Jak wrócić do pracy matryc. Jak znaleźć matrycę do odwrócenia

Matrix A -1 nazywa się odwrotną matrycą w stosunku do matrycy A, jeśli A * A -1 \u003d E, gdzie E jest jedną kolejką N-Matrix. Matryca odwrotna może występować tylko dla matryc kwadratowych.

Powołanie usługi. Dzięki tej usłudze w trybie online można znaleźć suplementy algebraiczne, transponowaną matrycą A T, Matrix Allied i odwrotną matrycę. Decyzja jest przeprowadzana bezpośrednio na stronie (w trybie online) i jest bezpłatna. Wyniki obliczeń są wykonane w raporcie Word i w formacie Excel (tj. Możliwe jest sprawdzenie rozwiązania). Patrz przykład rejestracji.

Instrukcja. Aby uzyskać rozwiązanie, musisz określić wymiar matrycy. Następnie w nowym oknie dialogowym wypełnij matrycę a.

Zobacz także odwrotną matrycę przez Jordan-Gauss

Algorytm dla matrycy powrotnej

1. Znalezienie transponowanej matrycy A t.
2. Definicja dodatków algebraicznych. Wymień każdy element matrycy przez dodatek algebraiczny.
3. Kompilacja odwróć matryca Z dodatków algebraicznych: każdy element powstałej macierzy jest podzielony na wyznacznik oryginalnej matrycy. Uzyskana matryca jest odwrotna dla oryginalnej matrycy.

Następujący algorytm dla matrycy powrotnej Podobny do poprzedniego, z wyjątkiem niektórych kroków: pierwsze, obliczane są dodatki algebraiczne, a następnie ustalana jest sojuszona matryca C.

1. Określić, czy matryca kwadratowa. Jeśli nie, matryca odwrotna nie istnieje dla niego.
2. Obliczanie wyznacznika matrycy A. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie nie ma matrycy odwrotnej.
3. Definicja dodatków algebraicznych.
4. Wypełnianie związku (wzajemna załączona) matryca C.
5. Przygotowanie matrycy odwrotnej dodawania algebraicznego: Każdy element załączonej matrycy C jest podzielony na wyznacznik oryginalnej matrycy. Uzyskana matryca jest odwrotna dla oryginalnej matrycy.
6. Sprawdź: Przesuń oryginalną i uzyskaną matrycę. W rezultacie należy uzyskać pojedynczą matrycę.

Przykład numer 1. Piszemy matrycę w formie:

Dodatki algebraiczne. Δ 1.2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3.2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Inny algorytm do znalezienia matrycy odwrotnej

Dajemy kolejny diagram znalezienia matrycy powrotnej.

1. Znajdujemy determinant tej matrycy kwadratowej a.
2. Znajdujemy dodatki algebraiczne do wszystkich elementów matrycy a.
3. Nagrywać dodatki algebraiczne elementów wierszy w kolumnach (transpozycja).
4. Podzielimy każdy element powstałej macierzy do wyznacznika matrycy A.

Jak widzimy, transpozycja operacja może być stosowana zarówno na początku, powyżej początkowej matrycy, jak i na końcu, nad otrzymanym dodatkom algebraicznym.

Specjalny przypadek: Reverse, w odniesieniu do jednej macierzy E, jest jedną matrycą E.

Niech będzie matryca kwadratowa N-Order

Matrix A -1 o nazwie odwrotna matryca W odniesieniu do matrycy A, jeśli A * A -1 \u003d E, gdzie e jest pojedynczą matrycą kolejności N-TH.

Pojedyncza macierz - Taka matryca kwadratowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej przechodzącej z lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu są jednostki, a reszta to zer, na przykład:

odwrotna matryca może istnieć Tylko matryce kwadratowe te. Dla tych macierzy, że liczba wierszy i kolumn pokrywają się.

Teore warunki istnienia matrycy powrotnej

Aby matryca miała ma matrycę odwrotną, konieczne jest i wystarczy być nieokreślony.

Matrix A \u003d (A1, A2, ... i n) nie zdegenerowanyJeśli wektory kolumn są liniowo niezależne. Liczba liniowo niezależnej matrycy kolumnowej nazywana jest szmatą macierzy. Dlatego możemy powiedzieć, że w celu istnienia odwrotnej matrycy, jest to konieczne i wystarczy, że pierścień macierzy jest równy jego wymiarze, tj. R \u003d n.

Algorytm dla matrycy powrotnej

1. Nagrywaj w tabeli, aby rozwiązać systemy równań przez matrycę Gaussa A i po prawej stronie (do miejsca odpowiednich części równań) atrybutu do IT E. Matrix
2. Korzystając z transformacji Jordanii, prowadzić matrycę A do matrycy składającej się z pojedynczych kolumn; Jednocześnie konieczne jest jednoczesne przekonwertowanie przez E. Matrix
3. Jeśli to konieczne, a następnie zmienić rozciąganie strun (równania) ostatniej tabeli, tak że pojedyncza matryca E otrzymuje się pod matrycą A i tabelą źródłową.
4. Napisz do tyłu Matrix A -1, który znajduje się w ostatniej tabeli pod matrycą E z tabeli źródłowej.

Przykład 1.

Dla macierzy i znajdź odwrotną matrycę A -1

Rozwiązanie: Nagraj matrycę A, a po prawej stronie przypisz jedną matrycę E. Korzystanie z konwersji Jordanii, prowadzić matrycę A do jednostki Matrix E. Obliczenia przedstawiono w tabeli 31.1.

Weryfikujemy poprawność obliczeń, mnożąc początkową matrycę A i Matrix Powrót A -1.

W wyniku mnożenia matryc uzyskano pojedynczą matrycę. W związku z tym obliczenia są poprawnie wykonane.

Odpowiedź:

Rozwiązanie równań matrycowych

Równania matrycowe mogą wyglądać:

AH \u003d IN, HA \u003d IN, AGV \u003d s,

gdzie a, b, C jest określonymi macierzami, która jest pożądaną matrycą.

Równania matrycowe są rozwiązywane przez pomnożenie równania o odwrotne matryce.

Na przykład, aby znaleźć matrycę z równania, musisz pomnożyć ten równanie po lewej stronie.

W konsekwencji, aby znaleźć rozwiązanie równania, musisz znaleźć odwrotną matrycę i pomnóż ją do matrycy, stojącej w prawej części równania.

Podobnie rozwiązano inne równania.

Przykład 2.

Rozwiąż równanie AH \u003d W razie

Decyzja: Ponieważ matryca odwrotna jest równa (patrz przykład 1)

Metoda matrycy w analizie ekonomicznej

Wraz z innymi również używają metody matrycy.. Te metody opierają się na liniowej i wektorowej algebry. Takie metody są wykorzystywane do analizy złożonych i wielowymiarowych zjawisk ekonomicznych. Najczęściej metody te są stosowane w razie potrzeby, porównawczej oceny funkcjonowania organizacji i ich podziałów strukturalnych.

