Büyük sayılar kanunu nerede uygulanır? Büyük sayılar kanunları

Fonksiyon F(x) bazen denir integral fonksiyonu dağıtım veya integral dağılım yasası.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu sıfır ile bir arasında negatif olmayan bir fonksiyondur:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu, tüm sayısal eksende azalmayan bir fonksiyondur.

3. Eksi sonsuzda dağılım fonksiyonu sıfıra eşittir, artı sonsuzda birliğe eşittir, yani: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. Bir rastgele değişkenin [x1,x2) aralığına (x1 dahil) düşme olasılığı, dağılım fonksiyonunun bu aralıktaki artışına eşittir, yani; P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Markov ve Chebyshev eşitsizliği

Markov eşitsizliği

Teorem: Bir X rastgele değişkeni yalnızca negatif olmayan değerler alıyorsa ve matematiksel bir beklentisi varsa, o zaman herhangi bir pozitif A sayısı için aşağıdaki eşitlik doğrudur: P(x>A) ≤ .

X > A ve X ≤ A olayları zıt olduğundan, P(X > A) yerine 1 - P(X ≤ A) ifadesini koyarsak Markov eşitsizliğinin başka bir biçimine ulaşırız: P(X ≥ A) ≥1 - .

Markov eşitsizliği k, negatif olmayan tüm rastgele değişkenler için geçerlidir.

Chebyshev eşitsizliği

Teorem: Matematiksel beklentisi ve varyansı olan herhangi bir rastgele değişken için Chebyshev eşitsizliği geçerlidir:

P (|X – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 veya P (|X – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2, burada a= M(X), ε>0.

Büyük sayılar yasası Chebyshev teoreminin “biçiminde”.

Chebyshev'in teoremi: Varyans ise N bağımsız rastgele değişkenler X1, X2,…. X N aynı sabitle sınırlıdır, daha sonra sayı sınırsız bir artışla N rastgele değişkenlerin aritmetik ortalaması, olasılık açısından matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasına yakınsar a 1 , a 2 ...., a n, yani .

Büyük sayılar yasasının anlamı, rastgele değişkenlerin ortalama değerlerinin, matematiksel beklentilerine yönelmesidir. N→ Olasılıkta ∞. Ortalama değerlerin matematiksel beklentiden sapması, eğer n yeterince büyükse, birliğe yakın bir olasılıkla keyfi olarak küçük hale gelir. Başka bir deyişle ortalama değerlerin herhangi bir sapma olasılığı A Büyüdüğün kadar küçük N.

30. Bernoulli teoremi.

Bernoulli teoremi: Olay sıklığı N sayısında sınırsız bir artışla her birinde aynı p olasılığıyla gerçekleşebilen tekrarlanan bağımsız denemeler N ayrı bir denemede bu olayın olasılığı p olasılığına yakınsar: \

Bernoulli teoremi Chebyshev teoreminin bir sonucudur, çünkü bir olayın frekansı, aynı dağılım yasasına sahip n bağımsız alternatif rastgele değişkenin aritmetik ortalaması olarak temsil edilebilir.

18. Kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi ve özellikleri.

Matematiksel beklenti tüm değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır

Ayrık bir rastgele değişken için:

Sürekli bir rastgele değişken için:

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir: M(S)=C

2. Sabit faktör matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir, yani. M(kX)=kM(X).

3. Sonlu sayıda rastgele değişkenin cebirsel toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin aynı toplamına eşittir; M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Sonlu sayıda bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Bir rastgele değişkenin tüm değerleri sabit bir C kadar artarsa ​​(azalırsa), o zaman bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı sabit C kadar artacaktır (azalacaktır): M(X±C)=M(X)±C.

6. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının matematiksel beklentisi sıfırdır: M=0.

BÜYÜK SAYILAR YASASI

Rastgele faktörlerin birleşiminin, belirli çok genel koşullar altında neredeyse şanstan bağımsız bir sonuca yol açmasını sağlayan genel bir prensip. Rastgele bir olayın meydana gelme sıklığı ile deneme sayısı arttıkça olasılığın yakınsaması (ilk olarak kumarda fark edildiği anlaşılıyor), bu prensibin işleyişinin ilk örneği olabilir.

17. ve 18. yüzyılların başında. J. Bernoulli, her birinde belirli bir olayın meydana gelmesinin aynı değere sahip olduğu bir dizi bağımsız denemede aşağıdaki ilişkinin doğru olduğunu belirten bir teoremi kanıtladı:

herhangi biri için - olayın ilk denemelerde meydana gelme sayısı, - meydana gelme sıklığı. Bu Bernoulli teoremi S. Poisson tarafından, A olayının meydana gelme olasılığının deneme sayısına bağlı olabileceği bir dizi bağımsız deneme durumunu kapsayacak şekilde genişletildi. K'inci deneme için bu olasılık eşit olsun ve

Daha sonra Poisson teoremişunu belirtir:

Bu teoreme ilk katı yaklaşım, yöntemi Poisson yönteminden tamamen farklı olan ve belirli aşırı düşüncelere dayanan P. L. Chebyshev (1846) tarafından verilmiştir; S. Poisson, (2)'yi belirtilen olasılık için Gauss yasasının kullanımına dayalı ve o zamanlar henüz tam olarak kanıtlanmamış yaklaşık bir formülden türetmiştir. S. Poisson "büyük sayılar yasası" terimiyle ilk kez karşılaştı ve bunu Bernoulli teoreminin genelleştirilmesi olarak adlandırdı.

Bernoulli ve Poisson teoremlerinin doğal olarak daha ileri bir genellemesi, rastgele değişkenlerin bir toplam olarak temsil edilebileceğini fark edersek ortaya çıkar.

bağımsız rastgele değişkenler; burada A, Ath denemesinde görünürse ve - aksi takdirde. Aynı zamanda matematiksel beklenti (matematiksel beklentilerin aritmetik ortalamasına denk gelen) Bernoulli durumu ve Poisson durumu için p'ye eşittir. Başka bir deyişle, her iki durumda da aritmetik ortalamanın sapması dikkate alınır. Xk matematiksel değerlerinin aritmetik ortalamasından beklentiler.

