Podział z resztą rozwiązania. Podział liczb naturalnych z resztą: reguły, przykłady i rozwiązania

Od ogólnej idei dzielenia liczb naturalnych przez resztę przejdziemy dalej, aw tym artykule zajmiemy się zasadami, według których przeprowadzana jest ta czynność. W ogóle reszta dzielenia ma wiele wspólnego z dzieleniem liczb naturalnych bez reszty, dlatego często będziemy odwoływać się do materiału tego artykułu.

Zajmijmy się najpierw podziałem. liczby naturalne z resztą w kolumnie. Następnie pokażemy, jak można znaleźć wynik dzielenia liczb naturalnych przez resztę, wykonując odejmowanie sekwencyjne. Następnie przejdziemy do metody wyboru niepełnego ilorazu, nie zapominając o podaniu przykładów z szczegółowy opis rozwiązania. Następnie spisujemy algorytm, który pozwala na dzielenie liczb naturalnych przez resztę w ogólnym przypadku. Na końcu artykułu pokażemy, jak sprawdzić wynik dzielenia liczb naturalnych przez resztę.

Nawigacja po stronach.

Podział liczb naturalnych na kolumnę z resztą

Jednym z najwygodniejszych sposobów dzielenia liczb naturalnych przez resztę jest dzielenie długie. W artykule dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę bardzo szczegółowo przeanalizowaliśmy tę metodę podziału. Nie będziemy się tutaj powtarzać, ale po prostu podamy rozwiązanie jednego przykładu.

Przykład.

Podziel z resztą liczby naturalnej 273 844 przez liczbę naturalną 97.

Decyzja.

Zróbmy dzielenie długie:

Zatem niepełny iloraz 273 844 podzielone przez 97 to 2 823, a reszta to 13.

Odpowiedź:

273 844: 97 = 2 823 (odpoczynek 13).

Dzielenie liczb naturalnych z resztą przez odejmowanie sekwencyjne

Możesz znaleźć niepełny iloraz i resztę z dzielenia liczb naturalnych, wykonując sekwencyjne odejmowanie dzielnika.

Istota tego podejścia jest prosta: z elementów istniejącego zbioru powstają sekwencyjnie zbiory z wymaganą liczbą elementów aż do momentu, kiedy jest to możliwe, liczba otrzymanych zbiorów daje iloraz niepełny, a liczba pozostałych elementów w oryginalnym zestawie jest pozostała część podziału.

Podajmy przykład.

Przykład.

Powiedzmy, że musimy podzielić 7 przez 3.

Decyzja.

Wyobraźmy sobie, że musimy włożyć 7 jabłek do torebek po 3 jabłka. Z początkowej liczby jabłek bierzemy 3 jabłka i wkładamy je do pierwszej torebki. W tym przypadku, ze względu na znaczenie odejmowania liczb naturalnych, zostaje nam 7−3 = 4 jabłka. Ponownie bierzemy 3 z nich i wkładamy je do drugiej torby. Potem mamy 4-3 = 1 jabłko. Oczywiste jest, że na tym proces się kończy (nie możemy uformować kolejnej paczki z wymaganą liczbą jabłek, ponieważ pozostała liczba jabłek 1 jest mniejsza niż wymagana liczba 3). W efekcie mamy dwa worki z wymaganą ilością jabłek i jedno jabłko w pozostałej części.

Wtedy, ze względu na znaczenie dzielenia liczb naturalnych przez resztę, można argumentować, że otrzymaliśmy następujący wynik 7: 3 = 2 (reszta 1).

Odpowiedź:

7: 3 = 2 (odpoczynek 1).

Rozważmy rozwiązanie jeszcze jednego przykładu, podczas gdy podamy tylko obliczenia matematyczne.

Przykład.

Podziel liczbę naturalną 145 przez 46, odejmując ją kolejno.

Decyzja.

145-46 = 99 (jeśli to konieczne, zapoznaj się z artykułem o odejmowaniu liczb naturalnych). Ponieważ 99 jest większe niż 46, odejmujemy dzielnik po raz drugi: 99-46 = 53. Ponieważ 53>46 odejmujemy dzielnik po raz trzeci: 53−46 = 7. Ponieważ 7 jest mniejsze niż 46, to nie będziemy mogli ponownie przeprowadzić odejmowania, czyli kończy to proces odejmowania sekwencyjnego.

W rezultacie musieliśmy odjąć dzielnik 46 od dywidendy 145 kolejno 3 razy, po czym otrzymaliśmy resztę 7. Tak więc 145: 46 = 3 (odpoczynek 7).

Odpowiedź:

145: 46 = 3 (odpoczynek 7).