W procesie stosowania metod analizy matrycy można wyróżnić kilka kroków.

Na pierwszym etapie System wskaźników ekonomicznych jest generowany, a początkowa matryca danych opiera się na nim, która jest tabelą, w której numery systemowe są wyświetlane w oddzielnych liniach. (i \u003d 1,2, ...., n)i wykresy pionowe - numery wskaźników (j \u003d 1,2, ...., m).

W drugim etapie Dla każdej pionowej kolumny wykryto największe z istniejących wartości wskaźników, które są wykonane na jednostkę.

Po tym wszystkie kwoty odzwierciedlone na tym wykresie są podzielone na największa wartość I powstaje macierz znormalizowanych współczynników.

W trzecim etapie Wszystkie elementy matrycy są podwyższone na placu. Jeśli mają inne znaczenie, każdy wskaźnik macierzy jest przypisany określony współczynnik wagi k.. Wielkość tego ostatniego jest określona przez eksperta.

Na tym drugim czwarty etap Znaleziono wartości wartości oceny R. Zmielić je, aby zwiększyć lub zmniejszyć je.

Przedstawione metody matrycy powinny być używane, na przykład, gdy analiza porównawcza Różne projekty inwestycyjne, a także ocena innych wskaźników ekonomicznych organizacji.

Matrix Algebra - Matrix Odwróć

odwrotna matryca

Odwróć matryca Macierz, który przy pomocy zarówno po prawej stronie, jak i po lewej stronie daje jedną matrycę do tej matrycy.
Oznacz matrycę powrotną do matrycy ALE Następnie zgodnie z definicją, którą otrzymujemy:

gdzie MI. - Pojedyncza macierz.
Matrix Square. nazywa niezwodny (nie zdegenerowany) Jeśli jego determinant nie jest zero. W przeciwnym razie nazywa się specjalny (zdegenerowany) Or pojedynczy.

Jest twierdzenie: matrix nie pojedyncza ma odwrotną matrycę.

Operacja znalezienia matrycy zwrotu jest nazywana apel Matryca. Rozważ algorytm odwołania macierzy. Niech matryca nie pojedyncza n.- Zamówienie:

gdzie δ \u003d det ZA. ≠ 0.

Element uzupełnienia algebraicznegomatryjscy. n. zamówienie ALE zwany wyznacznikiem matrycy wykonanej z określonym znakiem ( n. -1) zamówienie uzyskane przez przejście jA.Linia I. jOT.- Kolumna matrycy ALE:

Zróbmy tak zwany przywiązany Matryca:

gdzie - dodatki algebraiczne do odpowiednich elementów ALE.
Zauważ, że algebraiczne suplementy elementów ciągów macierzy ALE Są umieszczane w odpowiednich kolumnach matrycy à To jest jednocześnie transponuje matrycę.
Udostępnianie wszystkich elementów macierzy à Na Δ - wartość wyznacznika matrycy ALE, Spowodowam odwrotną matrycę:

Zanotuj wiele specjalnych właściwości macierzy zwrotnej:
1) Dla tej matrycy ALE Jego odwrotna macierz jest jedynym;
2) Jeśli jest tam matryca odwrotna popołudnie i z powrotem Matryjscy zbiegają się z nim;
3) Specjalna (zdegenerowana) matryca kwadratowa nie ma matrycy powrotnej.

Główne właściwości macierzy zwrotnej:
1) Determinant odwrotnej matrycy i wyznacznikiem początkowej matrycy są wartościami odwrotnymi;
2) Matryca odwrotnej produktu z matryc kwadratowych jest równa matrycom roboczym czynników podjętych w odwrotnej kolejności:

3) Transposedowa matryca odwrotna jest równa matrycy powrotnej z tej transponowanej matrycy:

Pri Mers. Oblicz tę matrycę to.

Ten temat jest jednym z najbardziej znienawidzonych studentów. Co gorsza, prawdopodobnie tylko determinanty.

Chip jest taki, że sama koncepcja przeciwnika (i nie tylko nie tylko macierzy) odnosi nas do operacji mnożenia. Nawet w program szkolny Mnożenie jest uważane za złożoną obsługę, a mnożenie macierzy jest na ogół oddzielnym tematem, że cały akapit i samouczek wideo jest dla mnie oddany.

Dziś nie pójdziemy do szczegółów obliczeń matrycowych. Wystarczy pamiętaj: ponieważ macierze są wyznaczane, ponieważ mnożą i co się z niego podąża.

Powtórzenie: mnożenie matryc

Przede wszystkim zgodzimy się na notację. $ A $ Left [M razy n Prawo] $ jest po prostu nazywany stołem liczb, w których dokładnie m $ rzby i $ N $ kolumny:

\u003d underbrace (Left [Rozpocznij (Matrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) & ... А ((a) _ (1N)) a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & (a) _ (2n)) ... & ... & ... & ... (a) _ (m1)) i (a) _ (m2)) & ... _ ((a) _ (MN)) End (matryca) Prawo]) _ (N)]

Aby przypadkowo nie mylić wierszy i kolumn w niektórych miejscach (uwierz mi, możesz mylić jednego na egzamin - co powiedzieć o niektórych rzędach), po prostu spójrz na zdjęcie:

Definicja indeksów dla komórek macierzy

Co się dzieje? Jeśli umieścisz standardowy układ współrzędnych o $ Oxy $ w lewym górnym rogu i wyślij osi, aby pokrył całą matrycę, wówczas każda komórka tej matrycy może jednoznacznie porównać współrzędne w lewy $ (X; Y prawo) $ - Będzie to numer linii i numer kolumny.

Dlaczego układ współrzędnych jest umieszczony w lewym górnym rogu? Tak, ponieważ stamtąd zaczynamy czytać jakiekolwiek teksty. Bardzo łatwo jest pamiętać.

I dlaczego osi $ X $ jest skierowana dokładnie w dół, a nie w porządku? Ponownie wszystko jest proste: weź standardowy układ współrzędnych (oś X $ Axis trafia w prawo, oś $ Y $ - w górę) i obrócić go, aby zakryje matrycę. Ta obraca się o 90 stopni w prawo - jego wynik jesteśmy widoczny na zdjęciu.

Ogólnie rzecz biorąc, jak zdefiniować indeksy z elementów matrycy, pomyślaliśmy. Teraz radzęmy sobie z mnożeniem.

Definicja. Matryce $ A \u003d Left] $ i $ B \u003d Left] $ i $ B \u003d Left] $, gdy liczba kolumn w pierwszym zbiega się z liczbą wierszy w drugim, nazywana jest skoordynowany.

Jest w tej kolejności. Możesz się uspokoić i powiedzieć, mówią, że macierz $ A $ A $ B $ formularz zamówioną parę $ w lewo (a; b prawo) $: Jeśli są zgodne w tej kolejności, to jest absolutnie opcjonalne, że $ B $ i $ za $. W lewo (B; prawy) jest również uzgodnione.

