Pozostajemy znajdziemy węzły. Algorytm EUCLIDA - znalezienie największego wspólnego dzielnika

Największy wspólny dzielnik (Węzeł) Dwie liczby zwane największą liczbą, do której oba liczby zostaną podzielone bez pozostałości.

Przeznaczenie: Węzeł (A; C).

PRZYKŁAD. Znajdujemy węzły liczb 4 i 6.

Numer 4 bez pozostałości dzieli się przez: 1, 2 i 4.
Numer 6 bez pozostałości jest podzielony na: 1, 2, 3 i 6.
Największym wspólnym dzielnikiem liczb 4 i 6 będzie numer 2.
Węzeł (4; 6) \u003d 2

Jest to prosty przykład. A co z dużymi liczbami, dla których konieczne jest znalezienie węzłów?

W takich przypadkach liczby są odrzucane do zwykłych czynników, po czym odnotowuje się te same mnożniki w obu rozszerzeniach - produkt zaznaczonych prostych mnożników i będzie głową.

PRZYKŁAD. Znajdziemy węzły liczb 81 i 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 węzła (81; 45) \u003d 3 · 3 = 9

W przypadkach, w których dwie liczby nie mają identycznych prostych mnożników, jedyną liczbą naturalną, która zostanie podzielona na takie numery, będzie 1. Kazy namijami o takiej liczbie \u003d 1. Na przykład: węzeł (7; 15) \u003d 1.

Co to jest NOK.

Numer A jest nazywany wielokrotność Numer, jeśli zostanie podzielony na pozostałość (skierowany). Na przykład 10 jest podzielony przez 5, dlatego 10 razy 5; 11 nie jest podzielony przez fokus na 5, dlatego 11 nie jest wiele 5.

Najmniejsza wspólna farba (NOC) dwóch liczb naturalnych nazywa się najmniejszą liczbą, wieloma tymi dwoma liczbami.

Przeznaczenie: NOK (A; B).

Zasada znalezienia NOK:

rozkłada obie liczby w prostych czynnikach, zwróć uwagę na te same proste mnożniki w obu rozkładach, jeśli istnieje;
produkt wszystkich prostych mnożników jednej z numerów (faktycznie, liczba) i wszystkich nie znaczyznach mnożników zrobią NOC.

PRZYKŁAD. Znajdujemy noc liczby 81 i 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 NOC (81; 45) \u003d 81 · 5 \u003d 405

405 jest najmniejszą wieloma liczbami 81 i 45: 405/81 \u003d 5; 405/45 \u003d 9.

Jeśli dwie liczby nie mają identycznych prostych mnożników, NOC dla takich liczb będzie równy produktowi tych liczb.

14 \u003d 2 · 7 15 \u003d 3 · 5 NOC (14; 15) \u003d 14 · 15 \u003d 210

Największym wspólnym dzielnikiem i najmniejszym ogólnym wielokrotnością to kluczowe koncepcje arytmetyczne, które pozwalają bez wysiłku, aby działać ze zwykłymi frakcjami. NOC i najczęściej używany do poszukiwania wspólnego mianownika kilku frakcji.

Podstawowe koncepcje

Divider Integer X jest kolejną liczbą całkowitą Y, która X jest podzielona bez pozostałości. Na przykład, dzielnik 4 wynosi 2 i 36 - 4, 6, 9. Wiele z całości X jest taką liczbą Y, która jest podzielona na x bez pozostałości. Na przykład 3 razy 15 i 6 - 12.

Dla każdej pary liczb możemy znaleźć ich wspólne dzielniki i wiele. Na przykład przez 6 i 9, łączna wielokrotność wynosi 18, a wspólny dzielnik - 3. Jest oczywiste, że dzielniki i wielokrotne pary mogą być nieco nieco, w trakcie obliczeń, największy dzielnik węzła i najmniejszy wiele NOK .

Najmniejszy dzielnik nie ma sensu, ponieważ dla dowolnej liczby jest zawsze jednostka. Największą wielokrotnością jest również bez znaczenia, ponieważ sekwencja wielokrotności pędzi do nieskończoności.

Znalezienie węzła.

Aby wyszukać największego wspólnego dzielnika, istnieje wiele metod, z których najbardziej znany:

sekwencyjne popiersieniach, wybór wspólnych dla pary i poszukiwania największych;
rozkład liczb dla czynników niepodzielnych;
algorytm EUCLIDA;
algorytm binarny.