Należy zauważyć, że jeśli dywidenda jest mniejsza niż dzielnik, to nie będziemy mogli przeprowadzić konsekwentnego odejmowania. Tak, nie jest to konieczne, ponieważ w tym przypadku możemy od razu napisać odpowiedź. W tym przypadku niepełny iloraz jest równy zero, a reszta równa się dywidendzie. To znaczy, jeśli a

Trzeba też powiedzieć, że dzielenie liczb naturalnych z resztą w rozważanej metodzie dobrze jest wykonywać tylko wtedy, gdy do uzyskania wyniku potrzebna jest niewielka liczba kolejnych odejmowań.

Wybór niekompletnych prywatnych

Dzieląc podane liczby naturalne a i b przez resztę można wybrać niepełny iloraz c. Teraz pokażemy, na czym opiera się proces selekcji i jak powinien przebiegać.

Najpierw zdecydujmy, wśród których liczb szukać niepełnego ilorazu. Kiedy mówiliśmy o znaczeniu dzielenia liczb naturalnych przez resztę, dowiedzieliśmy się, że niepełny iloraz może być albo zerem, albo liczbą naturalną, czyli jedną z liczb 0, 1, 2, 3, ... Tak więc poszukiwany iloraz niepełny jest jedną z liczb zapisanych i pozostaje nam iterować po nich, aby ustalić, która liczba jest ilorazem niepełnym.

Następnie potrzebujemy równania postaci d = a − b · c, które precyzuje, a także fakt, że reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika (wspomnieliśmy o tym również, gdy mówiliśmy o znaczeniu dzielenia liczb naturalnych przez reszta).

Teraz możesz przejść bezpośrednio do opisu procesu wyboru niekompletnego prywatnego. Na początku znamy dzielną a i dzielnik b; jako niepełny iloraz c bierzemy kolejno liczby 0, 1, 2, 3,…, za każdym razem obliczając wartość d = a − b · c i porównując ją z dzielnikiem . Proces ten kończy się, gdy uzyskana wartość jest mniejsza niż dzielnik. W tym przypadku liczba c na tym etapie jest pożądanym ilorazem niepełnym, a wartość d = a − b · c jest pozostałą częścią dzielenia.

Pozostaje przeanalizować na przykładzie proces wyboru niepełnego ilorazu.

Przykład.

Podziel 267 przez 21 z resztą liczby naturalnej.

Decyzja.

Wybierzmy niepełny iloraz. W naszym przykładzie a = 267, b = 21. Będziemy kolejno przypisywać c wartości 0, 1, 2, 3,…, obliczając na każdym kroku wartość d = a - b · c i porównując ją z dzielnikiem 21.

Gdy c = 0 mamy d = a − b c = 267−21 0 = 267−0 = 267(najpierw wykonuje się mnożenie liczb naturalnych, a następnie odejmowanie, o czym napisano w artykule). Wynikowa liczba jest większa niż 21 (w razie potrzeby przestudiuj materiał w artykule porównując liczby naturalne). Dlatego kontynuujemy proces selekcji.

Gdy c = 1 mamy d = a − b c = 267−21 1 = 267−21 = 246... Od 246>21 kontynuujemy proces.

Gdy c = 2 otrzymujemy d = a − b c = 267−21 2 = 267−42 = 225... Od 225>21 ruszamy dalej.

Gdy c = 3 mamy d = a − b c = 267−21 3 = 267−63 = 204... Od 204>21 kontynuujemy selekcję.

Gdy c = 12 otrzymujemy d = a − b c = 267−21 12 = 267−252 = 15... Otrzymaliśmy liczbę 15, czyli mniej niż 21, więc proces można uznać za zakończony. Wybraliśmy niepełny iloraz c = 12, podczas gdy reszta d okazała się równa 15.

Odpowiedź:

267: 21 = 12 (odpoczynek 15).

Algorytm dzielenia liczb naturalnych przez resztę, przykłady, rozwiązania

W tej części rozważymy algorytm, który pozwala na dzielenie z resztą liczby naturalnej a przez liczbę naturalną b w przypadkach, gdy metoda odejmowania kolejnych (oraz metoda wyboru niepełnego ilorazu) wymaga zbyt wiele duża liczba operacje obliczeniowe.

Zauważ od razu, że jeśli dzielna a jest mniejsza niż dzielnik b, to znamy zarówno niepełny iloraz, jak i resztę: dla a b.

Zanim szczegółowo opiszemy wszystkie kroki algorytmu dzielenia liczb naturalnych przez resztę, odpowiemy na trzy pytania: co wiemy na początku, co musimy znaleźć i na podstawie jakich rozważań to zrobimy? Początkowo znamy dzielną a i dzielnik b. Musimy znaleźć niepełny iloraz c i resztę d. Równość a = b c + d określa relację między dzielną, dzielnikiem, ilorazem częściowym i resztą. Z zapisanej równości wynika, że jeśli przedstawimy dzielną a jako sumę bc + d, w której d jest mniejsze od b (ponieważ reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika), to zobaczymy zarówno niepełny iloraz c, jak i reszta re.