P. L. Chebyshev'in “Ortalama değerlerde” (1867) çalışmasında, bağımsız rastgele değişkenler için ilişkinin olduğu tespit edilmiştir.

(herhangi biri için) çok genel varsayımlar altında doğrudur. P. L. Chebyshev matematikçi olduğunu varsaydı. beklentilerin tümü aynı sabitle sınırlıdır, ancak onun kanıtından sınırlı varyans gerekliliğinin yeterli olduğu açıktır

hatta talep ediyor

Böylece P. L. Chebyshev, Bernoulli teoreminin geniş bir genelleştirilmesi olasılığını gösterdi. A. A. Markov daha fazla genelleme olasılığına dikkat çekti ve B. h.z. adının kullanılmasını önerdi. Bernoulli teoreminin tüm genellemelerine [ve özellikle de (3)'e]. Chebyshev'in yöntemi matematiğin genel özelliklerinin kesin olarak belirlenmesine dayanmaktadır. beklentiler ve sözde kullanımı. Chebyshev eşitsizlikleri[olasılık (3) için formun bir tahminini verir

bu sınır elbette daha önemli kısıtlamalar altında daha doğru bir sınırla değiştirilebilir, bkz. Bernstein eşitsizliği]. B.h.z.'nin çeşitli biçimlerine ilişkin daha sonraki kanıtlar. bir dereceye kadar Chebyshev yönteminin bir gelişmesidir. Rastgele değişkenlerin uygun şekilde "kesilmesini" uygulayarak (bunları yardımcı değişkenlerle değiştirerek: belirli sabitler nerede ise), A. A. Markov B. kısmını genişletti. Terimlerdeki farklılıkların mevcut olmadığı durumlar için. Örneğin, belirli sabitler için (3)'ün gerçekleşeceğini gösterdi. ve herkes ve

Kısım 1 - BÖLÜM 9. BÜYÜK SAYILAR YASASI. LİMİT TEOREMLERİ

9.1. Chebyshev eşitsizliği

Notlar

9.2. Chebyshev formunda büyük sayılar kanunu

9.2. Chebyshev formunda büyük sayılar kanunu: toplama

10.9.3. Bernoulli teoremi

11.

12.9.4. Karakteristik fonksiyonlar

13.

14.

15. 9.5. Merkezi limit teoremi ( Lyapunov teoremi )

16.

17. OLASILIK TEORİSİNİN VE MATEMATİKSEL İSTATİSTİĞİN TEMELLERİ

18. Epigraf

19. Giriş

20. İstatistiksel veri analizi yöntemleri:

21. BÖLÜM 1. MATEMATİKSEL İSTATİSTİĞİN TEMEL KAVRAMLARI

22.1.1. Nüfus ve örnek

23.

24. Temsili örnek:

25.

26.1.2. Örnek dağıtım yasası (istatistiksel seri)

27.

28.

29.

30.

31.1.3. Frekans poligonu, örnek dağıtım fonksiyonu

32.

33.

34.

35. 1.4. Ampirik dağılım fonksiyonunun özellikleri

36.

37. Örnek

38. BÖLÜM 2. ÖRNEĞİN SAYISAL ÖZELLİKLERİ

39.

40. 2.1. Örnek ortalaması ve örnek varyansı, ampirik noktalar

41.

42.

43.

44.

45.

46. ​​2.2. Dağıtım parametrelerinin istatistiksel tahminlerinin özellikleri: tarafsızlık, verimlilik, tutarlılık

47.

48.

49.

50.

51. 2.3. Örnek ortalamanın özellikleri

52.

53.

54.

55.

56.

57.2.4. Örnek varyansın özellikleri

58.

59.

60. Örnek

61.

62. BÖLÜM 3. BİLİNEN BİR DAĞILIMIN PARAMETRELERİNİN NOKTA TAHMİNİ

63.

64.3.1. Momentlerin yöntemi

65.

66.

67. Örnek

68. Hatırlatma

69.

70.

71.3.2. Maksimum olabilirlik yöntemi

72.

73.

74. Notlar:

75. Örnek

76.

77. BÖLÜM 4. BİLİNEN BİR DAĞILIMI PARAMETRELERİNİN ARALIK TAHMİNİ

78.

79.

80.4.1. Varyansı bilinen normal dağılımlı bir miktarın matematiksel beklentisinin tahmini

81.

82.

83.4.2. Varyansı bilinmeyen normal dağılmış bir miktarın matematiksel beklentisinin tahmini

84.

85.

86. n – 1 serbestlik dereceli öğrenci dağılım yoğunluğu

87.

88.

89.

90. 4.3. Normal dağılmış bir miktarın standart sapmasını tahmin etmek

91.4.3.1. İyi bilinen matematiksel beklentinin özel bir durumu

92.

93.

94.

95.

96.

97.4.3.2. Bilinmeyen matematiksel beklentinin özel bir durumu

98.

99.4.4. Rastgele bir örnek için rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini tahmin etmek

100.

101.

102.

103.

104.

105. BÖLÜM 4. BİLİNEN BİR DAĞILIMI PARAMETRELERİNİN ARALIK TAHMİNİ

106.

107.

108.4.1. Varyansı bilinen normal dağılımlı bir miktarın matematiksel beklentisinin tahmini

109.

110.

111.4.2. Varyansı bilinmeyen normal dağılmış bir miktarın matematiksel beklentisinin tahmini

112.

113.

114. n – 1 serbestlik derecesine sahip öğrenci dağılım yoğunluğu

115.

116.

117.

118. 4.3. Normal dağılmış bir miktarın standart sapmasını tahmin etmek

119. 4.3.1. İyi bilinen matematiksel beklentinin özel bir durumu

120.

121.

122.

123.

124.

125. 4.3.2. Bilinmeyen matematiksel beklentinin özel bir durumu

126.

127.4.4. Rastgele bir örnek için rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini tahmin etmek

128.

129.

130.

131. BÖLÜM 5. İSTATİSTİKSEL HİPOTEZLERİN TEST EDİLMESİ

132.

