Kalkulator obcięty stożek z zasadami offsetowymi. Jak zrobić skanowanie - wzór dla stożka lub stożka stożkowego określonych rozmiarów

Czasami pojawia się zadanie - wykonaj parasol ochronny do wydechu lub komina, deflektor wydechowy do wentylacji itp. Ale przed przystąpieniem do wytwarzania należy wykonać wzór (lub skanowanie) dla materiału. W Internecie znajdują się różne programy do obliczania takich zamiatania. Jednak zadanie jest tak łatwe do rozwiązania, że \u200b\u200bszybko obliczysz go za pomocą kalkulatora (w komputerze) niż wyszukasz, pobieranie i poradzę sobie z tymi programami.

Zacznijmy od prostej wersji - prostego skanowania stożkowego. Najłatwiejszym sposobem wyjaśnienia zasady obliczania wzoru na przykładzie.

Przypuśćmy, że musimy zrobić stożek o średnicy D cm i wysokości centymetry H. Jest absolutnie jasne, że koło z odcinanym segmentem będzie działać jako przedmiot obrabiany. Znane są dwa parametry - średnica i wysokość. Zgodnie z twierdzeniem Pythagore, obliczymy średnicę kręgu przedmiotu obrabianego (nie mylaj z promieniem gotowy stożek). Połowa średnicy (promień) i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. W związku z tym:

Teraz znamy promień obrabianego przedmiotu i może wyciąć okrąg.

Oblicz kąt sektora do cięcia z kręgu. Kłócimy się w następujący sposób: Średnica przedmiotu obrabianego wynosi 2R, oznacza to, że obwód jest równy PI * 2 * R - I.e. 6.28 * R. Oznacz jej L. obwód jest kompletny, tj. 360 stopni. A długość kręgu gotowego stożka jest równa p * d. Oznacz jej LM. Jest naturalny, mniej niż długość obwodu obrabianego przedmiotu. Musimy wyciąć segment o długości łuku równej różnicy między tymi długościami. Zastosuj zasadę relacji. Jeśli 360 stopni dał nam pełny obwód przedmiotu obrabianego, a następnie żądany kąt powinien dać długość kręgu gotowego stożka.

Z formuły stosunku uzyskujemy kąt kąta X. a sektor cięcia znajduje się odejmowanie 360 \u200b\u200b- H.

Z okrągłego pustego miejsca z promieniem R, musisz przeciąć sektor pod kątem (360). Nie zapomnij opuszczenia małego pasa materiału dla Allen (jeśli mocowanie stożkowego jest wąsem). Po podłączeniu stron do sektora cięcia otrzymujemy stożek określonego rozmiaru.

Na przykład: Potrzebujemy stożka do parasolu rury wydechowej o wysokości (H) 100 mm i średnicy (D) 250 mm. Zgodnie z formułą Pythagore otrzymujemy promień blokujący - 160 mm. I długość obwodu obwodu, odpowiednio 160 x 6.28 \u003d 1005 mm. W tym samym czasie długość obwodu pożądanego stożka wynosi 250 x 3,14 \u003d 785 mm.

Wtedy otrzymujemy, że stosunek kątów będzie: 785/1005 x 360 \u003d 281 stopni. W związku z tym sektor 360 - 281 \u003d 79 stopni powinien zostać wycięty.

Obliczanie wzoru obrabianego przedmiotu na stożek ścięty.

Taki szczegół jest potrzebny w produkcji adapterów z jednej średnicy do drugiej lub do Volpert-Grigorovicha lub Hangzhenkova. Są one używane do poprawy ciągu w kominie lub rury wentylacyjnej.

Zadanie jest nieznacznie skomplikowane przez fakt, że jesteśmy nieznanym wysokości całego stożka, ale tylko jego ścięta część. Ogólnie rzecz biorąc, oryginalne numery tutaj są trzy: wysokość ścięte stożka H, \u200b\u200bśrednica dolnego otworu (podstawy) D i średnica górnego otworu DM (na scenie całkowitego stożka). Ale uciekamy się do tych samych prostych konstrukcji matematycznych opartych na twierdzeniu Pitagora i podobieństwa.