Pozostaje tylko wymyślić, jak przedstawić dywidendę a jako sumę b · c + d. Algorytm służący do tego jest bardzo podobny do algorytmu dzielenia liczb naturalnych bez reszty. Opiszemy wszystkie kroki, a jednocześnie poprowadzimy rozwiązanie przykładu dla większej przejrzystości. Podziel 899 przez 47.

Pierwsze pięć punktów algorytmu pozwoli Ci przedstawić dywidendę jako sumę kilku warunków. Należy zauważyć, że działania z tych punktów są cyklicznie powtarzane, aż do znalezienia wszystkich warunków, które składają się na dywidendę. W ostatnim szóstym akapicie otrzymana kwota jest przeliczana na formularz b c + d (jeśli otrzymana kwota nie ma jeszcze tego formularza), skąd widoczny jest poszukiwany niepełny iloraz i reszta.

Zacznijmy więc przedstawiać dywidendę 899 jako sumę kilku warunków.

Najpierw obliczamy, o ile liczba znaków w dzielnej jest większa niż liczba znaków w dzielniku, i zapamiętujemy tę liczbę.

W naszym przykładzie w rekordzie dzielnej są 3 znaki (899 to liczba trzycyfrowa), a w rekordzie dzielnika są dwa znaki (47 to liczba dwucyfrowa), zatem w rekordzie dywidendy jest jeszcze jeden znak i pamiętamy liczbę 1.

Teraz w rekordzie dzielnika po prawej stronie dodajemy cyfry 0 w ilości określonej przez liczbę uzyskaną w poprzednim akapicie. Co więcej, jeśli zapisana liczba jest większa niż dywidenda, wówczas 1 należy odjąć od liczby zapisanej w poprzednim akapicie.

Wróćmy do naszego przykładu. W zapisie dzielnika 47 dodajemy jedną cyfrę 0 z prawej strony i otrzymujemy liczbę 470. Od 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Następnie przypisujemy liczby 0 do liczby 1 po prawej stronie w ilości określonej przez liczbę zapamiętaną w poprzednim akapicie. W takim przypadku otrzymujemy jednostkę kategorii, z którą będziemy dalej pracować.

W naszym przykładzie przypisujemy 1 cyfrę 0 do liczby 1 i otrzymujemy liczbę 10, czyli będziemy pracować z cyfrą dziesiątek.

Teraz kolejno mnożymy dzielnik przez 1, 2, 3, ... jednostki kategorii roboczej, aż otrzymamy liczbę większą lub równą dywidendzie.

Dowiedzieliśmy się, że w naszym przykładzie miejscem pracy jest miejsce dziesiątek. Dlatego najpierw mnożymy dzielnik przez jedną jednostkę cyfry dziesiątek, czyli mnożymy 47 przez 10, otrzymujemy 47 10 = 470. Wynikowa liczba 470 jest mniejsza niż dywidenda 899, więc przystępujemy do pomnożenia dzielnika przez dwie jednostki miejsca dziesiątek, czyli 47 jest pomnożone przez 20. Mamy 47 20 = 940. Otrzymaliśmy liczbę większą niż 899.

Liczba uzyskana w przedostatnim kroku mnożenia sekwencyjnego jest pierwszym z wymaganych wyrazów.

W analizowanym przykładzie wymaganym terminem jest liczba 470 (liczba ta jest równa iloczynowi 47 * 100, z tej równości skorzystamy później).

Następnie znajdujemy różnicę między dywidendą a pierwszym znalezionym terminem. Jeśli wynikowa liczba jest większa niż dzielnik, przejdź do znalezienia drugiego wyrazu. W tym celu powtarzamy wszystkie opisane kroki algorytmu, ale już otrzymaną liczbę przyjmujemy jako dywidendę. Jeżeli w tym momencie ponownie uzyskamy liczbę większą niż dzielnik, to przystępujemy do znalezienia trzeciego wyrazu, ponownie powtarzając kroki algorytmu, przyjmując wynikową liczbę jako dzielną. Idziemy więc dalej, odnajdując czwarty, piąty i kolejne wyrazy, aż liczba uzyskana w tym akapicie będzie mniejsza niż dzielnik. Jak tylko to się stanie, bierzemy otrzymaną tutaj liczbę jako ostatni wymagany termin (z biegiem do przodu, powiedzmy, że jest równa reszcie) i przechodzimy do ostatniego etapu.

