Uzayda bir doğrunun kanonik denklemleri - teori, örnekler, problem çözümü. Uzaydaki bir doğrunun denklemleri kesişen iki düzlemin denklemleridir 3 bir doğrunun kanonik denklemlerini yazın

Uzaydaki bir çizginin kanonik denklemleri, belirli bir noktadan yön vektörüne eşdoğrusal olarak geçen bir çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve yön vektörü verilsin. Bir doğru üzerinde rastgele bir nokta var ben yalnızca ve vektörleri doğrusalsa, yani onlar için koşul sağlanırsa:

Yukarıdaki denklemler düz çizginin kanonik denklemleridir.

Sayılar M , N Ve P yön vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleridir. Vektör sıfırdan farklı olduğundan tüm sayılar M , N Ve P aynı anda sıfıra eşit olamaz. Ancak bunlardan bir veya ikisi sıfır olabilir. Örneğin analitik geometride aşağıdaki girişe izin verilir:

bu, vektörün eksen üzerindeki izdüşümü anlamına gelir oy Ve Oz sıfıra eşittir. Bu nedenle kanonik denklemlerle tanımlanan hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. oy Ve Oz yani uçaklar yOz .

Örnek 1. Uzayda bir düzleme dik bir doğrunun denklemlerini yazın ve bu düzlemin eksenle kesişme noktasından geçerek Oz .

Çözüm. Bu düzlemin eksenle kesişme noktasını bulalım Oz. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta olduğundan Oz, koordinatlara sahiptir, o zaman verilen düzlem denkleminde varsayılırsak x = y = 0, 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 . Dolayısıyla bu düzlemin eksenle kesişme noktası Oz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenilen doğru düzleme dik olduğundan normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle düz çizginin yönlendirici vektörü normal vektör olabilir verilen uçak.

Şimdi bir noktadan geçen doğrunun gerekli denklemlerini yazalım. A= (0; 0; 2) vektör yönünde:

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde bulunan iki nokta ile tanımlanabilir Ve Bu durumda düz çizginin yönlendirici vektörü vektör olabilir. Daha sonra doğrunun kanonik denklemleri şu şekli alır:

Yukarıdaki denklemler verilen iki noktadan geçen bir doğruyu belirler.

Örnek 2. Uzayda ve noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Düz çizginin gerekli denklemlerini yukarıda teorik referansta verilen formda yazalım:

O zamandan beri istenen düz çizgi eksene diktir oy .

Düzlemlerin kesişme çizgisi kadar düz

Uzaydaki düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak, yani iki doğrusal denklem sistemini sağlayan bir dizi nokta olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine uzaydaki düz bir çizginin genel denklemleri de denir.

Örnek 3. Genel denklemlerle verilen uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm. Bir doğrunun kanonik denklemlerini veya aynı anlama gelen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemlerini yazmak için, doğru üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Bunlar herhangi iki koordinat düzlemiyle düz bir çizginin kesişme noktaları olabilir, örneğin yOz Ve xOz .

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası yOz apsis var X= 0. Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayıldığında X= 0, iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

Onun kararı sen = 2 , z= 6 ile birlikte X= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenilen satır. Daha sonra verilen denklem sisteminde varsayarsak sen= 0, sistemi elde ederiz

Onun kararı X = -2 , z= 0 ile birlikte sen= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen doğrunun denklemlerini yazalım. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

Düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde, düz bir çizginin kanonik denklemi ile bir düz çizgi verilebilir. Bu yazımızda öncelikle koordinat eksenlerine paralel veya çakışan düzlemdeki doğruların kanonik denklemlerini türetecek, yazacak ve örnekler vereceğiz. Daha sonra, düzlemdeki bir doğrunun kanonik denklemi ile bu doğrunun diğer denklem türleri arasındaki bağlantıyı göstereceğiz. Sonuç olarak, bir düzlemdeki bir çizginin kanonik denklemini oluşturmanın tipik örneklerine ve sorunlarına yönelik çözümleri ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Düzlemdeki bir çizginin kanonik denklemi - açıklama ve örnekler.

Oxy'nin uçağa sabitlenmesine izin verin. Kendimize şu görevi koyalım: Bir a çizgisinin denklemini elde etmek, eğer a çizgisinin bir noktası ve a çizgisinin yön vektörü ise.

a çizgisinin kayan noktası olsun. Bu durumda vektör, a çizgisinin yön vektörüdür ve koordinatları vardır. (gerekirse makaleye bakın). Açıkçası, düzlemdeki tüm noktaların kümesi, noktadan geçen ve yalnızca ve vektörlerinin aynı doğrultuda olması durumunda bir yön vektörüne sahip olan bir çizgiyi tanımlar.

Örnek.

Düzlemdeki Oxy dikdörtgen koordinat sisteminde iki noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemini yazın.

Çözüm.

