy definiowaniu wielu pojęć matematycznych, a zwłaszcza przy definicji figury geometrycznej. Zdefiniujmy płaszczyznę jako zbiór uniwersalny. Następnie możemy podać następującą definicję figury geometrycznej w planimetrii:

Figura geometryczna nazywa się dowolny zbiór punktów na płaszczyźnie. Aby wizualnie pokazać zbiory i relacje między nimi, narysuj figury geometryczne, które są ze sobą w tych relacjach. Takie obrazy zbiorów nazywane są diagramami Eulera – Venna. Diagramy Eulera – Venna wyjaśniają różne stwierdzenia dotyczące zbiorów. Na nich zbiór uniwersalny jest przedstawiony jako prostokąt, a jego podzbiory jako okręgi. Stosowane w matematyce, logice, zarządzaniu i innych obszarach stosowanych.

Diagram Eulera-Venna składa się z dużego prostokąta reprezentującego zbiór uniwersalny U, a wewnątrz niego - koła (lub inne zamknięte figury) reprezentujące zbiory. Kształty muszą przecinać się w najbardziej ogólny sposób wymagany przez problem i muszą być odpowiednio oznaczone. Punkty leżące w różnych obszarach diagramu można uznać za elementy odpowiednich zbiorów. Po skonstruowaniu diagramu możesz zacieniować pewne obszary, aby wskazać nowo utworzone zbiory.

Podstawowe operacje na zbiorach:

Różnica Unii Przecięcia

3.Operacje na zbiorach diagramów Eulera-Venna

Operacje na zbiorach są rozważane w celu uzyskania nowych zbiorów z istniejących.

Teraz bardziej szczegółowo z przykładami.

Niech będzie dany pewien zbiór obiektów, który po przeliczeniu będzie można oznaczyć jako

A = (1, 2, 4, 6) i B = (2, 3, 4, 8, 9)

okrągłe i białe przedmioty. Można zadzwonić do oryginalnego zestawu fundamentalny, a podzbiory A i B są po prostu zestawy.

W rezultacie otrzymujemy cztery klasy elementów:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - elementy nie mają żadnej z wymienionych właściwości,

C 1 = (1, 6) - elementy mają tylko właściwość A (okrągły),

C 2 = (3, 8, 9) - elementy mają tylko właściwość B (biały),

C 3 = (2, 4) - elementy posiadają jednocześnie dwie właściwości A i B.

Na ryc. 1.1. określone klasy są przedstawiane przy użyciu Diagramy Eulera-Venna.

Ryż. 1.1

Często diagramy nie mają pełnej ogólności, jak na przykład ten pokazany na ryc. 1.2. Na nim zbiór A jest już całkowicie zawarty w B. W tym przypadku stosuje się specjalny symbol włączenia (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Jeżeli jednocześnie spełnione są dwa warunki: A Ì B i B Ì A, to A = B, w tym przypadku mówią, że zbiory A i B całkowicie równoważne.

Ryż. 1.2

Po zdefiniowaniu czterech klas elementów i podaniu niezbędnych informacji o diagramach Eulera-Venna wprowadzamy operacje na zbiorach. Najpierw rozważmy operację wspomnienia.

a) Stowarzyszenie

Stowarzyszenie zestawy A = (1, 2, 4, 6) i B = (2, 3, 4, 8, 9)

nazwijmy zestaw

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

gdzie È jest symbolem sumy zbiorów. Zatem związek obejmuje trzy klasy elementów - C 1, C 2 i C 3, które na schemacie są zacienione (ryc. 1.3).

Logicznie rzecz biorąc, operację łączenia dwóch zbiorów można scharakteryzować słowami: element X należy do zbioru A lub zbioru B. Ponadto łącznik „lub” oznacza jednocześnie łącznik „i”. Fakt własności elementu X zbiór A jest oznaczony jako XО A. Zatem co X należy do A albo i B, wyrażone wzorem:

XÎ A È B = ( XÎ A) Ú ( XО B),

gdzie Ú jest symbolem łącznika logicznego lub, który nazywa się dysjunkcja.

b) Przecięcie, dodanie

Przekraczając zbiory A i B nazywamy zbiorem A Ç B zawierającym te elementy z A i B, które wchodzą jednocześnie w oba zbiory. Dla naszego przykładu numerycznego będziemy mieli:

ZA Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Diagram Eulera – Venna dla przecięcia pokazano na ryc. 1.4.

Co X należy jednocześnie do dwóch zbiorów A i B, można przedstawić za pomocą wyrażenia:

XÎ A Ç B = ( XÎ A) Ù ( XО B),

gdzie Ù jest symbolem łącznika logicznego „i”, który nazywa się spójnik.

Wyobraźmy sobie operację, w wyniku której powstają zacienione obszary C 1 i C 3, tworząc zestaw A (ryc. 1.5). Następnie kolejna operacja, która obejmie dwa inne obszary - C 0 i C 2 nieujęte w A, co oznacza się jako A(ryc. 1.6).