Wróćmy do naszego przykładu. Na tym etapie mamy 899-470 = 429. Ponieważ 429>47, bierzemy tę liczbę jako dywidendę i powtarzamy z nią wszystkie etapy algorytmu.

W zapisie liczby 429 jest o jeden znak więcej niż w zapisie liczby 47, dlatego pamiętamy liczbę 1.

Teraz w zapisie dywidendy po prawej dodajemy jedną cyfrę 0, otrzymujemy liczbę 470, która jest większa od liczby 429. Dlatego od liczby 1 zapamiętanej w poprzednim akapicie odejmujemy 1, otrzymujemy liczbę 0, którą pamiętamy.

Ponieważ w poprzednim akapicie zapamiętaliśmy liczbę 0, nie ma potrzeby przypisywania pojedynczej cyfry 0 do liczby 1 po prawej stronie. W tym przypadku mamy numer 1, czyli kategorią pracy jest kategoria jedności.

Teraz kolejno mnożymy dzielnik 47 przez 1, 2, 3, ... Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić. Powiedzmy, że 47 9 = 423<429 , а 47·10=470>429. Drugim wymaganym terminem jest liczba 423 (równa 47 · 9, której użyjemy poniżej).

Różnica między 429 a 423 wynosi 6. Ta liczba jest mniejsza niż dzielnik 47, więc jest to trzeci (i ostatni) wymagany wyraz. Teraz możemy przejść do ostatniego etapu.

Cóż, oto dochodzimy do ostatni etap... Wszystkie dotychczasowe działania miały na celu prezentację dywidendy jako sumy kilku terminów. Teraz pozostaje przekonwertować wynikową sumę na postać b c + d. W radzeniu sobie z tym zadaniem pomoże nam dystrybucyjna właściwość mnożenia względem dodawania. Po tym stanie się widoczny żądany niepełny iloraz i reszta.

W naszym przykładzie dywidenda 899 jest równa sumie trzech warunków 470, 423 i 6. Suma 470 + 423 + 6 może być przepisana jako 47 10 + 47 9 + 6 (pamiętajmy, że zwracaliśmy uwagę na równości 470 = 47 10 i 423 = 47 9). Teraz stosujemy własność mnożenia liczby naturalnej przez sumę i otrzymujemy 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6 = 47 19 + 6. W ten sposób dywidenda została przekształcona do postaci, której potrzebujemy 899 = 47 19 + 6, z której łatwo znaleźć niepełny iloraz 19 i resztę 6.

Tak więc 899: 47 = 19 (odpoczynek 6).

Oczywiście przy rozwiązywaniu przykładów nie będziesz tak szczegółowo opisywał procesu dzielenia z resztą.

Przeczytaj temat lekcji: „Podział z resztą”. Co już wiesz na ten temat?

Czy można równomiernie podzielić 8 śliwek na dwa talerze (rys. 1)?

Figa. 1. Ilustracja na przykład

Do każdego talerza można włożyć 4 śliwki (rys. 2).

Figa. 2. Ilustracja na przykład

Czynność, którą wykonaliśmy, można zapisać w ten sposób.

8: 2 = 4

Czy uważasz, że można równo podzielić 8 śliwek na 3 talerze (rys. 3)?

Figa. 3. Ilustracja na przykład

Będziemy się tak zachowywać. Najpierw na każdy talerz włóż jedną śliwkę, a następnie drugą śliwkę. Pozostaną nam 2 śliwki, ale 3 talerze. Oznacza to, że nie możemy dalej dzielić równo. Do każdego talerza wkładamy 2 śliwki, zostają nam 2 śliwki (rys. 4).

Figa. 4. Ilustracja na przykład

Kontynuujmy naszą obserwację.

Przeczytaj liczby. Wśród tych liczb znajdź te, które są podzielne przez 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Sprawdź się.

Pozostałe liczby (11, 13, 14, 16, 17, 19) nie są podzielne przez 3 lub mówią „Podziel się z resztą”.

Znajdźmy wartość ilorazu.

Dowiedz się, ile razy 3 zawiera się w liczbie 17 (ryc. 5).

Figa. 5. Ilustracja na przykład

Widzimy, że 3 owale pasują 5 razy, a 2 owale pozostają.

Wykonaną czynność można zarejestrować w następujący sposób.

17: 3 = 5 (odpoczynek 2)

Możesz także pisać w kolumnie (ryc. 6)

Figa. 6. Ilustracja na przykład

Rozważ rysunki. Wyjaśnij podpisy pod tymi rysunkami (rys. 7).

Figa. 7. Ilustracja na przykład

Rozważ pierwszy rysunek (ryc. 8).

