Historie życiowe dotyczące prawa prawdopodobieństwa. Praca badawcza „teoria prawdopodobieństwa”

Matematyka, królowa wszystkich nauk, często jest wystawiana na próbę przez młodych ludzi. Stawiamy tezę „Matematyka jest bezużyteczna”. I obalamy to na przykładzie jednej z najciekawszych tajemniczych i interesujących teorii. Jak teoria prawdopodobieństwa pomaga w życiu, ratuje świat, jakie technologie i osiągnięcia opierają się na tych pozornie nieuchwytnych i dalekich od życia formułach i skomplikowanych obliczeniach.

Historia teorii prawdopodobieństwa

Teoria prawdopodobieństwa- dziedzina matematyki badająca zdarzenia losowe i, oczywiście, ich prawdopodobieństwo. Ten rodzaj matematyki nie narodził się w nudnych, szarych biurach, ale... w salonach gier. Pierwsze podejścia do oceny prawdopodobieństwa konkretnego zdarzenia były popularne już w średniowieczu wśród ówczesnych „Hamlerów”. Wtedy jednak dysponowali jedynie badaniami empirycznymi (czyli oceną w praktyce, metodą eksperymentu). Nie da się przypisać autorstwa teorii prawdopodobieństwa konkretnej osobie, gdyż pracowało nad nią wiele znanych osób, z których każda wniosła swój wkład.

Pierwszymi z tych ludzi byli Pascal i Fermat. Studiowali teorię prawdopodobieństwa za pomocą statystyki kostek. Odkryła pierwsze prawa. H. Huygens wykonał podobną pracę 20 lat wcześniej, ale twierdzenia nie zostały sformułowane precyzyjnie. Ważny wkład w teorię prawdopodobieństwa wnieśli Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson i wielu innych.

Pierre’a Fermata

Teoria prawdopodobieństwa w życiu

Zaskoczę Cię: wszyscy w takim czy innym stopniu korzystamy z teorii prawdopodobieństwa, opartej na analizie wydarzeń, które wydarzyły się w naszym życiu. Wiemy, że śmierć w wypadku samochodowym jest bardziej prawdopodobna niż w wyniku uderzenia pioruna, bo to pierwsze niestety zdarza się bardzo często. Tak czy inaczej, zwracamy uwagę na prawdopodobieństwo zdarzeń, aby przewidzieć nasze zachowanie. Ale niestety dana osoba nie zawsze może dokładnie określić prawdopodobieństwo wystąpienia niektórych zdarzeń.

Na przykład, nie znając statystyk, większość ludzi uważa, że ​​ryzyko śmierci w katastrofie lotniczej jest większe niż w wypadku samochodowym. Teraz wiemy, po przestudiowaniu faktów (o których, jak sądzę, wielu słyszało), że wcale tak nie jest. Faktem jest, że nasze życiowe „oko” czasami zawodzi, ponieważ transport lotniczy wydaje się znacznie bardziej przerażający osobom przyzwyczajonym do stąpania mocno po ziemi. A większość ludzi nie korzysta z tego rodzaju transportu zbyt często. Nawet jeśli potrafimy poprawnie oszacować prawdopodobieństwo zdarzenia, najprawdopodobniej jest ono skrajnie niedokładne, co nie będzie miało żadnego sensu, powiedzmy, w inżynierii kosmicznej, gdzie dużo decydują części na milion. A kiedy potrzebujemy dokładności, do kogo się zwracamy? Oczywiście do matematyki.

Przykładów rzeczywistego zastosowania teorii prawdopodobieństwa w życiu jest wiele. Na nim opiera się niemal cała współczesna gospodarka. Wypuszczając określony produkt na rynek, kompetentny przedsiębiorca z pewnością weźmie pod uwagę ryzyko, a także prawdopodobieństwo zakupu na konkretnym rynku, kraju itp. Brokerzy na rynkach światowych praktycznie nie wyobrażają sobie życia bez teorii prawdopodobieństwa. Przewidywanie kursu waluty (czego na pewno nie da się zrobić bez teorii prawdopodobieństwa) na opcjach pieniężnych czy na słynnym rynku Forex pozwala na tej teorii zarobić poważne pieniądze.

Teoria prawdopodobieństwa jest ważna na początku niemal każdej działalności, a także jej regulacji. Oceniając prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnej awarii (np. statku kosmicznego), wiemy, jakie wysiłki należy podjąć, co dokładnie sprawdzić, czego w ogóle można się spodziewać tysiące kilometrów od Ziemi. Możliwość ataku terrorystycznego w metrze, kryzysu gospodarczego lub wojny nuklearnej – wszystko to można wyrazić procentowo. A co najważniejsze, w oparciu o otrzymane dane podjąć odpowiednie przeciwdziałania.