W rzeczywistości jest oczywiste, że wartość (D-DM) / 2 (połowa różnicy średnic) będzie odnosić się do wysokości ściętego stożka n, a także promień podstawy do wysokości całego stożka, jakby nie był obcięty. Znajdujemy całkowitą wysokość (P) z tego współczynnika.

(D - DM) / 2H \u003d D / 2P

Stąd p \u003d d x h / (d-dm).

Teraz znam ogólną wysokość stożka, możemy zmniejszyć rozwiązanie do poprzedniego. Oblicz puste skanowanie, ponieważ było to dla całego stożka, a następnie "odjąć" od niego skanowanie jego górnych, niepotrzebnych części do nas. I możemy obliczyć proporcje obrabianego przedmiotu.

Dostajemy na twierdzeniu Pythagore Większym promieniem obrabianego przedmiotu - RZ. Jest to pierwiastek kwadratowy z suma kwadratów P i D / 2.

Mniejszy promień RM jest pierwiastkiem kwadratowym kwadratów (P-H) i DM / 2.

Długość obwodu naszego kęsa wynosi 2 x PI X RZ lub 6,28 x RZ. I długość obwodu podstawy stożka - PI XD lub 3,14 x D. Stosunek ich długości i daje stosunek narożników sektorów, jeśli zaakceptujemy, że pełny kąt w obrabianym jest 360 stopni .

Te. X / 360 \u003d 3,14 x D / 6,28 x

Stąd x \u003d 180 x D / RZ (jest to kąt, który należy pozostawić, aby uzyskać długość obwodu podstawowego). I konieczne jest cięcie 360 \u200b\u200b- x.

Na przykład: musimy wykonać obcięty stożek o wysokości 250 mm, podstawa średnicy wynosi 300 mm, średnica górnego otworu 200 mm.

Znajdujemy wysokość całkowitego stożka P: 300 x 250 / (300 - 200) \u003d 600 mm

Przez t. Pythagora Znajdź promień zewnętrzny obrabianego przedmiotu RZ: Kwadratowy kwadratowy od (300/2) ^ 2 + 6002 \u003d 618,5 mm

Tym samym twierdzeniem znajdujemy mniejszy promień RM: pierwiastek kwadratowy z (600 - 250) ^ 2 + (200/2) ^ 2 \u003d 364 mm.

Określ kąt sektora naszego przedmiotu obrabianego: 180 x 300/618,5 \u003d 87,3 stopni.

Na materiale czarne łuki o promieniu 618,5 mm, a następnie z tego samego środka - łuku z promieniem 364 mm. Kąt łuku może mieć około 90-100 stopni ujawnienia. Przeprowadzamy promienie z kątem ujawnienia 87,3 stopnia. Nasz obrabiany jest gotowy. Nie zapomnij zezwolić na dokowanie krawędzi, jeśli są podłączone do mosiądzu.

Powierzchnia powierzchni stożka jest płaską figurą otrzymaną przez połączenie powierzchni bocznej i podstawę stożka z jakąś płaszczyzną.

Opcje skanowania:

Skanowanie bezpośredniego stożka okrągłego

Skanowanie powierzchni bocznej bezpośredniego stożka okrągłego jest sektorem kołowym, którego promień jest równy długości kształtującej powierzchni stożkowej L, a kąt środkowy φ określa się o wzorze φ \u003d 360 * R / L, gdzie r jest promieniem obwodu podstawy stożka.

W wielu celach geometrii opisowej, korzystnym rozwiązaniem jest przybliżenie (wymiana) stożka wpisana w nim piramida i konstrukcja przybliżonego zamiatania, który jest wygodny w stosowaniu linii leżących na powierzchni stożkowej.

Algorytm budowy

1. Wprowadź poligonalną piramidę do stożkowej powierzchni. Im większe powierzchnie wypisanej piramidy, dokładniejszą korespondencję między faktycznym i przybliżonym skanowaniem.
2. Budujemy skanowanie bocznej powierzchni piramidy w sposób trójkątów. Punkty należące do podstawy stożka podłączyć gładką krzywą.

Przykład

Na poniższej figurze w bezpośrednim stożku okrągłym, prawidłowa heksagonalna piramida SABCDEF jest wpisana, a przybliżone skanowanie jego powierzchni bocznej składa się z sześciu istotnych trójkątów - twarzy piramidy.