Możesz pomnożyć tylko uzgodnione matryce.

Definicja. Produkt uzgodnionych macierzy $ A \u003d Left [M razy n Prawo] $ i $ b \u003d Left [n Time k Prawy] $ to nowa matryca $ C \u003d pozostawiony [m razy k prawo ] $ Elementy, których $ ((c) _ (IJ)) $ są uważane za wzula:

[(c) _ (IJ)) \u003d suma limits_ (k \u003d 1) ^ (n) ((a) _ (IK))) CDOT (b) _ (KJ))

Innymi słowy: Aby uzyskać element $ ((c) _ (IJ)) $ Matrix $ C \u003d A CDOT B $, musisz wziąć $ I $ -start pierwszej kolumny Matrix, $ j $ -d Druga matryca, a następnie pomnożyć pomnożyć elementy z tego wiersza i kolumny. Wyniki do składania.

Tak, oto ostra definicja. Natychmiast podąża za kilka faktów:

1. Mnożenie matryc, ogólnie rzecz biorąc, niekomuczynny: $ a cdot b note b
2. Jednakże mnożenie jest skojarzone: $ left (a cdot b prawy) CDOT C \u003d a cdot Left (b Cdot C Prawy) $;
3. A nawet dystryktuo: $ left (a + b prawo) CDOT C \u003d a CDOT C + B CDOT C $;
4. I po raz kolejny dystrybutywny: $ a Cdot Left (B + C Prawy) \u003d a CDOT B + A CDOT C $.

Dystrybucja mnożenia musiała być opisana oddzielnie dla lewej i odpowiedniej sumy czynnika dokładnie ze względu na niekommutatywność operacji mnożenia.

Jeśli nadal okazuje się, że $ a cdot b \u003d b cdot A $, takie macierze nazywają się permutacją.

Wśród wszystkich manices, które są mnożone tam, są specjalne - te, które mnożą się na dowolnej Matrix $ A $ A $ A $ A $ A $ A $

Definicja. Matryca $ E $ nazywana jest singlem, jeśli $ a cdot e \u003d a $ lub $ e \\ Cdot a \u003d a $. W przypadku kwadratowej matrycy $ A $ możemy pisać:

Pojedyncza matryca - częste gość w rozwiązywaniu równań matrycowych. I ogólnie często gościnny gość w świecie matryc. :)

A z powodu tego $ E $ ktoś wynalazł całą grę, która zostanie napisana.

Co to jest matryca odwrotna

Ponieważ mnożenie matryc jest bardzo pracochłonną operacją (konieczne jest, aby pomnożyć grupę linii i kolumn), koncepcja odwrotnej matrycy również okazuje się nie być najbardziej trywialnym. I wymaga pewnych wyjaśnień.

Kluczowa definicja

Cóż, czas poznać prawdę.

Definicja. Matrix $ B $ nazywa się odwrotną do Matrix $ A $ a, jeśli

Matryca odwrotna jest oznaczona $ ((a) ^ (- 1)) $ (nie należy mylić z dyplomem!) Dlatego definicja może zostać przepisana w następujący sposób:

Wydawałoby się, że wszystko jest niezwykle proste i jasne. Ale podczas analizy takiej definicji pojawi się kilka pytań:

1. Czy zawsze jest odwrotna macierz? A jeśli nie zawsze, jak określić: kiedy istnieje, a gdy nie?
2. A kto powiedział, że taka matryca jest dokładnie sama? Nagle, dla niektórych źródeł macierzy $ za $ jest cały tłum odwrócenia?
3. Jak wyglądają wszystkie te "odwrotne"? I jak w rzeczywistości się policz?

Co z algorytmami obliczeń - porozmawiamy o tym trochę później. Ale teraz odpowiedzą na resztę pytań. Będziemy im wydać w formie oddzielnych stwierdzeń-lemmas.

Właściwości podstawowe

Zacznijmy od tego, jak zasadniczo powinno istnieć matryca $ A $ A $ ((a) ^ (- 1)) istniała. Teraz upewnimy się, że oba te macierze muszą być kwadratowe, a o tym samym rozmiarze: $ [N razy n Prawo] $.

Lemat 1. Dana Matrix $ A $ A odwrócenie $ ((a) ^ (- 1)) $. Następnie oba te macierze są kwadratowe, a ta sama kolejność $ n $.

Dowód. Wszystko jest proste. Pozwól matrycy $ A \u003d Left [M razy n Prawo] $, $ (a) ^ (- 1)) \u003d Left [a CZĘŚCI B Prawy] $. Ponieważ produkt $ a cdot (a) ^ (- 1)) \u003d e $, z definicji istnieje, matryca $ A $ A $ a $ a) ^ (- 1)) $ uzgodnione w określonej kolejności:

[Rozpocznij (wyrównuj) Left [M razy N Prawdy] CDOT Left [A razy B Prawy] \u003d Left [M razy B Prawy] & N \u003d a wyrównanie )]

Jest to bezpośrednia konsekwencja algorytmu mnożenia Matrix: Współczynniki $ N $ i $ A $ A są "tranzytem" i powinny być równe.

Jednocześnie określa się odwrócona mnożenie: $ ((a) ^ (- 1)) CDOT A \u003d E $, dlatego macierz $ ((a) ^ (- 1)) $ i $ A $ A uzgodnione w określonej kolejności:

[Rozpocznij (Aglus) Left [Czasów B Prawy] CDOT Left [M Times n Prawo] \u003d Lewa [A razy N Prawda] & B \u003d M )]

Zatem, bez ograniczeń, możemy założyć, że $ A \u003d Left [M razy n Prawo] $, $ (a) ^ (- 1)) \u003d Left [n razy m prawo] $. Jednak zgodnie z definicją $ A (a) ^ (- 1) \u003d (a) ^ (- 1)) CDOT A $, więc wymiary matryc ściśle zbiegłych:

[Rozpocznij (wyrównać) Left [M razy n Prawo] \u003d Left] & M \u003d N End (wyrównuj)

Okazuje się więc, że wszystkie trzy macierze są $ A $ A $ A $ A $ a $ a $ a $ a $ E $ E - są wielkości kwadratowym $ lewe [n razy n prawej] $. Udowodniono Lemat.

Cóż, nieźle. Widzimy, że tylko matryce kwadratowe są odwracalne. Teraz upewnijmy się, że matryca odwrotna jest zawsze sama.

Lemat 2. Dana Matrix $ A $ A odwrócenie $ ((a) ^ (- 1)) $. Potem ta odwrotna macierz jest jedynym.