Miałem szczęście uczestniczyć w matematycznej konferencji naukowej w moim mieście, gdzie jeden ze zwycięskich artykułów mówił o praktycznym znaczeniu tej teorii teorie prawdopodobieństwa w życiu. Prawdopodobnie, jak wszyscy ludzie, nie lubisz stać długo w kolejkach. Praca ta pokazała, jak można przyspieszyć proces zakupowy, jeśli zastosujemy teorię prawdopodobieństwa obliczania liczby osób w kolejce i regulowania czynności (otwieranie kas fiskalnych, zwiększanie liczby sprzedawców itp.). Niestety, obecnie większość nawet dużych sieci ignoruje ten fakt i opiera się wyłącznie na własnych wyliczeniach wizualnych.

Każdą działalność w dowolnej sferze można przeanalizować za pomocą statystyk, obliczyć za pomocą teorii prawdopodobieństwa i znacznie ulepszyć.

Prawdziwe życie okazuje się nie takie proste i jednoznaczne. Skutków wielu zjawisk nie da się przewidzieć z góry, niezależnie od tego, jak kompletne są informacje na ich temat. Nie da się na przykład powiedzieć z całą pewnością, która strona spadnie podrzucona w górę moneta, kiedy w przyszłym roku spadnie pierwszy śnieg ani ile osób w mieście będzie chciało w ciągu najbliższej godziny wykonać telefon. Takie nieprzewidywalne zjawiska nazywane są losowymi. Jednak przypadek ma również swoje własne prawa, które zaczynają się ujawniać, gdy losowe zjawiska powtarzają się wielokrotnie. To właśnie te wzorce są badane w specjalnej sekcji matematyki - teorii prawdopodobieństwa.

Jako nauka teoria prawdopodobieństwa powstała w XVII wieku. Pojawienie się pojęcia prawdopodobieństwa wiązało się zarówno z potrzebami ubezpieczeń, które upowszechniły się w dobie zauważalnego rozwoju stosunków handlowych i podróży morskich, jak i w związku z wymogami hazardu. Słowo „ekscytacja”, które zwykle oznacza silną pasję, zapał, jest transkrypcją francuskiego słowa hazard, dosłownie oznaczającego „przypadek”, „ryzyko”.

Gry hazardowe to gry, w których wygrana zależy głównie nie od umiejętności gracza, ale od przypadku. Schemat hazardu był bardzo prosty i można go było poddać wszechstronnej analizie logicznej. Pierwsze próby tego rodzaju kojarzone są z nazwiskami znanych naukowców, algebraika Gerolamo Cardana () i Galileo Galilei (). Jednak zaszczyt odkrycia tej teorii, która nie tylko umożliwia porównywanie zmiennych losowych, ale także wykonywanie na nich określonych operacji matematycznych, należy do dwóch wybitnych naukowców Blaise'a Pascala () i Pierre'a Fermata.

Już w czasach starożytnych zauważono, że istnieją zjawiska, które mają swoją osobliwość: przy niewielkiej liczbie obserwacji nie obserwuje się w nich żadnej poprawności, ale wraz ze wzrostem liczby obserwacji pewien wzór staje się coraz wyraźniejszy. Wszystko zaczęło się od gry w kości.

Pojawienie się teorii prawdopodobieństwa jako nauki datuje się na średniowiecze i pierwsze próby matematycznej analizy gier hazardowych (płatki, kości, ruletka). Początkowo jej podstawowe pojęcia nie miały formy ściśle matematycznej, można je było traktować jako pewne fakty empiryczne, jako właściwości rzeczywistych zdarzeń i formułowano je w przedstawieniach wizualnych. Najwcześniejsze prace naukowców z zakresu teorii prawdopodobieństwa sięgają XVII wieku. Badając przewidywanie wygranych w grach hazardowych, Blaise Pascal i Pierre Fermat odkryli pierwsze probabilistyczne wzorce powstające podczas rzucania kostkami.

Jacob Bernoulli wniósł istotny wkład w teorię prawdopodobieństwa: przedstawił dowód prawa wielkich liczb w najprostszym przypadku niezależnych prób. W pierwszej połowie XIX wieku do analizy błędów obserwacyjnych zaczęto stosować teorię prawdopodobieństwa; Laplace i Poisson udowodnili pierwsze twierdzenie graniczne. W drugiej połowie XIX wieku główny wkład wnieśli rosyjscy naukowcy P. L. Czebyszew, A. A. Markow i A. M. Lapunow. W tym czasie udowodniono prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne oraz opracowano teorię łańcuchów Markowa. Teoria prawdopodobieństwa otrzymała swoją nowoczesną formę dzięki aksjomatyzacji zaproponowanej przez Andrieja Nikołajewicza Kołmogorowa. W rezultacie teoria prawdopodobieństwa nabrała ścisłej formy matematycznej i ostatecznie zaczęła być postrzegana jako jedna z gałęzi matematyki, prawo wielkich liczb Jacoba Bernoulliego z XIX wieku Laplace'a-Poissona z XIX wieku P. L. Chebysheva A. A. Markov A. M. LyapunovPrawo wielkich liczb Centralne twierdzenie graniczne Aksjomatyzacja łańcucha Markowa autorstwa Andrieja Nikołajewicza Kołmogorowa Sekcje matematyki

