Podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach. Transformacja wyrażeń wymiernych Ułamkowe wyrażenia wymierne przykłady z rozwiązaniami

Przede wszystkim, aby nauczyć się pracować z ułamkami wymiernymi bez błędów, musisz nauczyć się skróconych wzorów mnożenia. I nie jest to łatwe do nauczenia – trzeba je rozpoznać nawet wtedy, gdy sinusy, logarytmy i pierwiastki działają jak wyrażenia.

Jednak głównym narzędziem pozostaje faktoryzacja licznika i mianownika ułamka wymiernego. Można to osiągnąć na trzy różne sposoby:

Właściwie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia: pozwalają złożyć wielomian na jeden lub więcej czynników;
Korzystanie z faktoryzacji trójmianu kwadratowego ze względu na dyskryminację. Ta sama metoda pozwala nam upewnić się, że żaden trójmian nie rozkłada się w ogóle na czynniki;
Metoda grupowania jest najtrudniejszym narzędziem, ale jest to jedyna metoda, która działa, jeśli poprzednie dwie nie działały.

Jak zapewne zgadłeś z tytułu tego filmu, jeszcze raz porozmawiamy o ułamkach wymiernych. Zaledwie kilka minut temu skończyłem lekcję z jedną dziesiątą klasą i tam analizowaliśmy te właśnie wyrażenia. Dlatego ta lekcja będzie przeznaczona specjalnie dla uczniów szkół średnich.

Z pewnością wielu będzie teraz miało pytanie: „Dlaczego uczniowie w klasach 10-11 mają uczyć się tak prostych rzeczy jak ułamki wymierne, ponieważ robi się to w klasie 8?” Problem polega jednak na tym, że większość ludzi po prostu „przepuszcza” ten temat. W klasach 10-11 nie pamiętają już, jak się robi mnożenie, dzielenie, odejmowanie i dodawanie ułamków wymiernych z klasy 8, ale to na tej prostej wiedzy budowane są kolejne, bardziej złożone konstrukcje, takie jak rozwiązanie logarytmiczne , równania trygonometryczne i wiele innych złożonych wyrażeń, więc w liceum praktycznie nie ma nic do roboty bez ułamków wymiernych.

Formuły rozwiązywania problemów

Przejdźmy do interesów. Przede wszystkim potrzebujemy dwóch faktów - dwóch zestawów formuł. Przede wszystkim musisz znać skrócone wzory mnożenia:

$ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) $ - różnica kwadratów;
$ ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)) $ - kwadrat sumy lub różnica;
$ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ lewo (a + b \ prawo) \ lewo (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \ prawo) $ - suma kostek;
$ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ lewo (ab \ right) \ lewo (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2 ) ) \ prawo) $ - różnica kostek.

W czystej postaci nie można ich znaleźć w żadnych przykładach ani w prawdziwych poważnych wyrażeniach. Dlatego naszym zadaniem jest nauczyć się widzieć znacznie bardziej złożone konstrukcje pod literami $ a $ i $ b $, na przykład logarytmy, pierwiastki, sinusy itp. Możesz nauczyć się widzieć to tylko poprzez stałą praktykę. Dlatego rozwiązywanie ułamków wymiernych jest absolutnie konieczne.

Drugim, zupełnie oczywistym wzorem jest faktoryzacja trójmianu kwadratowego:

$ ((x) _ (1)) $; $ ((x) _ (2)) $ - pierwiastki.

Zajęliśmy się częścią teoretyczną. Ale jak rozwiązać rzeczywiste ułamki wymierne, które są brane pod uwagę w klasie 8? Teraz będziemy ćwiczyć.

Problem numer 1

\ [\ frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) (((b) ^ (3)) - 4): \ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \]

Spróbujmy zastosować powyższe wzory do rozwiązywania ułamków wymiernych. Przede wszystkim chcę wyjaśnić, dlaczego faktoring jest w ogóle potrzebny. Faktem jest, że na pierwszy rzut oka na pierwszą część zadania chcesz zmniejszyć sześcian o kwadrat, ale jest to absolutnie niemożliwe, ponieważ są to wyrażenia w liczniku i mianowniku, ale w żadnym wypadku nie są czynnikami .

Ogólnie, co to jest obniżka? Skrót jest ogólną zasadą postępowania z takimi wyrażeniami. Główną właściwością ułamka jest to, że możemy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę, inną niż zero. W tym przypadku, gdy zmniejszymy, to wręcz przeciwnie, dzielimy przez tę samą liczbę, różną od „zera”. Musimy jednak podzielić wszystkie wyrazy w mianowniku przez tę samą liczbę. Nie możesz tego zrobić. A my mamy prawo anulować licznik z mianownikiem tylko wtedy, gdy oba są faktoryzowane. Zróbmy to.

Teraz musisz zobaczyć, ile terminów znajduje się w jednym lub drugim elemencie, zgodnie z tym, dowiedz się, której formuły należy użyć.