Başlangıç ve bitiş noktalarının bilinen koordinatlarını kullanarak vektörün koordinatlarını bulabiliriz: . Bu vektör denklemini aradığımız doğrunun yön vektörüdür. Bir noktadan geçen ve yön vektörüne sahip bir çizginin kanonik denklemi.

Çözüm.

Normal çizgi vektörü koordinatları vardır ve bu vektör, çizgilerin dikliği nedeniyle denklemini aradığımız çizginin yön vektörüdür. Böylece bir düzlem üzerindeki bir doğrunun istenen kanonik denklemi şu şekilde yazılacaktır: .

Cevap:

Kaynakça.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci cilt: doğrusal cebir ve analitik geometrinin unsurları.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.

Oxyz'in üç boyutlu uzayda sabitlenmesine izin verin. İçinde düz bir çizgi tanımlayalım. Uzayda bir doğruyu tanımlamak için şu yöntemi seçelim: a düz çizgisinin içinden geçtiği noktayı ve a düzlüğünün yön vektörünü belirtiriz. Noktanın a doğrusu üzerinde olduğunu varsayacağız ve - düz çizginin yönlendirici vektörü a.

Açıkçası, üç boyutlu uzaydaki bir dizi nokta, yalnızca ve vektörleri aynı doğrultuda ise bir çizgiyi tanımlar.

Lütfen aşağıdaki önemli gerçeklere dikkat edin:

Uzaydaki düz bir çizginin kanonik denklemlerine birkaç örnek verelim:

Uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerinin oluşturulması.

Yani, formun üç boyutlu uzayında sabit bir dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz'deki düz bir çizginin kanonik denklemleri noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelir ve bu düz çizginin yön vektörü vektördür. . Böylece, uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerinin formunu biliyorsak, o zaman bu doğrunun yön vektörünün koordinatlarını hemen yazabiliriz ve eğer doğrunun yön vektörünün koordinatlarını ve koordinatlarını biliyorsak, hemen yazabiliriz. Bu doğrunun bir noktasına ulaşırsak, onun kanonik denklemlerini hemen yazabiliriz.

Bu tür sorunların çözümlerini göstereceğiz.

Örnek.

Üç boyutlu uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sistemindeki düz bir çizgi, formun kanonik düz çizgi denklemleriyle verilir. . Bu doğrunun tüm yön vektörlerinin koordinatlarını yazınız.

Çözüm.

Bir doğrunun kanonik denklemlerinin paydalarındaki sayılar, bu doğrunun yön vektörünün karşılık gelen koordinatlarıdır; - orijinal düz çizginin yön vektörlerinden biri. Daha sonra düz çizginin tüm yön vektörlerinin kümesi şu şekilde belirtilebilir: , sıfır dışında herhangi bir gerçek değeri alabilen bir parametredir.

Cevap:

Örnek.

Uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde noktadan geçen doğrunun kanonik denklemlerini yazınız. ve düz çizginin yön vektörünün koordinatları vardır.

Çözüm.

İçinde bulunduğumuz durumdan. Yani uzaydaki bir doğrunun gerekli kanonik denklemlerini yazacak tüm verilere sahibiz. Bizim durumumuzda

.

Cevap:

Çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları ve çizgi üzerindeki bir noktanın koordinatları bilindiğinde, üç boyutlu uzayda belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturmanın en basit problemini düşündük. Bununla birlikte, çok daha sık olarak, önce bir çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını bulmanız ve ancak daha sonra çizginin kanonik denklemlerini yazmanız gereken sorunlar vardır. Örnek olarak, uzayda belirli bir noktadan belirli bir çizgiye paralel geçen bir çizginin denklemlerini bulma problemini ve uzayın belirli bir noktasından belirli bir düzleme dik geçen bir çizginin denklemlerini bulma problemini verebiliriz. .

Uzaydaki düz bir çizginin kanonik denklemlerinin özel durumları.

Formun uzayındaki bir doğrunun kanonik denklemlerindeki sayılardan bir veya ikisinin olduğunu daha önce belirtmiştik. sıfıra eşit olabilir. Sonra yaz resmi kabul edilir (bir veya iki kesrin paydaları sıfır olacağından) ve şu şekilde anlaşılmalıdır: , Nerede .

Uzaydaki bir çizginin kanonik denklemlerinin tüm bu özel durumlarına daha yakından bakalım.

İzin vermek , veya , veya , o zaman çizgilerin kanonik denklemleri şu şekle sahiptir:

veya

veya

Bu durumlarda, uzaydaki Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde, düz çizgiler sırasıyla Oyz, Oxz veya Oxy koordinat düzlemlerine paralel olan (veya , veya'daki bu koordinat düzlemleriyle çakışan) düzlemlerde bulunur. . Şekilde bu tür çizgilerin örnekleri gösterilmektedir.

Şu tarihte: , veya , veya çizgilerin kanonik denklemleri şu şekilde yazılacaktır:

veya

veya

sırasıyla.