Wiele osób pyta co to jest teoria prawdopodobieństwa, poznanie i w ogóle, na co wpływa i jakie są jego funkcje. Jak wiadomo, teorii jest wiele, a niewiele z nich sprawdza się w praktyce. Oczywiście teoria prawdopodobieństwa, wiedzy i wszystkiego została już dawno udowodniona przez naukowców, dlatego rozważymy ją w tym artykule, aby wykorzystać ją na naszą korzyść.

W artykule dowiesz się czym jest teoria prawdopodobieństwa, wiedza i w ogóle, jakie są jej funkcje, jak się objawia i jak wykorzystać ją na swoją korzyść. Przecież prawdopodobieństwo i wiedza są bardzo ważne w naszym życiu i dlatego musimy korzystać z tego, co zostało już przetestowane przez naukowców i udowodnione przez naukę.

Z pewnością Teoria prawdopodobieństwa to nauka matematyczno-fizyczna, która bada to lub inne zjawisko i jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystko wydarzy się dokładnie tak, jak chcesz. Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo, że koniec świata nastąpi za 27 lat i tak dalej.

Teoria prawdopodobieństwa ma również zastosowanie w naszym życiu, gdy dążymy do swoich celów i nie wiemy, jak obliczyć prawdopodobieństwo tego, czy cel osiągniemy, czy nie. Oczywiście będzie to oparte na Twojej ciężkiej pracy, jasnym planie i realnych działaniach, które można skalkulować na wiele lat.

Wiedza teoretyczna

Teoria wiedzy jest również ważna w życiu, ponieważ determinuje naszą podświadomość i świadomość. Bo każdego dnia poznajemy ten świat i rozwijamy się. Najlepszym sposobem na nauczenie się czegoś nowego jest czytanie ciekawych książek napisanych przez autorów, którzy osiągnęli coś w życiu. Wiedza pozwala nam także poczuć Boga w sobie i stworzyć dla siebie rzeczywistość taką, jaką chcemy, lub zaufać Bogu i stać się marionetką w Jego rękach.

Teoria wszystkiego

Ale tu teoria wszystkiego mówi nam, że świat powstał właśnie w wyniku Wielkiego Wybuchu, który w ciągu kilku sekund rozdzielił energię na kilka komórek, a jak widzimy duże populacje, taki jest właściwie podział energii. Kiedy będzie mniej ludzi, będzie to oznaczać, że Świat ponownie powróci do swojego pierwotnego punktu, a kiedy świat zostanie przywrócony, istnieje duże prawdopodobieństwo kolejnej eksplozji.

Denisowa Ekaterina

Sprawozdanie na konferencji naukowo-praktycznej

Pobierać:

Zapowiedź:

otwarty

Międzynarodowy

Badania naukowe

konferencja

Uczniowie i studenci szkół średnich

"Edukacja. Nauka. Zawód"

Sekcja „Matematyka”

„Teoria prawdopodobieństwa w naszym życiu”

Ukończyła: Ekaterina Denisova, uczennica 11. klasy

Miejska placówka oświatowa Szkoła średnia Kabanovskaya

Kierownik: Zolotareva Valentina Viktorovna,

Nauczyciel matematyki

Otradny

rok 2012

1. Głównym elementem

1. Podstawowe pojęcia teorii
2. Problemy i przykłady
3. Prognozowanie wyników Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki w 2012 roku

1. Wniosek. Praktyczne zastosowanie teorii prawdopodobieństwa

1. Wstęp. Światem rządzi przypadek

„Teoria prawdopodobieństwa jest zasadniczo

Nic więcej niż zdrowy rozsądek zredukowany do rachunku różniczkowego”

Laplace'a

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że istnieją i nie mogą istnieć żadne prawa rządzące zjawiskami w naszym życiu. Jednak jeśli się temu przyjrzeć, zjawiska losowe nie zachodzą tak chaotycznie. W wielu przypadkach pojawiają się wzorce. Wzorce te nie są podobne do zwykłych praw zjawisk fizycznych; są bardzo różnorodni.Zatem każdy z nas każdego dnia musi podejmować wiele decyzji w warunkach niepewności. Tę niepewność można jednak „przemienić” w pewną pewność. I wtedy ta wiedza może znacząco pomóc w podjęciu decyzji.

