Przekrój w zwykłym pryzmacie czworokątnym. Przekrój w pryzmacie czworokątnym regularnym W pryzmacie czworokątnym regularnym abcda1b1c1d1

W pryzmacie czworokątnym regularnym ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 boki podstawy są równe 2, a krawędzie boczne równe 5. Na krawędzi AA 1 zaznaczono punkt E tak, że AE: EA 1 = 3 : 2. Znajdź kąt między płaszczyznami ABC i BED 1 ...

Rozwiązanie. Niech prosta D 1 E przecina prostą AD w punkcie K. Wtedy płaszczyzny ABC i BED 1 przecinają się wzdłuż prostej KB.

Od punktu E opuszczamy prostopadłą EH do prostej KB, wtedy odcinek AH (rzut EH) będzie prostopadły do ​​prostej KB (twierdzenie o trzech prostopadłych).

Kąt AHE to kąt liniowy kąta dwuściennego utworzonego przez płaszczyzny ABC i BED 1.

Ponieważ AE: EA 1 = 3: 2, otrzymujemy:.

Z podobieństwa trójkątów A 1 D 1 E i AKE otrzymujemy: .

W trójkącie prostokątnym AKB o kącie prostym A: AB = 2, AK = 3; gdzie jest wysokość?
.

Z trójkąta prostokątnego AHE o kącie prostym A otrzymujemy: i ∠ AHE = arctan (√13 / 2).

Odpowiedź: arctg (√13 / 2).

Zadania dla niezależna decyzja

1 w prostokątny równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Znajdź kąt pomiędzy prostą AB a płaszczyzną ABC 1.

2. W prostopadłym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie kąty są równe 1. Znajdź odległość od punktu B do płaszczyzny DEA 1.

3. W prostopadłościanie prostokątnym ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Znajdź kąt między prostą AB 1 a płaszczyzną ABC 1.

Zadanie.

W prawidłowym pryzmat czworokątny ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 boki podstawy są równe 3, a krawędzie boczne są równe 4. Na krawędzi AA 1 zaznacza się punkt E tak, że AE: EA 1 = 1: 3.

a) Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn ABC i BED 1.

b) Znajdź kąt między płaszczyznami ABC i BED 1.

Rozwiązanie:

a) Skonstruuj prostą linię przecięcia płaszczyznABC iŁÓŻKO 1.

Zbudujmy samolot BED 1. Punkty E i D 1 leżą na tej samej płaszczyźnie, więc rysujemy linię ED 1.

Punkty E i B leżą na tej samej płaszczyźnie, więc rysujemy linię EB. Tak więc ściany regularnego pryzmatu czworokątnego są równoległe, rysujemy na ścianie BB 1 С 1 С linię prostą BF równoległą do linii prostej ED 1. Punkty F i D 1 leżą na tej samej płaszczyźnie, więc rysujemy prostą FD 1. Masz pożądany samolot BED 1.

Ponieważ prosta ED 1 i prosta AD leżą w tej samej płaszczyźnie ADD 1, przecinają się one w punkcie K, który leży na płaszczyźnie ABC. Punkty K i B leżą na płaszczyznach ABC i BED 1, dlatego płaszczyzny ABC i BED 1 przecinają się wzdłuż prostej KB. Konstruowana jest poszukiwana linia przecięcia płaszczyzn ABC i BED 1.

b) Znajdź kąt między płaszczyznamiABC iŁÓŻKO 1

Odcinek AE jest prostopadły do ​​płaszczyzny ABC, od punktu E obniżamy prostopadłą EH do linii KB. Punkt H leży na płaszczyźnie ABC, wtedy AH jest rzutem EH na płaszczyznę ABC. Prosta prostopadła do nachylonej EH przechodzi przez punkt H, a następnie zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych odcinek AH jest prostopadły do ​​prostej KB.

Kąt ∠EHA jest kątem liniowym kąta dwuściennego utworzonego przez płaszczyzny ABC i BED1. Kąt ∠EHA - żądany kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BED 1. Znajdźmy wartość tego kąta.