133.

134.

135. 5.1. Bilinen bir dağılımın parametreleri hakkındaki hipotezlerin test edilmesi

136.

137.

145.

146.

147.

148. 5.1.3. Bağımsız rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin karşılaştırılması

154.

155. 5.2.1. Normal dağılım hipotezinin test edilmesi

162.6.2. Öğrenci dağılımı

Büyük Sayılar Yasası

Rastgele olguları inceleme uygulaması, bireysel gözlemlerin sonuçları, aynı koşullar altında gerçekleştirilenler bile, büyük ölçüde farklılık gösterse de, aynı zamanda, yeterince fazla sayıda gözlem için ortalama sonuçların istikrarlı olduğunu ve gözlemlerin sonuçlarına zayıf bir şekilde bağlı olduğunu göstermektedir. Bireysel gözlemlerin sonuçları. Rastgele olayların bu dikkate değer özelliğinin teorik temeli büyük sayılar yasasıdır. Büyük sayılar yasasının genel anlamı, çok sayıda rastgele faktörün birleşik eyleminin neredeyse şanstan bağımsız bir sonuca yol açmasıdır.

Merkezi Limit Teoremi

Lyapunov teoremi normal dağılım yasasının yaygın dağılımını açıklar ve oluşum mekanizmasını açıklar. Teorem, varyansları toplamın dağılımına göre küçük olan çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin eklenmesi sonucu bir rastgele değişken oluştuğunda, bu rastgele değişkenin dağılım yasasının değiştiğini ifade etmemizi sağlar. neredeyse normal bir yasa haline geldi. Rastgele değişkenler her zaman sonsuz sayıda nedenden kaynaklandığından ve çoğu zaman bunların hiçbiri rastgele değişkenin dağılımıyla karşılaştırılabilecek bir dağılıma sahip olmadığından, pratikte karşılaşılan rastgele değişkenlerin çoğu normal dağılım yasasına tabidir.

Bu grupların her birinin teoremlerinin içeriği üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Uygulamalı araştırmalarda, bir olayın olasılığının yeterince küçük ya da istenildiği kadar bire yakın olacağının garanti edilmesinin hangi durumlarda mümkün olduğunu bilmek çok önemlidir.

Altında büyük sayılar kanunu Bire (veya sıfıra) yakın bir olasılıkla, her birinin üzerinde yalnızca küçük bir etkiye sahip olduğu, çok büyük, süresiz olarak artan sayıdaki rastgele olaylara bağlı olarak bir olayın meydana geleceğini belirten bir önermeler dizisi olarak anlaşılır. BT.

Daha kesin olarak, büyük sayılar yasası, mümkün olduğu kadar birliğe yakın bir olasılıkla, yeterince büyük sayıda rastgele değişkenin aritmetik ortalamasının sabit bir değerden - aritmetik ortalamadan sapmasını belirten bir dizi önerme olarak anlaşılır. matematiksel beklentilerinin - keyfi olarak küçük bir sayıyı aşmayacaktır.

Doğada ve sosyal yaşamda gözlemlediğimiz bireysel, izole olaylar (örneğin kayıtlı bir ölüm, doğan çocuğun cinsiyeti, hava sıcaklığı vb.) birçok faktörden etkilendiğinden çoğu zaman rastgele görünmektedir. bir olgunun ortaya çıkışının veya gelişiminin özüyle ilgili değildir. Gözlemlenen bir olgu üzerindeki toplam etkilerini tahmin etmek imkansızdır ve bireysel olgularda kendilerini farklı şekilde gösterirler. Tek bir olgunun sonuçlarına dayanarak, bu tür birçok olgunun doğasında var olan kalıplar hakkında hiçbir şey söylenemez.

Bununla birlikte, bazı işaretlerin sayısal özelliklerinin (bir olayın göreceli oluşum sıklıkları, ölçüm sonuçları vb.) deneyin çok sayıda tekrarı ile aritmetik ortalamasının çok hafif dalgalanmalara maruz kaldığı uzun zamandır bilinmektedir. Ortalamada, fenomenin özünde var olan bir model ortaya çıkıyor gibi görünüyor; tek gözlemlerin sonuçlarını rastgele yapan bireysel faktörlerin etkisi iptal ediliyor. Teorik olarak ortalamanın bu davranışı büyük sayılar kanunu kullanılarak açıklanabilir. Rastgele değişkenlerle ilgili çok genel bazı koşullar karşılanırsa aritmetik ortalamanın kararlılığı neredeyse kesin bir olay olacaktır. Bu koşullar büyük sayılar yasasının en önemli içeriğini oluşturur.

Bu prensibin işleyişinin ilk örneği, rastgele bir olayın meydana gelme sıklığı ile deneme sayısı arttıkça olasılığın yakınsaması olabilir - Bernoulli teoreminde ortaya konan bir gerçektir (İsviçreli matematikçi) Jacob Bernoulli(1654-1705) Bernull teoremi büyük sayılar yasasının en basit biçimlerinden biridir ve pratikte sıklıkla kullanılır. Örneğin, bir örneklemde yanıt verenin herhangi bir niteliğinin ortaya çıkma sıklığı, karşılık gelen olasılığın bir tahmini olarak alınır).

Üstün Fransız matematikçi Simeon Denny Poisson(1781-1840) bu teoremi genelleştirdi ve bir testteki olayların olasılığının önceki testlerin sonuçlarına bakılmaksızın değiştiği duruma kadar genişletti. “Büyük sayılar kanunu” terimini ilk kullanan oydu.

Büyük Rus matematikçi Pafnutiy Lvovich Chebyshev(1821 - 1894), büyük sayılar yasasının olaylarda herhangi bir varyasyonla işlediğini ve aynı zamanda ortalamalar yasasını da kapsadığını kanıtladı.

Büyük sayılar yasası teoremlerinin başka bir genellemesi isimlerle ilişkilidir. A.A.Markov, S.N.Bernstein, A.Ya.Khinchin ve A.N.Kolmlgorov.

