Transformacja wyrażeń wymiernych. Transformacja wyrażeń wymiernych, rodzaje transformacji, przykłady Jak rozumieć transformację wyrażeń wymiernych

W artykule omówiono transformację wyrażeń wymiernych. Rozważ rodzaje wyrażeń wymiernych, ich przekształcenia, grupowania, uwzględnienie wspólnego czynnika w nawiasach. Nauczmy się, jak przedstawiać ułamkowe wyrażenia wymierne jako ułamki wymierne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicja i przykłady wyrażeń wymiernych

Definicja 1

Nazywa się wyrażenia składające się z liczb, zmiennych, nawiasów, stopni z operacjami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia z obecnością kreski ułamkowej racjonalne wyrażenia.

Na przykład mamy to 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 do 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Oznacza to, że są to wyrażenia, które nie mają podziału na wyrażenia ze zmiennymi. Naukę wyrażeń wymiernych rozpoczyna się od klasy 8, gdzie nazywa się je ułamkowymi wyrażeniami wymiernymi. Szczególną uwagę zwraca się na ułamki w liczniku, które przelicza się za pomocą reguł transformacji.

To pozwala nam przystąpić do transformacji ułamków wymiernych o dowolnej formie. Takie wyrażenie można uznać za wyrażenie z obecnością ułamków wymiernych i wyrażeń całkowitych ze znakami akcji.

Główne typy przekształceń wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne służą do wykonywania identycznych przekształceń, grupowania, redukcji podobnych, wykonywania innych operacji na liczbach. Celem takich wyrażeń jest uproszczenie.

Przykład 1

Konwertuj wyrażenie wymierne 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Rozwiązanie

Można zauważyć, że takim wymiernym wyrażeniem jest różnica 3 · x x · y - 1 i 2 · x x · y - 1 . Zauważ, że mają ten sam mianownik. Oznacza to, że redukcja podobnych terminów przybiera formę

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Odpowiedź: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Przykład 2

Wykonaj transformację 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Rozwiązanie

Początkowo wykonujemy działania w nawiasach 3 · x − x = 2 · x . To wyrażenie jest reprezentowane jako 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Dochodzimy do wyrażenia, które zawiera działania z jednym etapem, to znaczy ma dodawanie i odejmowanie.

Pozbądź się nawiasów, korzystając z właściwości dzielenia. Wtedy otrzymujemy, że 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Grupujemy czynniki liczbowe ze zmienną x, po czym możemy wykonywać operacje na potęgach. Rozumiemy to

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Odpowiedź: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Przykład 3

Przekształć wyrażenie w postaci x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Rozwiązanie

Najpierw przeliczmy licznik i mianownik. Następnie otrzymujemy wyrażenie w postaci (x (x + 3) - (3 x + 1)): 1 2 x 4 + 2, a najpierw wykonujemy działania w nawiasach. W liczniku wykonywane są akcje i grupowane są czynniki. Następnie otrzymujemy wyrażenie w postaci x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Przekształcamy wzór na różnicę kwadratów w liczniku i otrzymujemy to

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odpowiedź: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Reprezentacja jako ułamek wymierny

Ułamek algebraiczny najczęściej poddawany jest uproszczeniu podczas rozwiązywania. Każdy racjonalizm jest do tego doprowadzany na różne sposoby. Konieczne jest wykonanie wszystkich niezbędnych operacji na wielomianach, aby wyrażenie wymierne mogło ostatecznie dać ułamek wymierny.

Przykład 4

Wyraź jako ułamek wymierny a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Rozwiązanie

To wyrażenie można przedstawić jako 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Mnożenie odbywa się przede wszystkim według zasad.

Powinniśmy zacząć od mnożenia, a potem to otrzymamy

za 2 - 25 za + 3 1 za 2 + 5 za = za - 5 (za + 5) za + 3 1 za (za + 5) = za - 5 (za + 5) 1 ( za + 3) za (a + 5) = za - 5 (za + 3) za

Tworzymy reprezentację wyniku uzyskanego z oryginałem. Rozumiemy to

za + 5 za (a - 3) - za 2 - 25 za + 3 1 za 2 + 5 za = za + 5 za za - 3 - za - 5 za + 3 za

Teraz wykonajmy odejmowanie:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = za + 5 za + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = za 2 + 3 za + 5 za + 15 - (za 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Następnie jest oczywiste, że oryginalne wyrażenie przyjmie postać 16 a 2 - 9 .

Odpowiedź: za + 5 za (za - 3) - za 2 - 25 za + 3 1 za 2 + 5 za = 16 za 2 - 9 .

Przykład 5

Wyraź x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x jako ułamek wymierny.