Rozważać trójkąt prostokątny EHA (∠А = 90˚):

Według warunku AE: EA 1 = 1: 3, a następnie AE: AA 1 = 1: 4.

Trójkąty AKE i A 1 D 1 E są więc podobne, więc

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 - AE = 3

Rozważ trójkąt prostokątny AKB (∠A = 90˚).

Rozważmy kolejne dwupunktowe zadanie stereometryczne z treningu CMM.

Zadanie.W zwykłym czworokątnym pryzmacie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bok AB podstawy jest równy 5, a boczna krawędź AA 1 jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z pięciu. Na żebrach samolotu i C 1 D 1 oznaczone punkty K i L odpowiednio, z CK = 2 i C 1 L = 1. Samolot grównolegle do linii B D i zawiera punkty K i L.

a) Udowodnij, że prosta А 1 С jest prostopadła do płaszczyznyg.

b) Znajdź objętość piramidy, której wierzchołek jest punktem A1, a podstawą jest przekrój danego pryzmatu przy płaszczyźnieg.

Rozwiązanie.a) Starannie wykonaj rysunek i przeanalizuj dane. NS ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - regularny pryzmat czworokątny, czyli podstawa ABCD - kwadrat o boku 5. Żebra boczne są prostopadłe do podstaw. Od samolotugprzechodzi przez punkt K i jest równoległa do prostej B D , to linia przecięcia płaszczyznyga płaszczyzna ABC jest równoległa do prostej B D (Jeśli inna płaszczyzna jest poprowadzona linią prostą równoległą do tej płaszczyzny, to linia przecięcia tych płaszczyzn będzie równoległa do tej prostej).

Przez punkt K rysujemy linię prostą równoległą do B D przed przejściem płyta CD w punkcie M. Więc KM jest prostopadła do AS ( NS przekątne kwadratu BD i AC są prostopadłe ).

Trójkąty BCD i SCM są podobne (zarówno prostokątne, jak i równoramienne), więc CM = KS = 2. Z twierdzenia Pitagorasa z trójkąta CKM wynika, że ​​KM = 2√2i z trójkąta BCD BD = 5 √2 ... Przekątne kwadratu są równe, co oznacza, że ​​AC = BD = 5 2.

Teraz przez punkt L rysujemy prosty równoległy B D przed przejściem B1C1 w punkcie T. Wzdłuż odcinka T L samolot KM L przekroczy górną podstawę ( Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecina trzecia płaszczyzna, to linie przecięcia będą równoległe). Więc T C1 = C1L = 1. Z trójkąta T LC 1 przez twierdzenie Pitagorasa T L = √2.

W trapezie równoramiennym CT L M punkt H - środek górnej podstawy, punkt n - środek dolnej podstawy, następnie H n - wysokość trapezu, N n prostopadle do CM. Oznacza to, że KM jest prostopadła do płaszczyzny AA 1 C, w tym prostej A 1 C.

Rozważ ukośną sekcję pryzmatu prostokątnego AA 1 C 1 C. Od punktu H spuśćmy prostopadłą do AC. Następnie N E = EC = H C 1 = 0,5 √2. NIE = C C 1 = √5.

W trójkątach AA 1 C i n PC kąt PCA - wspólny. Tangens kąta AA 1 C wynosi 5√2: √5 = √10 Tangens kąta H N E z trójkąta H N E jest równe √5: 0,5 √2 = √10 ... Stąd kąty AA 1 C i H n E są równe. Ale wtedy pozostałe kąty A 1 AC = N РС = 90 ⁰ ... Mamy A 1 C prostopadłe do linii prostych H n i KM, czyli A 1 C jest prostopadła do płaszczyzny trapezu KT L M. Co trzeba było udowodnić.

Aby znaleźć objętość piramidy A 1 CT L M, musisz znaleźć obszar trapezu CT L M i wysokość A 1 R. Z trójkąta H n E przez twierdzenie Pitagorasa H N 2 = 5,5. Obszar trapezu CT L M jest równe H N * (TL + KM) / 2 = √5,5 * (√2 + 2 √2) / 2 = 1,5 √11.