Bir üçgenin çevrelediği bir daire Bir daire içine yazılan bir üçgen. Sinüs teoremi

Tanım

Eğer \(P\) çokgenin tüm köşeleri \(S\) dairesi üzerinde yer alıyorsa, bir \(S\) dairesi bir \(P\) çokgeninin etrafında çevrelenmiştir.

Bu durumda \(P\) çokgeninin bir daire içine yazıldığı söylenir.

Tanım

Bir parçanın dik açıortayı, belirli bir parçanın ortasından kendisine dik olarak geçen bir çizgidir.

Teorem

Bir parçanın dik açıortayının her noktası, o parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Kanıt

\(AB\) doğru parçasını ve ona dik olan \(a\) parçasını düşünün. Herhangi bir \(X\in a\) noktası için aşağıdakinin geçerli olduğunu kanıtlayalım: \(AX=BX\) .

\(\triangle AXB\) düşünün: \(XO\) segmenti medyan ve yüksekliktir, dolayısıyla \(\triangle AXB\) ikizkenardır, dolayısıyla \(AX=BX\) .

Teorem

Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt

\(\üçgen ABC\)'yi düşünün. \(AB\) ve \(AC\) kenarlarına dik açıortaylar çizelim. \(O\) noktasında kesişecekler.

Önceki teoreme göre, dik açıortay \(C_1O\) için aşağıdakiler geçerlidir: \(AO=BO\) ve \(B_1O\) - \(AO=CO\) için. Bu nedenle \(BO=CO\) . Bu, \(\üçgen BOC\)'nin ikizkenar olduğu anlamına gelir, dolayısıyla \(BC\) tabanına çizilen \(OA_1\) yüksekliği de medyan olacaktır. Bu, \(OA_1\) öğesinin \(BC\) segmentine dik açıortay olduğu anlamına gelir.

Böylece, dik açıortayların üçü de bir \(O\) noktasında kesişir.

Sonuçlar

Bir nokta, bir doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaysa, bu nokta dik açıortay üzerinde bulunur.

Teorem

Herhangi bir üçgenin çevresine tek bir daire çizilebilir ve çevrelenen dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktasıdır.

Kanıt

Yukarıda kanıtlanmış teoremden \(AO=BO=CO\) sonucu çıkar. Bu, üçgenin tüm köşelerinin \(O\) noktasından eşit uzaklıkta olduğu ve dolayısıyla aynı çember üzerinde yer aldıkları anlamına gelir.

Böyle bir çevre sadece bir tane var. \(\ABC üçgeni\) etrafında başka bir dairenin tanımlanabileceğini varsayalım. O zaman merkezi \(O\) noktasıyla çakışmalıdır (çünkü bu, üçgenin köşelerine eşit uzaklıktaki tek noktadır) ve yarıçap, merkezden bazı köşelere olan mesafeye eşit olmalıdır, yani. \(OA\) . Çünkü Eğer bu çemberlerin merkezi ve yarıçapları aynıysa bu çemberler de çakışıyor demektir.

Yazılı üçgen alan teoremi

Eğer \(a, b, c\) üçgenin kenarlarıysa ve \(R\) etrafını çevreleyen dairenin yarıçapıysa, o zaman üçgenin alanı \

Kanıt*
“Sinüs Teoremi” konusunu inceledikten sonra bu teoremin ispatına aşina olmanız tavsiye edilir.

\(a\) ve \(c\) kenarları arasındaki açıyı \(\alpha\) olarak gösterelim. Daha sonra \(S_(\triangle)=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\).

Sinüs teoremine göre \(\dfrac b(\sin\alpha)=2R\) , dolayısıyla \(\sin \alpha=\dfrac b(2R)\) . Buradan, \(S_(\üçgen)=\dfrac(abc)(4R)\).

Teorem

Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak ve ancak karşıt açılarının toplamı \(180^\circ\)'e eşitse tanımlanabilir.

Kanıt

Gereklilik.

Bir \(ABCD\) dörtgeninin etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, o zaman \(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC) = 360^\circ\), Neresi \(\angle ABC + \angle ADC = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ABC) + \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ADC) = \frac(1 )(2)(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC)) = 180^\circ\). \(BCD\) ve \(BAD\) açıları için benzerdir.