Bu durumlarda çizgiler sırasıyla Oz, Oy veya Ox koordinat eksenlerine paraleldir (veya bu eksenlerle veya veya noktasında çakışır). Aslında, söz konusu çizgilerin yön vektörleri koordinatlara sahiptir veya , veya , bunların vektörlerle eşdoğrusal oldukları açıktır , veya , veya , koordinat çizgilerinin yön vektörleri sırasıyla. Uzaydaki bir çizginin kanonik denklemlerinin bu özel durumları için çizimlere bakın.

Bu paragraftaki materyali pekiştirmek için örneklere yönelik çözümlerin dikkate alınması gerekmektedir.

Örnek.

Ox, Oy ve Oz koordinat doğrularının kanonik denklemlerini yazın.

Çözüm.

Ox, Oy ve Oz koordinat çizgilerinin yön vektörleri koordinat vektörleridir ve buna bağlı olarak. Ek olarak, koordinat çizgileri koordinatların kökeninden - noktadan geçer. Artık Ox, Oy ve Oz koordinat çizgilerinin kanonik denklemlerini yazabiliriz, bunlar şu şekildedir: ve buna bağlı olarak.

Cevap:

Ox koordinat çizgisinin kanonik denklemleri, - Oy ordinat ekseninin kanonik denklemleri, - uygulama ekseninin kanonik denklemleri.

Örnek.

Uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun. ve Oy ordinat eksenine paraleldir.

Çözüm.

Kanonik denklemlerini oluşturmamız gereken düz çizgi Oy koordinat eksenine paralel olduğundan yön vektörü vektördür. O halde bu doğrunun uzaydaki kanonik denklemleri şu şekle sahiptir:

Cevap:

Uzayda verilen iki noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemleri.

Kendimize bir görev koyalım: Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminden üç boyutlu uzayda iki farklı noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemlerini yazmak ve .

Vektörü belirli bir düz çizginin yön vektörü olarak alabilirsiniz (vektörü daha çok beğendiyseniz onu alabilirsiniz). M 1 ve M 2 noktalarının bilinen koordinatlarını kullanarak vektörün koordinatlarını hesaplayabilirsiniz: . Artık çizginin kanonik denklemlerini yazabiliriz, çünkü çizginin noktasının koordinatlarını biliyoruz (bizim durumumuzda, iki M 1 ve M 2 noktasının koordinatları bile) ve yön vektörünün koordinatlarını biliyoruz. . Böylece, üç boyutlu uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir düz çizgi, formun kanonik denklemleriyle belirlenir. veya . Aradığımız şey bu uzayda verilen iki noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemleri.

Örnek.

Üç boyutlu uzayda iki noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemlerini yazın Ve .

Çözüm.

İçinde bulunduğumuz durumdan. Bu verileri iki noktadan geçen düz bir çizginin kanonik denklemlerinde değiştiriyoruz :

Formun kanonik düz çizgi denklemlerini kullanırsak , sonra elde ederiz
.

Cevap:

veya

Uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerinden diğer doğru denklem türlerine geçiş.

Bazı problemleri çözmek için uzaydaki bir çizginin kanonik denklemleri formun uzayındaki düz bir çizginin parametrik denklemlerinden daha az kullanışlı olduğu ortaya çıkabilir . Bazen uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde, kesişen iki düzlemin denklemleri aracılığıyla düz bir çizgi tanımlamak tercih edilir: . Bu nedenle, uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerinden bir doğrunun parametrik denklemlerine veya kesişen iki düzlemin denklemlerine geçiş görevi ortaya çıkar.

Kanonik formdaki bir doğrunun denklemlerinden bu doğrunun parametrik denklemlerine geçmek kolaydır. Bunu yapmak için, uzaydaki bir çizginin kanonik denklemlerindeki kesirlerin her birini bir parametreye eşit almak ve elde edilen denklemleri x, y ve z değişkenlerine göre çözmek gerekir:

Bu durumda parametre her türlü gerçek değeri alabilir (çünkü x, y ve z değişkenleri her türlü gerçek değeri alabilir).

Şimdi düz çizginin kanonik denklemlerinden nasıl yararlanılacağını göstereceğiz. Aynı doğruyu tanımlayan kesişen iki düzlemin denklemlerini elde edin.

Çift eşitlik esasen formdaki üç denklemden oluşan bir sistemdir (kanonik denklemlerdeki kesirleri çiftler halinde düz bir çizgiye eşitledik). Orantıyı olarak anladığımıza göre, o zaman

Yani elimizde
.

a x , a y ve a z sayıları aynı anda sıfıra eşit olmadığından, ortaya çıkan sistemin ana matrisi ikiye eşittir, çünkü

ve ikinci dereceden belirleyicilerden en az biri

sıfırdan farklı.

Sonuç olarak, temel minör oluşumuna katılmayan bir denklemin sistemden çıkarılması mümkündür. Böylece, uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemleri, kesişen düzlemlerin denklemleri olan üç bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemine eşdeğer olacak ve bu düzlemlerin kesişme çizgisi, kanonik denklemlerle belirlenen bir düz çizgi olacaktır. formun satırından .