Dowód. Chodźmy z Nasty: Niech $ A $ Matrix ma co najmniej dwie kopie odwrotnie - $ B $ i $ C $. Następnie, zgodnie z definicją, następujące równości są prawdziwe:

[Rozpocznij (wyrównuj) i a A - CDOT B \u003d B CDOT A \u003d E; & A CDOT C \u003d C CDOT A \u003d E. Koniec (wyrównuj)]

Z LEMMA 1, stwierdzamy, że wszystkie cztery macierze są $ A $ b $, $ C $ i $ E $ są kwadratowe niż to samo zamówienie: $ Left [N razy n Prawo] $. Dlatego ustalana jest praca:

Ponieważ mnożenie matryc są asocjacyjne (ale nie twierdzi), możemy pisać:

[Rozpocznij (wyrównanie) b Cdot CDOT C \u003d Left (b Cdot A W prawo) CDOT C \u003d E - CDOT C \u003d C; & b Cdot CDOT C \u003d b Cdot Left (Cdot C Prawy) \u003d B CDOT E \u003d B; & B Cdot CDOT C \u003d C \u003d B Uryginał B \u003d C. Koniec (wyrównuj)]

Otrzymał jedyny możliwy wariant: Dwie kopie matrycy odwrotnej są równe. Udowodniono Lemat.

Powyższe argumenty Prawie dosłownie powtarzają dowodową wyjątkowość elementu odwrotnego dla wszystkich ważnych liczb $ b ne 0 $. Jedynym znacznym dodatkiem jest rachunkowość wymiaru matryc.

Jednak nadal nie wiemy nic o tym, czy żadna matryca kwadratowa jest odwracalna. Determinant przychodzi nam pomóc - jest to kluczowa charakterystyczna dla wszystkich macierzy kwadratowych.

Lemat 3. Dana Matrix $ A $. Jeśli odwrotna matryca $ ((a) ^ (- 1)) $ istnieje, a następnie wyznacznikiem początkowej matrycy różni się od zera:

[w lewo | A Prawo | Ne 0

Dowód. Wiemy już, że $ A $ A $ a $ ((a) ^ (- 1)) $ - Matryca kwadratu o rozmiarze $ pozostawiona [n razy n prawa] $. Dlatego dla każdego z nich możesz obliczyć determinant: $ w lewo | A Prawda | w lewo $ i $ ((A) ^ (- 1)) Prawo | $. Jednakże wyznacznik pracy jest równy produktowi determinantów:

[w lewo | CDOT B Prawy | \u003d Lewa | Prawo | CDOT W lewo | B Prawy | rownarrow Left | Cdot ((A) ^ (- 1)) Prawo | \u003d Lewa | Prawo | CDOT W lewo | (A) ^ (- 1)) Prawo |

Ale zgodnie z definicją $ a cdot ((a) ^ (- 1)) \u003d e $, a identyfikator $ E $ jest zawsze równy 1, więc

[Rozpocznij (wyrównuj) i cdot ((a) ^ (- 1)) \u003d E; & Left | Cdot ((A) ^ (- 1)) Prawo | \u003d Lewa | E & Left | Prawo | CDOT W lewo | ((A) ^ (- 1)) Prawo | \u003d 1. Koniec (wyrównuj)]

Produkt dwóch liczb jest równy tylko wtedy, gdy każda z tych liczb różni się od zera:

[w lewo | Prawo | 0; Quad Left | ((A) ^ (- 1)) Prawo |

Okazuje się, że $ w lewo | Prawo | 0 $. Udowodniono Lemat.

W rzeczywistości ten wymóg jest dość logiczny. Teraz przeanalizujemy algorytm do znalezienia matrycy odwróconej - i stanie się dość jasne, dlaczego, z wyznacznikiem zerowego, nie może istnieć w zasadzie żadna matryca powrotna.

Ale na początek formułujemy "pomocniczą" definicję:

Definicja. Matryca zdegenerowana jest kwadratową matrycą $ left [n razy n prawej] $, którego determinant wynosi zero.

W ten sposób możemy się twierdzić, że każda matryca odwracalna jest nieokreślona.

Jak znaleźć matrycę do odwrócenia

Teraz rozważymy uniwersalny algorytm dla matryc powrotnych. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwie ogólnie przyjęte algorytmy, a my rozważymy drugą dzisiaj.

Ten, który zostanie rozważany, jest teraz bardzo skuteczny dla macierzy o wartości $ [2 razy 2 Prawo] $ i - częściowo rozmiar $ Left [3 razy 3 Prawo] $. Ale od wielkości $ left [4 razy 4 Prawo] $ lepiej go nie stosować. Dlaczego - teraz zrozumiesz wszystko.

Dodatki algebraiczne

Przygotuj się. Teraz będzie ból. Nie, nie martw się: nie masz pięknej pielęgniarki w spódnicy, pończochach z koronką i nie zrobi korzenia do pośladku. Wszystko jest tak wyraźne: Algebraic Add-Ons idą do Ciebie i jej majestat "Unia Matrix".

Zacznijmy od głównego. Niech będzie tam matryca kwadratowa o rozmiarze A \u003d Left [N razy n Prawo] $, których elementy są określane jako $ ((a) _ (IJ)) $. Następnie dla każdego takiego elementu można zdefiniować dodatek algebraiczny:

Definicja. Algebraic Supplement $ ((a) _ (IJ)) $ do elementu $ (a) _ (IJ)) $ stojąc w $ и и дрист i $ J $ -m Matrix Column Matrix $ A \u003d Left [N razy N Prawda] $ to projekt typu

[(A) _ (IJ)) \u003d ((Left (-1 Po prawej)) ^ (I + j)) CDOT M_ (IJ) ^ (*)]

Gdzie $ m_ (IJ) ^ (*) $ jest wyznacznikiem macierzy uzyskanej z początkowej $ A $, eksperymentując kwotę $ и $ -th String i $ J $ kolumny.

Jeszcze raz. Algebraic Dodatek do elementu matrycy z współrzędnymi $ left (I; J right) $ jest wskazany jako $ ((a) _ (IJ)) $ i jest uważany zgodnie ze schematem:

1. Po pierwsze, kończymy $ I $ od pierwotnej matrycy i kolumny $ J $. Dostajemy nową matrycę Square i wyznaczamy to jako $ M_ (IJ) ^ (*) $.
2. Następnie mnożą ten determinant dla $ ((left (-1 po prawej)) ^ (I + j)) $ - na początku Wyrażenie może wydawać się burzy mózgów, ale w rzeczywistości po prostu dowiadujemy się ze znakiem przed $ M_ ( IJ) ^ (*) $.
3. Rozważamy - otrzymujemy określony numer. Te. Dodatek algebraiczny jest dokładnie tym, a nie jakiś rodzaj nowej matrycy itp.

Matryca $ M_ (IJ) ^ (*) Nazywana jest dodatkowym małym do elementu $ (a) _ (IJ)) $. W tym sensie powyższa definicja dodatku algebraicznego jest szczególnym przypadkiem bardziej złożonej definicji - co rozważaliśmy w lekcji na temat wyznacznika.