Dziś w instytucjach edukacyjnych są najpopularniejszymi metodami rozkładu na prostych mnożnikach i algorytmu euklidu. Ten ostatni z kolei stosuje się w rozwiązywaniu równań diofantynu: Wyszukiwanie węzłów jest wymagane do przetestowania równania do zdolności do rozwiązania w liczbach całkowitych.

NOK.

Najmniejsza całkowita wielokrotność jest również określona przez spójne tętnienie lub rozkład niepodzielnych mnożników. Ponadto łatwo jest znaleźć NOC, jeśli największy dzielnik jest już zdefiniowany. Dla liczb X i Y, NOC i NOD są połączone następującym współczynnikiem:

NOK (x, y) \u003d x × y / węzeł (x, y).

Na przykład, jeśli skiną głową (15.18) \u003d 3, następnie NOK (15.18) \u003d 15 × 18/3 \u003d 90. Najbardziej oczywistym przykładem korzystania z NOC jest wyszukiwanie wspólnego mianownika, który jest najmniejszym wspólnym wieloma dla ułamki podane.

Wzajemnie proste numery

Jeśli para liczb nie ma wspólnych dzielników, taka para nazywana jest wzajemnie prosta. Węzeł takich par jest zawsze równy jednej i na podstawie podłączenia dzielników i wielu, NOC dla wzajemnie prosty jest równy ich pracy. Na przykład, numery 25 i 28 są wzajemnie proste, ponieważ nie mają wspólnych dzielników, a NOK (25, 28) \u003d 700, co odpowiada ich pracom. Dwie wszelkie niepodzielne liczby zawsze będą wzajemnie proste.

Kalkulator ogólnego dzielnika i wielu

Dzięki naszemu kalkulatorowi możesz obliczyć głową i NIC na dowolną liczbę liczb do wyboru. Zadania do obliczenia wspólnych dzielników i wielokrotności znajdują się w arytmetyce 5, stopień 6, ale NOD i NOC są kluczowymi koncepcjami matematyki i są stosowane w teorii liczb, planymetrii i algebry komunikacyjnej.

Przykłady z prawdziwego życia

Wspólne frakcje mianownika

Najmniejsza suma jest używana podczas wyszukiwania wspólnego mianownika kilku frakcji. Załóżmy, że w zadaniu arytmetycznym musisz podsumować 5 frakcji:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Aby dodać frakcje, wyrażenie musi zostać wprowadzone do wspólnego mianownika, który sprowadza się do zadania znalezienia NOC. Aby to zrobić, wybierz 5 liczb w kalkulatorze i wprowadź wartości mianowników do odpowiednich komórek. Program obliczy NOC (8, 9, 12, 15, 18) \u003d 360. Teraz konieczne jest obliczenie dodatkowych mnożników dla każdej frakcji, które są zdefiniowane jako stosunek NOC do mianownika. Tak więc dodatkowe mnożniki będą wyglądać:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Następnie mnożą wszystkie frakcje na odpowiednim dodatkowym czynnikiem i otrzymujemy:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Możemy łatwo podsumować takie frakcje i uzyskać wynik w postaci 159/360. Zmniejszamy frakcję 3 i zobaczymy ostateczną odpowiedź - 53/120.

Rozwiązanie równań diofictycznych liniowych

Równania diofanty liniowe są wyrażeniami formy AX + przez \u003d D. Jeśli stosunek D / Węzeł (A, B) jest liczbą całkowitą, równanie jest rozpuszczalne w liczbach całkowitych. Sprawdźmy parę równań dla rozwiązania całkowitego. Najpierw sprawdź równanie 150x + 8y \u003d 37. Za pomocą kalkulatora znajdujemy węzeł (150,8) \u003d 2. DELIM 37/2 \u003d 18,5. Numer nie jest w związku z tym nieważny, równanie nie ma korzeni liczb całkowitych.

Sprawdzamy równanie 1320x + 1760y \u003d 10120. Używamy kalkulatora, aby znaleźć węzeł (1320, 1760) \u003d 440. Podzielamy 10120/440 \u003d 23. W rezultacie otrzymujemy liczbę całkowitą, dlatego równanie diofanty jest rozpostalone w całym współczynnikom.

Wniosek

Węzły i NOC odgrywają dużą rolę w teorii liczb, a same koncepcje są szeroko stosowane w różnych dziedzinach matematyki. Użyj naszego kalkulatora, aby obliczyć największe dzielniki i najmniejszą wielokrotność dowolnej liczby.