Każde „losowe” zdarzenie ma wyraźne prawdopodobieństwo wystąpienia.

W stabilnym systemie prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń utrzymuje się z roku na rok. Oznacza to, że z punktu widzenia danej osoby przydarzyło mu się zdarzenie losowe. A z punktu widzenia systemu było to z góry ustalone.

Rozsądny człowiek powinien starać się myśleć w oparciu o prawa prawdopodobieństwa (statystyki). Ale w życiu niewiele osób myśli o prawdopodobieństwie. Decyzje podejmowane są pod wpływem emocji.

Ludzie boją się latać samolotami. Tymczasem najbardziej niebezpieczną rzeczą w lataniu samolotem jest droga na lotnisko samochodem. Ale spróbuj komuś wytłumaczyć, że samochód jest bardziej niebezpieczny niż samolot.

Jak wynika z badań: w Stanach Zjednoczonych w ciągu pierwszych 3 miesięcy po atakach terrorystycznych z 11 września 2001 roku zginęło… pośrednio kolejny tysiąc osób. Ze strachu przestali latać samolotami i zaczęli przemieszczać się po kraju samochodami. A ponieważ jest to bardziej niebezpieczne, liczba zgonów wzrosła.

Światem rządzi prawdopodobieństwo i musimy o tym pamiętać.

Część główna

1. Historia powstania teorii prawdopodobieństwa

Słowo „prawdopodobieństwo” „, którego synonimem jest na przykład słowo „szansa”, które jest często używane w życiu codziennym. Myślę, że wszyscy znają zwroty: „Jutro prawdopodobnie będzie padał śnieg”, „Prawdopodobnie w ten weekend wyjdę na zewnątrz”, „To jest po prostu niesamowite” lub „Jest szansa na automatyczny test”. Tego rodzaju wyrażenia intuicyjnie oceniają prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia losowego.

Skutków wielu zjawisk nie da się przewidzieć z góry, niezależnie od tego, jak kompletne są informacje na ich temat. Nie da się na przykład powiedzieć z całą pewnością, która strona spadnie podrzucona w górę moneta, kiedy w przyszłym roku spadnie pierwszy śnieg ani ile osób w mieście będzie chciało w ciągu najbliższej godziny wykonać telefon.

Takie nieprzewidywalne zdarzenia nazywane są losowy.

Jednak teoria prawdopodobieństwa ukształtowała się jako niezależna nauka stosunkowo niedawnohistoria teorii prawdopodobieństwazaczęło się w starożytności. Zatem Lukrecjusz, Demokryt, Carus i niektórzy inni naukowcy starożytnej Grecji w swoim rozumowaniu mówili o równie prawdopodobnych skutkach takiego zdarzenia, takich jak możliwość, że cała materia składa się z cząsteczek. Zatem pojęcie prawdopodobieństwa zastosowano na poziomie intuicyjnym, ale nie wyodrębniono go w ramach nowej kategorii. Jednak starożytni naukowcy położyli doskonały fundament pod pojawienie się tej koncepcji naukowej. Można powiedzieć, że w średniowieczu narodziła się teoria prawdopodobieństwa, kiedy podjęto pierwsze próby analizy matematycznej i takich gier hazardowych, jak kości, rzut czy ruletka. W wykopaliskach archeologicznych od V wieku p.n.e. odnajdowano kości zwierzęce specjalnie przygotowane do zabawy. Najstarsze kości znaleziono w północnym Iraku i datowano je na IV tysiąclecie p.n.e. Osoby, które wielokrotnie obserwowały rzut kostką, zauważyły ​​pewne prawidłowości rządzące tą grą.

Wyniki tych obserwacji sformułowano jako „Złote Zasady” i były znane wielu graczom.

Jednym z najbardziej znanych problemów, który przyczynił się do rozwoju teorii prawdopodobieństwa, był problem podziału zakładu, umieszczony w książce Luca Paccioli (1445 - ok. 1514).

Książka nosiła tytuł „Suma arytmetyki, geometrii, proporcji i proporcji” i została opublikowana w Wenecji w 1494 r.

Kolejną osobą, która wniosła znaczący wkład w zrozumienie praw rządzących przypadkiem, był Galileusz Galilei (1564 -1642).

To on to zauważyłwyniki pomiarówsą losowe.