Skonwertujmy każde wyrażenie na dokładny sześcian:

Przepiszmy licznik:

\ [((\ lewo (3a \ prawo)) ^ (3)) - ((\ lewo (4b \ prawo)) ^ (3)) = \ lewo (3a-4b \ prawo) \ lewo (((\ lewo (3a \ prawo)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ lewo (4b \ prawo)) ^ (2)) \ prawo) \]

Przyjrzyjmy się mianownikowi. Rozwińmy to według wzoru na różnicę kwadratów:

\ [((b) ^ (2)) - 4 = ((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ lewa (b-2 \ prawa) \ lewa (b + 2 \ prawidłowy) \]

Przyjrzyjmy się teraz drugiej części wyrażenia:

Licznik ułamka:

Pozostaje ustalić mianownik:

\ [((b) ^ (2)) + 2 \ cdot 2b + ((2) ^ (2)) = ((\ lewo (b + 2 \ prawo)) ^ (2)) \]

Przepiszmy całą konstrukcję biorąc pod uwagę powyższe fakty:

\ [\ frac (\ lewy (3a-4b \ prawy) \ lewy (((\ lewy (3a \ prawy)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ lewy (4b \ prawy)) ^ ( 2 )) \ prawo)) (\ lewo (b-2 \ prawo) \ lewo (b + 2 \ prawo)) \ cdot \ frac (((\ lewo (b + 2 \ prawo)) ^ (2))) ( ((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (\ lewy (3a-4b \ prawy) \ lewy (b + 2 \ prawy)) (\ lewy (b-2 \ prawy)) \]

Niuanse mnożenia ułamków wymiernych

Kluczowy wniosek z tych konstrukcji jest następujący:

Nie każdy wielomian jest rozkładany na czynniki.
Nawet jeśli się rozwinie, należy dokładnie przyjrzeć się, jaka konkretna formuła skróconego mnożenia.

Aby to zrobić, najpierw musisz oszacować, ile jest sum (jeśli są dwa z nich, to wszystko, co możemy zrobić, to rozszerzyć je albo o sumę różnicy kwadratów, albo o sumę lub różnicę sześcianów; a jeśli są trzy z nich, to jest to jednoznacznie albo kwadrat sumy, albo kwadrat różnicy). Często zdarza się, że albo licznik, albo mianownik w ogóle nie wymaga faktoryzacji, może być liniowy lub jego wyróżnik będzie ujemny.

Problem numer 2

\ [\ frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \ cdot \ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \ cdot \ frac (8 - ((x) ^ (3))) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \]

Ogólnie rzecz biorąc, schemat rozwiązania tego problemu nie różni się od poprzedniego - po prostu będzie więcej działań i staną się bardziej zróżnicowane.

Zacznijmy od pierwszego ułamka: spójrzmy na jego licznik i dokonajmy możliwych przekształceń:

Spójrzmy teraz na mianownik:

Z drugim ułamkiem: nic nie można zrobić w liczniku, ponieważ jest to wyrażenie liniowe i nie można z niego wyciągnąć żadnego czynnika. Spójrzmy na mianownik:

\ [((x) ^ (2)) - 4x + 4 = ((x) ^ (2)) - 2 \ cdot 2x + ((2) ^ (2)) = ((\ lewo (x-2 \ prawo)) ^ (2)) \]

Przechodzimy do trzeciej frakcji. Licznik ułamka:

Zajmijmy się mianownikiem ostatniego ułamka:

Przepiszmy wyrażenie, biorąc pod uwagę powyższe fakty:

\ [\ frac (3 \ lewo (1-2x \ prawo)) (2 \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo)) \ cdot \ frac (2x + 1) ((( \ left (x-2 \ right)) ^ (2))) \ cdot \ frac (\ left (2-x \ right) \ left (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) \ prawo)) (\ lewo (2x-1 \ prawo) \ lewo (2x + 1 \ prawo)) = \]

\ [= \ frac (-3) (2 \ lewo (2-x \ prawo)) = - \ frac (3) (2 \ lewo (2-x \ prawo)) = \ frac (3) (2 \ lewo) (x-2 \ prawy)) \]

Niuanse rozwiązań

Jak widać nie wszystko i nie zawsze opiera się na skróconych wzorach mnożenia - czasami wystarczy po prostu wykluczyć stałą lub zmienną z nawiasów. Istnieje jednak również sytuacja odwrotna, gdy wyrazów jest tak wiele lub są one tak skonstruowane, że formuły ich skróconego mnożenia są w zasadzie niemożliwe. W tym przypadku z pomocą przychodzi nam uniwersalne narzędzie, a mianowicie metoda grupowania. To właśnie zastosujemy teraz w następnym zadaniu.