Największy wspólny divisel

Definicja 2.

Jeśli numer naturalny A jest podzielony na naturalną liczbę $ B $, a następnie $ B $ nazywa się numerem Divider of $ A $, a liczba $ A $ A $ A $ A $ b $ b $.

Pozwól liczbom $ a $ b $ -Nutral. Numer $ C $ nazywany jest wspólnym dzielnikiem i za $ A $ a za $ b $.

Wiele wspólnych dzielników $ A $ A $ B $ jest oczywiście oczywiście, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być więcej niż $ za $. Oznacza to, że są największe wśród tych dzielników, które nazywane jest największym wspólnym dzielnikiem $ A $ A $ B $ B $ i pisze rekordy za jego oznaczenie:

$ Węzeł (a; b) lub d (a; b) $

Aby znaleźć największy wspólny rozdzielacz dwóch, potrzebuje numerów:

Znajdź produkt znalezionych numerów w kroku 2. Wynikowy numer będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1.

Znajdź węzły 121 $ i 132 $ $

242 USD \u003d 2 CDOT 11 CDOT 11 USD

132 USD \u003d 2 CDOT 2 CDOT 3 CDOT 11 $

Wybierz liczby, które są zawarte w rozkładzie tych liczb

242 USD \u003d 2 CDOT 11 CDOT 11 USD

132 USD \u003d 2 CDOT 2 CDOT 3 CDOT 11 $

Znajdź produkt znalezionych numerów w kroku 2. Numer został odebrany i będzie słynnym największym wspólnym dzielnikiem.

$ Węzeł \u003d 2 cdot 11 \u003d 22 $

Przykład 2.

Znajdź węzeł homorałów 63 $ i 81 $ $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:

Rozkłada liczby na prostych mnożnikach

63 USD \u003d 3 CDOT 3 CDOT 7 USD

$ 81 \u003d 3 CDOT 3 CDOT 3 CDOT 3 USD

Wybierz liczby, które są zawarte w rozkładu tych liczb

63 USD \u003d 3 CDOT 3 CDOT 7 USD

$ 81 \u003d 3 CDOT 3 CDOT 3 CDOT 3 USD

Znajdziemy produkt znalezionych liczb w kroku 2. Otrzymany numer i będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$ Węzeł \u003d 3 cdot 3 \u003d 9 $

Możliwe jest znalezienie węzła dwóch liczb w inny sposób, używając wielu dzielników liczb.

Przykład 3.

Znajdź numer węzła 48 $ i 60 $.

Decyzja:

Znajdujemy wiele dzielników numerów $ 48 $: $ left ((1,2,3.4.6,112,16,24,48) Prawo

Teraz znajdziemy wiele dzielników numeru $ 60 $: $ Left ((RM 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) Prawda

Znajdziemy przecięcie tych zestawów: $ Left ((Rm 1,2,3,4,6,12) Prawo) $ - ten zestaw określi zestaw wspólnych dzielników w wysokości 48 i 60 USD $. Największym elementem tego zestawu będzie liczba 12 $. Tak więc największym wspólnym dzielnikiem 48 $ i 60 $ $ wyniesie 12 $ $.

NOK.

Definicja 3.

Wspólne wiele liczb naturalnych $ A $ B $ B $ nazywany jest numerem naturalnym, który jest wielokrotnym i $ a $ b $ $.

Wspólne wielokrotne numery nazywane są liczbami, które są podzielone na źródło bez pozostałości. Na przykład tworzy 25 USD i 50 USD 50 USD za pomocą wspólnych wielu liczb 50,100,150,200 $ itp

Najmniejsze z całkowitej wielokrotności zostanie nazwane najmniejszą wspólną wielokrotnością i jest oznaczony przez NOC $ (a; b) $ k $ (a; b). $

Aby znaleźć NOC z dwóch liczb, potrzebujesz:

Numery wysyłki dla prostych czynników
Aby zapisać mnożniki w pierwszej liczbie i dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego i nie idą do pierwszego

Przykład 4.

Znalezienie numerów NOC 99 $ i 77 $ $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego

Numery wysyłki dla prostych czynników

99 USD \u003d 3 CDOT 3 CDOT 11 USD

Zapisać mnożniki w pierwszym

dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego i nie idą do pierwszego

Znajdź produkt znalezionych numerów w kroku 2. Numer został odebrany i będzie żądany najmniejszy

$ NOK \u003d 3 CDOT 3 CDOT 11 CDOT 7 \u003d 693 USD

Opracowanie list dzielników liczb jest często bardzo pracochłonnym zawodem. Jest sposób na znalezienie węzła zwanego algorytmem Euclidea.