Figa. 8. Ilustracja na przykład

Widzimy, że 15 owali podzielono przez 2, 2 powtórzono 7 razy, w pozostałych - 1 owal.

Rozważ drugą figurę (ryc. 9).

Figa. 9. Ilustracja na przykład

Na tej figurze 15 kwadratów podzielono na 4,4 powtórzono 3 razy, w pozostałych - 3 kwadraty.

Rozważ trzecią figurę (ryc. 10).

Figa. 10. Ilustracja na przykład

Można powiedzieć, że 15 owali podzielono na 3. Każdy z 3 powtórzono 5 razy po równo. W takich przypadkach mówi się, że reszta wynosi 0.

Zróbmy podział.

Podziel siedem kwadratów przez trzy. Dostajemy dwie grupy i pozostaje jeden kwadrat. Zapiszmy rozwiązanie (rys. 11).

Figa. 11. Ilustracja na przykład

Zróbmy podział.

Dowiedz się, ile razy cztery są zawarte w liczbie 10. Widzimy, że liczba 10 zawiera cztery dwa razy i pozostają 2 kwadraty. Zapiszmy rozwiązanie (rys. 12).

Figa. 12. Ilustracja na przykład

Zróbmy podział.

Dowiedz się, ile razy dwa są zawarte w liczbie 11. Widzimy, że liczba 11 zawiera dwa pięć razy i pozostaje 1 kwadrat. Zapiszmy rozwiązanie (rys. 13).

Figa. 13. Ilustracja na przykład

Zróbmy wniosek. Dzielenie przez resztę oznacza sprawdzenie, ile razy dzielnik jest zawarty w dzielnej i ile jednostek pozostało.

Dzielenie z resztą można również wykonać na promieniu numerycznym.

Na promieniu numerycznym zaznacz segmenty 3 podziałów i zobacz, że były trzy podziały trzy razy i jeden podział pozostał (ryc. 14).

Figa. 14. Ilustracja na przykład

Zapiszmy rozwiązanie.

10: 3 = 3 (odpoczynek 1)

Zróbmy podział.

Na promieniu numerycznym zaznacz segmenty 3 podziałów i zobacz, że były trzy podziały trzy razy i pozostały dwa podziały (ryc. 15).

Figa. 15. Ilustracja na przykład

Zapiszmy rozwiązanie.

11: 3 = 3 (odpoczynek 2)

Zróbmy podział.

Na promieniu numerycznym zaznacz segmenty 3 podziałów i zobacz, że otrzymaliśmy dokładnie 4 razy, reszta jest nieobecna (ryc. 16).

Figa. 16. Ilustracja na przykład

Zapiszmy rozwiązanie.

12: 3 = 4

Dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z dzieleniem z resztą, nauczyliśmy się wykonywać nazwaną akcję za pomocą obrazka i promienia liczbowego oraz przećwiczyliśmy rozwiązywanie przykładów na temat lekcji.

Bibliografia

MI. Moreau, mgr Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Ocena 3: w 2 częściach, część 1. - M .: "Edukacja", 2012.

MI. Moreau, mgr Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Ocena 3: w 2 częściach, część 2. - M .: "Edukacja", 2012.

MI. Moreau. Lekcje matematyki: Wytyczne dla nauczyciela. Ocena 3. - M .: Edukacja, 2012.

Normatywny dokument prawny. Monitorowanie i ocena efektów uczenia się. - M .: „Edukacja”, 2011.

"Szkoła Rosji": Programy dla Szkoła Podstawowa... - M .: „Edukacja”, 2011.

SI. Wołkowa. Matematyka: Prace weryfikacyjne... Ocena 3. - M .: Edukacja, 2012.

V.N. Rudnickiej. Testy. - M .: „Egzamin”, 2012.

Nsportal.ru ().

Prosv.ru ().

Do.gendocs.ru ().

Zadanie domowe

1. Zapisz liczby podzielne przez 2 bez reszty.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Dokonaj dzielenia z resztą używając obrazka.

3. Wykonaj dzielenie z resztą za pomocą belki liczbowej.

4. Zrób zadanie swoim kolegom z klasy na temat lekcji.

Dzielenie z resztą- To jest dzielenie jednej liczby przez drugą, w której reszta nie jest równa zeru.

Dzielenie nie zawsze jest możliwe, ponieważ zdarza się, że jedna liczba nie jest podzielna przez drugą. Na przykład liczba 11 nie jest podzielna przez 3, ponieważ nie ma liczby naturalnej, która pomnożona przez 3 dałaby 11.

Gdy nie można dokonać podziału, uzgodniono, że podzieli się nie całą dywidendę, a tylko jej największą część, którą może podzielić tylko dzielnik. W ten przykład największa część dywidendy, którą można podzielić przez 3 to 9 (w efekcie otrzymujemy 3), pozostała mniejsza część dywidendy, 2, nie zostanie podzielona przez 3.