Problem numer 3

\ [\ frac (((a) ^ (2)) + ab) (5a - ((a) ^ (2)) + ((b) ^ (2)) - 5b) \ cdot \ frac (((a ) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Rzućmy okiem na pierwszą część:

\ [((a) ^ (2)) + ab = a \ lewy (a + b \ prawy) \]

\ [= 5 \ lewo (ab \ prawo) - \ lewo (ab \ prawo) \ lewo (a + b \ prawo) = \ lewo (ab \ prawo) \ lewo (5-1 \ lewo (a + b \ prawo) ) \ prawo) = \]

\ [= \ lewy (a-b \ prawy) \ lewy (5-a-b \ prawy) \]

Przepiszmy oryginalne wyrażenie:

\ [\ frac (a \ lewy (a + b \ prawy)) (\ lewy (ab \ prawy) \ lewy (5-ab \ prawy)) \ cdot \ frac (((a) ^ (2)) - ( (b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Zajmijmy się teraz drugim nawiasem:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a = ((a) ^ (2)) - 10a + 25 - ((b) ^ (2)) = \ lewo (((a) ^ (2)) - 2 \ cdot 5a + ((5) ^ (2)) \ prawo) - ((b) ^ (2)) = \]

\ [= ((\ lewo (a-5 \ prawo)) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ lewo (a-5-b \ prawo) \ lewo (a-5 + b \ prawidłowy) \]

Ponieważ tych dwóch elementów nie można było pogrupować, pogrupowaliśmy trzy. Pozostaje tylko ustalić mianownik ostatniej frakcji:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ lewa (a-b \ prawa) \ lewa (a + b \ prawa) \]

Teraz przepiszmy całą naszą konstrukcję:

\ [\ frac (a \ lewy (a + b \ prawy)) (\ lewy (ab \ prawy) \ lewy (5-ab \ prawy)) \ cdot \ frac (\ lewy (a-5-b \ prawy) \ lewo (a-5 + b \ prawo)) (\ lewo (ab \ prawo) \ lewo (a + b \ prawo)) = \ frac (a \ lewo (ba + 5 \ prawo)) ((( \ lewo (ab \ prawo)) ^ (2))) \]

Problem został rozwiązany i nic więcej nie można tutaj uprościć.

Niuanse rozwiązań

Ustaliliśmy grupowanie i otrzymaliśmy kolejne bardzo potężne narzędzie, które rozszerza możliwości faktoringu. Problem polega jednak na tym, że w prawdziwym życiu nikt nie poda nam tak wyrafinowanych przykładów, gdzie jest kilka ułamków, w których wystarczy rozłożyć licznik i mianownik na czynnik, a następnie je zredukować, jeśli to możliwe. Wyrażenia rzeczywiste będą znacznie bardziej złożone.

Najprawdopodobniej oprócz mnożenia i dzielenia będą odejmowania i dodawania, wszelkiego rodzaju nawiasy - generalnie trzeba będzie wziąć pod uwagę kolejność działań. Ale najgorsze jest to, że przy odejmowaniu i dodawaniu ułamków o różnych mianownikach trzeba je zredukować do jednego wspólnego. Aby to zrobić, każda z nich będzie musiała zostać podzielona na czynniki, a następnie te frakcje będą musiały zostać przekształcone: sprowadzić podobne i wiele więcej. Jak zrobić to poprawnie, szybko, a jednocześnie uzyskać jednoznacznie poprawną odpowiedź? O tym teraz porozmawiamy na przykładzie poniższej konstrukcji.

Numer problemu 4

\ [\ left (((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) \ right) \ cdot \ left (\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) ((( x) ^ (2)) - 3x + 9) \ prawy) \]

Napiszmy pierwszy ułamek i spróbujmy sobie z nim poradzić osobno:

\ [((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (2))) (1) + \ frac (27) (x) = \ frac ( ((x) ^ (3))) (x) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + 27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + ((3) ^ (3))) (x) = \]

\ [= \ frac (\ lewo (x + 3 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ prawo)) (x) \]

Przejdźmy do drugiego. Obliczmy od razu wyróżnik mianownika:

Nie można go rozkładać na czynniki, więc piszemy co następuje:

\ [\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) (((x) ^ (2)) - 3x + 9) = \ frac (((x) ^ (2)) - 3x + 9 + x + 3) (\ lewo (x + 3 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ prawo)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (\ lewo (x + 3 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ prawo)) \]

Wypiszmy licznik osobno:

\ [((x) ^ (2)) - 2x + 12 = 0 \]

W konsekwencji tego wielomianu nie można podzielić na czynniki.

Maksimum, co mogliśmy zrobić i rozwinąć, już zrobiliśmy.

Tak więc przepisujemy naszą oryginalną konstrukcję i otrzymujemy:

\ [\ frac (\ lewo (x + 3 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ prawo)) (x) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) ) -2x + 12) (\ lewo (x + 3 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ prawo)) = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (x) \]

To wszystko, problem został rozwiązany.

Szczerze mówiąc, nie było to takie trudne zadanie: wszystko łatwo rozkładało się na czynniki, takie terminy dano szybko, a wszystko pięknie zredukowano. Spróbujmy więc teraz rozwiązać poważniejszy problem.