Açıklık sağlamak için örneğe ayrıntılı bir çözüm sunuyoruz; pratikte her şey daha basittir.

Örnek.

Uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan bir doğruyu tanımlayan kesişen iki düzlemin denklemlerini doğrunun kanonik denklemleriyle yazın. Bu doğru üzerinde kesişen iki düzlemin denklemlerini yazınız.

Çözüm.

Doğrunun kanonik denklemlerini oluşturan kesirleri çiftler halinde eşitleyelim:

Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminin ana matrisinin determinantı sıfıra eşittir (gerekirse makaleye bakın) ve küçük ikinci derecedendir sıfırdan farklıysa onu temel minör olarak alırız. Böylece denklem sisteminin ana matrisinin sıralaması ikiye eşittir ve sistemin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, yani üçüncü denklem sistemden çıkarılabilir. Buradan, . Böylece orijinal düz çizgiyi tanımlayan kesişen iki düzlemin gerekli denklemlerini elde ettik.

Cevap:

Kaynakça.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci cilt: doğrusal cebir ve analitik geometrinin unsurları.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.

Uzayda düz bir çizginin denklemleri nasıl yazılır?

Uzayda düz bir çizginin denklemleri

"Düz" bir çizgiye benzer şekilde, uzayda bir çizgiyi tanımlamanın birkaç yolu vardır. Kanonlarla başlayalım - çizginin noktası ve yönlendirici vektörü:

Uzayda bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun yön vektörü biliniyorsa, bu doğrunun kanonik denklemleri aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

Yukarıdaki gösterimde yön vektörünün koordinatlarının olduğu varsayılmaktadır. sıfıra eşit değil. Bir veya iki koordinatın sıfır olması durumunda ne yapacağımıza biraz sonra bakacağız.

Makaledekinin aynısı Düzlem denklemi Basitlik açısından dersin tüm problemlerinde eylemlerin ortonormal uzay bazında gerçekleştirildiğini varsayacağız.

örnek 1

Noktası ve yön vektörü verilen bir doğrunun kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm: Doğrunun kanonik denklemlerini aşağıdaki formülü kullanarak oluşturuyoruz:

Cevap:

Ve bu hiç de akıllıca değil… gerçi, hayır, hiç de akıllıca değil.

Bu çok basit örnekte nelere dikkat etmelisiniz? İlk olarak, ortaya çıkan denklemlerin bir birim azaltılmasına gerek YOKTUR: . Daha doğrusu kısaltmak mümkün ama alışılmadık derecede göze zarar veriyor ve problem çözerken rahatsızlık yaratıyor.

İkincisi, analitik geometride iki şey kaçınılmazdır; doğrulama ve test etme:

Her ihtimale karşı, denklemlerin paydalarına bakarız ve kontrol ederiz - doğru mu yön vektörünün koordinatları orada yazılır. Hayır, düşünmeyin, Brake anaokulunda ders yapmıyoruz. Bu tavsiye çok önemlidir çünkü yanlışlıkla yapılan hataları tamamen ortadan kaldırmanıza olanak tanır. Kimse sigortalı değil, ya yanlış kopyaladılarsa? Darwin Geometri Ödülü'ne layık görülecek.

Doğru eşitlikler elde edilir, bu da noktanın koordinatlarının denklemlerimizi karşıladığı ve noktanın kendisinin gerçekten bu doğruya ait olduğu anlamına gelir.

Testin sözlü olarak yapılması çok kolaydır (ve hızlıdır!).

Bazı problemlerde belirli bir doğruya ait başka bir noktanın bulunması gerekir. Nasıl yapılır?

Ortaya çıkan denklemleri alıyoruz ve zihinsel olarak "sıkıştırma", örneğin sol parça: . Şimdi bu parçayı eşitleyelim herhangi bir numaraya(zaten bir sıfır olduğunu unutmayın), örneğin bire: . O zamandan beri diğer iki "parça" da bire eşit olmalıdır. Temel olarak sistemi çözmeniz gerekir:

Bulunan noktanın denklemleri karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim :

Doğru eşitlikler elde edilir, bu da noktanın gerçekten verilen çizgi üzerinde olduğu anlamına gelir.

Çizimi dikdörtgen koordinat sisteminde yapalım. Aynı zamanda uzaydaki noktaların nasıl doğru şekilde işaretleneceğini de hatırlayalım:

Bir noktaya değinelim:
– eksenin negatif yönündeki koordinatların başlangıç noktasından itibaren ilk koordinatın bir parçasını çizeriz (yeşil noktalı çizgi);
– ikinci koordinat sıfırdır, bu nedenle eksenden sola veya sağa “sarsmayız”;
– üçüncü koordinata uygun olarak üç birim yukarı doğru ölçün (mor noktalı çizgi).

Bir nokta oluşturun: “kendinize doğru” iki birim (sarı noktalı çizgi), bir birim sağa (mavi noktalı çizgi) ve iki birim aşağıya (kahverengi noktalı çizgi) ölçün. Kahverengi noktalı çizgi ve noktanın kendisi koordinat ekseninin üzerine bindirilmiştir; bunların alt yarı alanda ve eksenin ÖNÜNDE olduklarını unutmayın.