Rozważ trójkąt 0 a 0 b 0. Długość jego boków S 0 A 0 i S 0 B 0 jest równa wynikowej powierzchni stożkowej L. Wartość 0 B 0 odpowiada długości A'B ". Aby zbudować trójkąt 0 A 0 B 0 w dowolnym miejscu rysunku, leżamy segment 0 A 0 \u003d L, po którym z punktów S 0 i A 0 przeprowadzamy obwód w promieniu S 0 B 0 \u003d L i 0 b 0 \u003d odpowiednio A'B. Podłącz punkt przekraczania kół b 0 z punktami A 0 i S 0.

Faces S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 Sabcdef Piramidy są podobne do trójkąta S 0 A 0 B 0.

Punkty A, B, C, D, E i F leżące na podstawie stożka łączącego gładką krzywą - łuk okręgu, którego promień jest równy L.

Skanowanie stożka ukośnego

Rozważ kolejność konstruowania skanowania bocznej powierzchni nachylonego stożka metodą przybliżenia (przybliżenie).

Algorytm

1. Wchodzimy do sześciokąt 123456 w obwodzie podstawowym. Łączymy pkt 1, 2, 3, 4, 5 i 6 do Vertex S. Pyramid S123456, skonstruowany w ten sposób, z pewnym stopniem przybliżenia jest zastąpienie stożkowym powierzchnia i jest używana w tej pojemności w dalszych budynkach.
2. Określamy wartości naturalne żebra piramid, stosując metodę obrotu wokół projekcji Direct: W przykładzie osi I jest używana, prostopadle do poziomej płaszczyzny występy i przechodzącej przez wierzchołek S.
   Tak więc, w wyniku obrotu żebra S5, jego nowa pozioma projekcja S'5 '1 zajmuje pozycję, w której jest równolegle do płaszczyzny czołowej π 2. Odpowiednio, S '' '5' '1 jest prawdziwą wartością S5.
3. Budujemy skanowanie powierzchni bocznej piramidy S123456, składające się z sześciu trójkątów: S 0 1 0 6 0, S 0 6 0 5 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3, S 0 3 0 2 , S 0 2 0 1 0. Konstrukcja każdego trójkąta jest wykonywana w trzech bokach. Na przykład, △ S 0 1 0 6 0 Długość S 0 1 0 \u003d S'1 '' 0, S 0 6 0 \u003d S'6 '' '1, 1 0 6 0 \u003d 1'6'.

Stopień zgodności przybliżonej ważnej ważnej zależy od liczby krawędzi wpisanej piramidy. Liczba twarzy jest wybrana w oparciu o wygodę przeczytania rysunku, wymagań dotyczących jego dokładności, obecność charakterystycznych punktów i linii do przeniesienia do skanowania.

Linia transferowa z powierzchni stożka do skanowania

Linia N, leżąc na powierzchni stożka, jest utworzona w wyniku przecięcia z jakąś płaszczyzną (rysunek poniżej). Rozważ algorytm do budowy linii N na skanowaniu.

Algorytm

1. Znajdujemy projekcję punktów A, B i C, w którym linia N krzyczy żebra wpisane do piramidy stożkowej S123456.
2. Określamy naturalną wartość segmentów SA, SB, SC metodą obrotowej wokół projekcji bezpośredniego. W przykładzie SA \u003d S '' 'A' ', SB \u003d S' '' B '' '1, SC \u003d S' '' 'C' '1.
3. Znajdujemy pozycję punktów A 0, B 0, C 0 na odpowiednich żebrach piramid, układających na skanowaniu segmentu S 0 A 0 \u003d s '' '' '' '' '' '' '' '' '', S 0 B 0 \u003d S "B '' '1, S 0 C 0 \u003d S'C' '1.
4. Podłącz punkty A 0, B 0, C 0 Gładka linia.

Skanuję stożek ścięty

Sposób konstruowania prostego okrągłego stożek opisanego poniżej opiera się na zasadzie podobieństwa.