Sorunun genel modern formülasyonu, büyük sayılar yasasının formülasyonu, bu yasayla ilgili teoremlerin kanıtlanmasına yönelik fikir ve yöntemlerin geliştirilmesi Rus bilim adamlarına aittir. P. L. Chebyshev, A. A. Markov ve A. M. Lyapunov.

CHEBYSHEV'İN EŞİTSİZLİĞİ

İlk önce yardımcı teoremleri ele alalım: Chebyshev lemması ve eşitsizliği, bunların yardımıyla Chebyshev formundaki büyük sayılar yasasının kolayca kanıtlanabileceği.

Lemma (Çebişev).

Rastgele bir değişken X'in değerleri arasında negatif olan yoksa, o zaman pozitif bir A sayısından daha büyük bir değer alma olasılığı, payı rastgele değişkenin matematiksel beklentisi olan bir kesirden fazla değildir. değişkendir ve payda A sayısıdır:

Kanıt.X rastgele değişkeninin dağılım yasası bilinsin:

(i = 1, 2, ..., ) ve rastgele değişkenin değerlerinin artan sırada olduğunu düşünüyoruz.

A sayısına göre rastgele değişkenin değerleri iki gruba ayrılır: bazıları A'yı aşmaz, diğerleri A'dan büyüktür. İlk grubun rastgele değişkenin ilk değerlerini içerdiğini varsayalım. değişken ().

O zamandan beri, toplamın tüm terimleri negatif değildir. Bu nedenle ifadedeki ilk terimleri atarak aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:

Çünkü

,

O

Q.E.D.

Rastgele değişkenler aynı matematiksel beklentilerle farklı dağılımlara sahip olabilir. Ancak onlar için Chebyshev lemması şu veya bu test sonucunun olasılığına ilişkin aynı tahmini verecektir. Lemmanın bu dezavantajı genelliğiyle ilgilidir: Tüm rastgele değişkenler için aynı anda daha iyi bir tahmin elde etmek imkansızdır.

Chebyshev eşitsizliği .

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının, pozitif bir sayının mutlak değerini aşma olasılığı, payı rastgele değişkenin varyansı ve paydası karesi olan bir kesirden fazla değildir.

Kanıt.Negatif değer almayan bir rastgele değişken olduğu için eşitsizliği uyguluyoruz. Chebyshev'in lemma'sından bir rastgele değişken için:

Q.E.D.

Sonuçlar. Çünkü

,

O

- Chebyshev eşitsizliğinin başka bir biçimi

Chebyshev lemması ve eşitsizliğinin sürekli rastgele değişkenler için de geçerli olduğu gerçeğini kanıt olmadan kabul edelim.

Chebyshev'in eşitsizliği, büyük sayılar yasasının niteliksel ve niceliksel ifadelerinin temelini oluşturur. Bir rastgele değişkenin değerinin matematiksel beklentisinden sapmasının belirli bir sayıdan büyük olması olasılığının üst sınırını belirler. Chebyshev eşitsizliğinin, dağılımı bilinmeyen, yalnızca matematiksel beklentisi ve varyansı bilinen bir rastgele değişken için bir olayın olasılığına ilişkin bir tahmin vermesi dikkat çekicidir.

Teorem. (Chebyshev formunda büyük sayılar kanunu)

Bağımsız rastgele değişkenlerin varyansları bir sabit C ile sınırlıysa ve sayıları yeterince büyükse, bu durumda bu rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasının, matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından sapmasının mutlak değerini aşmama olasılığı Belirli bir pozitif sayı, ne kadar küçük olursa olsun, birliğe mümkün olduğu kadar yakındır:

.

Teoremi kanıt olmadan kabul ediyoruz.

Sonuç 1. Bağımsız rastgele değişkenler aynı, eşit matematiksel beklentilere sahipse, varyansları aynı C sabitiyle sınırlıysa ve sayıları yeterince büyükse, verilen pozitif sayı ne kadar küçük olursa olsun, birliğe ne kadar yakın olursa olsun olasılık şu şekildedir: ortalamanın sapması bu rastgele değişkenlerin aritmetiğinin mutlak değerini aşmayacaktır.

Aynı koşullar altında yapılan yeterince çok sayıda ölçümün sonuçlarının aritmetik ortalamasının, bilinmeyen bir miktarın yaklaşık değeri olarak alınması, bu teorem ile doğrulanabilir. Gerçekte, ölçüm sonuçları birçok rastgele faktörden etkilendikleri için rastgeledir. Sistematik hataların olmaması, bireysel ölçüm sonuçlarına ilişkin matematiksel beklentilerin aynı ve eşit olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, büyük sayılar kanununa göre, yeterince fazla sayıda ölçümün aritmetik ortalaması, istenen miktarın gerçek değerinden pratikte istenildiği kadar az farklı olacaktır.

(Ölçüm sonucunu az çok açık bir yasaya göre aynı yönde bozuyorsa hatalara sistematik denir. Bunlar, gözlemcinin kişisel özelliklerinden dolayı kusurlu aletlerin (aletsel hataların) bir sonucu olarak ortaya çıkan hataları içerir. (kişisel hatalar) vb.)

Sonuç 2 . (Bernoulli teoremi.)

Bağımsız denemelerin her birinde A olayının meydana gelme olasılığı sabitse ve bunların sayısı yeterince büyükse, o zaman olayın meydana gelme sıklığının, meydana gelme olasılığından istenildiği kadar az farklı olma olasılığı keyfi olarak yakındır. birliğe:

Bernoulli teoremi, eğer bir olayın olasılığı tüm denemelerde aynı ise, o zaman deneme sayısı arttıkça olayın sıklığının olayın olasılığına doğru yöneleceğini ve rastgele olmaktan çıktığını belirtir.

Uygulamada, herhangi bir deneyde bir olayın meydana gelme olasılığının sabit olduğu, daha sıklıkla farklı deneylerde değiştiği deneylerle karşılaşmak nispeten nadirdir. Poisson teoremi bu tür bir test şemasına uygulanır:

Sonuç 3 . (Poisson teoremi.)