Mówiąc o dzieleniu 11 przez 3, 11 nadal nazywa się podzielnymi, 3 jest dzielnikiem, wynikiem dzielenia jest liczba 3, są one nazywane niekompletny prywatny, a liczba 2 to pozostała część podziału... Samo dzielenie w tym przypadku nazywa się dzieleniem reszty.

Niekompletny prywatny nazywa się największa liczba, co po pomnożeniu przez dzielnik daje iloczyn nieprzekraczający dywidendy. Różnica między dywidendą a tym produktem nazywana jest resztą. Reszta jest zawsze mniejsza niż dzielnik, w przeciwnym razie może być również podzielona przez dzielnik.

Dzielenie z resztą można zapisać w następujący sposób:

11: 3 = 3 (pozostałe 2)

Jeśli dzieląc jedną liczbę naturalną przez drugą, reszta wynosi 0, to mówią, że pierwsza liczba jest całkowicie podzielna przez drugą. Na przykład 4 jest podzielne przez 2. Liczba 5 nie jest podzielna przez 2. Słowo to jest zazwyczaj całkowicie pomijane dla zwięzłości i mówią: taka a taka liczba jest podzielna przez inną, na przykład: 4 jest podzielne przez 2, a 5 nie jest podzielne przez 2.

Sprawdzanie dzielenia z resztą

Możesz sprawdzić wynik dzielenia z resztą w następujący sposób: niepełny iloraz jest mnożony przez dzielnik (lub odwrotnie), a reszta jest dodawana do otrzymanego iloczynu. Jeśli wynik jest liczbą równą dywidendzie, to dzielenie z resztą jest wykonane poprawnie:

11: 3 = 3 (pozostałe 2)

W tym artykule przyjrzymy się bliżej reszta dzielenia... Zacznijmy ogólny widok o tej akcji, wtedy dowiemy się znaczenie dzielenia liczb naturalnych przez resztę i wprowadź niezbędne terminy. Następnie przedstawiamy zakres problemów, które można rozwiązać, dzieląc liczby naturalne przez resztę. Na zakończenie zajmijmy się wszelkiego rodzaju powiązaniami między dzielną, dzielnikiem, ilorazem niepełnym i resztą z dzielenia.

Nawigacja po stronach.

Odpowiedź:

Dywidenda wynosi 79.

Należy również zauważyć, że sprawdzenie wyniku dzielenia liczb naturalnych z resztą odbywa się poprzez sprawdzenie poprawności otrzymanej równości a = b c + d.

Znalezienie reszty, jeśli znana jest dzielna, dzielnik i iloraz niepełny

W swoim znaczeniu, reszta d to liczba elementów, które pozostają w oryginalnym zestawie po wykluczeniu z jego elementów a b razy w c elementach. W konsekwencji, ze względu na znaczenie mnożenia liczb naturalnych i znaczenie odejmowania liczb naturalnych, równość d = a − b c... W ten sposób, reszta d z dzielenia liczby naturalnej a przez liczbę naturalną b jest równa różnicy między dzielną a i iloczynem dzielnika b przez niepełny iloraz c.

Otrzymane połączenie d = a − b · c pozwala znaleźć resztę, gdy znana jest dzielna, dzielnik i iloraz niepełny. Rozważmy rozwiązanie przykładu.

Jak nauczyć dziecko dzielić? Najłatwiejsza metoda to nauczyć się długiego dzielenia... Jest to o wiele łatwiejsze niż wykonywanie obliczeń w umyśle, pomaga nie pogubić się, nie „zgubić” liczb i opracować schemat myślowy, który będzie działał automatycznie w przyszłości.
W kontakcie z

Jak jest

Pozostały podział to sposób, w jaki liczby nie można podzielić na dokładnie kilka części. W wyniku tego matematycznego działania, oprócz całej części, pozostaje niepodzielny kawałek.

Podajmy prosty przykład jak podzielić z resztą:

Jest puszka na 5 litrów wody i 2 puszki na 2 litry. Gdy woda zostanie przelana z pięciolitrowego słoika do dwulitrowego słoika, w pięciolitrowym słoiku pozostanie 1 litr niezużytej wody. To jest reszta. Cyfrowo wygląda to tak:

5: 2 = 2 przerwy (1). Skąd pochodzi 1? 2x2 = 4, 5-4 = 1.

Spójrzmy teraz na kolejność dzielenia na dzielenie długie. Ułatwia to wizualnie proces obliczeń i pomaga nie tracić liczb.

Algorytm określa położenie wszystkich elementów i kolejność działań, według których wykonywane są obliczenia. Jako przykład podzielmy 17 przez 5.