Numer problemu 5

\ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ prawy) \]

Najpierw zajmijmy się pierwszym nawiasem. Od samego początku dziel osobno mianownik drugiego ułamka:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawy) \]

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo)) - \ frac (1) (x-2) = \]

\ [= \ frac (x \ lewo (x-2 \ prawo) + ((x) ^ (2)) + 8- \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo)) ( \ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ lewo (x- 2 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo)) = \ frac (((\ lewo (x-2 \ prawo)) ^ (2))) (\ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ prawo )) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Teraz popracujmy z drugą frakcją:

\ [\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2 ))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ lewo (x-2 \ prawo)) (\ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (x + 2 \ prawo)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (x + 2 \ prawo)) \]

Wróć do naszej oryginalnej konstrukcji i napisz:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ lewo (x-2 \ prawo) \ lewo (x + 2 \ prawo)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Kluczowe punkty

Po raz kolejny kluczowe fakty z dzisiejszego samouczka wideo:

Trzeba znać „na pamięć” formuły skróconego mnożenia - i to nie tylko znać, ale umieć dostrzec w tych wyrażeniach, które napotkasz w rzeczywistych problemach. Może nam w tym pomóc cudowna zasada: jeśli istnieją dwa wyrazy, to jest to albo różnica kwadratów, albo różnica lub suma sześcianów; jeśli trzy, może to być tylko kwadrat sumy lub różnicy.
Jeśli jakiejś konstrukcji nie da się rozłożyć za pomocą skróconych wzorów mnożenia, wówczas z pomocą przychodzi nam albo standardowy wzór rozkładania trójmianów na czynniki, albo metoda grupowania.
Jeśli coś nie działa, przyjrzyj się uważnie oryginalnemu wyrażeniu - i czy w ogóle nie są wymagane żadne konwersje. Być może wystarczy umieścić czynnik poza nawiasem, a często jest to po prostu stała.
W złożonych wyrażeniach, w których musisz wykonać kilka czynności z rzędu, nie zapomnij doprowadzić do wspólnego mianownika, a dopiero potem, gdy wszystkie ułamki zostaną do niego zredukowane, pamiętaj, aby przynieść coś takiego w nowym liczniku, a następnie ponownie rozłożyć nowy licznik na czynniki - możliwe, że -to się zmniejszy.

To wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć o ułamkach wymiernych. Jeśli coś jest niejasne, na stronie jest jeszcze kilka samouczków wideo, a także kilka zadań do samodzielnego rozwiązania. Dlatego zostań z nami!

W poprzedniej lekcji zostało już wprowadzone pojęcie wyrażeń racjonalnych, w dzisiejszej lekcji kontynuujemy pracę z wyrażeniami wymiernymi i skupiamy się na ich przekształcaniu. Na konkretnych przykładach rozważymy metody rozwiązywania problemów dotyczących przekształcania wyrażeń wymiernych i udowadniania powiązanych tożsamości.

Temat:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Konwersja wyrażeń wymiernych

Przypomnijmy najpierw definicję wyrażenia racjonalnego.

Definicja.Racjonalnywyrażenie- wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera pierwiastków i zawiera tylko operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia (podnoszenie do potęgi).

Przez pojęcie „przekształcenia wyrażenia racjonalnego” rozumiemy przede wszystkim jego uproszczenie. I odbywa się to w znanej nam kolejności czynności: najpierw czynności w nawiasach, potem iloczyn liczb(potęgowanie), dzielenie liczb, a następnie akcje dodawania/odejmowania.

Głównym celem dzisiejszej lekcji będzie zdobycie doświadczenia w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów w celu uproszczenia wyrażeń racjonalnych.

Przykład 1.

Rozwiązanie. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wskazane ułamki można anulować, ponieważ wyrażenia w licznikach ułamków są bardzo podobne do wzorów na idealne kwadraty ich odpowiednich mianowników. W takim przypadku ważne jest, aby się nie spieszyć, ale osobno sprawdzić, czy tak jest.

Sprawdźmy licznik pierwszego ułamka:. Teraz licznik to drugi:.

Jak widać nasze oczekiwania nie zostały spełnione, a wyrażenia w licznikach nie są idealnymi kwadratami, ponieważ nie mają podwojenia iloczynu. Takie wyrażenia, jeśli przypomnimy sobie przebieg 7 klasy, nazywamy niepełnymi kwadratami. W takich przypadkach należy być bardzo ostrożnym, ponieważ mylenie wzoru pełnego kwadratu z niepełnym jest bardzo częstym błędem, a takie przykłady sprawdzają uwagę ucznia.

Ponieważ anulowanie jest niemożliwe, dodajmy ułamki. Mianowniki nie mają wspólnych dzielników, więc po prostu mnoży się je, aby uzyskać najniższy wspólny mianownik, a czynnik uzupełniający dla każdego ułamka jest mianownikiem drugiego ułamka.