Eğer -'inci denemede bir olayın meydana gelme olasılığı, önceki testlerin sonuçları öğrenildiğinde değişmiyorsa ve sayıları yeterince büyükse, o zaman olayın meydana gelme sıklığının aritmetikten keyfi olarak çok az farklı olması olasılığı olasılıkların ortalaması keyfi olarak birliğe yakındır:

Poisson teoremi, bir dizi bağımsız denemede bir olayın sıklığının, olasılıklarının aritmetik ortalamasına yöneldiğini ve rastgele olmaktan çıktığını belirtir.

Sonuç olarak, dikkate alınan teoremlerin hiçbirinin istenen olasılığın kesin veya hatta yaklaşık değerini vermediğini, yalnızca alt veya üst limitinin belirtildiğini not ediyoruz. Bu nedenle, karşılık gelen olayların olasılıklarının kesin veya en azından yaklaşık değerini belirlemek gerekiyorsa, bu teoremlerin olasılıkları çok sınırlıdır.

Büyük değerler için yaklaşık olasılıklar ancak limit teoremleri kullanılarak elde edilebilir. Bunlarda, rastgele değişkenlere ek kısıtlamalar getirilir (örneğin Lyapunov teoreminde olduğu gibi) veya belirli bir türdeki rastgele değişkenler dikkate alınır (örneğin, Moivre-Laplace integral teoreminde).

Büyük sayılar yasasının çok genel bir formülasyonu olan Chebyshev teoreminin teorik önemi büyüktür. Bununla birlikte, bunu büyük sayılar yasasını bir dizi bağımsız rastgele değişkene uygulamanın mümkün olup olmadığı sorusuna uygularsak, o zaman cevap olumluysa, teorem genellikle olduğundan çok daha fazla rastgele değişkenin olmasını gerektirecektir. Büyük sayılar kanununun geçerli olması için gereklidir. Chebyshev teoreminin bu dezavantajı genel doğasıyla açıklanmaktadır. Bu nedenle, istenen olasılığın alt (veya üst) sınırını daha doğru bir şekilde gösterecek teoremlerin bulunması arzu edilir. Pratikte karşılaşılan rastgele değişkenler için genellikle karşılanan, rastgele değişkenlere bazı ek kısıtlamalar getirilerek elde edilebilirler.

BÜYÜK SAYILAR YASASI İÇERİĞİ HAKKINDA NOTLAR

Rastgele değişkenlerin sayısı yeterince büyükse ve bazı çok genel koşulları sağlıyorsa, nasıl dağıtılırsa dağılsınlar, aritmetik ortalamalarının sabit bir değerden (matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından) istenildiği kadar az sapması neredeyse kesindir. yani neredeyse sabit bir değerdir. Büyük sayılar yasasına ilişkin teoremlerin içeriği budur. Sonuç olarak büyük sayılar kanunu tesadüf ile zorunluluk arasındaki diyalektik bağlantının ifadelerinden biridir.

Başta fiziksel olgular olmak üzere, büyük sayılar yasasının tezahürleri olarak yeni niteliksel durumların ortaya çıkışına ilişkin birçok örnek verilebilir. Bunlardan birini ele alalım.

Modern kavramlara göre, gazlar bireysel parçacıklardan - kaotik hareket halindeki moleküllerden oluşur ve belirli bir anda tam olarak nerede olacağını ve şu veya bu molekülün hangi hızda hareket edeceğini söylemek imkansızdır. Ancak gözlemler, moleküllerin toplam etkisinin, örneğin gaz basıncının,

damarın duvarı inanılmaz bir tutarlılıkla kendini gösterir. Darbe sayısına ve her birinin gücüne göre belirlenir. Birinci ve ikinci şans eseri olsa da cihazlar normal şartlarda gaz basıncındaki dalgalanmaları tespit edemiyor. Bu, çok sayıda molekül nedeniyle, en küçük hacimlerde bile

basınçta gözle görülür miktarda bir değişiklik neredeyse imkansızdır. Sonuç olarak, gaz basıncının sabit olduğunu belirten fizik kanunu, büyük sayılar kanununun bir tezahürüdür.

Basıncın sabitliği ve gazın diğer bazı özellikleri, maddenin yapısının moleküler teorisine karşı bir zamanlar ikna edici bir argüman olarak hizmet etti. Daha sonra, nispeten az sayıda molekülü izole etmeyi, bireysel moleküllerin etkisinin hala devam etmesini sağlamayı öğrendiler ve bu nedenle büyük sayılar kanunu yeterince kendini gösteremedi. Daha sonra, maddenin moleküler yapısı hakkındaki hipotezi doğrulayan gaz basıncındaki dalgalanmaları gözlemlemek mümkün oldu.

Büyük sayılar yasası, çeşitli sigorta türlerinin temelini oluşturur (olası tüm dönemler için insan hayatının sigortası, mülk, hayvancılık, mahsul vb.).

Tüketim mallarının çeşitliliğini planlarken nüfusun bunlara olan talebi dikkate alınır. Bu talep büyük sayılar kanununun etkisini ortaya koymaktadır.

İstatistikte yaygın olarak kullanılan örnekleme yöntemi bilimsel temelini büyük sayılar kanununda bulmaktadır. Örneğin, kolektif bir çiftlikten tedarik noktasına getirilen buğdayın kalitesi, kazara küçük bir ölçüde ele geçirilen tahılların kalitesine göre değerlendiriliyor. Ölçüde partinin tamamıyla karşılaştırıldığında çok fazla tahıl yok, ancak her durumda ölçü, içinde yeterli tane olacak şekilde seçilir.

büyük sayılar yasasının ihtiyacı karşılayan bir doğrulukla tezahürleri. Numunedeki karşılık gelen göstergeleri, gelen tahılın tamamının kirlenme, nem ve ortalama tane ağırlığı göstergeleri olarak alma hakkına sahibiz.