Yeterlilik.

\(ABC\) üçgeninin etrafında bir daire tanımlayalım. Bu dairenin merkezi \(O\) noktası olsun. \(O\) ve \(D\) noktalarından geçen doğru üzerinde, bu doğru ile çemberin kesiştiği \(D"\) noktasını işaretliyoruz. \(D\) ve noktalarının olduğunu varsayalım. \(D"\) çakışmıyorsa \(CD"AD\) dörtgenini düşünün.

Açılar \(CD"A\) ve \(CDA\) açıyı \(ABC\) \(180^\circ\) (\(\angle CDA\) ile koşula göre tamamlar ve \(\angle CD"A) \) yukarıda kanıtlandığı gibi), dolayısıyla eşittirler, ancak bu durumda \(AD"CD\) dörtgeninin açılarının toplamı \(360^\circ\)'den büyüktür, bu (toplam) olamaz bu dörtgenin açıları iki üçgenin açılarının toplamıdır, dolayısıyla \(D\) ve \(D"\) noktaları çakışır.

Yorum. Şekilde \(D\) noktası, \(\ABC üçgeni\) tarafından çevrelenen dairenin sınırladığı dairenin dışında yer alır, ancak \(D\)'nin içeride olması durumunda ispat da geçerli kalır.

Teorem

Bir dışbükey dörtgen \(ABCD\) etrafında bir daire ancak ve ancak \(\angle ABD=\angle ACD\) olması durumunda tanımlanabilir.

Kanıt

Gereklilik.\(ABCD\) çevresinde bir daire çevrelenmişse, o zaman \(\angle ABD\) ve \(\angle ACD\) açıları yazılır ve bir yay üzerinde durur \(\buildrel\smile\over(AD)\) dolayısıyla eşittirler.

Yeterlilik.İzin vermek \(\angle ABD=\angle ACD=\alpha\). \(ABCD\) çevresinde bir dairenin tanımlanabileceğini kanıtlayalım.

\(\triangle ABD\) etrafında bir daire tanımlayalım. \(CD\) düz çizgisinin bu daireyi \(C"\) noktasında kesmesine izin verin. Sonra \(\angle ABD=\angle AC"D \Rightarrow \angle AC"D=\angle ACD\).

Buradan, \(\angle CAD=\angle C"AD=180^\circ-\angle ADC-\angle AC"D\), yani \(\üçgen AC"D=\üçgen ACD\) ortak bir kenar \(AD\) ve iki bitişik açı boyunca (\(\angle C"AD=\angle CAD\) , \(\angle ADC"=\angle ADC\) – ortak). Bu, \(DC"=DC\) anlamına gelir, yani \(C"\) ve \(C\) noktaları çakışır.

Teoremler

1. Bir paralelkenarın etrafında bir daire çevrelenmişse, bu bir dikdörtgendir (Şekil 1).

2. Bir eşkenar dörtgenin etrafında bir daire tanımlanmışsa, bu bir karedir (Şekil 2).

3. Bir yamuğun etrafında bir daire tanımlanmışsa, bu ikizkenardır (Şekil 3).

Bunun tersi ifadeler de doğrudur: Bir dikdörtgenin, eşkenar dörtgenin ve ikizkenar yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir, hem de yalnızca bir tane.

Kanıt

1) \(ABCD\) paralelkenarının çevresine bir daire çizilsin. O halde zıt açıların toplamı eşittir \(180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ\). Ancak paralelkenarda zıt açılar eşittir çünkü \(\açı A=\açı C\) . Buradan, \(\açı A=\açı C=90^\circ\). Yani tanım gereği \(ABCD\) bir dikdörtgendir.

2) Eşkenar dörtgen \(MNKP\) etrafında bir daire çevrelenmiş olsun. Önceki noktaya benzer şekilde (eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan), \(MNKP\)'nin bir dikdörtgen olduğu kanıtlanmıştır. Ancak bu dikdörtgenin tüm kenarları eşittir (eşkenar dörtgen olduğu için), bu da \(MNKP\)'nin bir kare olduğu anlamına gelir.

Bunun tersi bir ifade açıktır.