Główne kroki:

Poprawny wpis. Podzielna (17) - znajduje się po lewej stronie. Po prawej stronie dywidendy wpisz dzielnik (5). Między nimi rysuje się linię pionową (oznacza znak podziału), a następnie od tej linii rysuje się linię poziomą, podkreślającą przegrodę. Główne cechy są podświetlone na pomarańczowo.

Szukaj całości. Następnie przeprowadzana jest pierwsza i najprostsza kalkulacja - ile dzielników mieści się w dywidendzie. Użyjmy tabliczki mnożenia i sprawdźmy w kolejności: 5 * 1 = 5 - dopasowania, 5 * 2 = 10 - dopasowania, 5 * 3 = 15 - dopasowania, 5 * 4 = 20 - nie pasuje. Pięć razy cztery to więcej niż siedemnaście, co oznacza, że czwarta piątka nie pasuje. Wracając do trzech. W 17-litrowym słoiku zmieszczą się 3 5-litrowe słoiki. Wynik zapisujemy w postaci: piszemy 3 pod linią, pod dzielnikiem. 3 jest ilorazem niepełnym.

Określenie reszty. 3 * 5 = 15. Pod dywidendą zapisujemy 15. Rysujemy linię (oznacza znak „=”). Odejmij wynikową liczbę od dywidendy: 17-15 = 2. Wynik zapisujemy poniżej pod linią - w kolumnie (stąd nazwa algorytmu). 2 to reszta.

Uwaga! Dzieląc w ten sposób, reszta musi zawsze być mniejsza niż dzielnik.

Kiedy dzielnik jest większy niż dywidenda

Trudności pojawiają się, gdy dzielnik jest większy niż dywidenda. Ułamki dziesiętne w programie dla klasy 3 nie są jeszcze studiowane, ale zgodnie z logiką odpowiedź powinna być napisana w postaci ułamka - w najlepszym razie dziesiętnego, w najgorszym - prostego. Ale (!) Oprócz programu metoda obliczeń ogranicza zadanie: trzeba nie dzielić, ale znaleźć resztę! część tego nie jest! Jak rozwiązać ten problem?

Uwaga! Obowiązuje zasada przypadków, gdy dzielnik jest większy niż dzielna: niepełny iloraz wynosi 0, reszta równa się dzielnej.

Jak podzielić liczbę 5 przez liczbę 6, podkreślając resztę? Ile 6-litrowych puszek zmieści się w 5-litrowej? ponieważ 6 jest większe niż 5.

Na zlecenie konieczne jest napełnienie 5 litrów - żadne nie są napełnione. Oznacza to, że pozostaje wszystkie 5. Odpowiedź: niepełny iloraz = 0, reszta = 5.

Oddział rozpoczyna naukę w trzeciej klasie szkoły. Do tego czasu uczniowie powinni już, co pozwala im dzielić liczby dwucyfrowe przez liczby jednocyfrowe.

Rozwiąż problem: daj 18 cukierków pięciorgu dzieci. Ile cukierków zostało?

Przykłady:

Znajdujemy niepełny iloraz: 3 * 1 = 3, 3 * 2 = 6, 3 * 3 = 9, 3 * 4 = 12, 3 * 5 = 15. 5 - brutalna siła. Powrót do 4.

Reszta: 3 * 4 = 12, 14-12 = 2.

Odpowiedź: niepełny iloraz 4, pozostało 2.

Możesz zapytać, dlaczego przy dzieleniu przez 2 reszta to 1 lub 0. Zgodnie z tabliczką mnożenia między liczbami będącymi wielokrotnościami dwóch jest różnica jednego.

Jeszcze jedno zadanie: 3 ciasta muszą zostać podzielone przez dwa.

Podziel 4 paszteciki na dwa.

Podziel 5 ciastek na dwoje.

Praca z liczbami wielocyfrowymi

Program czwartej klasy oferuje bardziej złożony proces dzielenia ze wzrostem obliczonych liczb. Jeżeli w klasie III obliczenia prowadzono w oparciu o podstawową tabliczkę mnożenia w zakresie od 1 do 10, to czwartoklasiści wykonują obliczenia z liczbami wielocyfrowymi większymi niż 100.

Czynność tę najwygodniej wykonać w kolumnie, ponieważ niepełny iloraz będzie również liczbą dwucyfrową (w większości przypadków), a algorytm kolumnowy sprawia, że obliczenia są łatwiejsze i bardziej intuicyjne.

Podzielić liczby wielocyfrowe na dwie cyfry: 386:25

Ten przykład różni się od poprzednich liczbą poziomów obliczeniowych, chociaż obliczenia prowadzone są według tej samej zasady co poprzednio. Przyjrzyjmy się bliżej:

386 to dywidenda, 25 to dzielnik. Konieczne jest znalezienie niepełnego ilorazu i wybranie reszty.