Jeśli połączymy zacienione obszary na obu diagramach, otrzymamy cały zacieniony zbiór 1; skrzyżowanie A i A da pusty zbiór 0, który nie zawiera ani jednego elementu:

A È A= 1, AÇ A = 0.

Pęczek A uzupełnia ustaw A na zbiór podstawowy V (lub 1); stąd nazwa: dodatkowy zestaw A lub dodatek jak operacja. Dopełnienie zmiennej logicznej X, tj. X (Nie- X), nazywany najczęściej negacja x.

Po wprowadzeniu operacji przecięcia i dodania wszystkie cztery obszary Ci diagram Eulera – Venna można wyrazić w następujący sposób:

C 0 = A Ç B, C 1 = A Ç B, C 2 = AÇ B, C 3 = A × B.

Łącząc odpowiednie obszary Ci Możesz sobie wyobrazić dowolną operację wielokrotną, w tym samą unię:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

Pokazuje to diagram Eulera-Venna dla implikacji (ryc. 1.10). częściowy włączenie zbioru A do zbioru B, od którego należy odróżnić pełny wtrącenia (ryc. 1.2).

Jeżeli jest napisane, że „elementy zbioru A wchodzą w skład zbioru B”, to dziedzina C 3 muszą być zacienione, a obszar C 1 z taką samą koniecznością należy pozostawić biały. Jeśli chodzi o obszary C 0 i C 1 mieści się w A, pamiętajmy, że nie mamy prawa pozostawić ich w kolorze białym, jednak nadal jesteśmy zobowiązani do obszarów, do których się zaliczają A, cień.

E) Symetryczna różnica i równoważność

Pozostaje podać jeszcze dwie wzajemnie uzupełniające się operacje - różnicę symetryczną i równoważność. Różnica symetryczna dwóch zbiorów A i B jest sumą dwóch różnic:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Równoważność wyznaczają te elementy zbiorów A i B, które są dla nich wspólne. Jednakże elementy, które nie znajdują się ani w A, ani w B, są również uważane za równoważne:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

Na ryc. Rysunki 1.11 i 1.12 przedstawiają cieniowanie diagramów Eulera-Venna.

Podsumowując, zauważamy, że różnica symetryczna ma kilka nazw: ścisła dysjunkcja, wykluczającą alternatywę, suma modulo dwa. Operację tę można wyrazić słowami - „albo A, albo B”, tj. jest to łącznik logiczny „lub”, ale bez zawartego w nim łącznika „i”.

Wniosek

Diagramy Eulera-Venna są geometrycznymi reprezentacjami zbiorów. Proste diagramy zapewniają wizualną reprezentację zbioru uniwersalnego U, a wewnątrz niego - koła (lub inne zamknięte figury) reprezentujące zbiory. Liczby przecinają się w najbardziej ogólnym przypadku wymaganym w zadaniu i odpowiadają obrazowi figuratywnemu. Punkty leżące w różnych obszarach diagramu można uznać za elementy odpowiednich zbiorów. Po skonstruowaniu diagramu możesz zacieniować pewne obszary, aby wskazać nowo utworzone zbiory. Dzięki temu możemy uzyskać najpełniejsze zrozumienie problemu i jego rozwiązania. Prostota diagramów Eulera-Venna pozwala na zastosowanie tej techniki w takich obszarach, jak matematyka, logika, zarządzanie i inne obszary stosowane.

Bibliografia

1. Słownik logiki. - M.: Tumanit, wyd. Centrum VLADOS. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. „Venn Diagram” (w języku angielskim) na stronie internetowej Wolfram MathWorld.

Fabuła

Definicja 1

Leonhardowi Eulerowi zadano pytanie: czy spacerując po Królewcu można ominąć wszystkie mosty miasta, nie przechodząc dwukrotnie przez żaden z nich? W załączeniu plan miasta z siedmioma mostami.

W liście do znanego mu włoskiego matematyka Euler podał krótkie i piękne rozwiązanie problemu mostów w Królewcu: przy takim układzie problem jest nierozwiązalny. Jednocześnie dał do zrozumienia, że ​​pytanie wydało mu się interesujące, ponieważ... „Ani geometria, ani algebra nie wystarczą, aby go rozwiązać…”.

Rozwiązując wiele problemów, L. Euler przedstawiał zbiory za pomocą okręgów, stąd wzięła się ich nazwa „Kręgi Eulera”. Metodę tę stosował już wcześniej niemiecki filozof i matematyk Gottfried Leibniz, który stosował ją do geometrycznego wyjaśniania logicznych powiązań między pojęciami, częściej jednak posługiwał się diagramami liniowymi. Euler opracował tę metodę dość dokładnie. Metody graficzne stały się szczególnie sławne dzięki angielskiemu logikowi i filozofowi Johnowi Vennowi, który wprowadził diagramy Venna, a podobne diagramy nazywane są często Diagramy Eulera-Venna. Wykorzystuje się je w wielu dziedzinach, na przykład w teorii mnogości, teorii prawdopodobieństwa, logice, statystyce i informatyce.