Geometria, jak nauka powstała w starożytnym Egipcie i osiągnęła wysoki poziom rozwoju. Słynny filozof Platon założył Akademię, w której zwrócił szczególną uwagę na systematyzacji istniejącej wiedzy. Stożek jako jeden z figur geometrycznych jest po raz pierwszy wspomniany w dobrze znanej traktatu EUCLIDA "Początek". Euklid zapoznał się z dziełami Platona. Teraz niewiele osób wiedzą, że słowo "stożek" w grecku oznacza "szyszki sosnowe". Grecki euklid matematyk, który mieszkał w Aleksandrii, jest słusznie uznany za założyciel geometrycznej algebry. Starożytni Grecy nie tylko stali się następcom wiedzy o Egipcjan, ale także znacznie rozszerzył teorię.

Historia definicji stożka

Geometria, jak nauka pojawiła się z praktycznych wymagań budowlanych i obserwacji natury. Stopniowo doświadczona wiedza była uogólniona, a właściwości niektórych organów okazały się przez innych. Starożytni Grecy wprowadzili koncepcję aksjomów i dowodów. Axiom nazywany jest zatwierdzeniem uzyskanym praktycznie i nie wymagającym dowodów.

W swojej książce Euklid doprowadziła definicję stożka jako figura, która jest uzyskiwana przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z cewetów. Jest również właścicielem głównego twierdzenia określającego objętość stożka. I udowodniłem, że nie starożytna grecka matematyka książka Evdox.

Kolejnym matematykiem starożytnej Grecji, Apollonium Perga, który był uczętnym Euclida, opracowany i przedstawił teorię stożkowych powierzchni w swoich książkach. Jest właścicielem definicji powierzchni stożkowej i sekwencyjnej do niego. Uczniowie naszych dni studiują geometrię Euclidean, które pozostały głównymi twierdzeniami i definicjami z czasów starożytnych.

Główne definicje.

Bezpośredni stożek okrągły jest utworzony przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej kategorii. Jak widać, koncepcja stożka nie zmieniła się od Euclideusa.

Ponieważ trójkąt prostokątny AOS Hipotenuse podczas obrotu wokół kategorii OS tworzy powierzchnię boczną stożka, dlatego nazywa się formowaniem. Trójkąt roluje jednocześnie na wysokość stożka i jego osi. Punkt s staje się stożkiem wierzchołka. Dywan AO, opisujący okrąg (baza), zamienił się w promień stożka.

Jeśli na górze znajduje się płaszczyzna, a oś stożkowa na górze, widać, że wynikowy przekrój osiowy jest trójkąt łańcuchowy, w którym oś jest wysokością trójkąta.

gdzie DO. - Obwód podstawowy l. - długość stożka formującego, R. - Promień podstawy.

Wzór obliczeń objętości stożkowych

Aby obliczyć objętość stożka używa następującego wzoru:

gdzie jest obszar podstawy stożka. Ponieważ podstawa jest koło, jego obszar jest obliczany w ten sposób:

Oznacza to:

gdzie v oznacza objętość stożka;

n oznacza liczbę równą 3.14;

R jest promieniem podstawy odpowiadającej segmencie AO na rysunku 1;

H jest wysokością równą segmencie systemu operacyjnego.

Obcięty stożek

Istnieje bezpośredni stożek okrągły. Jeśli płaszczyzna, prostopadła wysokość, odciąć górną część, to obcięty stożek jest. Dwie jego podstawy mają kształt okręgu z promieniem R1 i R2.

Jeśli stożkowy stożkowy jest utworzony przez obrót prostokątnego trójkąta, potem obcięty stożek - obrót prostokątnego trapezu wokół prostej strony.

Objętość ściętego stożka jest obliczana następującym wzorem:

V \u003d N * (R1 + R2 2 + R 1 * R2) * H / 3.

Stożek i jego samolot przekrój

Peru Starożytna grecka matematyka Apollonia Perga posiada teoretyczną pracę "stożkowych sekcji". Dzięki pracy w geometrii pojawiły się zakrzywione definicje: parabole, elipsy, hiperboles. Rozważ, gdzie jest stożek.

Weź bezpośredni stożek okrągły. Jeśli samolot przecina się prostopadle do osi, w kontekście utworzono koło. Gdy sekwencyjny przekroczy stożek pod kątem do osi, elipsy otrzymuje się w kontekście.

Płaszczyzna zabezpieczająca, prostopadła do podstawy i osi równoległa stożka, tworzy hiperboli na powierzchni. Płaszczyzna cięcia stożka pod kątem do podstawy i równoległego stycznego do stożka, tworzy krzywą na powierzchni zwanej parabola.