Rozwiązanie

Podane wyrażenie zapisuje się jako ułamek zwykły, w którego liczniku znajduje się x x + 1 + 1, a w mianowniku 2 x - 1 1 + x. Należy dokonać przekształceń x x + 1 + 1 . Aby to zrobić, musisz dodać ułamek i liczbę. Otrzymujemy, że x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Wynika z tego, że x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Powstały ułamek można zapisać jako 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Po podzieleniu otrzymujemy ułamek wymierny formy

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Można to rozwiązać inaczej.

Zamiast dzielić przez 2 x - 1 1 + x, mnożymy przez odwrotność 1 + x 2 x - 1 . Stosując własność dystrybucji, otrzymujemy to

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Odpowiedź: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Lekcja i prezentacja na temat: „Transformacja wyrażeń wymiernych. Przykłady rozwiązywania problemów”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii i sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 8
Podręcznik do podręcznika Muravina G.K. Podręcznik do podręcznika Makarychev Yu.N.

Pojęcie wyrażenia racjonalnego

Pojęcie „wyrażenia racjonalnego” jest podobne do pojęcia „ułamka racjonalnego”. Wyrażenie jest również przedstawiane jako ułamek. Tylko w naszych licznikach nie są liczby, ale różnego rodzaju wyrażenia. Najczęściej jest to wielomian. Ułamek algebraiczny to wyrażenie ułamkowe składające się z liczb i zmiennych.

Rozwiązując wiele zadań w klasach podstawowych, po wykonaniu działań arytmetycznych, otrzymywaliśmy określone wartości liczbowe, najczęściej ułamki. Teraz po wykonaniu operacji otrzymamy ułamki algebraiczne. Chłopaki, pamiętajcie: aby uzyskać właściwą odpowiedź, musicie maksymalnie uprościć wyrażenie, z którym pracujecie. Należy uzyskać możliwie najmniejszy stopień; identyczne wyrażenia w licznikach i mianownikach należy skrócić; w przypadku wyrażeń, które można zwinąć, należy to zrobić. Oznacza to, że po wykonaniu szeregu działań powinniśmy otrzymać możliwie najprostszy ułamek algebraiczny.

Kolejność działań na wyrażeniach wymiernych

Procedura wykonywania operacji na wyrażeniach wymiernych jest taka sama jak w przypadku operacji arytmetycznych. Najpierw wykonywane są operacje na nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, potęgowanie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Udowodnić tożsamość oznacza pokazać, że dla wszystkich wartości zmiennych prawa i lewa strona są równe. Przykładów potwierdzających tożsamość jest mnóstwo.

Główne metody rozwiązywania tożsamości to:

Przekształć lewą stronę na równość z prawą.
Przekształć prawą stronę na równość z lewą.
Przekształcaj oddzielnie lewą i prawą stronę, aż do uzyskania tego samego wyrażenia.
Prawa strona jest odejmowana od lewej, a wynik powinien wynosić zero.

Transformacja wyrażeń wymiernych. Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1
Udowodnij tożsamość:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Rozwiązanie.
Oczywiście musimy przekształcić lewą stronę.
Najpierw zróbmy nawiasy:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

Należy spróbować maksymalnie wykorzystać wspólne mnożniki.
2) Przekształćmy wyrażenie, według którego dzielimy:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Wykonaj operację dzielenia:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Wykonaj operację dodawania:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Prawa i lewa część pasują. Zatem tożsamość została potwierdzona.
Chłopaki, rozwiązując ten przykład, potrzebowaliśmy znajomości wielu formuł i operacji. Widzimy, że po transformacji duże wyrażenie zamieniło się w zupełnie małe. Przy rozwiązywaniu prawie wszystkich problemów przekształcenia prowadzą zwykle do prostych wyrażeń.

Przykład 2
Uprość wyrażenie:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Rozwiązanie.
Zacznijmy od pierwszych nawiasów.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Przekształćmy drugie nawiasy.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Dokonajmy podziału.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Odpowiedź: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Przykład 3
Wykonaj następujące kroki:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Rozwiązanie.
Jak zawsze zacznij od nawiasów.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Teraz wykonajmy dzielenie.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Skorzystajmy z własności: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Wykonajmy operację odejmowania.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Jak powiedzieliśmy wcześniej, konieczne jest maksymalne uproszczenie ułamka.
Odpowiedź: $\frac(k)(k-4)$.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Udowodnij tożsamość:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Uprość wyrażenie:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Postępuj zgodnie z instrukcjami:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Na tej lekcji zostaną omówione podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach, a także przykłady przekształceń wyrażeń wymiernych. W tym temacie podsumowujemy tematy, które przestudiowaliśmy do tej pory. Przekształcenia wyrażeń wymiernych obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi ułamków algebraicznych, redukcję, rozkład na czynniki itp. W ramach lekcji przyjrzymy się, czym jest wyrażenie wymierne, a także przeanalizujemy przykłady ich transformacji .