Düz çizginin kendisi eksenin üzerinden geçiyor ve eğer gözüm yanılmıyorsa eksenin üzerinden geçiyor. Başarısız olmadığına analitik olarak ikna oldum. Düz çizgi eksenin ARKASINDAN geçerse, o zaman kesişme noktasının üstündeki ve altındaki çizginin bir kısmını bir silgiyle silmeniz gerekir.

Düz bir çizginin sonsuz sayıda yön vektörü vardır, örneğin:
(kırmızı ok)

Sonuç tam olarak orijinal vektördü ama bu tamamen bir kazaydı, ben noktayı bu şekilde seçtim. Düz bir çizginin tüm yön vektörleri eşdoğrusaldır ve karşılık gelen koordinatları orantılıdır (daha fazla ayrıntı için bkz. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli). Yani vektörler aynı zamanda bu doğrunun yön vektörleri olacaktır.

Kareli kağıt üzerinde üç boyutlu çizimler oluşturmaya ilişkin ek bilgileri kılavuzun başında bulabilirsiniz. Fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bir defterde, noktalara giden çok renkli noktalı yollar (çizime bakınız) genellikle aynı noktalı çizgi kullanılarak basit bir kalemle ince bir şekilde çizilir.

Yön vektörünün bir veya iki koordinatının sıfır olduğu özel durumları ele alalım. Aynı zamanda dersin başında başlayan mekansal görme eğitimine de devam ediyoruz. Düzlem denklemi. Ve yine size çıplak kralın hikayesini anlatacağım - boş bir koordinat sistemi çizeceğim ve sizi orada uzaysal çizgiler olduğuna ikna edeceğim =)

Altı durumun tamamını listelemek daha kolaydır:

1) Bir nokta ve yön vektörü için doğrunun kanonik denklemleri üçe ayrılır: bireysel denklemler: .

Veya kısaca:

Örnek 2: Bir nokta ve yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemlerini oluşturalım:

Bu nasıl bir çizgi? Düz çizginin yön vektörü birim vektörle eşdoğrusaldır, bu da bu düz çizginin eksene paralel olacağı anlamına gelir. Kanonik denklemler şu şekilde anlaşılmalıdır:
a) – “y” ve “z” kalıcı, eşittir belirli sayılar;
b) “x” değişkeni herhangi bir değeri alabilir: (pratikte bu denklem genellikle yazılmaz).

Özellikle denklemler eksenin kendisini tanımlar. Aslında "x" her değeri alır ve "y" ile "z" her zaman sıfıra eşittir.

Söz konusu denklemler başka bir şekilde yorumlanabilir: örneğin apsis ekseninin analitik gösterimine bakalım: . Sonuçta bunlar iki düzlemin denklemleri! Denklem koordinat düzlemini belirtir ve denklem koordinat düzlemini belirtir. Doğru düşünüyorsunuz - bu koordinat düzlemleri eksen boyunca kesişiyor. Dersin en sonunda uzayda bir doğrunun iki düzlemin kesişimiyle tanımlandığı yöntemi ele alacağız.

İki benzer durum:

2) Vektöre paralel bir noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemleri formüllerle ifade edilir.

Bu tür düz çizgiler koordinat eksenine paralel olacaktır. Özellikle denklemler koordinat ekseninin kendisini belirtir.

3) Vektöre paralel bir noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemleri formüllerle ifade edilir.

Bu düz çizgiler koordinat eksenine paraleldir ve denklemler uygulanan eksenin kendisini tanımlar.

İkinci üçünü tezgaha koyalım:

4) Bir nokta ve yön vektörü için doğrunun kanonik denklemleri oran ve oranlara ayrılır. düzlem denklemi .

Örnek 3: Bir nokta ve yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemlerini oluşturalım.

Uzaydaki bir çizginin denklem türlerinden biri kanonik denklemdir. Birçok pratik problemin çözülmesinin gerekli olduğunu bilmek gerektiğinden, bu kavramı ayrıntılı olarak ele alacağız.

İlk paragrafta üç boyutlu uzayda yer alan bir doğrunun temel denklemlerini formüle edip çeşitli örnekler vereceğiz. Daha sonra, verilen kanonik denklemler için yön vektörünün koordinatlarını hesaplamak ve ters problemi çözmek için yöntemler göstereceğiz. Üçüncü bölümde üç boyutlu uzayda verilen 2 noktadan geçen bir doğru için denklemin nasıl oluşturulacağını anlatacağız ve son paragrafta kanonik denklemler ile diğerleri arasındaki bağlantılara değineceğiz. Tüm argümanlar problem çözme örnekleriyle gösterilecektir.

Düzlemdeki düz çizginin denklemlerine ayrılan makalede genel olarak düz çizginin kanonik denklemlerinin ne olduğunu zaten tartışmıştık. Üç boyutlu uzay durumunu analoji yoluyla analiz edeceğiz.