Pierwsze prace naukowe dotyczące teorii prawdopodobieństwa pojawiły się w XVII wieku. Kiedy naukowcy tacy jak Blaise Pascal i Pierre Fermat odkryli pewne wzorce występujące podczas rzucania kostkami. W tym samym czasie zainteresowanie tym zagadnieniem wykazał inny naukowiec, Christian Huygens. W 1657 r. wprowadził w swoim dziele następujące pojęcia teorii prawdopodobieństwa: pojęcie prawdopodobieństwa jako wartości przypadku lub możliwości; oczekiwanie matematyczne dla przypadków dyskretnych w postaci ceny przypadku oraz twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw, które jednak nie zostały sformułowane wprost. W tym samym czasie teoria prawdopodobieństwa zaczęła znajdować obszary zastosowania - demografia, ubezpieczenia i ocena błędów obserwacji.

Jednak jako nauka matematyczna teoria prawdopodobieństwa zaczyna się od dzieła wybitnego szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego (1654–1705) „Sztuka domysłów”.

Traktat ten dowodzi szeregu twierdzeń, w tym najsłynniejszego twierdzenia „Prawo wielkich liczb”

Najbardziej znaczący wkład w położenie podstaw teorii wniósł A.N.

Spotykać się z kimśteoria prawdopodobieństwaJest to niezależna nauka o ogromnym zakresie zastosowań.

1. Podstawowe pojęcia teorii

Weźmy na przykład grę w monety. Podczas rzucania mogą wystąpić dwa równie prawdopodobne wyniki: moneta może wypaść orzeł lub reszka. Kiedy rzucasz raz monetą, nie możesz przewidzieć, która strona wyląduje na wierzchu. Jednak po 100-krotnym rzucie monetą można wyciągnąć wnioski. Można z góry powiedzieć, że herb pojawi się nie 1 czy 2 razy, ale więcej, ale nie 99 czy 98 razy, ale mniej. Liczba kropli herbu będzie bliska 50. Tak naprawdę, z doświadczenia można być przekonanym, że liczba ta będzie wynosić od 40 do 60.

Statystycznie ustalono także, że na 1000 dzieci przypada 511 chłopców i 489 dziewcząt (tj. odpowiednio 48,9% i 51,1%). Informacje te pozwalają z dużą dokładnością przewidzieć prawdopodobieństwo liczby chłopców lub dziewcząt w danym roku (z tych obliczeń korzysta np. komisja poborowa).

• Przedmiotem badań w teorii prawdopodobieństwa jest wydarzenia , pojawiające się pod pewnymi warunkami, w które można grać nieograniczoną liczbę razy.
• Każda realizacja tych warunków nazywana jest test

Przykłady testów:rzut kostką, ważenie ciała na wadze analitycznej

Przykłady wydarzeń:wyrzucę szóstkę Lub W przypadku wyrzucenia parzystej liczby punktów błąd pomiaru nie przekroczy określonej wartości

Stopień obiektywnej możliwościzdarzenie losowe można zmierzyć liczbą.

Ten numer się nazywaprawdopodobieństwo zdarzenia losowego.

Względne częstotliwości danego zdarzenia losowego są zgrupowane wokół tej liczby

Wydarzenie nazywa się niezawodny, jeśli zawsze tak się dzieje, w dowolnym teście.

Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia jest zawsze równe 1.

Przykłady wiarygodnych zdarzeń

1. Kości wyrzucą mniej niż siedem;
2. Po lecie nadejdzie jesień.

Wydarzenie nazywa się niemożliwe , jeśli nigdy nie nastąpi, oznacza to 0 korzystnych wyników.

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.

Przykłady zdarzeń niemożliwych

1. Moneta spadająca na krawędź

1. Rzucamy siódemką na kostce

Wydarzenie nazywa się losowy , jeśli w tych samych warunkach może się to zdarzyć lub nie.

Przykłady zdarzeń losowych

1. Na kostce pojawia się parzysta liczba punktów;
2. Lądowanie głową podczas rzucania monetą;
3. Zwycięska kombinacja liczb na rosyjskich kartach lotto.

Suma zdarzeń A i B to zdarzenie polegające na tym, że przynajmniej jedno z tych zdarzeń nastąpiło w wyniku eksperymentu (tj.).

Przecięcie zdarzeń A i B to zdarzenie, w którym oba te zdarzenia zachodzą w wyniku eksperymentu (tj.).

Zdarzenia A i B nazywane są niezgodnymi , jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie, lub w języku zbiorów, ZA ∩ b = ∅ .

Przykłady niezgodnych zdarzeń

1. Rzucając dwiema kostkami, uzyskuje się nieparzystą liczbę punktów i taką samą liczbę punktów na obu kostkach;
2. Wyjmij 2 kulki z pudełka z wielokolorowymi kulkami. Następujące zdarzenia będą niezgodne: obie kule są czerwone i obie kule są niebieskie.

Wywoływane są zdarzenia A i B niezależny , jeśli prawdopodobieństwo ich iloczynu jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw: P(AB) = P(A)⋅ P(B).