Ważna uwaga. W rzeczywistości w matematyce "Dorosłych", dodatki algebraiczne są określane w następujący sposób:

1. Bierzemy kwadratową matrycą $ k $ linie i $ k $ kolumny. Na ich skrzyżowaniu macierz $ left [k razy k Prawy] zostanie uzyskiwany - jego determinant nazywa się nieletnimi zamówienia $ k $ i oznacza $ ((m) _ (k)) $.
2. Następnie podkreślamy te "ulubione" $ k $ line i $ k $ kolumny. Ponownie otwarta macierz kwadratowy - jego determinant nazywa się dodatkowym małym i oznaczającym $ M_ (K) ^ (*) $.
3. Multiply $ M_ (k) ^ (*) $ by $ ((left (-1 po prawej)) ^ (T)) $, gdzie $ T $ to (teraz uwaga!) Ilość liczb wszystkich wybranych linii i kolumn . Będzie to dodatek algebraiczny.

Spójrz na trzeci krok: na ogół jest ona kwota $ 2K $ $ Warunki! Inną rzeczą jest to, że za $ K \u003d 1 $ otrzymamy tylko 2 terminy - będzie to ten sam $ I + J $ - "współrzędne" elementu $ (a) _ (IJ)) $, za które szukamy za dodatek algebraiczny.

Tak więc dzisiaj używamy nieznacznie uproszczonej definicji. Ale jak zobaczymy w przyszłości, będzie więcej niż wystarczająco. Znacznie ważniejsza jest następująca rzecz:

Definicja. The Allied Matrix $ S $ do Square Matrix $ A \u003d Left [N razy n Prawo] $ to nowa matryca $ Left [N razy n Prawo] $, który uzyskuje się od $ A $ AND $ (a) _ (IJ)) $ algebraic suplementy $ ((a) _ (IJ)) $:

Rownarrow s \u003d left [rozpocznij (matryca) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) i ... ε (a) _ (1N)) ((a) _ (1N)) ) _ (21)) & (a) _ (22)) & ... & (a) _ (2N)) ... & ... & ... (A) _ (N1)) i (a) _ (N2)) i ... _ ((a) _ (NN)) End (Matrix) Prawo]

Pierwszym pomysłem, który powstaje w czasie świadomości tej definicji - "tak bardzo musisz rozważyć wszystko!" Relaks: konieczne jest liczenie, ale nie tak bardzo. :)

Cóż, wszystko to jest bardzo miłe, ale dlaczego tego potrzebujesz? Ale dlaczego.

Podstawowy twierdzenie

Wróćmy trochę pleców. Pamiętaj, że w Lemma 3 argumentowano, że odwracalna matryca $ A $ nie zawsze nie zdegenerowana (to znaczy, że jego determinant różni się od zera: $ pozostawiony | a Prawo | NE 0 $).

Tak więc, prawy i odwrotnie: Jeśli matryca $ A $ A nie jest zdegenerowana, to zawsze jest odwracalne. A nawet istnieje schemat wyszukiwania $ ((a) ^ (- 1)) $. Sprawdzić:

Twierdzenie o odwrotnej matrycy. Pozwól kwadratowej matrycy $ a \u003d lewej [n razy n prawej] i jego determinant różni się od zera: $ w lewo | Prawo | 0 $. Następnie odwrotna macierz $ ((a) ^ (- 1)) $ istnieje i jest uważany za wzula:

[(A) ^ (- 1)) \u003d frac (1) (w lewo | a Prawy |) CDOT ((S) ^ (T))

A teraz - tym samym, ale przez złamane pismo. Aby znaleźć odwrotną matrycę, musisz:

1. Oblicz determinant w lewo | Prawy | $ i upewnij się, że różni się od zera.
2. Zrób allied Matrix $ S $, I.E. Oblicz 100 500 algebraic dodatków $ ((a) _ (IJ)) $ i umieść je na miejscu $ ((a) _ (IJ)) $.
3. Transponuj tę matrycę $ s $, a następnie pomnóż ją na określoną liczbę $ q \u003d (1) / (pozostawiony | a prawy |); $.

I to wszystko! Odwróć Matrix $ (a) ^ (- 1)) $ znaleziono. Spójrzmy na przykłady:

[Left [Rozpocznij (Matrix) 3 i 1 5 i 2 End (Matrix) Prawo]

Decyzja. Sprawdź odwracalność. Oblicz determinant:

[w lewo | A Prawo | \u003d Lewa | Rozpocznij (Matrix) 3 i 1 End (Matrix) Prawo | \u003d 3 CDOT 2-1 CDOT 5 \u003d 6-5 \u003d 1

Determinant różni się od zera. Więc macierz jest odwracalny. Zróbmy macierz sojuszniczy:

Rozważmy dodatki algebraiczne:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (11)) \u003d ((Left (-1 po prawej)) ^ (1 + 1)) CDOT w lewo | 2 Prawo | \u003d 2; & (a) _ (12)) \u003d ((Left (-1 po prawej)) ^ (1 + 2)) CDOT w lewo | 5 Prawo | \u003d -5; & (a) _ (21)) \u003d ((Left (-1 Po prawej)) ^ (2 + 1)) CDOT W lewo | 1 Prawo | \u003d -1; & (a) _ (22)) \u003d (Left (-1 po prawej)) ^ (2 + 2)) CDOT 3 Prawo | \u003d 3. Koniec (wyrównuj)]

Uwaga: Deterpety | 2 |, | 5 |, | 1 | i | 3 | - Są to wyznaczniki macierzy o rozmiarach $ \\ left [1 \\ Times 1 \\ right] $, a nie moduły. Te. Jeśli w determinantach stał negatywne numery, Nie jest konieczne czyszczenie "minus".

Suma, nasza związkowa matryca wygląda tak:

[(A) ^ (- 1)) \u003d frac (1) (w lewo | A Prawy |) CDOT ((S) ^ (T)) \u003d FRAC (1) (1) CDOT ( (\\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (*) (35) (R) 2, -5 \\\\ -1 3 \\\\\\ koniec (Array) \\ prawo]) ^ (t)) \u003d \\ lewo [\\ rozpocząć (Tablica) (* (35) (R)) 2 i -1 -5 i 3 end (tablica) Prawo]

Otóż \u200b\u200bto. Zadanie zostało rozwiązane.