Rozwiązanie problemu

Nawet proste zadanie, jak zrobić wiadro pewnej kwoty, wymaga wiedzy. Na przykład, musisz obliczyć rozmiar wiadra, aby ma objętość 10 litrów.

V \u003d 10 L \u003d 10 dm 3;

Sweep Sweep ma formę schematycznie pokazaną na rysunku 3.

L - tworząc stożek.

Aby dowiedzieć się, że powierzchnia wiadra, która jest obliczana według następującej wzoru:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

konieczne jest obliczenie formowania. Stwierdzono, że od wielkości objętości V \u003d N * R1 + R22 + R 1 * R2) * H / 3.

Stąd h \u003d 3V / N * (R 1 2 + R2 2 + R 1 * R2).

Skrócony stożek jest utworzony przez obrót prostokątnego trapezu, w którym boczna boczna jest stożek formujący.

L 2 \u003d (R 2- R 1) 2 + H2.

Teraz mamy wszystkie dane do zbudowania rysunku wiadra.

Dlaczego wiadra ogniowe mają formę stożkową?

Kto zastanawiał się, dlaczego wiadra ogniowe wydają się być dziwną formą stożkową? I to nie jest takie. Okazuje się, że stożkowa wiadro podczas parzenia ognia ma wiele zalet nad zwykłą formą obcięty stożek.

Po pierwsze, jak się okazuje, wiadro pożarowe jest napełninik wodą i nie rozlewa się z przenoszeniem. Stożek, którego objętość jest czymś więcej niż zwykłym wiadrem, na raz umożliwia przeniesienie więcej wody.

Po drugie, woda z niego może być rozpryskiwania w większej odległości niż z zwykłego wiadra.

Po trzecie, jeśli stożkowa wiadro jest zły na ręce i wpada do ognia, a następnie całą wodę wlewa się na ostrość ognia.

Wszystkie wymienione czynniki pozwalają zaoszczędzić czas - główny czynnik podczas parowania ognia.

Praktyczne użycie

Uczniowie często podnoszą pytanie, dlaczego dowiedzieć się, jak obliczyć objętość różnych ciał geometrycznych, w tym stożka.

A projektanci inżynierów są stale napierani wymaganiem obliczania objętości stożkowych części części mechanizmów. Są to końcówki wiertła, części zamachów do obrotów i frezarskich. Forma stożka pozwoli wiertnicom wejść do materiału, bez konieczności początkowego znaku za pomocą specjalnego narzędzia.

Objętość stożka ma grupę piasku lub ziemi, pakowane na ziemię. W razie potrzeby przeprowadzanie prostych pomiarów, możliwe jest obliczenie jego objętości. Niektórzy będą powodować trudności jako pytanie, jak dowiedzieć się o promieniu i wysokości sterty piasku. Uzbrojony z centymetrem, mierzymy obwód Kholmik C. Zgodnie z formułą R \u003d C / 2N nauczysz się promienia. Rzucając linę (ruletkę) przez wierzchołek, znajdziemy długość formowania. I obliczyć wysokość twierdzenia Pitagora, a objętość nie będzie trudna. Oczywiście, to obliczenie jest przybliżone, ale pozwala na określenie, nie oszukał cię, przynosząc tonę piasku zamiast Kuby.

Niektóre budynki mają kształt ściętego stożka. Na przykład, bash TV Stankino zbliża się do formy stożka. Można go przesłać składającym się z dwóch stożków dostarczonych do siebie. Kopuła z rocznika zamków i katedr jest stożkiem, objętość, którego starożytny architekt obliczono z niesamowitą dokładnością.

Jeśli uważnie spojrzysz na otaczające przedmioty, wiele z nich jest szyszkami:

• wycieki spaliny do wylewania płynów;
• rządzony głośnik;
• stożki parkingowe;
• cień lampy;
• znajoma choinka;
• instrumenty muzyczne wiatru.

Jak widać z powyższych przykładów, możliwość obliczenia objętości stożka, jego powierzchnia jest konieczna w życiu zawodowym i codziennym. Mamy nadzieję, że artykuł przyjdzie ci pomóc.