Bilim adamlarının büyük sayılar yasasının içeriğini derinleştirmeye yönelik daha fazla çabaları, bu yasanın bir dizi rastgele değişkene uygulanabilirliği için en genel koşulları elde etmeyi amaçlıyordu. Uzun zamandır bu yönde temel bir başarı sağlanamadı. P. L. Chebyshev ve A. A. Markov'dan sonra, Sovyet akademisyen A. N. Kolmogorov ancak 1926'da büyük sayılar yasasının bir dizi bağımsız rastgele değişkene uygulanabilmesi için gerekli ve yeterli koşulları elde etmeyi başardı. 1928'de Sovyet bilim adamı A. Ya. Khinchin, büyük sayılar yasasının bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler dizisine uygulanabilirliği için yeterli koşulun, bunların matematiksel beklentilerinin varlığı olduğunu gösterdi.

Uygulama için, büyük sayılar yasasının bağımlı rastgele değişkenlere uygulanabilirliği sorununu tam olarak açıklığa kavuşturmak son derece önemlidir, çünkü doğadaki ve toplumdaki olaylar karşılıklı olarak bağımlıdır ve karşılıklı olarak birbirini belirler. Uygulanması gereken kısıtlamaların açıklığa kavuşturulması için çok fazla çalışma yapıldı.

büyük sayılar yasasının onlara uygulanabilmesi için bağımlı rastgele değişkenler üzerine kurulmuştur ve en önemlileri seçkin Rus bilim adamı A. A. Markov ve önde gelen Sovyet bilim adamları S. N. Bernstein ve A. Ya.

Bu çalışmaların temel sonucu, büyük sayılar yasasının bağımlı rastgele değişkenlere ancak yakın sayılara sahip rastgele değişkenler arasında güçlü bir bağımlılığın olması ve uzak sayılara sahip rastgele değişkenler arasında bağımlılığın yeterince zayıf olması durumunda uygulanabileceğidir. Bu tür rastgele değişkenlere örnek olarak iklimin sayısal özellikleri verilebilir. Her günün hava durumu, önceki günlerin hava durumundan belirgin şekilde etkilenir ve günler birbirinden uzaklaştıkça etki gözle görülür şekilde zayıflar. Sonuç olarak, büyük sayılar kanununa göre, belirli bir bölgenin uzun vadeli ortalama sıcaklığı, basıncı ve ikliminin diğer özellikleri, pratik olarak matematiksel beklentilerine yakın olmalıdır. İkincisi, bölgenin ikliminin nesnel özellikleridir.

Büyük sayılar yasasını deneysel olarak test etmek amacıyla farklı zamanlarda aşağıdaki deneyler yapıldı.

1. Deneyim Buffon. Para 4040 kez atılıyor. Arması 2048 kez göründü. Oluşma sıklığının 0,50694'e eşit olduğu ortaya çıktı =

2. Deneyim Pearson. Para 12.000 ve 24.000 kez atılıyor. İlk durumda armanın düşme sıklığı 0,5016, ikinci durumda ise 0,5005 olarak ortaya çıktı.

H. Deneyim Vestergaard. İçinde eşit sayıda beyaz ve siyah top bulunan bir torbadan 10.000 çekilişten sonra 5011 beyaz ve 4989 siyah top elde edildi (bir sonraki çıkarılan top torbaya geri gönderildi). Beyaz topların frekansı 0,50110 = (), siyah topların frekansı ise 0,49890 idi.

4. V.I.'yi deneyimleyin. Romanovski. Dört madeni para 21.160 kez atılıyor. Çeşitli arma ve karma işaret kombinasyonlarının frekansları ve sıklıkları aşağıdaki gibi dağıtılmıştır:

Büyük sayılar yasasına ilişkin deneysel testlerin sonuçları, bizi deneysel frekansların olasılıklara çok yakın olduğuna ikna etmektedir.

MERKEZİ LİMİT TEOREMİ

Herhangi bir sonlu sayıda bağımsız normal dağılıma sahip rastgele değişkenin toplamının da normal dağılıma sahip olduğunu kanıtlamak zor değildir.

Eğer bağımsız rasgele değişkenler normal dağılmıyorsa, onlara çok gevşek kısıtlamalar getirilebilir ve bunların toplamı hala normal dağılmış olacaktır.

Bu sorun esas olarak Rus bilim adamları P. L. Chebyshev ve öğrencileri A. A. Markov ve A. M. Lyapunov tarafından ortaya atıldı ve çözüldü.

Teorem (Lyapunova).

Bağımsız rastgele değişkenlerin sonlu matematiksel beklentileri ve sonlu varyansları varsa sayıları oldukça fazla ve sınırsız bir artışla

,

üçüncü derecenin mutlak merkezi momentleri nerede, o zaman bunların toplamı yeterli doğruluk derecesine sahip bir dağılıma sahip

(Aslında Lyapunov teoremini değil onun sonuçlarından birini sunuyoruz, çünkü bu sonuç pratik uygulamalar için oldukça yeterlidir. Dolayısıyla Lyapunov koşulu olarak adlandırılan koşul, Lyapunov teoreminin kendisini kanıtlamak için gerekenden daha güçlü bir gerekliliktir. )

Durumun anlamı, her bir terimin (rastgele değişken) etkisinin, hepsinin toplam etkisine kıyasla küçük olmasıdır. Doğada ve toplumsal yaşamda meydana gelen pek çok rastlantısal olay tam da bu düzene göre ilerlemektedir. Bu bakımdan Lyapunov teoremi son derece büyük önem taşımaktadır ve normal dağılım yasası olasılık teorisinin temel yasalarından biridir.

Mesela üretilsin ölçüm bir boyutta. Gözlemlenen değerlerin gerçek değerinden (matematiksel beklenti) çeşitli sapmaları, her biri küçük bir hata üreten çok sayıda faktörün etkisinin bir sonucu olarak elde edilir ve . O zaman toplam ölçüm hatası, Lyapunov teoremine göre normal yasaya göre dağıtılması gereken rastgele bir değişkendir.

Şu tarihte: silahla ateş etmekçok sayıda rastgele nedenin etkisi altında mermiler belirli bir alana dağılır. Mermi yörüngesi üzerindeki rastgele etkiler bağımsız sayılabilir. Her neden, tüm nedenlerin etkisi altındaki toplam değişimle karşılaştırıldığında, gidişatta yalnızca küçük bir değişikliğe neden olur. Bu nedenle merminin patlama konumunun hedeften sapmasının normal yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişken olmasını beklemeliyiz.