3) Yamuk \(QWER\) etrafında bir daire çevrelenmiş olsun. Daha sonra \(\açı Q+\açı E=180^\circ\). Ancak yamuğun tanımından şu sonuç çıkıyor: \(\açı Q+\açı W=180^\circ\). Bu nedenle, \(\angle W=\angle E\) . Çünkü yamuğun \(WE\) tabanındaki açılar eşitse ikizkenar olur.

Bunun tersi bir ifade açıktır.

Bu makale, matematikte Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için gereken daire hakkında minimum bilgi kümesini içerir.

Çevre çemberin merkezi olarak adlandırılan belirli bir noktadan aynı uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir.

Çember üzerinde yer alan herhangi bir nokta için eşitlik sağlanır (Doğrusunun uzunluğu çemberin yarıçapına eşittir.

Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına ne denir akor.

Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap daire() .

Çevre:

Bir dairenin alanı:

Bir dairenin yayı:

Çemberin iki nokta arasında kalan kısmına denir yay daireler. Bir daire üzerindeki iki nokta iki yayı tanımlar. Akor iki yaya karşılık gelir: ve . Eşit akorlar eşit yaylara karşılık gelir.

İki yarıçap arasındaki açıya denir merkez açı :

Yay uzunluğunu bulmak için orantı yaparız:

a) açı derece cinsinden verilir:

b) açı radyan cinsinden verilmiştir:

Kirişe dik çap , bu akoru ve onun karşılık geldiği yayları ikiye böler:

Eğer akorlar Ve çemberler bir noktada kesişiyor , o zaman bir noktaya bölündükleri akor bölümlerinin çarpımları birbirine eşittir:

Bir daireye teğet.

Çemberle ortak noktası olan doğruya denir teğetçembere. Çemberle ortak iki noktası olan doğruya denir sekant

Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Belirli bir noktadan bir daireye iki teğet çizilirse, o zaman teğet parçalar birbirine eşittir ve dairenin merkezi, bu noktada tepe noktasıyla olan açının ortaortasında yer alır:

Belirli bir noktadan bir daireye bir teğet ve bir kesen çizilirse, o zaman bir teğet parçanın uzunluğunun karesi, tüm sekant parçanın ve dış kısmının çarpımına eşittir :

Sonuçlar: bir sekantın tüm segmentinin ve dış kısmının ürünü, başka bir sekantın tüm segmentinin ve dış kısmının ürününe eşittir:

Bir daire içindeki açılar.

Merkez açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir:

Tepe noktası çember üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan açıya denir. Yazılı açı . Yazılı bir açı, uzandığı yayın yarısı kadar ölçülür:

∠∠

Çapın oluşturduğu yazılı açı doğrudur:

∠∠∠

Bir yay tarafından çevrelenen yazılı açılar eşittir :

Bir akorun kapsadığı yazılı açılar eşittir veya toplamları eşittir

∠∠

Belirli bir tabana ve eşit köşe açılarına sahip üçgenlerin köşeleri aynı daire üzerinde bulunur:

İki akor arasındaki açı (bir daire içinde tepe noktasına sahip bir açı), belirli bir açının içinde ve dikey bir açının içinde bulunan bir dairenin yaylarının açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

İki sekant arasındaki açı (tepe noktası dairenin dışında olan bir açı), açının içinde bulunan daire yaylarının açısal değerlerinin yarı farkına eşittir.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Yazılı daire.

Çember denir çokgen içine yazılmış , eğer yanlarına dokunuyorsa. Yazılı dairenin merkezi çokgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktasında yer alır.

Her çokgen bir daireye sığmaz.

Bir dairenin yazılı olduğu çokgenin alanı formül kullanılarak bulunabilir

burada çokgenin yarı çevresi ve yazılı dairenin yarıçapı var.

Buradan yazılı daire yarıçapı eşittir

Bir dışbükey dörtgen içine bir daire yazılmışsa, karşı kenarların uzunluklarının toplamları eşittir . Tersine: eğer dışbükey bir dörtgende karşıt kenarların uzunluklarının toplamları eşitse, o zaman dörtgene bir daire yazılabilir:

Herhangi bir üçgene yalnızca bir daire yazabilirsiniz. Çemberin merkezi, üçgenin iç açılarının açıortaylarının kesişme noktasında bulunur.