Oświadczenia, na których założono algorytm Euklid:

Jeśli $ A $ a $ b $ - reprezentuje, a $ a \\ tvots B $, a następnie $ d (a; b) \u003d b $

Jeśli $ A $ A $ B $ - reprezentuje, że $ b

Za pomocą $ d (A; b) \u003d D (A-B; B) $, można konsekwentnie zredukować numery rozważane, dopóki nie zrobimy takiej pary liczb, które jeden z nich jest podzielony na inny. Wtedy mniejsze z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla numerów $ A $ i $ B $.

Właściwości NOD i NOK

Wszelkie wspólne liczby $ A $ i $ B $ jest podzielone na k $ (a; b) $
Jeśli $ a Vdots B $, a następnie do $ (a; b) \u003d a $

Jeśli do $ (a; b) \u003d k $ i $ M $ -Natural Nature, a następnie do $ (am; bm) \u003d kilometr

Jeśli $ D $ - Divider papieru za $ A $ A $ A $ B $, a następnie do ($ frac (a) (d); frac (b) (D) $) \u003d $ frac (k) (D) ) $

Jeśli $ a vdots c $ i $ b vdots c $, a następnie $ frac (ab) (c) $ - łącznie wiele liczb $ A $ a $ b $

Dla każdej liczby naturalnych $ A $ A $ A $ B $ Równość jest wykonywana

$ D (a; b) cdot do (a; b) \u003d ab $

Każdy wspólny dzielnik liczb $ A $ A $ B $ jest dzielnikiem numeru $ d (A; b) $

Największy wspólny divisel

Definicja 2.

Jeśli numer naturalny A jest podzielony na naturalną liczbę $ B $, a następnie $ B $ nazywa się numerem Divider of $ A $, a liczba $ A $ A $ A $ A $ b $ b $.

Pozwól liczbom $ a $ b $ -Nutral. Numer $ C $ nazywany jest wspólnym dzielnikiem i za $ A $ a za $ b $.

$ Węzeł (a; b) lub d (a; b) $

Aby znaleźć największy wspólny rozdzielacz dwóch, potrzebuje numerów:

Znajdź produkt znalezionych numerów w kroku 2. Wynikowy numer będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1.

Znajdź węzły 121 $ i 132 $ $

242 USD \u003d 2 CDOT 11 CDOT 11 USD

132 USD \u003d 2 CDOT 2 CDOT 3 CDOT 11 $

Wybierz liczby, które są zawarte w rozkładzie tych liczb

242 USD \u003d 2 CDOT 11 CDOT 11 USD

132 USD \u003d 2 CDOT 2 CDOT 3 CDOT 11 $

Znajdź produkt znalezionych numerów w kroku 2. Numer został odebrany i będzie słynnym największym wspólnym dzielnikiem.

$ Węzeł \u003d 2 cdot 11 \u003d 22 $

Przykład 2.

Znajdź węzeł homorałów 63 $ i 81 $ $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:

Rozkłada liczby na prostych mnożnikach

63 USD \u003d 3 CDOT 3 CDOT 7 USD

$ 81 \u003d 3 CDOT 3 CDOT 3 CDOT 3 USD

Wybierz liczby, które są zawarte w rozkładu tych liczb

63 USD \u003d 3 CDOT 3 CDOT 7 USD

$ 81 \u003d 3 CDOT 3 CDOT 3 CDOT 3 USD

Znajdziemy produkt znalezionych liczb w kroku 2. Otrzymany numer i będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$ Węzeł \u003d 3 cdot 3 \u003d 9 $

Możliwe jest znalezienie węzła dwóch liczb w inny sposób, używając wielu dzielników liczb.

Przykład 3.

Znajdź numer węzła 48 $ i 60 $.

Decyzja:

Znajdujemy wiele dzielników numerów $ 48 $: $ left ((1,2,3.4.6,112,16,24,48) Prawo

Teraz znajdziemy wiele dzielników numeru $ 60 $: $ Left ((RM 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) Prawda

NOK.

Definicja 3.

Wspólne wiele liczb naturalnych $ A $ B $ B $ nazywany jest numerem naturalnym, który jest wielokrotnym i $ a $ b $ $.