Oczywiście dalej można otworzyć nawiasy i podać podobne wyrazy, jednak w tym przypadku można sobie poradzić z mniejszym wysiłkiem i zauważyć, że w liczniku pierwszy wyraz to wzór na sumę sześcianów, a drugi to różnica między kostkami. Dla wygody przywołajmy te formuły w ogólnej formie:

W naszym przypadku wyrażenia w liczniku załamują się w następujący sposób:

, drugie wyrażenie jest takie samo. Mamy:

Odpowiedź..

Przykład 2. Uprość wymierne wyrażenie .

Rozwiązanie. Ten przykład jest podobny do poprzedniego, ale tutaj od razu widać, że w licznikach ułamków są niepełne kwadraty, więc redukcja na początkowym etapie rozwiązania jest niemożliwa. Podobnie jak w poprzednim przykładzie dodaj ułamki:

Tutaj, podobnie do metody wskazanej powyżej, zauważyliśmy i zwinęli wyrażenia zgodnie ze wzorami na sumę i różnicę sześcianów.

Odpowiedź..

Przykład 3. Uprość racjonalne wyrażenie.

Rozwiązanie. Widać, że mianownik drugiego ułamka jest faktoryzowany za pomocą wzoru na sumę sześcianów. Jak już wiemy, faktoryzacja mianowników jest przydatna do dalszego znajdowania najniższego wspólnego mianownika ułamków.

Wskazujemy najmniejszy wspólny mianownik ułamków, jest on równy:, ponieważ jest dzielony przez mianownik trzeciego ułamka, a pierwsze wyrażenie jest ogólnie liczbą całkowitą i każdy mianownik jest do tego odpowiedni. Po wskazaniu oczywistych czynników dodatkowych piszemy:

Odpowiedź.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład z „wielopoziomowymi” ułamkami.

Przykład 4. Udowodnij identyczność wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennej.

Dowód. Aby udowodnić wskazaną tożsamość, spróbujemy uprościć jej lewą stronę (złożoność) do wymaganej od nas prostej formy. Aby to zrobić, wykonamy wszystkie czynności z ułamkami w liczniku i mianowniku, a następnie podzielimy ułamki i uprościmy wynik.

Sprawdzone dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennej.

Udowodniony.

W następnej lekcji przyjrzymy się bliżej bardziej złożonym przykładom przekształcania wyrażeń wymiernych.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra klasa 8. - M .: Edukacja, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i inne Algebra 8. - wyd. - M .: Edukacja, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra klasa 8. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych. - M .: Edukacja, 2006.

2. Opracowanie lekcji, prezentacji, notatek z zajęć ().

Praca domowa

1. Nr 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i inne Algebra 8. - wyd. - M .: Edukacja, 2010.

2. Uprość wyrażenie .

3. Uprość wyrażenie.

4. Udowodnij tożsamość.

Lekcja i prezentacja na temat: „Transformacja wyrażeń wymiernych. Przykłady rozwiązywania problemów”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji, życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Podręcznik do podręcznika Muravin G.K. Podręcznik do podręcznika Makarychev Yu.N.

Pojęcie racjonalnej ekspresji

Pojęcie „racjonalnej ekspresji” jest podobne do pojęcia „racjonalnego ułamka”. Wyrażenie jest również reprezentowane jako ułamek. Tylko w licznikach mamy - nie liczby, ale różnego rodzaju wyrażenia. Najczęściej są to wielomiany. Ułamek algebraiczny to wyrażenie ułamkowe składające się z liczb i zmiennych.

Rozwiązując wiele zadań w klasach elementarnych, po wykonaniu operacji arytmetycznych otrzymywaliśmy określone wartości liczbowe, najczęściej ułamki. Teraz po wykonaniu operacji otrzymamy ułamki algebraiczne. Chłopaki, pamiętajcie: aby uzyskać właściwą odpowiedź, musisz maksymalnie uprościć wyrażenie, z którym pracujesz. Należy uzyskać możliwie najmniejszy stopień; te same wyrażenia w licznikach i mianownikach należy skrócić; w przypadku wyrażeń, które można zwinąć, musisz to zrobić. Oznacza to, że po wykonaniu serii działań powinniśmy otrzymać najprostszy ułamek algebraiczny.

Procedura racjonalnego wyrażania

Procedura wykonywania operacji z wyrażeniami wymiernymi jest taka sama jak w przypadku operacji arytmetycznych. Najpierw wykonuje się czynności w nawiasach, potem mnożenie i dzielenie, podnoszenie do potęgi, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Udowodnienie tożsamości oznacza wykazanie, że dla wszystkich wartości zmiennych prawa i lewa strona są równe. Istnieje wiele przykładów dowodu tożsamości.

Główne metody rozwiązywania tożsamości to.