Diyelim ki, içinde düz bir çizginin verildiği dikdörtgen bir O x y z koordinat sistemimiz var. Hatırladığımız gibi düz bir çizgiyi farklı şekillerde tanımlayabilirsiniz. Bunlardan en basitini kullanalım - çizginin geçeceği noktayı belirleyin ve yön vektörünü belirtin. Bir doğruyu a harfiyle, bir noktayı M ile gösterirsek, M 1 (x 1, y 1, z 1)'in a doğrusu üzerinde olduğunu ve bu doğrunun yön vektörünün a → = (a x) olacağını yazabiliriz. , a y, a z). M (x, y, z) noktaları kümesinin bir düz çizgi a'yı tanımlaması için, M 1 M → ve a → vektörlerinin eşdoğrusal olması gerekir,

M 1 M → ve a → vektörlerinin koordinatlarını biliyorsak, onların doğrusallığı için gerekli ve yeterli koşulu koordinat biçiminde yazabiliriz. Başlangıç koşullarından a → koordinatlarını zaten biliyoruz. M 1 M → koordinatlarını elde etmek için M (x, y, z) ile M 1 (x 1, y 1, z 1) arasındaki farkı hesaplamamız gerekir. Hadi yazalım:

M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1

Bundan sonra ihtiyacımız olan koşulu şu şekilde formüle edebiliriz: M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ve a → = (a x , a y , a z) : M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z

Burada λ değişkeninin değeri herhangi bir gerçek sayı veya sıfır olabilir. Eğer λ = 0 ise, o zaman M (x, y, z) ve M 1 (x 1, y 1, z 1) çakışacaktır, bu da bizim akıl yürütmemizle çelişmez.

a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0 değerleri için sistemin tüm denklemlerini λ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ parametresine göre çözebiliriz. · bir z

Bundan sonra sağ taraflar arasına eşittir işareti koymak mümkün olacaktır:

x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Sonuç olarak, üç boyutlu uzayda istenen çizgiyi belirleyebileceğimiz x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z denklemlerini elde ettik. Bunlar ihtiyacımız olan kanonik denklemlerdir.

Bu gösterim, bir veya iki a x , a y , a z parametresinin sıfır olması durumunda bile kullanılır, çünkü bu durumlarda da doğru olacaktır. Yön vektörü a → = (a x, a y, a z) hiçbir zaman sıfır olmadığından, üç parametrenin tümü 0'a eşit olamaz.

Bir veya iki a parametresi 0'a eşitse, o zaman x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z denklemi koşulludur. Aşağıdaki girişe eşit kabul edilmelidir:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Makalenin üçüncü paragrafında kanonik denklemlerin özel durumlarını analiz edeceğiz.

Uzaydaki bir çizginin kanonik denkleminin tanımından birkaç önemli sonuç çıkarılabilir. Şimdi onlara bakalım.

1) orijinal çizgi iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasından geçerse, kanonik denklemler aşağıdaki formu alacaktır:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z veya x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z.

2) a → = (a x , a y , a z) orijinal çizginin yön vektörü olduğundan, tüm vektörler μ · a → = μ · a x , μ · a y , μ · a z , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Daha sonra düz çizgi şu denklem kullanılarak tanımlanabilir: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z veya x - x 1 μ · a x = y - y 1 μ · a y = z - z 1 μ · bir z.

Aşağıda verilen değerlere sahip bu tür denklemlerin bazı örnekleri verilmiştir:

Örnek 1 Örnek 2

Uzayda bir çizginin kanonik denklemi nasıl oluşturulur?

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formundaki kanonik denklemlerin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasından geçen düz bir çizgiye karşılık geleceğini öğrendik ve a → = ( a x , a y , a z) vektörü bunun için bir kılavuz olacaktır. Bu, bir doğrunun denklemini biliyorsak, onun yön vektörünün koordinatlarını hesaplayabileceğimiz ve vektörün verilen koordinatları ve doğru üzerinde bulunan bir nokta verildiğinde onun kanonik denklemlerini yazabileceğimiz anlamına gelir.

Birkaç spesifik soruna bakalım.

Örnek 3

Üç boyutlu uzayda x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 denklemini kullanarak tanımlanmış bir çizgimiz var. Bunun için tüm yön vektörlerinin koordinatlarını yazın.

Çözüm

Yön vektörünün koordinatlarını elde etmek için denklemden payda değerlerini almamız yeterlidir. Yön vektörlerinden birinin a → = (4, 2, - 5) olacağını ve bu tür vektörlerin tümünün kümesinin μ · a → = 4 · μ, 2 · μ, - 5 · μ şeklinde formüle edilebileceğini bulduk. . Burada μ parametresi herhangi bir gerçek sayıdır (sıfır hariç).

Cevap: 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0

Örnek 4

Uzaydaki bir çizgi M 1 (0, - 3, 2)'den geçiyorsa ve - 1, 0, 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörüne sahipse kanonik denklemleri yazın.