Najmniejsze z całkowitej wielokrotności zostanie nazwane najmniejszą wspólną wielokrotnością i jest oznaczony przez NOC $ (a; b) $ k $ (a; b). $

Aby znaleźć NOC z dwóch liczb, potrzebujesz:

Numery wysyłki dla prostych czynników
Aby zapisać mnożniki w pierwszej liczbie i dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego i nie idą do pierwszego

Przykład 4.

Znalezienie numerów NOC 99 $ i 77 $ $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego

Numery wysyłki dla prostych czynników

99 USD \u003d 3 CDOT 3 CDOT 11 USD

Zapisać mnożniki w pierwszym

dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego i nie idą do pierwszego

Znajdź produkt znalezionych numerów w kroku 2. Numer został odebrany i będzie żądany najmniejszy

$ NOK \u003d 3 CDOT 3 CDOT 11 CDOT 7 \u003d 693 USD

Opracowanie list dzielników liczb jest często bardzo pracochłonnym zawodem. Jest sposób na znalezienie węzła zwanego algorytmem Euclidea.

Oświadczenia, na których założono algorytm Euklid:

Jeśli $ A $ a $ b $ - reprezentuje, a $ a \\ tvots B $, a następnie $ d (a; b) \u003d b $

Jeśli $ A $ A $ B $ - reprezentuje, że $ b

Właściwości NOD i NOK

Wszelkie wspólne liczby $ A $ i $ B $ jest podzielone na k $ (a; b) $
Jeśli $ a Vdots B $, a następnie do $ (a; b) \u003d a $

Jeśli do $ (a; b) \u003d k $ i $ M $ -Natural Nature, a następnie do $ (am; bm) \u003d kilometr

Jeśli $ D $ - Divider papieru za $ A $ A $ A $ B $, a następnie do ($ frac (a) (d); frac (b) (D) $) \u003d $ frac (k) (D) ) $

Jeśli $ a vdots c $ i $ b vdots c $, a następnie $ frac (ab) (c) $ - łącznie wiele liczb $ A $ a $ b $

Dla każdej liczby naturalnych $ A $ A $ A $ B $ Równość jest wykonywana

$ D (a; b) cdot do (a; b) \u003d ab $

Każdy wspólny dzielnik liczb $ A $ A $ B $ jest dzielnikiem numeru $ d (A; b) $

Znaleźć najmniejszy wspólny ból (NOC) i największy wspólny divisel (NOD) Dwie liczby korzystają z naszego kalkulatora online:

Wpisz liczby: i
NOK:
Węzeł:

Określać

Wystarczy wpisać numery i uzyskać wynik.

Jak znaleźć dwie liczby NOK

Najmniejsza całkowita wielokrotność (NOK) Dwie lub więcej liczb to najmniejsza liczba, którą można podzielić na każdą z tych liczb bez pozostałości.

Aby znaleźć najmniejszą całkowitą wielokrotną (NOC) dwie liczby, można użyć następującego algorytmu (stopień 5):

Obie liczby (najpierw najwyższa liczba).
Porównaj wiele liczb z mniejszą liczbą mnożników. Wyróżniamy wszystkie mnożniki mniejszej liczby, które nie są bardziej.
Dodaj dedykowane mnożniki o mniejszej liczbie do wielu błędów.
Znajdę NOC, przeniesienie wielu mnożników otrzymanych w ust.

Przykład

Na przykład definiujemy numery NOC 8 i 22 .

1) Odblokuj proste czynniki:

2) Przydziel wszystkich mnożników 8, które nie są 22:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Dodaj wybranych mnożników 8 do mnożników 22.

NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2

4) Oblicz NOC:

NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2 \u003d 88

Jak znaleźć węzeł dwie liczby

Największy wspólny dzielnik (węzeł) Dwie lub więcej liczb jest największą naturalną liczbą całkowitą, na której liczby te można podzielić bez pozostałości.

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik (węzeł) dwóch liczb, należy najpierw rozkładać je na proste mnożniki. Następnie musisz przeznaczyć ogólne czynniki, które są również dostępne przy pierwszej liczbie i drugiej. Przenoszenie ich - będzie węzłem. Aby lepiej zrozumieć algorytm, rozważ przykład:

Przykład

Na przykład definiujemy węzły 20 i 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

Węzeł (20.30) = 2⋅5 = 10