Pierwszy poziom

Dzielnik to liczba dwucyfrowa. Dywidenda jest trzycyfrowa. Wybierz pierwsze dwie lewe cyfry z dywidendy - to jest 38. Porównaj je z dzielnikiem. 38 to więcej niż 25? Tak, więc 38 można podzielić przez 25. Ile całych 25 jest w 38?

25 * 1 = 25, 25 * 2 = 50. 50 to więcej niż 38, cofnij się o jeden krok.

Odpowiedź brzmi 1. Piszemy jednostkę do strefy niezupełnie prywatny.

38-25 = 13. Numer 13 zapisujemy pod linią.

Drugi poziom

13 to więcej niż 25? Nie - oznacza to, że możesz "obniżyć" cyfrę 6, dodając ją obok 13 po prawej stronie. Okazało się, że 136. 136 to więcej niż 25? Tak - więc możesz to odjąć. Ile razy 25 mieści się w 136?

25 * 1 = 25, 25 * 2 = 50, 25 * 3 = 75, 25 * 4 = 100, 25 * 5 = 125, 256 * = 150. 150 to więcej niż 136 - cofnij się o jeden krok. Piszemy cyfrę 5 w niepełnym obszarze prywatnym, po prawej stronie.

Obliczamy resztę:

136-125 = 11. Piszemy poniżej linii. 11 to więcej niż 25? Nie - nie można dokonać podziału. Czy dywidenda nadal ma liczby? Nie - nie ma nic więcej do udostępnienia. Obliczenia się skończyły.

Odpowiedź: niepełny iloraz to 15, reszta to 11.

A jeśli taki podział jest proponowany, gdy dzielnik dwucyfrowy więcej najpierw dwucyfrowa niejednoznaczna dywidenda? W takim przypadku trzecia (czwarta, piąta i kolejne) cyfra dywidendy bierze udział od razu w obliczeniach.

Podajmy przykłady na działkę z numerami trzy- i czterocyfrowymi:

75 to liczba dwucyfrowa. 386 jest trzycyfrowy. Porównaj pierwsze dwie cyfry po lewej stronie z dzielnikiem. 38 ponad 75? Nie - podziału nie da się zrobić. Bierzemy wszystkie 3 cyfry. 386 ponad 75? Tak - podział można zrobić. Wykonujemy obliczenia.

75 * 1 = 75, 75 * 2 = 150, 75 * 3 = 225, 75 * 4 = 300, 75 * 5 = 375, 75 * 6 = 450. 450 to więcej niż 386 - cofamy się o krok. Piszemy 5 w niepełnej strefie prywatnej.

Znajdź resztę: 386-375 = 11. 11 ponad 75? Nie. Czy masz jeszcze numery do dywidendy? Nie. Obliczenia się skończyły.

Odpowiedź: iloraz niepełny = 5, w pozostałej części - 11.

Sprawdzanie: 11 to więcej niż 35? Nie - podziału nie da się zrobić. Zastąp trzecią liczbę - 119 to więcej niż 35? Tak - możemy przeprowadzić akcję.

35 * 1 = 35, 35 * 2 = 70, 35 * 3 = 105, 35 * 4 = 140. 140 to więcej niż 119 - cofnij się o jeden krok. Piszemy 3 w niepełnej pozostałej strefie.

Znajdź resztę: 119-105 = 14. 14 to więcej niż 35? Nie. Czy dywidenda nadal ma liczby? Nie. Obliczenia są kompletne.

Odpowiedź: iloraz niepełny = 3, lewy - 14.

Sprawdź 11 to więcej niż 99? Nie - podstawiamy jeszcze jedną liczbę. 119 ponad 99? Tak - zacznijmy liczyć.

11<99, 119>99.

99 * 1 = 99, 99 * 2 = 198 - brutalna siła. Piszemy 1 w niepełnym ilorazu.

Znajdź resztę: 119-99 = 20. dwadzieścia<99. Опускаем 5. 205>99. Oblicz.

99 * 1 = 99,99 * 2 = 198,99 * 3 = 297. Przesada. Piszemy 2 w niepełnym ilorazu.

Znajdź resztę: 205-198 = 7.

Odpowiedź: iloraz niepełny = 12, reszta - 7.

Dzielenie z resztą - przykłady

Nauka dzielenia długiego z resztą

Wynik

W ten sposób przeprowadzane są obliczenia. Jeśli będziesz ostrożny i przestrzegasz zasad, nie będzie tu nic trudnego. Każdy uczeń może nauczyć się liczyć kolumną, ponieważ jest to szybkie i wygodne.