Lyapunov'un teoremine göre şunu bekleme hakkımız var, örneğin: yetişkin erkek boyu normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkendir. Önceki iki örnekte ele alınanların yanı sıra bu hipotez, gözlemlerle iyi bir uyum içindedir. Bunu doğrulamak için, 1000 yetişkin erkek işçinin boyuna göre dağılımını, karşılık gelen teorik erkek sayısını, yani erkek sayısını sunuyoruz. Erkeklerin boylarının normal yasaya göre dağılımı varsayımına dayanarak bu grupların boylarının kimlere ait olması gerektiği.

Deneysel veriler ile teorik veriler arasında daha doğru bir uyum beklemek zor olacaktır.

Gelecekte örnekleme yöntemini doğrulamak için gerekli olacak bir önerme Lyapunov teoreminin bir sonucu olarak kolayca kanıtlanabilir.

Teklif.

Üçüncü dereceden mutlak merkezi momentlere sahip, yeterince büyük sayıda aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerin toplamı, normal yasaya göre dağıtılır.

Olasılık teorisinin limit teoremleri, Moivre-Laplace teoremi bir olayın meydana gelme sıklığının kararlılığının doğasını açıklar. Bu mahiyet, deneme sayısında sınırsız bir artış ile bir olayın meydana gelme sayısının sınırlayıcı dağılımının (eğer olayın olasılığı tüm denemelerde aynı ise) normal bir dağılım olmasından kaynaklanmaktadır.

Rasgele değişkenler sistemi.

Yukarıda ele alınan rastgele değişkenler tek boyutluydu; tek bir sayı ile belirlenir, ancak iki, üç vb. tarafından belirlenen rastgele değişkenler de vardır. sayılar. Bu tür rastgele değişkenlere iki boyutlu, üç boyutlu vb. denir.

Sistemde yer alan rastgele değişkenlerin türüne bağlı olarak, sistem farklı türde rastgele değişkenler içeriyorsa sistemler ayrık, sürekli veya karma olabilir.

İki rastgele değişkenli sistemlere daha yakından bakalım.

Tanım. Dağıtım kanunu Rastgele değişkenler sistemi, bir rastgele değişkenler sisteminin olası değerlerinin alanları ile sistemin bu alanlarda ortaya çıkma olasılıkları arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.

Örnek. İçinde 2 beyaz ve 3 siyah top bulunan bir torbadan 2 top alınıyor. Çekilen beyaz topların sayısı olsun ve rastgele değişken şu şekilde tanımlansın:

Rasgele değişkenler sistemi için bir dağılım tablosu oluşturalım:

Hiçbir beyaz topun çekilmeme olasılığı olduğundan (bu, iki siyah topun çekildiği anlamına gelir), bu durumda , o zaman

.

Olasılık

.

Olasılık

Olasılık - hiçbir beyaz topun çekilmeme olasılığı (ve dolayısıyla iki siyah topun çekilmesi), bu durumda , o zaman

Olasılık - bir beyaz topun (ve dolayısıyla bir siyah topun) çekilmesi olasılığı, bu durumda

Olasılık - iki beyaz topun çekilmesi (ve dolayısıyla siyah topun olmaması) olasılığı, bu durumda

.

Böylece, iki boyutlu bir rastgele değişkenin dağılım serisi şu şekildedir:

Tanım. Dağıtım işlevi iki rastgele değişkenden oluşan bir sisteme iki argümanın fonksiyonu denirF( X, sen) , iki eşitsizliğin ortak gerçekleşme olasılığına eşitX< X, e< sen.

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin dağılım fonksiyonunun aşağıdaki özelliklerine dikkat edelim:

1) ;

2) Dağıtım işlevi, her bağımsız değişken için azalmayan bir işlevdir:

3) Aşağıdaki doğrudur:

4)

5) Rastgele bir noktaya çarpma olasılığı ( X, Y ), kenarları koordinat eksenlerine paralel olan isteğe bağlı bir dikdörtgene dönüştürmek, aşağıdaki formülle hesaplanır:

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin dağılım yoğunluğu.

Tanım. Ortak dağıtım yoğunluğu iki boyutlu bir rastgele değişkenin olasılıkları ( X, Y ) dağılım fonksiyonunun ikinci karışık kısmi türevi olarak adlandırılır.

Dağıtım yoğunluğu biliniyorsa dağıtım fonksiyonu aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

İki boyutlu dağılım yoğunluğu negatif değildir ve iki boyutlu yoğunluğun sonsuz limitli çift katlı integrali bire eşittir.

Eklem dağılımının bilinen yoğunluğundan, iki boyutlu bir rastgele değişkenin her bir bileşeninin dağılım yoğunluğu bulunabilir.

; ;

Koşullu dağıtım yasaları.

Yukarıda gösterildiği gibi ortak dağılım yasasını bilerek, sistemde yer alan her bir rastgele değişkenin dağılım yasalarını kolaylıkla bulabilirsiniz.

Bununla birlikte, pratikte sıklıkla ters problemle karşılaşılır - rastgele değişkenlerin bilinen dağılım yasalarını kullanarak ortak dağılım yasasını bulun.

Genel durumda bu sorun çözülemez çünkü Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, bu değişkenin diğer rastgele değişkenlerle ilişkisi hakkında hiçbir şey söylemez.

Ayrıca rastgele değişkenler birbirine bağımlı ise dağılım kanunu bileşenlerin dağılım kanunları ile ifade edilemez çünkü bileşenler arasında bağlantı kurmalıdır.

Bütün bunlar koşullu dağıtım yasalarını dikkate alma ihtiyacını doğurmaktadır.

Tanım. Sistemde yer alan bir rastgele değişkenin, diğer bir rastgele değişkenin belirli bir değer alması koşuluyla bulunan dağılımına denir. koşullu dağıtım kanunu.

Koşullu dağıtım yasası hem dağıtım fonksiyonu hem de dağıtım yoğunluğu ile belirlenebilir.