Zamień lewą stronę na równą prawą stronę.
Zamień prawą stronę na równą lewą stronę.
Przekształć lewą i prawą stronę osobno, aż uzyskasz to samo wyrażenie.
Odejmij prawo od lewej strony, w wyniku czego powinieneś otrzymać zero.

Konwertuj wyrażenia wymierne. Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1.
Udowodnij tożsamość:

$ (\ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1)): (\ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a)) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = a-1 $.

Rozwiązanie.
Oczywiście musimy przekształcić lewą stronę.
Najpierw wykonajmy czynności w nawiasach:

1) $ \ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1) = \ frac ((a + 5) (a + 1) + (a + 5) (5a -1)) ((a + 1) (5a-1)) = $
$ = \ frac ((a + 5) (a + 1 + 5a-1)) ((a + 1) (5a-1)) = \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1 ) (5a-1) $

Powinieneś spróbować maksymalnie wyeliminować wspólne czynniki.
2) Przekształcamy wyrażenie, przez które dzielimy:

$ \ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a) = \ frac (a (a + 5)) ((1-5a) = \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1) ) $

.
3) Wykonajmy operację podziału:

$ \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)): \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1)) = \ frac ((a +5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)) * \ frac (- (5a-1)) (a (a + 5)) = \ frac (-6) (a + 1) $.

4) Wykonajmy operację dodawania:

$ \ frac (-6) (a + 1) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = \ frac (a ^ 2-1) (a + 1) = \ frac ((a-1 ) (a + 1)) (a +)) = a-1 $.

Prawa i lewa strona zbiegły się. Stąd tożsamość jest udowodniona.
Chłopaki, przy rozwiązywaniu tego przykładu potrzebowaliśmy znajomości wielu formuł i operacji. Widzimy, że po transformacji duża ekspresja zamieniła się w bardzo małą. Przy rozwiązywaniu prawie wszystkich problemów zwykle przekształcenia prowadzą do prostych wyrażeń.

Przykład 2.
Uprość wyrażenie:

$ (\ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2)): (\ frac (a) (a + b) - \ frac ( a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2)) $.

Rozwiązanie.
Zacznijmy od pierwszych nawiasów.

1. $ \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (a + b) -a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = $
$ = \ frac (a ^ 3 + a ^ 2 b-a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2) $.

2. Przekształćmy drugie nawiasy.

$ \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) = \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) ((ab ) (a + b)) = \ frac (a (ab) -a ^ 2) ((ab) (a + b)) = $
$ = \ frac (a ^ 2-ab-a ^ 2) ((a-b) (a + b)) = \ frac (-ab) ((a-b) (a + b)) $.

3. Zróbmy podział.

$ \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2): \ frac (-ab) ((ab) (a + b)) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2 ) * \ frac ((ab) (a + b)) ((- ab)) = $
$ = - \ frac (a (a-b)) (a + b) $

Odpowiedź: $ - \ frac (a (a-b)) (a + b) $.

Przykład 3.
Wykonaj kroki:

$ \ frac (k-4) (k-2): (\ frac (80k) ((k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16 ) (2-k)) - \ frac (6k + 4) ((4-k) ^ 2) $.

Rozwiązanie.
Jak zawsze powinieneś zacząć od nawiasów.

1. $ \ frac (80k) (k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16) (2-k) = \ frac (80k) ( (k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) + \ frac (k-16) (k-2) = $

$ = \ frac (80k + 2k (k-2) + (k-16) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (80k + 2k ^ 2-4k + k ^ 3 + 2k ^ 2 + 4k-16k ^ 2-32k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = $

$ = \ frac (k ^ 3-12k ^ 2 + 48k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2 ) (k^2 + 2k + 4)) $.

2. Teraz zróbmy podział.

$ \ frac (k-4) (k-2): \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (k-4) ( k-2) * \ frac ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 3) = \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k- 4) ^ 2) $.

3. Użyjmy własności: $ (4-k) ^ 2 = (k-4) ^ 2 $.
4. Wykonajmy operację odejmowania.

$ \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 2) - \ frac (6k + 4) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k ^ 2-4k) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k (k-4)) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k) (k-4) $.

Jak powiedzieliśmy wcześniej, musisz maksymalnie uprościć ułamek.
Odpowiedź: $ \ frac (k) (k-4) $.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Udowodnij tożsamość:

$ \ frac (b ^ 2-14) (b-4) - (\ frac (3-b) (7b-4) + \ frac (b-3) (b-4)) * \ frac (4-7b ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

2. Uprość wyrażenie:

$ \ frac (4 (z + 4) ^ 2) (z-2) * (\ frac (z) (2z-4) - \ frac (z ^ 2 + 4) (2z ^ 2-8) - \ frac (2) (z ^ 2 + 2z)) $.

3. Postępuj zgodnie z instrukcjami:

$ (\ frac (ab) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) - \ frac (2a) ((ab) (a + b)) + \ frac (ab) ((ab) ^ 2)) * \ frac (a ^ 4-b ^ 4) (8ab ^ 2) + \ frac (2b ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) $.