Zasada diagramowania

Do tej pory diagramy Eulera-Venna były szeroko stosowane do schematycznego przedstawiania wszystkich możliwych przecięć kilku zbiorów. Diagramy pokazują wszystkie $2^n$ kombinacje n właściwości. Na przykład, gdy $n=3$ diagram przedstawia trzy okręgi o środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego i o tym samym promieniu, który jest w przybliżeniu równy długości boku trójkąta.

Operacje logiczne definiują tablice prawdy. Diagram przedstawia okrąg z nazwą zbioru, który reprezentuje, na przykład $A$. Obszar w środku okręgu $A$ będzie reprezentował prawdziwość wyrażenia $A$, a obszar poza okręgiem będzie wskazywał fałsz. Aby wyświetlić operację logiczną, zacienione są tylko te obszary, w których wartości operacji logicznej dla zbiorów $A$ i $B$ są prawdziwe.

Na przykład koniunkcja dwóch zbiorów $A$ i $B$ jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zbiory są prawdziwe. W tym przypadku na diagramie wynikiem koniunkcji $A$ i $B$ będzie pole w środku okręgów, które jednocześnie należy do zbioru $A$ i zbioru $B$ (przecięcie z zestawów).

Rysunek 1. Koniunkcja zbiorów $A$ i $B$

Używanie diagramów Eulera-Venna do udowadniania równości logicznych

Przyjrzyjmy się, jak metoda konstruowania diagramów Eulera-Venna jest wykorzystywana do udowadniania równości logicznych.

Udowodnijmy prawo De Morgana, które opisuje równość:

Dowód:

Rysunek 4. Inwersja $A$

Rysunek 5. Inwersja $B$

Rysunek 6. Koniunkcja inwersji $A$ i $B$

Po porównaniu obszaru wyświetlania lewej i prawej części widzimy, że są one równe. Z tego wynika ważność równości logicznej. Prawo De Morgana można udowodnić za pomocą diagramów Eulera-Venna.

Rozwiązywanie problemu wyszukiwania informacji w Internecie za pomocą diagramów Eulera-Venna

Aby wyszukiwać informacje w Internecie, wygodnie jest używać zapytań z spójnikami logicznymi, podobnymi do spójników „i”, „lub” w języku rosyjskim. Znaczenie spójników logicznych staje się jaśniejsze, jeśli zilustruje się je za pomocą diagramów Eulera-Venna.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono przykładowe zapytania do serwera wyszukiwania. Każde żądanie ma swój własny kod - literę od $A$ do $B$. Kody żądań należy uporządkować malejąco według liczby stron znalezionych dla każdego żądania.

Rysunek 7.

Rozwiązanie:

Zbudujmy diagram Eulera-Venna dla każdego żądania:

Cyfra 8.

Odpowiedź: BVA.

Rozwiązywanie logicznego, znaczącego problemu za pomocą diagramów Eulera-Venna

Przykład 2

W czasie ferii zimowych uczniowie klasy 2$ z 36$ nie poszli do kina, teatru ani do cyrku. Ludzie po 25 dolarów poszli do kina, po 11 dolarów do teatru, po 17 dolarów do cyrku; zarówno w kinie, jak iw teatrze – 6 dolarów; zarówno do kina, jak i do cyrku - 10 $; oraz do teatru i cyrku - 4 $.

Ile osób było w kinie, teatrze i cyrku?

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczbę dzieci, które były w kinie, teatrze i cyrku jako $x$.

Zbudujmy diagram i znajdźmy liczbę facetów w każdym obszarze:

Rysunek 9.

Nie byłem w teatrze, kinie ani cyrku – 2 dolary za osobę.

Zatem 36–2 USD = 34 USD osób. uczestniczył w wydarzeniach.

Do kina i teatru poszli ludzie za 6 dolarów, czyli tylko do kina i teatru (6 dolarów – x) dolarów.

Do kina i cyrku poszli ludzie za 10 dolarów, czyli tylko do kina i cyrku (10 dolarów - x$).

Ludzie za 4 dolary poszli do teatru i cyrku, co oznacza, że ​​tylko 4 dolary – x $ osób poszło do teatru i cyrku.

Do kina poszło 25 dolarów, co oznacza, że ​​25 dolarów - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ poszło do samego kina.

Podobnie tylko (1$+x$) ludzie poszli do teatru.

Tylko (3$+x$) ludzie poszli do cyrku.

Poszliśmy więc do teatru, kina i cyrku:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 $;

Te. tylko jedna osoba chodziła do teatru, kina i cyrku.