Çözüm

x 1 = 0, y 1 = - 3, z 1 = 2, a x = - 1, a y = 0, a z = 5 şeklinde verilerimiz var. Bu, hemen kanonik denklemler yazmaya geçmek için yeterlidir.

Hadi yapalım:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Cevap: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Bu problemler en basitleridir çünkü denklemin veya vektör koordinatlarının yazılması için başlangıç verilerinin tümüne veya neredeyse tamamına sahiptirler. Uygulamada, önce gerekli koordinatları bulmanız ve ardından kanonik denklemleri yazmanız gerekenleri sıklıkla bulabilirsiniz. Uzayda belirli bir noktadan geçen bir çizginin denklemlerini bulmaya yönelik makalelerde bu tür problemlerin örneklerini ve ayrıca uzayda bir düzleme dik belirli bir noktadan geçen bir çizgiyi analiz ettik.

Denklemlerdeki a x , a y , a z parametrelerinin bir veya iki değerinin sıfır değere sahip olabileceğini daha önce söylemiştik. Bu durumda, paydası sıfır olan bir veya iki kesir elde ettiğimiz için x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ gösterimi resmi hale gelir. Aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir (λ ∈ R için):

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Bu vakaları daha ayrıntılı olarak ele alalım. a x = 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, a x ≠ 0, a y = 0, a z ≠ 0 veya a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z = 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda gerekli denklemleri aşağıdaki gibi yazabiliriz:

İlk durumda:
x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ

İkinci durumda:
x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y - y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 a x = z - z 1 a z = λ

Üçüncü durumda:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ

Parametrelerin bu değeriyle, gerekli düz çizgilerin koordinat düzlemlerine paralel olan x - x 1 = 0, y - y 1 = 0 veya z - z 1 = 0 düzlemlerinde bulunduğu ortaya çıktı ( x 1 = 0, y 1 = 0 veya z 1 = 0 ise). Bu tür çizgilerin örnekleri şekilde gösterilmiştir.

Bu nedenle kanonik denklemleri biraz farklı yazabiliriz.

İlk durumda: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ , λ ∈ R
İkincisinde: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ , λ ∈ R z - z 1 = 0
Üçüncüsünde: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ , λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

Her üç durumda da orijinal düz çizgiler koordinat eksenleriyle çakışacak veya onlara paralel olacaktır: x 1 = 0 y 1 = 0, x 1 = 0 z 1 = 0, y 1 = 0 z 1 = 0. Yön vektörleri 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0 koordinatlarına sahiptir. Koordinat çizgilerinin yön vektörlerini i → , j → , k → olarak gösterirsek, verilen çizgilerin yön vektörleri bunlara göre eşdoğrusal olacaktır. Şekilde şu durumlar gösterilmektedir:

Bu kuralların nasıl uygulandığını örneklerle gösterelim.

Örnek 5

Uzaydaki O z, O x, O y koordinat çizgilerini belirlemek için kullanılabilecek kanonik denklemleri bulun.

Çözüm

Koordinat vektörleri i → = (1, 0, 0), j → = 0, 1, 0, k → = (0, 0, 1) orijinal düz çizgiler için kılavuz olacaktır. Koordinatların orijini olduğundan doğrularımızın mutlaka O (0, 0, 0) noktasından geçeceğini de biliyoruz. Artık gerekli kanonik denklemleri yazacak tüm verilere sahibiz.

Düz çizgi için O x: x 1 = y 0 = z 0

Düz çizgi O y için: x 0 = y 1 = z 0

Düz çizgi O z için: x 0 = y 0 = z 1

Cevap: x 1 = y 0 = z 0, x 0 = y 1 = z 0, x 0 = y 0 = z 1.

Örnek 6

Uzayda M 1 (3, - 1, 12) noktasından geçen bir doğru veriliyor. Ordinat eksenine paralel yer aldığı da bilinmektedir. Bu doğrunun kanonik denklemlerini yazınız.

Çözüm

Paralellik koşulunu dikkate alarak j → = 0, 1, 0 vektörünün istenilen düz çizgi için kılavuz olacağını söyleyebiliriz. Bu nedenle gerekli denklemler şöyle görünecektir:

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Cevap: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

İçinden düz bir çizginin geçtiği iki farklı M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktamız olduğunu varsayalım. O halde bunun için kanonik bir denklemi nasıl formüle edebiliriz?

Başlangıç olarak, bu doğrunun yön vektörü olarak M 1 M 2 → (veya M 2 M 1 →) vektörünü alalım. Gerekli noktaların koordinatları elimizde olduğundan, vektörün koordinatlarını hemen hesaplıyoruz:

M 1 M 2 → = x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

Ortaya çıkan eşitlikler, verilen iki noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemleridir. Resme bir göz atın:

Sorunun çözümüne bir örnek verelim.

Örnek 7

uzayda M 1 (- 2, 4, 1) ve M 2 (- 3, 2, - 5) koordinatlarına sahip, içinden düz bir çizginin geçtiği iki nokta vardır. Bunun için kanonik denklemleri yazın.