Akcja arytmetyczna, która jest wykonywana jako ostatnia podczas obliczania wartości wyrażenia, jest czynnością „główną”.

To znaczy, jeśli podstawisz dowolne (dowolne) liczby zamiast liter i spróbujesz obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią czynnością jest mnożenie, to mamy iloczyn (wyrażenie jest faktoryzowane).

Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (a zatem nie można go anulować).

Aby samodzielnie naprawić rozwiązanie, weź kilka przykładów:

Przykłady:

Rozwiązania:

1. Mam nadzieję, że nie spieszył się z cięciem i? Nadal nie wystarczyło „wyciąć” jednostek w ten sposób:

Pierwszym krokiem jest faktoryzacja:

4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Dodawanie i odejmowanie zwykłych ułamków to bardzo znana operacja: szukamy wspólnego mianownika, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zapamiętajmy:

Odpowiedzi:

1. Mianowniki i są wzajemnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych dzielników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:

2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:

3. Tutaj przede wszystkim zamieniamy frakcje mieszane w niepoprawne, a następnie - zgodnie ze zwykłym schematem:

To zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, na przykład:

Zacznijmy od prostych:

a) Mianowniki nie zawierają liter

Tutaj wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdź wspólny mianownik, pomnóż każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodaj / odejmij liczniki:

teraz w liczniku możesz przynieść podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć na czynniki:

Spróbuj sam:

Odpowiedzi:

b) Mianowniki zawierają litery

Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:

· Przede wszystkim określamy wspólne czynniki;

· Następnie jednorazowo wypisz wszystkie wspólne czynniki;

· I pomnóż je przez wszystkie inne czynniki, które nie są wspólne.

Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki pierwsze:

Podkreślmy wspólne czynniki:

Teraz wypiszmy raz wspólne czynniki i dodajmy do nich wszystkie nietypowe (niepodkreślone) czynniki:

To jest wspólny mianownik.

Wróćmy do liter. Mianowniki są pokazane dokładnie w ten sam sposób:

· Rozkładamy mianowniki na czynniki;

· Określamy wspólne (identyczne) czynniki;

· Wypisz wszystkie wspólne czynniki raz;

· Mnożymy je przez wszystkie inne czynniki, nie wspólne.

A więc w kolejności:

1) rozkładamy mianowniki na czynniki:

2) określamy wspólne (identyczne) czynniki:

3) wypisujemy wszystkie wspólne czynniki jeden raz i mnożymy je przez wszystkie inne (nieakcentowane) czynniki:

Więc wspólny mianownik jest tutaj. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi przez:

Nawiasem mówiąc, jest jedna sztuczka:

Na przykład: .

Widzimy te same czynniki w mianownikach, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:

w stopniu

w stopniu.

Skomplikujmy zadanie:

Jak sprawić, by ułamki stały się tym samym mianownikiem?

Zapamiętajmy podstawową właściwość ułamka:

Nigdzie nie jest powiedziane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!

Przekonaj się sam: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj na przykład liczbę do licznika i mianownika. Czego się nauczyłeś?

A więc kolejna niezachwiana zasada:

Doprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, używaj tylko mnożenia!

Ale przez co trzeba pomnożyć, aby otrzymać?

Tutaj dalej i pomnóż. I pomnóż przez:

Wyrażenia, których nie można podzielić na czynniki, będą nazywane „czynnikami elementarnymi”.

Na przykład to elementarny czynnik. - zbyt. Ale - nie: jest faktoryzowany.

Co myślisz o ekspresji? Czy to elementarne?

Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:

(już czytałeś o faktoryzacji w temacie „”).

Tak więc czynniki elementarne, na które rozszerzasz wyrażenie za pomocą liter, są analogiczne do czynników pierwszych, na które rozszerzasz liczby. I zajmiemy się nimi w ten sam sposób.

Widzimy, że w obu mianownikach jest czynnik. Dojdzie do wspólnego mianownika przy władzy (pamiętasz dlaczego?).

Współczynnik jest elementarny i nie jest dla nich wspólny, co oznacza, że pierwszy ułamek trzeba będzie po prostu pomnożyć przez niego:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz zastanowić się, jak je rozłożyć? Obaj reprezentują:

W porządku! Następnie:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Jak zwykle rozłóż na czynniki mianowniki. W pierwszym mianowniku po prostu umieszczamy go poza nawiasami; w drugim - różnica kwadratów:

Wydawałoby się, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, to są tak podobne ... A prawda:

Więc napiszemy:

Oznacza to, że wyszło tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Zwróć uwagę, będziesz musiał to robić często.

Teraz dochodzimy do wspólnego mianownika:

Rozumiem? Sprawdźmy to teraz.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Tutaj musimy pamiętać jeszcze o jednym - różnicy między kostkami:

Zauważ, że mianownik drugiego ułamka nie jest formułą „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy wyglądałby tak:.