Temat:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach

Definicja

racjonalna ekspresja to wyrażenie składające się z liczb, zmiennych, operacji arytmetycznych i potęgowania.

Rozważmy przykład wyrażenia wymiernego:

Szczególne przypadki wyrażeń wymiernych:

I stopień: ;

2. jednomian: ;

3. ułamek: .

Transformacja wyrażeń racjonalnych jest uproszczeniem wyrażenia wymiernego. Kolejność operacji przy konwersji wyrażeń wymiernych: najpierw w nawiasie znajdują się akcje, następnie operacje mnożenia (dzielenie), a na końcu operacje dodawania (odejmowanie).

Rozważmy kilka przykładów transformacji wyrażeń wymiernych.

Przykład 1

Rozwiązanie:

Rozwiążmy ten przykład krok po kroku. W pierwszej kolejności wykonywana jest akcja w nawiasach.

Odpowiedź:

Przykład 2

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 3

Rozwiązanie:

Odpowiedź: .

Notatka: być może na widok tego przykładu przyszedł ci do głowy pomysł: zmniejsz ułamek, zanim sprowadzisz go do wspólnego mianownika. Rzeczywiście jest to absolutnie poprawne: po pierwsze pożądane jest maksymalne uproszczenie wyrażenia, a następnie jego przekształcenie. Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład w drugi sposób.

Jak widać odpowiedź okazała się absolutnie podobna, ale rozwiązanie okazało się nieco prostsze.

W tej lekcji przyjrzeliśmy się Wyrażenia wymierne i ich przekształcenia, a także kilka konkretnych przykładów tych przekształceń.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra w ósmej klasie. - M.: Oświecenie, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. 5. - M.: Edukacja, 2010.

Ten artykuł jest o transformacja wyrażeń wymiernych, przeważnie ułamkowo wymierne, to jedno z kluczowych pytań na kursie algebry dla klas 8. Najpierw przypominamy, jakie wyrażenia nazywane są racjonalnymi. Następnie skupimy się na wykonywaniu standardowych przekształceń za pomocą wyrażeń wymiernych, takich jak grupowanie wyrazów, wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasów, redukowanie wyrazów podobnych itp. Na koniec nauczymy się przedstawiać ułamkowe wyrażenia wymierne jako ułamki wymierne.

Nawigacja strony.

Definicja i przykłady wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne to jeden z rodzajów wyrażeń, których uczy się na lekcjach algebry w szkole. Podajmy definicję.

Definicja.

Wyrażenia składające się z liczb, zmiennych, nawiasów, stopni z wykładnikami całkowitymi, połączonych znakami działań arytmetycznych +, −, · oraz:, gdzie dzielenie można wskazać kreską ułamkową, nazywane są racjonalne wyrażenia.

Oto kilka przykładów wyrażeń wymiernych: .

Wyrażenia racjonalne zaczynają być celowo studiowane w siódmej klasie. Ponadto w klasie 7 zapoznano się z podstawami pracy z tzw całe wyrażenia racjonalne, czyli z wyrażeniami wymiernymi, które nie zawierają podziału na wyrażenia ze zmiennymi. W tym celu konsekwentnie bada się jednomiany i wielomiany, a także zasady wykonywania z nimi działań. Cała ta wiedza ostatecznie pozwala na wykonanie transformacji wyrażeń całkowitych.

W klasie 8 przechodzą do badania wyrażeń wymiernych zawierających dzielenie przez wyrażenie ze zmiennymi, które nazywają się ułamkowe wyrażenia wymierne. W tym zakresie szczególną uwagę zwraca się na tzw ułamki racjonalne(nazywane również ułamki algebraiczne), czyli ułamki, których licznik i mianownik zawierają wielomiany. Dzięki temu ostatecznie możliwa jest transformacja ułamków wymiernych.

Nabyte umiejętności pozwalają przystąpić do transformacji wyrażeń wymiernych o dowolnej formie. Wyjaśnia to fakt, że każde wyrażenie wymierne można uznać za wyrażenie złożone z ułamków wymiernych i wyrażeń całkowitych połączonych znakami operacji arytmetycznych. Wiemy już, jak pracować z wyrażeniami całkowitymi i ułamkami algebraicznymi.