Yazılı daire yarıçapı eşittir . Burada

Sınırlandırılmış daire.

Çember denir bir çokgen hakkında anlatılan , eğer çokgenin tüm köşelerinden geçiyorsa. Çevrel dairenin merkezi, çokgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında bulunur. Yarıçap, verilen çokgenin herhangi üç köşesi tarafından tanımlanan üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olarak hesaplanır:

Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak ve ancak karşıt açılarının toplamı eşitse tanımlanabilir. .

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. Merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında yer alır:

Çevre yarıçapı formüller kullanılarak hesaplanır:

Üçgenin kenar uzunlukları nerede ve alanıdır.

Ptolemy'nin teoremi

Döngüsel bir dörtgende köşegenlerin çarpımı, karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşittir:

Bir dairenin çapı, dairenin merkezinden geçen, dairenin birbirinden en uzak iki noktasını birleştiren düz çizgi parçasıdır. Çap ismi Yunancadan gelir ve kelimenin tam anlamıyla enine anlamına gelir. Çap, Latin alfabesindeki D harfi veya O sembolü ile gösterilir.

Daire çapı

Bir dairenin çapını nasıl bulacağınızı bilmek için formüllere başvurmanız gerekir. Bir dairenin çapını hesaplayabileceğiniz iki temel formül vardır. Birincisi D = 2R'dir. Burada çap, yarıçapın iki katına eşittir; burada yarıçap, merkezden daire üzerindeki herhangi bir noktaya (R) olan mesafedir. Bir örnek düşünelim: Görevde yarıçap biliniyorsa ve 10 cm'ye eşitse çapı kolayca bulabilirsiniz. Bu yarıçap değeri için formülde D = 2 * 10 = 20 cm yerine koyarız

İkinci formül çevre boyunca çapı bulmayı mümkün kılar ve şu şekilde görünür: D = L/P, burada L çevrenin değeridir ve P, yaklaşık olarak 3,14'e eşit olan Pi sayısıdır. Bu formülün pratikte kullanımı çok uygundur. Bir ambarın, depo kapağının veya bir tür çukurun çapını bilmeniz gerekiyorsa çevresini ölçüp 3,14'e bölmeniz yeterlidir. Örneğin çevresi 600 cm olduğundan D = 600/3,14 = 191,08 cm olur.

Dairesel çapı

Çevrelenmiş bir dairenin çapı, bir üçgenin içine alınmış veya çizilmişse de bulunabilir. Bunu yapmak için önce yazılı dairenin yarıçapını aşağıdaki formülü kullanarak bulmanız gerekir: R = S/p, burada S üçgenin alanını belirtir ve p onun yarı çevresidir, p eşittir (a) + b + c)/2. Yarıçap bilindikten sonra ilk formülü kullanmanız gerekir. Veya hemen tüm değerleri D = 2S/p formülüne yazın.

Sınırlandırılmış bir dairenin çapını nasıl bulacağınızı bilmiyorsanız, üçgenle çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmak için formülü kullanın. Formülde R = (a * b * c)/4 * S, S üçgenin alanını ifade eder. Daha sonra aynı şekilde yarıçapın değerini D = 2R formülünde yerine koyun.

Öncelikle daire ile daire arasındaki farkı anlayalım. Bu farkı görmek için her iki rakamın ne olduğunu düşünmek yeterlidir. Bunlar düzlem üzerinde tek bir merkezi noktadan eşit uzaklıkta bulunan sonsuz sayıda noktadır. Ancak daire aynı zamanda iç uzaydan oluşuyorsa daireye ait değildir. Bir dairenin hem onu ​​sınırlayan bir daire (daire(r)) hem de dairenin içinde bulunan sayısız sayıda nokta olduğu ortaya çıktı.

Çember üzerinde bulunan herhangi bir L noktası için OL=R eşitliği uygulanır. (OL segmentinin uzunluğu dairenin yarıçapına eşittir).

Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? akor.

Çemberin merkezinden doğrudan geçen akor çap bu daire (D). Çap şu formül kullanılarak hesaplanabilir: D=2R

Çevre formülle hesaplanır: C=2\pi R

Bir dairenin alanı: S=\pi R^(2)

Bir dairenin yayı iki noktası arasında kalan kısmına denir. Bu iki nokta bir dairenin iki yayını tanımlar. Akor CD'si iki yayı kapsar: CMD ve CLD. Aynı akorlar eşit yaylara karşılık gelir.