A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi wyraz jest w nim iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich iloczynem podwojonym. Niepełny kwadrat sumy jest jednym z czynników rozkładu różnicy sześcianów:

Co jeśli są już trzy ułamki?

To samo! Przede wszystkim postaramy się, aby maksymalna liczba czynników w mianownikach była taka sama:

Zwróć uwagę: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmieniamy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem jest ponownie odwracany. W rezultacie to (znak przed ułamkiem) się nie zmienił.

We wspólnym mianowniku wypisz pierwszy mianownik w całości, a następnie dodaj do niego wszystkie czynniki, które jeszcze nie zostały zapisane, od drugiego, a następnie od trzeciego (i tak dalej, jeśli jest więcej ułamków). Oznacza to, że wygląda to tak:

Hmm… Z ułamkami jasne, co robić. Ale co z dwójką?

To proste: możesz dodawać ułamki, prawda? Oznacza to, że musimy sprawić, by dwójka stała się ułamkiem! Pamiętaj: ułamek to operacja dzielenia (licznik jest dzielony przez mianownik, na wypadek, gdybyś nagle zapomniał). I nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba się nie zmieni, ale zamieni się w ułamek:

Dokładnie to, czego potrzeba!

5. Mnożenie i dzielenie ułamków.

Cóż, najtrudniejsza część już się skończyła. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:

Procedura

Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, licząc znaczenie takiego wyrażenia:

Policzyłeś to?

Powinno działać.

Więc pozwól, że ci przypomnę.

Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.

Drugi to mnożenie i dzielenie. Jeśli jest kilka mnożeń i dzieleń jednocześnie, możesz je wykonać w dowolnej kolejności.

I na koniec robimy dodawanie i odejmowanie. Znowu w dowolnej kolejności.

Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane niewłaściwie!

Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw obliczamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie mnożymy lub dzielimy je.

Co się stanie, jeśli w nawiasach będzie więcej nawiasów? Pomyślmy o tym: w nawiasach jest napisane jakieś wyrażenie. A przy ocenie wyrażenia, co należy najpierw zrobić? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, zorientowaliśmy się: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.

Tak więc procedura dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca akcja jest podświetlona na czerwono, to znaczy akcja, którą wykonuję teraz):

Dobra, to wszystko jest proste.

Ale to nie to samo, co wyrażenie z literami?

Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych trzeba wykonywać operacje algebraiczne, czyli czynności opisane w poprzednim podrozdziale: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą jest efekt faktoryzacji wielomianów (często używamy go podczas pracy z ułamkami). Najczęściej do faktoringu należy użyć i lub po prostu umieścić dzielnik wspólny poza nawiasami.

Zwykle naszym celem jest przedstawienie wypowiedzi w formie dzieła lub konkretu.

Na przykład:

Uprośćmy wyrażenie.

1) Pierwszym jest uproszczenie wyrażenia w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków, a naszym celem jest przedstawienie jej jako produktu lub ilorazu. Tak więc łączymy ułamki ze wspólnym mianownikiem i dodajemy:

Nie da się już uprościć tego wyrażenia, wszystkie czynniki są tu elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).

2) Otrzymujemy:

Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostsze.

3) Teraz możesz skrócić:

OK, już po wszystkim. Nic skomplikowanego, prawda?

Inny przykład:

Uprość wyrażenie.

Najpierw spróbuj sam go rozwiązać, a dopiero potem zobacz rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Przede wszystkim zdefiniujmy kolejność działań.

Najpierw dodajemy ułamki w nawiasach, otrzymujemy jeden zamiast dwóch ułamków.

Następnie podzielimy ułamki. Cóż, dodaj wynik z ostatnim ułamkiem.

Schematycznie ponumeruję kroki:

Teraz pokażę cały proces, kolorując bieżącą akcję na czerwono:

1. Jeśli są podobne, należy je niezwłocznie przywieźć. W każdej chwili mamy podobne, warto je od razu zabrać.

2. To samo dotyczy redukcji ułamków: jak tylko pojawi się możliwość redukcji, należy ją wykorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, skrócenie należy zostawić na później.

Oto kilka zadań do samodzielnego rozwiązania:

I obiecał na samym początku:

Odpowiedzi:

Rozwiązania (zwięzłe):

Jeśli poradziłeś sobie z przynajmniej pierwszymi trzema przykładami, to opanowałeś temat.

Teraz czekamy na naukę!

TRANSFORMACJA WYRAŻEŃ. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Podstawowe operacje upraszczające:

Przynosząc podobne: aby dodać (przynieść) takie terminy, należy dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
Faktoryzacja: wyliczanie wspólnego czynnika, aplikacji itp.
Redukcja frakcji: licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, co nie zmienia wartości ułamka.
1) licznik i mianownik czynnik
2) jeśli w liczniku i mianowniku występują wspólne czynniki, można je przekreślić.
WAŻNE: można zmniejszyć tylko mnożniki!
Dodawanie i odejmowanie ułamków:
;
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
;