Przykłady wydarzeń niezależnych

1. Obie kości wyrzucą szóstkę;
2. Podczas rzucania dwiema monetami pojawią się dwie głowy;
3. Kiedy z urny zostaną wylosowane dwie kule, obie będą czerwone.

Z każdym wydarzeniem Połączony wydarzenie przeciwne, polegające na tym, że zdarzenie A nie jest zaimplementowany.

Zdarzenia przeciwne są oczywiście niezgodne.

Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń wynosi 1

Przykłady zdarzeń przeciwnych

1. Na kostce zostanie wyrzucona liczba parzysta, a na kostce nieparzysta;
2. Moneta wylądowała reszką w górę i reszką w górę;
3. Lampa jest włączona, a lampa nie jest włączona.

Zdarzenie A sprzyja zdarzeniu B, jeśli zdarzenie B wynika z faktu zaistnienia zdarzenia A (tj.)

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy spełnieniu warunku Azwane postawą

Prawo wielkich liczb.

Przeprowadźmy testy K razy i N razy w wyniku eksperymentu nastąpiło zdarzenie A. Następnie liczbabędziemy nazywać częstotliwością występowania zdarzenia A.

Zawsze możesz wybrać N wystarczająco duże, aby spełnić następującą zależność:

Gdzie (upsilon) - dowolnie mała liczba dodatnia, która nie jest równa zero.

Oznacza to, że przy odpowiednio dużej liczbie testów częstotliwość występowania danego zdarzenia będzie się różniła od zera, o ile będzie to pożądane.

Zależność ta pozwala ustalić eksperymentalnie z dość dobrym przybliżeniem prawdopodobieństwo nieznanego nam zdarzenia.

3. Problemy i przykłady.

Pierwsze obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń rozpoczęły się w XVII wieku od obliczenia szans graczy w grach hazardowych. Przede wszystkim była to gra w kości.

Zadanie 1.

Rzucili kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba będzie równa 5?

Rozwiązanie.

W sumie występuje 6 rodzajów utraty masy kostnej (n = 6). Wszystkie te opcje są równie prawdopodobne, ponieważ kostka jest tak skonstruowana, że ​​wszystkie strony mają taką samą szansę znalezienia się na górze, stąd m = 1; Oznacza

Gdzie P(5) to prawdopodobieństwo wyrzucenia piątki.

Zadanie 2.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzuceniu parzystej liczby punktów?

Rozwiązanie.

Istnieją tu trzy sprzyjające możliwości: 2; 4; 6. Zatem m = 3, zatem w sumie jest 6 wyników (n = 6).

Gdzie P(parzysty) to prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej.

Zadanie 3.

Rzuciliśmy 2 kostkami i policzyliśmy sumę punktów. Co jest bardziej prawdopodobne – uzyskać w sumie 7 czy 8?

Rozwiązanie.

Interesują nas zdarzenia A = „wyrzucono 7 punktów” i B = „wyrzucono 8 punktów”. Liczba wszystkich możliwych wyników n = 6 2 = 36 (każdy z 6 punktów na białej kości można połączyć z dowolnym z 6 punktów na czarnej kości). Spośród tych 36 wyników zdarzeniu A będą sprzyjać następujące wyniki: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), tj. łącznie 6 (m = 6). Zgodnie ze wzorem mamy:

Zdarzeniu B będą sprzyjać następujące wyniki: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), tj. tylko 5. Zgodnie ze wzorem mamy:

Dlatego zdobycie łącznie 7 punktów jest bardziej prawdopodobne niż zdobycie 8.

Problem ten został po raz pierwszy rozwiązany przez graczy w kości, a dopiero potem rozwiązany matematycznie. Stała się jedną z pierwszych, podczas dyskusji nad którymi Teoria zaczęła nabierać kształtu.

Definicja: Dwa zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli zachodzi równość:

Zadanie 4.

Dwóch myśliwych niezależnie od siebie jednocześnie strzela do zająca. Zając zostanie zabity, jeśli obaj zostaną trafieni. Jakie są szanse zająca na przeżycie, jeśli pierwszy myśliwy trafi z prawdopodobieństwem 0,8, a drugi z prawdopodobieństwem 0,75?

Rozwiązanie.

Rozważmy dwa zdarzenia: A = „pierwszy myśliwy uderzył zająca” i B = „drugi myśliwy uderzył zająca”. Jesteśmy zainteresowani wydarzeniem(tj. wystąpiło zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B). Ze względu na niezależność zdarzeń mamy:

Oznacza to, że w 6 na 10 przypadków zając zostanie zastrzelony.

Zadanie 5.

Pewien francuski rycerz, de Mere, był zapalonym graczem w kości. Próbował na wszelkie możliwe sposoby wzbogacić się i wymyślił różne skomplikowane zasady.