Główne typy przekształceń wyrażeń wymiernych

Za pomocą wyrażeń wymiernych można przeprowadzić dowolne podstawowe przekształcenie tożsamości, niezależnie od tego, czy jest to grupowanie terminów czy czynników, wprowadzanie podobnych terminów, wykonywanie operacji na liczbach itp. Zazwyczaj celem tych przekształceń jest racjonalne uproszczenie wyrażeń.

Przykład.

Rozwiązanie.

Oczywiste jest, że to racjonalne wyrażenie jest różnicą dwóch wyrażeń i , a wyrażenia te są podobne, ponieważ mają tę samą część dosłowną. W ten sposób możemy przeprowadzić redukcję podobnych terminów:

Odpowiedź:

Oczywiste jest, że dokonując przekształceń za pomocą wyrażeń wymiernych, podobnie jak w przypadku wszystkich innych wyrażeń, należy pozostać w ramach przyjętego porządku działań.

Przykład.

Przekształć wyrażenie racjonalne.

Rozwiązanie.

Wiemy, że akcje w nawiasach są wykonywane jako pierwsze. Dlatego najpierw przekształcamy wyrażenie w nawiasie: 3 x − x=2 x .

Teraz możesz zastąpić wynik oryginalnym wyrażeniem wymiernym: . Doszliśmy więc do wyrażenia zawierającego działania jednego etapu - dodawanie i mnożenie.

Pozbądźmy się nawiasów na końcu wyrażenia, stosując właściwość dzielenia przez iloczyn: .

Na koniec możemy pogrupować czynniki liczbowe i współczynniki x, a następnie wykonać odpowiednie operacje na liczbach i zastosować: .

To kończy transformację wyrażenia wymiernego i w rezultacie otrzymaliśmy jednomian.

Odpowiedź:

Przykład.

Przekształć wyrażenie wymierne .

Rozwiązanie.

Najpierw konwertujemy licznik i mianownik. Tę kolejność transformacji ułamków tłumaczy się faktem, że kreska ułamka jest zasadniczo innym oznaczeniem podziału, a pierwotne wyrażenie wymierne jest zasadniczo szczególną formą , a akcje w nawiasach są wykonywane jako pierwsze.

Zatem w liczniku wykonujemy operacje na wielomianach, najpierw mnożenie, potem odejmowanie, a w mianowniku grupujemy czynniki liczbowe i obliczamy ich iloczyn: .

Wyobraźmy sobie także licznik i mianownik powstałego ułamka jako iloczyn: nagle możliwe jest zmniejszenie ułamka algebraicznego. Aby to zrobić, w liczniku używamy Wzór na różnicę kwadratów, a w mianowniku wyciągamy dwójkę z nawiasów, mamy .

Odpowiedź:

Zatem wstępną znajomość transformacji wyrażeń wymiernych można uznać za zakończoną. Przechodzimy, że tak powiem, do najsłodszych.

Reprezentacja jako ułamek wymierny

Najczęstszym celem końcowym przekształcania wyrażeń jest uproszczenie ich formy. W tym świetle najprostszą formą, do której można przekształcić wyrażenie ułamkowo wymierne, jest ułamek wymierny (algebraiczny), a w konkretnym przypadku wielomian, jednomian lub liczba.

Czy można przedstawić dowolne wyrażenie wymierne w postaci ułamka wymiernego? Odpowiedź brzmi tak. Wyjaśnijmy, dlaczego tak jest.

Jak już powiedzieliśmy, każde wyrażenie wymierne można uznać za wielomiany i ułamki wymierne, połączone znakami plus, minus, mnożenie i dzielenie. Wszystkie odpowiednie operacje na wielomianach dają wielomian lub ułamek wymierny. Z kolei dowolny wielomian można zamienić na ułamek algebraiczny, zapisując go z mianownikiem 1. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków wymiernych dają nowy ułamek wymierny. Dlatego po wykonaniu wszystkich operacji na wielomianach i ułamkach wymiernych w wyrażeniu wymiernym otrzymujemy ułamek wymierny.

Przykład.

Wyraź wyrażenie jako ułamek wymierny .

Rozwiązanie.

Oryginalne wyrażenie wymierne jest różnicą między ułamkiem a iloczynem ułamków w formie . Zgodnie z kolejnością działań najpierw musimy wykonać mnożenie, a dopiero potem dodawanie.

Zaczynamy od pomnożenia ułamków algebraicznych:

Otrzymany wynik zastępujemy pierwotnym wyrażeniem wymiernym: .

Doszliśmy do odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

Zatem po wykonaniu działań z ułamkami wymiernymi, które składają się na pierwotne wyrażenie wymierne, przedstawiliśmy je jako ułamek wymierny.

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie innego przykładu.

Przykład.

Przedstaw wyrażenie wymierne w postaci ułamka wymiernego.