Odpowiedź. $ Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 i -1 -5 i 3 końcowe (array) Prawo] $

Zadanie. Znajdź matrycę do tyłu:

\\ [\\ Lewo [\\ rozpocząć (array) (*) (35) (R) 1 i -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ koniec (Array) \\ prawo] \\ ]

Decyzja. Ponownie uwzględniamy wyznacznik:

[Rozpocznij (wyrównaj) i w lewo | \\ Rozpoczęciem (array) (* (35) (R)) 1 i -1 2 \\\\ 0 i 2 i -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ koniec (array) \\ prawej | \u003d \\ rozpoczęciem (Matrix) \\ w lewo (1 \\ CDOT 2 \\ CDOT 1+ \\ left (-1 \\ prawy) \\ CDOT \\ left (-1 \\ prawy) \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT 0 \\ CDOT 0 \\ prawy) - \\\\ - \\ left ( 2 \\ Cdot 2 \\ CDOT 1+ \\ left (-1 \\ prawy) \\ CDOT 0 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT \\ left (-1 \\ prawy) \\ CDOT 0 \\ prawy) \\\\\\ zakończenia (siatka) \u003d \\ \\ & \u003d lewy (2 + 1 + 0 Prawo) - Left (4 + 0 + 0 Prawo) \u003d - 1 NE 0. Koniec (wyrównuj)

Determinant różni się od zera - matryca jest odwracalna. Ale teraz nie będzie najbardziej cyny: Muszę liczyć aż 9 (dziewięć, ich matką!) Algebraiczne dodatki. A każdy z nich będzie zawierać determinant w lewo [2 razy 2 prawy] $. Latający:

[Rozpocznij (matryca) ((A) _ (11)) \u003d ((Left (-1 Po prawej)) ^ (1 + 1)) CDOT W lewo | Rozpocznij (Matrix) 2 i -1 0 & 1 End (Matrix) Prawa | \u003d 2; ((a) _ (12)) \u003d ((lewe (-1 po prawej)) ^ (1 + 2)) CDOT Rozpocznij (matryca) 0 i -1 1 & 1 End (matrix) Prawo | \u003d -1; ((a) _ (13) \u003d ((lewe (-1 racja)) ^ (1 + 3)) CDOT Rozpocznij (matryca) 0 i 2 1 & 0 (matryca) Prawo | \u003d -2; ... ((a) _ (33)) \u003d ((lewe (-1 po prawej)) ^ (3 + 3)) CDOT w lewo | Rozpocznij (matryca) 1 i -1 0 ° C kończy (matryca) Prawo | \u003d 2; Koniec (macierz)]

Krótko mówiąc, macierz sojuszniczy będzie wyglądał:

W związku z tym, że matryca zwrotna będzie taka:

[(A) ^ (- 1)) \u003d frac (1) (- 1) CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 2 i -1 & -2 \\\\ 1 i -1 i -1 -3 & 1 & 2 \\\\ koniec (Matrix) \\ prawo] \u003d \\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (* (35) (R)) - 2--1 3 \\\\ 1 & 1 & -1 \\ \\ 2 i 1 & -2 end (array) Prawo]

Cóż, to wszystko. To odpowiedź.

Odpowiedź. $ \\ Lewo [\\ rozpocząć (array) (* (35) (R)) -2 -1 3 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2-1 i -2 \\\\ koniec (array) \\ prawo] $

Jak widać, na końcu każdego przykładu testowaliśmy. W tym względzie ważna uwaga:

Nie bądź leniwy, aby sprawdzić. Pomnóż początkową matrycę do znalezionego tyłu - powinien okazać się $ e $.

Sprawić, że sprawdza to znacznie łatwiej i szybciej, aby szukać błędu w dalszych obliczeniach, gdy na przykład rozwiązujesz równanie matrycy.

Alternatywny sposób

Jak powiedziałem, odwrotna twierdzenie macierzy działa idealnie dla rozmiaru $ left [2 razy 2 w prawo] $ i $ Left [3 razy 3 w prawo] $ (w ostatni przypadek "To nie jest takie piękne"), ale dla matryc dużych rozmiarów zaczynają się prosto smutek.

Ale nie martw się: istnieje alternatywny algorytm, z którym można spokojnie znaleźć tył przynajmniej dla Matrix $ Left [10 razy 10 Prawo] $. Ale tak często się dzieje, podejmie małe teoretyczne wprowadzenie do rozważenia tego algorytmu.

Podstawowe transformacje

Wśród wszelkiego rodzaju transformacji macierz ma kilka specjalnych - nazywane są elementarnym. Takie transformacje są dokładnie trzema:

1. Mnożenie. Możesz wziąć linię $ I $ (kolumnę) i pomnóż ją do dowolnej liczby $ K (ne 0 $;
2. Dodanie. Dodaj do $ I $ -River (kolumny) Każde inne $ J $ String (kolumna) pomnożone przez dowolną liczbę $ k n 0 $ (Oczywiście, oczywiście i $ k \u003d 0 $, ale jaki jest punkt? Nic ulegnie zmianie).
3. Permutacja. Weź linie $ I $ i $ J $ -un (kolumny) i miejsca zamieszkania.

Dlaczego te transformacje nazywają się elementarnym (dla dużych matryc, nie wyglądają na takie elementarne) i dlaczego są ich tylko trzy - te pytania wykraczają poza dzisiejszą lekcję. Dlatego nie pójdziemy szczegółowo.

Inną rzeczą jest ważne: wszystkie te perwersje mają być wykonywane powyżej załączonej matrycy. Tak, tak: nie słyszałeś. Teraz będzie kolejna definicja - ostatni w dzisiejszej lekcji.

Dołączona macierz

Z pewnością w szkole rozwiązałeś system równań, dodając. Cóż, do odliczenia z jednej linii innego, pomnożą jakiś wiersz do numeru - to wszystko to.

Więc: teraz wszystko będzie takie samo, ale już "dorosły". Gotowy?

Definicja. Niech macierz $ a \u003d left [n razy n prawej] $ i pojedynczą matrycą $ E $ o tej samej rozmiarze $ n $. Następnie załączona matryca $ leje [a \\ t | E. Prawda] $ to nowa matryca $ left [n razy 2n prawy] $, która wygląda tak:

[Left [a Left | E. Prawda] \u003d Lewa [Rozpocznij (tablica) (RRRR | RRRR) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) & ... & (a) _ (1N)) & 1 & 0 & 0 & 0 ((a) _ (21)) & (a) _ (22)) & ... & (a) _ (2N)) i 0 & 1 i ... & 0 ... & ... & ... & ... & ... (a) _ (n1)) & (a) _ (N2)) . _ (a) _ (nn)) i 0 & 0 & ... & 1 end (tablica) prawy]

Krótko mówiąc, bierzemy macierz $ A $ słusznie atrybut do niego jedna macierz $ E $ odpowiedni rozmiar, dzielimy je z pionowym cechą piękna. | - To, co zostało dołączone :)

Jaki jest haczyk? Ale co:

Twierdzenie. Niech macierzy $ za odwrócenie $. Rozważ załączony matrycę $ Left [a left | E. Prawy] $. Jeśli z pomocą transformacje podstawowe wiersz Przynieś go do typu $ Left [E Left | B prawo. Prawda] $, tj. Przez mnożenie, odejmowanie i permutacji sznurki, aby uzyskać od $ a $ macierzy $ E $ po prawej stronie, a następnie $ B $ matrycy uzyskanej po lewej stronie jest z powrotem do $ A $:

[Left [a Left | E. Prawda], Left [E Left | B prawo. Prawda] wnęka b \u003d ((a) ^ (- 1))

Więc wszystko jest proste! Krótko mówiąc, algorytm znalezienia matrycy odwrotnej wygląda tak:

1. Napisz dołączony Matrix $ Left [A Left | E. Prawy] $;
2. Wykonaj przekształcenie sznur podstawowy, aż pojawi się $ E $ zamiast $ a $;
3. Oczywiście, po lewej stronie, pojawi się coś - niektóre Matrix $ B $. Spowoduje to odwrót;
4. Zysk :)

Oczywiście znacznie łatwiej niż zrobić. Rozważmy więc kilka przykładów: dla rozmiaru $ pozostawiony [3 razy 3 prawy] $ i $ Left [4 razy 4 w prawo] $.