W szczególności wymyślił następujące zasady: rzucają 4 kostkami i obstawia, że ​​co najmniej jedna z nich wypadnie 6. Wierzył, że w większości przypadków wygra. Aby to potwierdzić, zwrócił się do swojego starego przyjaciela Blaise'a Pascala z prośbą o obliczenie, jakie jest prawdopodobieństwo wygranej w tej grze.

Przedstawmy obliczenia Pascala.

Dla każdego pojedynczego rzutu prawdopodobieństwo zdarzenia A = „wyrzucona szóstka” =. Prawdopodobieństwo zdarzenia B = „brak szóstki” =. Kostki nie są od siebie zależne zatem zgodnie ze wzorem

Prawdopodobieństwo, że nie wyrzucisz szóstki dwa razy z rzędu wynosi

W ten sam sposób pokazano, że przy trzykrotnym rzucie prawdopodobieństwo, że nie wypadnie 6, wynosi

I cztery razy -

A zatem prawdopodobieństwo wygranej. Oznacza to, że w każdym meczu ponad połowa szans była na zwycięstwo De Mere; gdyby grę powtarzano wiele razy, z pewnością by wygrał.

Zasadne jest postawienie pytania: jakie musi być prawdopodobieństwo zdarzenia, aby można było je uznać za wiarygodne? Wiadomo, że około 5% zaplanowanych koncertów jest odwołanych, ale to nie powstrzymuje nas od zakupu biletów. Ale gdyby rozbiło się 5% samolotów, to mało kto korzystałby z transportu lotniczego.

III.Wniosek. Praktyczne zastosowanie teorii prawdopodobieństwa

Jednak już pod koniec XVII w. zaczęto stosować Teorię przy ubezpieczaniu statków, tj. zaczęli obliczać, ile jest szans, że statek wróci do portu bez szwanku, że nie zostanie zatopiony przez burzę, że ładunek nie zamoknie, że nie zostanie przechwycony przez piratów itp. Kalkulacja ta pozwoliła określić, jaką kwotę ubezpieczenia należy opłacać i jaką składkę ubezpieczeniową opłacać, aby było to opłacalne dla firmy.

W pierwszej połowie XVIII w. Jacob Bernoulli, członek Rosyjskiej Akademii Nauk, wiele zrobił dla tej teorii. Warto zwrócić uwagę na prace S. Laplace'a, S. Poissona i C. Gaussa.

A to wszystko w drugiej połowie XVIII w. Teoria w pewnym sensie „wyznaczała czas”. W tamtym czasie związek między różnymi zjawiskami życiowymi a nauką o zjawiskach masowych nie był jeszcze jasny. W połowie XIX wieku. Dużej zmiany w rozwoju teorii dokonał rosyjski matematyk P. Czebyszew. Markow, Lapunow, Bernstein, Kołmogorow wnieśli wielki wkład.

Teoria odegrała dużą rolę praktyczną podczas II wojny światowej. Podajmy przykład z pola wojskowego. Wiadomo, że bardzo trudno jest zestrzelić samolot jednym strzałem z karabinu. Przecież strzelec musi nie tylko trafić w samolot, ale także w najbardziej wrażliwy punkt, np. zbiornik paliwa. Dlatego prawdopodobieństwo, że jeden strzelec zestrzeli samolot z karabinu, jest znikome. Masowe ostrzały to zupełnie inna sprawa. Zakładając, że prawdopodobieństwo zestrzelenia samolotu jednym karabinem wynosi 0,004; odpowiednio prawdopodobieństwo chybienia wynosi 0,996. Załóżmy teraz, że strzela 500 strzelców; jak udowodniliśmy powyżej, prawdopodobieństwo chybienia wynosi

Zatem prawdopodobieństwo zestrzelenia samolotu jedną salwą wynosi 0,86. A jeśli uda się wystrzelić 2–3 salwy, szanse samolotu na przeżycie są bliskie zeru.

Teoria umożliwiła także wyznaczenie obszarów, w których zasadne było poszukiwanie samolotów i łodzi podwodnych lub wyznaczenie tras pozwalających na ich uniknięcie. Typowym problemem jest tutaj jak bardziej opłacalnie przeprowadzić karawany statków handlowych przez ocean, po którym operują wrogie okręty podwodne. Jeśli zorganizujesz karawany składające się z dużej liczby statków, możesz obejść się bez najazdów, ale potencjalne straty w przypadku spotkania z flotą wroga będą większe. Teoria pomogła obliczyć optymalne rozmiary przyczep kempingowych i częstotliwość ich wyjazdów. Problemów tego typu było wiele, dlatego w centrali zorganizowano specjalne grupy, które zajmowały się obliczaniem prawdopodobieństw. Po wojnie podobne wyliczenia zaczęto stosować do kwestii gospodarczych w czasie pokoju. Stanowiły one treść nowego, dużego obszaru zwanego badaniami operacyjnymi, który formuje się w całą naukę.