Koşullu dağıtım yoğunluğu aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Koşullu dağılım yoğunluğu, bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunun tüm özelliklerine sahiptir.

Koşullu matematiksel beklenti.

Tanım. Koşullu matematiksel beklenti Ayrık rassal değişken X = x'te Y (x – X'in belirli bir olası değeri) tüm olası değerlerin çarpımıdır e onların koşullu olasılıkları üzerine.

Sürekli rastgele değişkenler için:

,

Nerede F( sen/ X) – rastgele bir değişkenin koşullu yoğunluğu X = x'te Y.

Koşullu matematiksel beklentiM( e/ X)= F( X) bir fonksiyonudur X ve denir regresyon fonksiyonu X açık e.

Örnek.Bileşenin koşullu matematiksel beklentisini bulun Y'de

X = x 1 Tablo tarafından verilen iki boyutlu ayrık bir rastgele değişken için =1:

Rasgele değişkenlerden oluşan bir sistemin koşullu varyansı ve koşullu momentleri benzer şekilde belirlenir.

Bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler.

Tanım. Rastgele değişkenler denir bağımsız Bunlardan birinin dağılım yasası diğer rastgele değişkenin değerine bağlı değilse.

Rastgele değişkenlerin bağımlılığı kavramı olasılık teorisinde çok önemlidir.

Bağımsız rastgele değişkenlerin koşullu dağılımları koşulsuz dağılımlarına eşittir.

Rasgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerekli ve yeterli koşulları belirleyelim.

Teorem. e Bağımsız olsaydı sistemin dağıtım fonksiyonunun olması gerekli ve yeterlidir ( X, e) bileşenlerin dağılım fonksiyonlarının çarpımına eşitti.

Dağılım yoğunluğu için benzer bir teorem formüle edilebilir:

Teorem. Rastgele değişkenler X ve e bağımsız olduğu için sistemin ortak dağıtım yoğunluğunun gerekli ve yeterli olması ( X, e) bileşenlerin dağılım yoğunluklarının çarpımına eşitti.

Aşağıdaki formüller pratik olarak kullanılır:

Ayrık rastgele değişkenler için:

Sürekli rastgele değişkenler için:

Korelasyon momenti rastgele değişkenler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. Rastgele değişkenler bağımsızsa korelasyon momentleri sıfıra eşittir.

Korelasyon momenti, X ve X rastgele değişkenlerinin boyutlarının çarpımına eşit bir boyuta sahiptir. e . Bu gerçek, bu sayısal özelliğin bir dezavantajıdır, çünkü Farklı ölçüm birimleriyle farklı korelasyon momentleri elde edilir, bu da farklı rastgele değişkenlerin korelasyon momentlerinin karşılaştırılmasını zorlaştırır.

Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için başka bir özellik kullanılır - korelasyon katsayısı.

Tanım. Korelasyon katsayısı r xy rastgele değişkenler X ve e korelasyon momentinin bu büyüklüklerin standart sapmalarının çarpımına oranı denir.

Korelasyon katsayısı boyutsuz bir niceliktir. Bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısı sıfırdır.

Mülk: İki rastgele değişken X ve Y'nin korelasyon momentinin mutlak değeri, varyanslarının geometrik ortalamasını aşmaz.

Mülk: Korelasyon katsayısının mutlak değeri bir'i geçmez.

Rastgele değişkenler denir ilişkili, eğer korelasyon momentleri sıfırdan farklıysa ve ilişkisiz, eğer korelasyon momentleri sıfırsa.

Rastgele değişkenler bağımsızsa korelasyonsuzdurlar ancak korelasyonsuzluktan bağımsız oldukları sonucuna varılamaz.

Eğer iki miktar bağımlıysa, bunlar ilişkili veya ilişkisiz olabilir.

Çoğunlukla, rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin belirli bir dağılım yoğunluğundan, bu değişkenlerin bağımlılığı veya bağımsızlığı belirlenebilir.

Korelasyon katsayısının yanı sıra, rastgele değişkenlerin bağımlılık derecesi, adı verilen başka bir miktarla da karakterize edilebilir. kovaryans katsayısı. Kovaryans katsayısı formülle verilir:

Örnek. X rastgele değişkenler sisteminin dağılım yoğunluğu verilmiştir vebağımsız. Tabii ki, aynı zamanda korelasyonsuz olacaklar.

Doğrusal regresyon.

İki boyutlu bir rastgele değişken düşünün ( X, Y), burada X ve Y bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Bir rastgele değişkeni yaklaşık olarak diğerinin fonksiyonu olarak temsil edelim. Tam bir eşleşme mümkün değildir. Bu fonksiyonun doğrusal olduğunu varsayacağız.

Bu fonksiyonu belirlemek için geriye kalan tek şey sabit değerleri bulmaktır. A Ve B.

Tanım. İşlevG( X) isminde en iyi yaklaşım rastgele değişken e en küçük kareler yöntemi anlamında, eğer matematiksel beklenti

Mümkün olan en küçük değeri alır. Ayrıca işlevG( X) isminde ortalama kare regresyon Y'den X'e.

Teorem. Doğrusal ortalama kare regresyon e X aşağıdaki formülle hesaplanır:

bu formülde m x= M( X rastgele değişken erastgele bir değişkene göre X. Bu değer, rastgele bir değişkeni değiştirirken oluşan hatanın büyüklüğünü karakterize eder.edoğrusal fonksiyonG( X) = AX+B.

Açıktır ki eğer R= ± 1 ise artık varyans sıfırdır ve dolayısıyla hata sıfırdır ve rastgele değişkenetam olarak bir rastgele değişkenin doğrusal fonksiyonuyla temsil edilir X.

Ortalama kare regresyon çizgisi X Açıkebenzer şekilde aşağıdaki formülle belirlenir: X ve ebirbirlerine göre doğrusal regresyon fonksiyonları varsa, o zaman miktarların X Veebağlı doğrusal korelasyon bağımlılığı.

Teorem. İki boyutlu bir rastgele değişken ise ( X, e) normal olarak dağıtılırsa, X ve e doğrusal bir korelasyonla bağlanır.

ÖRNEĞİN. Nikiforova