Zadanie. Znajdź matrycę do tyłu:

\\ [\\ Lewo [\\ rozpocząć (array) (* (35) (R)) i 1: 5 i 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ 6 i -2 1 \\\\ koniec (Array) \\ prawo] \\]

Decyzja. Zrób załączony macierz:

\\ [\\ Lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRR | RRR) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\\\ 3 & 2 & 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1 \\ Koniec (tablica) Prawo]

Ponieważ ta ostatnia kolumna oryginalnej matrycy jest wypełniona jednostkami, przeczytaj pierwszy ciąg od reszty:

[Rozpocznij (Wyrównaj) i Left [Rozpocznij (tablica) (RRR | RRR) 1 i 5 i 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 6 & 1 & 0 & 1 & 0 2 i 1 i 0 & 0 & 1 End (macierzy) Prawo] Rozpocząć (Matrix) Dowlowrrow \\\\ -1 -1 End (Matrix) do i [\\ rozpoczęciem (array) (RRR | RRR) 1 i 5 i 1 i 0 i 0 i 0 i 0 \\\\ 2 \\ 3 & 0 & -7 0 & 0 \\ 1 i 0 i 1 \\\\\\ koniec (tablica ) Prawo] end (wyrównaj)]

Nie ma więcej jednostek innych niż pierwsza linia. Ale nie dotykamy go, w przeciwnym razie trzecia kolumna zacznie "mnożyć" jednostki.

Ale możemy odjąć drugi ciąg dwa dwa razy z ostatniego - dostajemy jednostkę w lewym dolnym rogu:

\\ [\\ Rozpoczęciem (Align) & \\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRR | RRR) 1 i 5 i 1 i 0 i 0 \\\\ 2 i -3 w 0 -1 1 i 0 \\\\ 5 '- 7 i 0 i -1 & 0 & 1 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\ rozpoczęciem (Matrix) \\\\ \\\\\\\\\\ EndArrrow -2 \\\\\\ koniec (Matrix) \\ W \\\\ i \\ lewo [\\ rozpocząć (array) (RRR | RRR) 1 i 5 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 0 i \\ 1 i 0 i -1 & 0 & 1 & -2 1 \\\\\\ koniec (array) \\ prawo] Koniec (wyrównuj)]

Teraz można odjąć ostatnią linię z pierwszą i dwukrotnie z drugiej - tak będziemy „ZAE” pierwsza kolumna:

[Rozpocznij (Aglus) & Left [Rozpocznij (tablica) (RRR | RRR) 1 i 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 i -1 & 0 & 1 & -2 1 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\ rozpoczęciem (Matrix) -1 -2 \\\\ \\\\ \\ upArrow \\\\\\ koniec (Matrix) \\ W \\\\ & \\ do \\ lewo [\\ rozpocząć (array) (RRR | RRR) 0 i 6 i 1 i 0 i 0 i -3 i 5 '-1 0 i -3 i -2 5 \\ 1 i -1 & 0 & 1 & -2 1 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\\\ \\ koniec (Align) \\]

Pomnożę drugą linię na -1, a następnie odejmij go 6 razy od pierwszego i dodaj 1 raz do ostatniego:

[Rozpocznij (wyrównuj) & Left [Rozpocznij (tablica) (RRR | RRR) 0 i 6 i 0 & 0 & -1 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 end (tablica) prawy] Rozpocznij (matryca) w lewo | Cdot Left (-1 po prawej) Prawo. (End (Matrix) do lewego [rozpocznij (array) (RRR | RRR) 0 i 6 i 0 & 2 & -1 0 i 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 3 i -5 2 \\\\ 1 i -1 & 0 & 1 & -2 1 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\ rozpoczęciem (Matrix) -6 \\\\ \\ UpdownArrow \\\\ +1 \\\\\\ zakończenia ( macierz) \\ W \\\\ i \\ W \\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRR | RRR) 0 i 0 i 1 i i 32 -18 i -13 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 2 \\ 1 i 0 & 0 & 4 & -7 & 3 End (tablica) Prawo] Koniec (wyrównanie)

Pozostaje tylko zmienić linie 1 i 3 miejsca:

\\ [\\ Lewo [\\ rozpocząć (array) (RRR | RRR) 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\ 5 '2 \\\\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\\\\ koniec ( Tablica) Prawo]

Gotowy! Prawo - pożądana matryca odwrotna.

Odpowiedź. $ \\ Lewo [\\ rozpocząć (array) (* (35) (R)), 4--7 3 \\\\ 3 i -5 2 & 32 \\\\ -18 i -13 \\\\ koniec (array) \\ prawo] $

Zadanie. Znajdź matrycę do tyłu:

[Left [rozpocznij (Matrix) 1 i 4 i 2 & 3 1 & -2 & 1 & -2 \\\\ 0 & -10 & -2 & -5 Koniec (matryca) prawy]

Decyzja. Znowu kompilujemy dołączony:

\\ [\\ Lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRRR | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & -2 0 i 0 i 0 i 0 1 i i 0 i 0 \\ \\ 1 i -1 & 1 & 1 & 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\\ 0 i 0 i 0 i 1 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\]

Potrzeliśmy trochę, dba o to, ile będzie konieczne rozważenie ... i zacznij liczyć. Aby rozpocząć, "Zresetuj" pierwszą kolumnę, odejmowanie linii 1 wierszy 2 i 3:

[Rozpocznij (wyrównuj) & Left [Rozpocznij (Array) (Rrrr | RRRR) 1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 0 1 i 0 i 0 i \\\\ 1 -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i -2 -5 0 i 0 i 0 i 1 \\ 5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\\\\ koniec (array) PRAWO] Rozpocznij (Matrix) Waldarrow \\\\ -1 \\\\\\\\ one (Matrix) do lewego [rozpocznij (tablica) (rrrr | rrrr) 1 i 4 '0 \\\\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 5 i -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 i -1 -1 -1 -2 -1 0 i 0 i 0 0 i 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 5 & 0 & 0 & 1 End (array) Prawo] Koniec (wyrównuj)

Obserwujemy zbyt wiele "minusów" w liniach 2-4. Pomnóż wszystkie trzy linie na -1, a następnie "Wyniku" trzecia kolumna, siulfing ciągiem 3 od reszty:

[Rozpocznij (Aglus) & Left [Deger (Array) (Rrrr | RRRR) 1 & 4 & 3 & 3 & 0 & 0 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 i -1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\\ \\ koniec (macierz) \\ prawo] \\ rozpoczęciem (Matrix ) W lewo | Cdot Left (-1 po prawej) Prawo. Lewa | Cdot Left (-1 po prawej) Prawo. Lewa | Cdot Left (-1 po prawej) Prawo. End (Matrix), aby Left [Begin (Array) (Rrrr | RRRR) 1 & 4 i 3 i 1 & 0 & 0 5-1 i -1 & 0 & 0 \\\\ 0 i 0 1 i i 0 \\\\ 0 i 0 i 2 i 5 i 0 i 0 i 0 i -1 0 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\ rozpoczęciem (Matrix) -2 -1 \\\\ \\\\ \\ Updownarrow \\\\ -2 \\\\\\ koniec (Matrix) \\ W \\\\ i \\ W \\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRRR | rrrr) -6-1 i 0 i 0 \\ 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 5-1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 0 0 i 0 -1 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 end (tablica) Prawo] Koniec (wyrównanie)]

Teraz jest czas na "smażyć" ostatnią kolumnę oryginalnej matrycy: odejmujemy linię 4 od reszty:

[Rozpocznij (wyrównaj) i w lewo [Rozpocznij (tablica) (RRRR | RRRR) 1 & -6 & 0 & -1 i -1 i 0 & 0 0 & 1 & 0 & 3 & 0 i -1 & 1 & 0 \\\\ 0 i 0 1 i i 0 \\\\ 0 i 0 i 0 1 i i 0 i 0 i 0 i 0 i 1 i -1 koniec (array) \\ prawo] \\ rozpoczęciem (Matrix) \\\\ \\\\ + 1 -3 -2 \\\\ \\ upArrow \\\\\\ koniec (Matrix) \\ W \\\\ i \\ W \\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRRR | rrrr) -6-1 i 0 i 0 i -3 i 0 i 0 i 0 i 6 i -1 -5 3 i 0 i 0 i 5 \\\\ & 1 & 0 & 5 & 0 i -5 2 \\\\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 & 0 & 2 & -1 end (tablica) prawy] end (aIgnde)]

Końcowy rzut: "wypalić" drugą kolumnę, sulfing ciągiem 2 z linii 1 i 3:

\\ [\\ Rozpoczęciem (Align) & \\ lewo [\\ rozpoczęciem (array) (RRRR | rrrr) -6-1 i 0 i 0 i 0 i -3 i 4 '0 i 6 i 6' -1 -5 3 \\\\ 0 i -5 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\\ koniec (array) \\ prawo] \\ rozpocząć (Matrix) 6 \\\\ \\\\ \\ Updownarrow -5 \\\\ \\ \\\\\\ End (Matrix) \\ W \\\\ & \\ W \\ left [\\ begin (Array) (RRRR | rrrr) 1 & 0 & 0 & - 17 \\\\ 0 i 0 i 0 i 0 i 6 i -1 -5 3 i 3 \\\\ 0 i 0 1 i i 0 i 0 i -25 i 20 i 0 i 1 i -2 i 0 i 0 i 1 końcówka (tablica) prawy] end (wyrównuj)

I znowu po lewej, jednej macierzy, oznacza to prawo - odwrotnie :)

Odpowiedź. $ \\ Lewo [\\ rozpoczęciem (Matrix) i 33 -6 i -26 i 17 \\\\ 6 i -1 -5 3 \\\\ -25 5 '20' -13 \\\\ -2 0 & 2 & - 1 koniec (matryca) prawy] $

Otóż \u200b\u200bto. Sprawdź się - jestem złomem. :)

Dla każdego nie zdegenerowany matrycę, i nie jest również jedną matrycę -1 w taki sposób,

A * a -1 \u003d a -1 * a \u003d e,

gdzie e jest jedną matrycą tych samych zamówień, w których A. Matrix A -1 nazywana jest odwrotną do matrycy A.

Jeśli ktoś zapomniał, w jednej matrycy, z wyjątkiem przekątnej wypełnionej jednostkami, wszystkie inne pozycje są wypełnione zerami, przykładem jednej macierzy:

Znalezienie matrycy odwrotnej według metody załączonej matrycy

Matryca odwrotna jest określona przez wzór:

gdzie ij - elementy IJ.

Te. Aby obliczyć matrycę odwrotnej, musisz obliczyć wyznacznik tej matrycy. Następnie znajdź suplementy algebraiczne dla wszystkich swoich elementów i tworzą nową matrycę. Następnie musisz transportować tę matrycę. A każdy element nowej matrycy jest podzielony na wyznacznik początkowej matrycy.

Rozważ kilka przykładów.

Znajdź a -1 dla matrycy

R e W e n E. Znajdź a -1 przez metodę załączonej matrycy. Det A \u003d 2. Znalezimy suplementy algebraiczne elementów matrycy A. W tym przypadku, dodatki algebraiczne elementów matrycy będą odpowiednie elementy samej matrycy, wykonane ze znakiem zgodnie z formułą

Mamy 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Tworząc załączony matrycę

Transportujemy matrycę A *:

Znajdujemy odwrotną matrycę według formuły:

Dostajemy:

Za pomocą załączonej matrycy, aby znaleźć A -1, jeśli

Najpierw obliczymy definicję tej matrycy, aby upewnić się, że istnieje odwrotna matryca. Mieć

Tutaj dodaliśmy do elementów drugiej linii elementów trzeciej linii, pomnożone przez pre-on (-1), a następnie ujawniono wyznacznik nad drugim rzędem. Ponieważ decydujemy, że ta matryca różni się od zera, matryca z powrotem do niego. Aby skonstruować dołączony matrycę, znajdujemy dodatki algebraiczne do elementów tej matrycy. Mieć

Zgodnie z formułą

transportujemy matrycę A *:

Następnie zgodnie z formułą

Znalezienie matrycy odwrotnej według podstawowych transformacji

Oprócz sposobu znalezienia matrycy odwrotnej wynikającej z wzoru (metoda podłączonej matrycy), istnieje sposób znajdowania stężenia matrycy odwróconej, zwanych transformacji podstawowych.

Matrix konwersji podstawowej.

Podstawowe transformacje matrycy są następującymi konwersjami:

1) permutacja ciągów (kolumn);

2) mnożenie łańcucha (kolumna) o liczbę innych niż zero;

3) Dodaj do elementów wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innej linii (kolumna), przed pomnożona przez numer.

Aby znaleźć Matrix A -1 Budujemy matryca prostokątna. B \u003d (a | e) zamówienia (N; 2N), przypisywanie matrycy i na prawej stronie matrycy E przez linię separacji:

Rozważ przykład.

Sposób podstawowych transformacji, aby znaleźć A -1, jeśli

R e W e n E. tworząc matrycę B:

Oznacz łańcuch matrycy b przez α 1, α2, α3. Produkujemy następującą konwersję na sznurkach matrycowych.