Çözüm

Koşullara göre x 1 = - 2, y 1 = - 4, z 1 = 1, x 2 = - 3, y 2 = 2, z 2 = - 5. Bu değerleri kanonik denklemde değiştirmemiz gerekiyor:

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

X - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 formundaki denklemleri alırsak şunu elde ederiz: x - (- 3) - 3 - ( - 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

Cevap: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 veya x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6.

Uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerinin diğer denklem türlerine dönüştürülmesi

Bazen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z biçimindeki kanonik denklemlerin kullanılması pek uygun değildir. Bazı problemleri çözmek için x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ gösterimini kullanmak daha iyidir. Bazı durumlarda, kesişen iki düzlemin denklemlerini kullanarak istenen çizgiyi belirlemek daha çok tercih edilir A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Dolayısıyla bu paragrafta eğer problemin koşulları gerektiriyorsa kanonik denklemlerden diğer türlere nasıl geçebileceğimizi analiz edeceğiz.

Parametrik denklemlere geçiş kurallarını anlamak zor değildir. Öncelikle denklemin her parçasını λ parametresine eşitliyoruz ve bu denklemleri diğer değişkenlere göre çözüyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ ⇔ x - x 1 a x = λ y - y 1 a y = λ z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

λ parametresinin değeri herhangi bir reel sayı olabilir çünkü x, y, z her türlü reel değeri alabilir.

Örnek 8

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sisteminde x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 denklemiyle tanımlanan düz bir çizgi verilir. Kanonik denklemi parametrik biçimde yazın.

Çözüm

Öncelikle kesirin her parçasını λ'ya eşitliyoruz.

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ

Şimdi ilk kısmı x'e göre, ikinciyi y'ye göre, üçüncüyü de z'ye göre çözüyoruz. Alacağız:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Cevap: x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Bir sonraki adımımız kanonik denklemleri kesişen iki düzlemin (aynı doğru için) denklemine dönüştürmek olacaktır.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z eşitliği öncelikle bir denklem sistemi olarak temsil edilmelidir:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

p q = r s'yi p · s = q · r olarak anladığımıza göre şunu yazabiliriz:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a z y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) a z · ( x - x 1) = a x · (z - z 1) a z · (y - y 1) = a y · (z - z 1) ⇔ ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

Sonuç olarak şunu elde ettik:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0 a z x - a x z + a x z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

Yukarıda a parametresinin üçünün de aynı anda sıfır olamayacağını belirtmiştik. Bu, a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 olduğundan ve ikinci dereceden belirleyicilerden biri 0'a eşit olmadığından sistemin ana matrisinin sıralamasının 2'ye eşit olacağı anlamına gelir:

a y - a x a z 0 = a x · a z , a y 0 a z - a x = a x · a y , - a x 0 0 - a x = a x 2 a y - a x 0 a z = a y · a z , a y 0 0 - a y = - a y 2 , - a x 0 a z - a y = a x · a y a z 0 0 a z = a z 2 , a z - a x 0 - a y = - a y · a z , 0 - a x a z - a y = a x · a z

Bu bize hesaplamalarımızdan bir denklemi çıkarma fırsatı verir. Böylece kanonik düz çizgi denklemleri, 3 bilinmeyen içeren iki doğrusal denklem sistemine dönüştürülebilir. İhtiyacımız olan kesişen iki düzlemin denklemleri olacaklar.

Gerekçe oldukça karmaşık görünüyor, ancak pratikte her şey oldukça hızlı yapılıyor. Bunu bir örnekle gösterelim.

Örnek 9

Düz çizgi, x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 kanonik denklemiyle verilir. Bunun için kesişen düzlemlerin denklemini yazın.

Çözüm

Kesirlerin ikili denklemiyle başlayalım.

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 1) = 2 y 0 · (x - 1) = 2 · (z + 2) 0 · y = 0 · (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

Şimdi son denklemi hesaplamaların dışında tutuyoruz çünkü bu herhangi bir x, y ve z için doğru olacaktır. Bu durumda, x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0.

Bunlar, kesiştiğinde x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 denklemiyle tanımlanan düz bir çizgi oluşturan, kesişen iki düzlemin denklemleridir.

Cevap: y = 0 z + 2 = 0

Örnek 10

Doğru x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 denklemleriyle verilmiştir, bu doğru boyunca kesişen iki düzlemin denklemini bulun.

Çözüm

Kesirleri çiftler halinde eşitleyin.

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 · ( x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

Ortaya çıkan sistemin ana matrisinin determinantının 0'a eşit olacağını buluyoruz:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 · 1 = 0

İkinci dereceden küçük sıfır olmayacaktır: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6. O zaman bunu temel minör olarak kabul edebiliriz.

Sonuç olarak x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 sisteminin ana matrisinin rütbesini hesaplayabiliriz. Bu 2 olacaktır. Üçüncü denklemi hesaplamanın dışında bırakırız ve şunu elde ederiz:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Cevap: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.