Wiele osób rozpoczynając grę w ruletkę pamięta, że ​​kiedyś słyszało o teorii prawdopodobieństwa.

Niestety cała ta „teoria prawdopodobieństwa” nie pomoże podczas gry w ruletkę, a jedynie wyrządzi krzywdę.

Wynika z tego tylko tyle, że prawdopodobieństwa można stosować przy nieograniczonym zwiększaniu liczby powtórzeń doświadczenia. Kiedy gramy w ruletkę, mamy dość ograniczoną liczbę powtórzeń doświadczenia (obrotów koła ruletki). Aby móc dowolnie zwiększać liczbę eksperymentów, nie dysponujemy nieograniczoną ilością pieniędzy i czasu.

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z najciekawszych działów nauk matematyki wyższej. Teoria ta jest złożoną dyscypliną i ma zastosowanie w prawdziwym życiu. Ma niewątpliwą wartość dla edukacji powszechnej. Nauka ta pozwala nie tylko zdobyć wiedzę, która pomaga zrozumieć wzorce otaczającego nas świata, ale także znaleźć praktyczne zastosowanie w życiu codziennym.

Dlatego każdy z nas musi codziennie podejmować wiele decyzji w warunkach niepewności. Tę niepewność można jednak „przemienić” w pewną pewność. I wtedy wiedza ta może znacząco pomóc w podjęciu decyzji.

Teoria prawdopodobieństwa jest nauką matematyczną badającą wzorce masowej losowości zjawisk (zdarzeń).

Zdarzenie losowe (lub po prostu zdarzenie) to dowolne zjawisko, które może wystąpić lub nie w wyniku spełnienia określonego zestawu warunków. Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się takimi zdarzeniami, które mają charakter masowy. Oznacza to, że ten zestaw warunków można odtwarzać nieograniczoną liczbę razy. Każda taka implementacja danego zestawu warunków nazywana jest testem (lub doświadczeniem).

Niech zdarzenie A wystąpi m razy podczas n prób.

Stosunek m/n nazywany jest częstotliwością zdarzenia A i oznaczany jest:

Doświadczenie pokazuje, że przy wielokrotnym powtarzaniu testów częstotliwość P(A) zdarzenia losowego jest stabilna.

Zdarzenie nazywa się niezawodnym, jeśli koniecznie musi nastąpić w danym doświadczeniu; wręcz przeciwnie, zdarzenie nazywa się niemożliwym, jeśli nie może się wydarzyć w danym doświadczeniu.

Jeśli zdarzenie jest wiarygodne, to wystąpi w każdej próbie (m=n).

Dlatego częstość niezawodności zdarzeń jest zawsze równa jeden lub 100%. I odwrotnie, jeśli zdarzenie jest niemożliwe, to nie nastąpi w żadnej próbie (m=0). Dlatego częstość zdarzeń niemożliwych w dowolnej serii prób wynosi 0.

Połączenie dwóch (AB) lub większej liczby (ABC) zdarzeń to zdarzenie polegające na wspólnym wystąpieniu zdarzeń. D=AB; D=ABC

Połączenie dwóch zdarzeń A i B nazywa się zdarzeniem C, co oznacza, że ​​zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń A lub B. Zdarzenie to oznacza się C=A+B

Sumą kilku zdarzeń jest zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z nich. Zapis D=A+B+C oznacza, że ​​zdarzenie D jest sumą zdarzeń A, B i C.

Mówi się, że dwa zdarzenia A i B są niezgodne, jeśli wystąpienie zdarzenia A wyklucza zdarzenie B.

Wynika z tego, że jeśli zdarzenia A i B są niezgodne, to zdarzenie AB jest niemożliwe.

Spójrzmy na przykład: chcę mieć świetną sylwetkę! Aby być zdrowym fizycznie, muszę wykonywać szereg ćwiczeń. Codzienny trening doprowadzi mnie do sukcesu fizycznego. Jeśli wykonam 2 treningi w ciągu 7 dni, okaże się, że P(A) = 2/7 = 0,29 (czyli 29% ze 100% możliwych). Prawdopodobieństwo, że moje ciało nabierze odpowiedniego kształtu we właściwym czasie, jest małe. W tym celu najlepszą opcją jest codzienna praktyka, tj. 7 treningów w 7 dni m=n; 7=7; P(A)=7/7=1 (100%) Zdarzenie to zatem przyjmuje postać wiarygodną. Jeśli nie trenujemy i m=0, to o jakiej liczbie możemy mówić, przy m=0 zdarzenie nie jest wiarygodne.