Merkezi açıİki yarıçap arasında kalan açıya denir.

Yay uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

1. Derece ölçüsünü kullanma: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radyan ölçüsünü kullanma: CD = \alpha R

Akora dik olan çap, akoru ve onun daralttığı yayları ikiye böler.

Çemberin AB ve CD kirişleri N noktasında kesişiyorsa, N noktasıyla ayrılan kiriş parçalarının çarpımları birbirine eşittir.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Bir daireye teğet

Bir daireye teğet Bir daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgiyi çağırmak gelenekseldir.

Bir doğrunun iki ortak noktası varsa buna denir. sekant.

Yarıçapı teğet noktasına çizerseniz, daireye teğete dik olacaktır.

Bu noktadan çemberimize iki teğet çizelim. Teğet bölümlerin birbirine eşit olacağı ve dairenin merkezinin bu noktada tepe noktasıyla açının ortaortasında yer alacağı ortaya çıktı.

AC = CB

Şimdi çembere bulunduğumuz noktadan bir teğet ve bir sekant çizelim. Teğet parçasının uzunluğunun karesinin, tüm kesen parçanın ve dış kısmının çarpımına eşit olacağını elde ederiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Şu sonuca varabiliriz: birinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının ürünü, ikinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının çarpımına eşittir.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Bir daire içindeki açılar

Merkez açının ve dayandığı yayın derece ölçüleri eşittir.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Yazılı açı köşesi daire üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan açıdır.

Bu yayın yarısına eşit olduğundan yayın boyutunu bilerek hesaplayabilirsiniz.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Çapa, yazılı açıya, dik açıya göre.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Aynı yayı gören yazılı açılar aynıdır.

Bir kirişe dayanan yazılı açılar aynıdır veya toplamları 180^ (\circ)'ye eşittir.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Aynı daire üzerinde, aynı açılara ve belirli bir tabana sahip üçgenlerin köşeleri vardır.

Tepe noktası dairenin içinde olan ve iki akor arasında yer alan açı, verilen ve dikey açılar içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Köşesi dairenin dışında olan ve iki kesen arasında bulunan bir açı, açının içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerindeki farkın yarısı kadardır.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Yazılı daire

Yazılı daire bir çokgenin kenarlarına teğet olan bir dairedir.

Bir çokgenin köşelerinin açıortaylarının kesiştiği noktada merkezi bulunur.

Her çokgene bir daire yazılamaz.

Yazılı bir daireye sahip bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

S = pr,

p çokgenin yarı çevresidir,

r yazılı dairenin yarıçapıdır.

Yazılı dairenin yarıçapının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

r = \frac(S)(p)

Daire dışbükey bir dörtgen içine yazılmışsa, karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynı olacaktır. Ve bunun tersi de geçerlidir: Karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynıysa, bir daire dışbükey bir dörtgen içine sığar.

AB + DC = AD + BC

Üçgenlerden herhangi birine daire çizmek mümkündür. Yalnızca tek bir tane. Şeklin iç açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada bu yazılı dairenin merkezi yer alacaktır.

Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:

r = \frac(S)(p) ,

burada p = \frac(a + b + c)(2)

Çevrel çember

Bir daire bir çokgenin her köşesinden geçiyorsa, o zaman böyle bir daireye genellikle denir bir çokgen hakkında anlatılan.

Bu şeklin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında çevrel çemberin merkezi olacaktır.

Yarıçap, çokgenin herhangi 3 köşesi tarafından tanımlanan üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olarak hesaplanarak bulunabilir.

Şu koşul vardır: Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak karşıt açılarının toplamı 180^( \circ)'e eşitse tanımlanabilir.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. Böyle bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği noktada bulunacaktır.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır,

S üçgenin alanıdır.

Ptolemy'nin teoremi

Son olarak Ptolemy'nin teoremini düşünün.

Ptolemy'nin teoremi, köşegenlerin çarpımının, döngüsel bir dörtgenin karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD