Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri. Logaritmalar: örnekler ve çözümler Logaritma denklemlerini kökten çözme

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Pek çok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
2. Tabanı 10 olan ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Bunların her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve ardından tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler için güç tablosuna ihtiyacınız olacaktır. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarsak log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki ifade verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin, logaritma 2 x = √9) cevapta bir veya daha fazla spesifik sayısal değeri ima etmesi, bir eşitsizliği çözerken ise her iki kabul edilebilir değer aralığının da belirtilmesidir. Bu fonksiyon kırılarak değerler ve noktalar belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Öncelikle ifadenin basitleştirilip sadeleştirilemeyeceğini veya genel bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini öğrenmelisiniz. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaları çözmek için logaritmik kimlikleri veya bunların özelliklerini uygulamanız gerekir. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

1. Bir çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit faktörlere ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problemle karşılaşılır. Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara örnekler ve çözümler Birleşik Devlet Sınavının resmi versiyonlarından alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
• Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Matematik final sınavına hazırlık önemli bir bölüm olan “Logaritamalar”ı içerir. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan edinilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, farklı eğitim seviyelerine sahip öğrencilerin doğru cevabı nasıl bulacaklarını anlamaları ve bunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmaları gerekir.

Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken lise mezunları, test problemlerini başarıyla çözmek için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyarlar. Ancak bir ders kitabı her zaman elinizin altında olmayabilir ve gerekli kuralları ve formülleri internette aramak çoğu zaman zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyene ilişkin büyük miktarda bilginin tekrarlanması ve özümsenmesi için en uygun yaklaşımı sunmaktadır. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmede sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.

Görevi tamamlamak için gerekli formülleri, tekrarlanan özel durumları ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplama yöntemlerini “Teorik Yardım” bölümüne bakarak bulabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri başarılı geçiş için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.

Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil düzeyindeki denklemler de dahil olmak üzere çok sayıda örneğimiz var.

Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.

Bu derste logaritmalarla ilgili temel teorik gerçekleri gözden geçireceğiz ve en basit logaritmik denklemleri çözmeyi ele alacağız.

Merkezi tanımı, logaritmanın tanımını hatırlayalım. Üstel bir denklemin çözülmesini içerir. Bu denklemin tek bir kökü vardır ve buna b'nin a tabanına göre logaritması denir:

Tanım:

b'nin a tabanına göre logaritması, b'yi elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üstür.

Size hatırlatalım temel logaritmik kimlik.

İfade (ifade 1) denklemin köküdür (ifade 2). İfade 1'deki x değerini x yerine ifade 2'ye koyun ve ana logaritmik özdeşliği elde edin:

Yani her değerin bir değerle ilişkilendirildiğini görüyoruz. b'yi x() ile, c'yi y ile gösteririz ve böylece logaritmik bir fonksiyon elde ederiz:

Örneğin:

Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini hatırlayalım.

Burada bir kez daha dikkat edelim, çünkü logaritmanın altında logaritmanın tabanı olarak kesinlikle pozitif bir ifade olabilir.

Pirinç. 1. Farklı tabanlara sahip logaritmik fonksiyonun grafiği

Fonksiyonun grafiği siyah renkte gösterilmiştir. Pirinç. 1. Eğer argüman sıfırdan sonsuza artarsa, fonksiyon eksiden artı sonsuza artar.

Fonksiyonun grafiği kırmızıyla gösterilmiştir. Pirinç. 1.

Bu fonksiyonun özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monotondur. Monoton (kesinlikle) arttığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir. Monoton olarak (kesinlikle) azaldığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Logaritmik fonksiyonun özellikleri çeşitli logaritmik denklemleri çözmenin anahtarıdır.

En basit logaritmik denklemi ele alalım, diğer tüm logaritmik denklemler kural olarak bu forma indirgenir.

Logaritmanın tabanları ve logaritmanın kendisi eşit olduğundan, logaritmanın altındaki fonksiyonlar da eşittir, ancak tanım alanını kaçırmamalıyız. Logaritmanın altında yalnızca pozitif bir sayı görünebilir, elimizde:

f ve g fonksiyonlarının eşit olduğunu bulduk, dolayısıyla ODZ'ye uymak için herhangi bir eşitsizliği seçmenin yeterli olduğunu gördük.

Böylece, bir denklemin ve bir eşitsizliğin olduğu karma bir sistemimiz var:

Kural olarak, bir eşitsizliği çözmek gerekli değildir; denklemi çözmek ve bulunan kökleri eşitsizliğin yerine koymak ve böylece bir kontrol yapmak yeterlidir.

En basit logaritmik denklemleri çözmek için bir yöntem formüle edelim:

Logaritmanın tabanlarını eşitleyin;

Sublogaritmik fonksiyonları eşitleyin;

Kontrol gerçekleştirin.

Belirli örneklere bakalım.

Örnek 1 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkına sahibiz, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ilk logaritmayı seçiyoruz:

Örnek 2 - denklemi çözün:

Bu denklem, logaritmanın tabanlarının birden küçük olması nedeniyle öncekinden farklıdır, ancak bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemez:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Yanlış bir eşitsizlik aldık, bu da bulunan kökün ODZ'yi karşılamadığı anlamına geliyor.

Örnek 3 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkımız var, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ikinci logaritmayı seçiyoruz:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Açıkçası, yalnızca ilk kök ODZ'yi karşılıyor.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler Matematikte Birleşik Devlet Sınavında, sorun C3 . Yaklaşan sınavı "iyi" veya "mükemmel" olarak geçmek istiyorsa, her öğrenci matematikte Birleşik Devlet Sınavından C3 görevlerini çözmeyi öğrenmelidir. Bu makale, yaygın olarak karşılaşılan logaritmik denklemler ve eşitsizliklerin yanı sıra bunları çözmenin temel yöntemlerine kısa bir genel bakış sunmaktadır.

O halde bugün birkaç örneğe bakalım. logaritmik denklemler ve eşitsizliklerÖnceki yıllarda matematikte Birleşik Devlet Sınavında öğrencilere sunulan. Ancak bunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız ana teorik noktaların kısa bir özetiyle başlayacağız.

Logaritmik fonksiyon

Tanım

Formun işlevi

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

isminde logaritmik fonksiyon.

Temel özellikler

Logaritmik fonksiyonun temel özellikleri sen=günlük bir x:

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği logaritmik eğri:

Logaritmanın özellikleri

Ürünün logaritması iki pozitif sayı bu sayıların logaritmasının toplamına eşittir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Bölümün logaritması iki pozitif sayı, bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Eğer A Ve B A≠ 1, herhangi bir sayı için R eşitlik doğrudur:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Eşitlik kayıt A T=günlük A S, Nerede A > 0, A ≠ 1, T > 0, S> 0, ancak ve ancak şu durumda geçerlidir: T = S.

Eğer A, B, C pozitif sayılardır ve A Ve C birlikten farklıysa eşitlik ( yeni bir logaritma tabanına geçme formülü):

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Teorem 1. Eğer F(X) > 0 ve G(X) > 0 ise logaritmik denklem günlüğü bir f(X) = günlük bir g(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X).

Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme

Örnek 1. Denklemi çözün:

Çözüm. Kabul edilebilir değer aralığı yalnızca şunları içerir: X Logaritma işaretinin altındaki ifade sıfırdan büyüktür. Bu değerler aşağıdaki eşitsizlik sistemi ile belirlenir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Hesaba katıldığında

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

bu logaritmik denklemin izin verilen değerlerinin aralığını tanımlayan aralığı elde ederiz:

Burada tüm koşulları karşılanan Teorem 1'e dayanarak aşağıdaki eşdeğer ikinci dereceden denkleme geçiyoruz:

Kabul edilebilir değerler aralığı yalnızca ilk kökü içerir.

Cevap: x = 7.

Örnek 2. Denklemi çözün:

Çözüm. Denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığı eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir:

ql-sağ-eqno">

Çözüm. Denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığı burada kolayca belirlenir: X > 0.

Değiştirmeyi kullanıyoruz:

Denklem şöyle olur:

Ters ikame:

İkisi birden cevap Pozitif sayılar oldukları için denklemin kabul edilebilir değerleri aralığındadırlar.

Örnek 4. Denklemi çözün:

Çözüm. Denklemin kabul edilebilir değer aralığını belirleyerek çözüme yeniden başlayalım. Aşağıdaki eşitsizlik sistemi ile belirlenir:

ql-sağ-eqno">

Logaritmanın tabanları aynıdır, bu nedenle kabul edilebilir değerler aralığında aşağıdaki ikinci dereceden denklemle ilerleyebiliriz:

İlk kök denklemin kabul edilebilir değerleri aralığında değil, ikincisi ise öyle.

Cevap: X = -1.

Örnek 5. Denklemi çözün:

Çözüm. Arada çözüm arayacağız X > 0, X≠1. Denklemi eşdeğer bir denkleme dönüştürelim:

İkisi birden cevap denklemin kabul edilebilir değerleri aralığındadır.

Örnek 6. Denklemi çözün:

Çözüm. Bu sefer denklemin izin verilen değerlerinin aralığını tanımlayan eşitsizlik sistemi şu şekildedir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Logaritmanın özelliklerini kullanarak denklemi kabul edilebilir değerler aralığında eşdeğer bir denkleme dönüştürürüz:

Yeni bir logaritma tabanına geçme formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Kabul edilebilir değer aralığı yalnızca bir tane içerir cevap: X = 4.

Şimdi devam edelim logaritmik eşitsizlikler . Matematikte Birleşik Devlet Sınavında uğraşmanız gereken şey tam olarak budur. Daha fazla örneği çözmek için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var:

Teorem 2. Eğer F(X) > 0 ve G(X) > 0 ise:
en A> 1 logaritmik eşitsizlik log a F(X) > oturum aç G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X);
0'da< A < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > oturum aç G(X) zıt anlamı olan bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) < G(X).

Örnek 7. Eşitsizliği çözün:

Çözüm. Eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığını tanımlayarak başlayalım. Logaritmik fonksiyonun işaretinin altındaki ifade yalnızca pozitif değerler almalıdır. Bu, gerekli kabul edilebilir değer aralığının aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından belirlendiği anlamına gelir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Logaritmanın tabanı birden küçük bir sayı olduğundan, karşılık gelen logaritmik fonksiyon azalan olacaktır ve dolayısıyla Teorem 2'ye göre aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliğe geçiş eşdeğer olacaktır:

Son olarak, kabul edilebilir değerler aralığını dikkate alarak şunu elde ederiz: cevap:

Örnek 8. Eşitsizliği çözün:

Çözüm. Kabul edilebilir değer aralığını tanımlayarak yeniden başlayalım:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Eşitsizliğin kabul edilebilir değerleri kümesinde eşdeğer dönüşümler gerçekleştiriyoruz:

İndirgeme ve Teorem 2'ye göre eşitsizlik eşdeğerine geçişten sonra şunu elde ederiz:

Kabul edilebilir değer aralığını dikkate alarak nihai değeri elde ederiz. cevap:

Örnek 9. Logaritmik eşitsizliği çözün:

Çözüm. Kabul edilebilir eşitsizlik değerleri aralığı aşağıdaki sistem tarafından belirlenir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Kabul edilebilir değerler aralığında logaritmanın tabanındaki ifadenin her zaman birden büyük olduğu ve dolayısıyla Teorem 2'ye göre aşağıdaki eşitsizliğe geçişin eşdeğer olacağı görülebilir:

Kabul edilebilir değer aralığını dikkate alarak nihai cevabı elde ederiz:

Örnek 10. Eşitsizliği çözün:

Çözüm.

Kabul edilebilir eşitsizlik değerleri aralığı eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Yöntem I Logaritmanın yeni tabanına geçiş için formülü kullanalım ve kabul edilebilir değerler aralığında eşdeğer bir eşitsizliğe geçelim.

Matematik bilimden daha fazlasıdır, bu bilimin dilidir.

Danimarkalı fizikçi ve halk figürü Niels Bohr

Logaritmik denklemler

Tipik görevler arasında, giriş (rekabetçi) testlerinde sunulan, görevler, Logaritmik denklemlerin çözümüyle ilgili. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için logaritmanın özellikleri hakkında iyi bilgi sahibi olmanız ve bunları kullanma becerisine sahip olmanız gerekir.

Bu makale öncelikle logaritmanın temel kavramlarını ve özelliklerini tanıtmaktadır., ve ardından logaritmik denklemlerin çözüm örnekleri ele alınır.

Temel kavramlar ve özellikler

İlk olarak logaritmanın temel özelliklerini sunuyoruz, bunun kullanımı nispeten karmaşık logaritmik denklemlerin başarıyla çözülmesine olanak tanır.

Ana logaritmik kimlik şu şekilde yazılır:

, (1)

Logaritmanın en bilinen özellikleri arasında aşağıdaki eşitlikler yer alır:

1. Eğer , , ve ise , ,

2. Eğer , , ve ise , o zaman .

3. , , ve ise , o zaman .

4. Eğer , ve doğal sayı, O

5. Eğer , ve doğal sayı, O

6. , , ve ise , o zaman .

7. Eğer , , ve ise , o zaman .

Logaritmanın daha karmaşık özellikleri aşağıdaki ifadelerle formüle edilir:

8. Eğer , , ve ise, o zaman

9. , , ve ise, o zaman

10. Eğer , , , ve ise, o zaman

Logaritmanın son iki özelliğinin kanıtı yazarın “Lise öğrencileri için matematik: okul matematiğinin ek bölümleri” ders kitabında verilmiştir (M.: Lenand / URSS), 2014).

Ayrıca dikkate değer fonksiyon nedir artıyor, if ve azalan , if .

Logaritmik denklemlerin çözümüne yönelik problem örneklerine bakalım, artan zorluk derecesine göre düzenlenmiştir.

Problem çözme örnekleri

örnek 1. Denklemi çözün

. (2)

Çözüm. Denklem (2)'den elimizde . Denklemi şu şekilde dönüştürelim: , veya .

Çünkü , o zaman denklemin kökü (2).

Cevap: .

Örnek 2. Denklemi çözün

Çözüm. Denklem (3) denklemlere eşdeğerdir

Veya .

Buradan anlıyoruz.

Cevap: .

Örnek 3. Denklemi çözün

Çözüm. Denklem (4)'ten şu şekilde çıkar:, Ne . Temel logaritmik özdeşliğin kullanılması (1), yazabiliriz

veya .

Eğer koyarsan o zaman buradan ikinci dereceden bir denklem elde ederiz, iki kökü olan Ve . Bununla birlikte ve denklemin uygun bir kökü sadece . O zamandan beri veya .

Cevap: .

Örnek 4. Denklemi çözün

Çözüm.Değişkenin izin verilen değerleri aralığıdenklem (5)'te.

Bırak olsun . Fonksiyondan beritanım alanında azalıyor ve fonksiyon tüm sayı doğrusu boyunca artar, o zaman denklem birden fazla kökü olamaz.

Seçim yaparak tek kökü buluyoruz.

Cevap: .

Örnek 5. Denklemi çözün.

Çözüm. Denklemin her iki tarafı da 10 tabanına göre logaritmik olarak alınırsa, o zaman

Veya .

İkinci dereceden denklemi çözerek ve elde ederiz. Bu nedenle burada ve var.

Cevap: , .

Örnek 6. Denklemi çözün

. (6)

Çözüm.Kimlik (1) ve dönüşüm denklemini (6) aşağıdaki gibi kullanalım:

Veya .

Cevap: , .

Örnek 7. Denklemi çözün

. (7)

Çözüm.Özellik 9'u hesaba katarsak, elimizde . Bu bağlamda denklem (7) şu şekli alır:

Buradan veya elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 8. Denklemi çözün

. (8)

Çözüm.Özellik 9'u kullanalım ve denklemi (8) eşdeğer biçimde yeniden yazalım..

Daha sonra belirlersek, sonra ikinci dereceden bir denklem elde ederiz, Nerede . Denklemden bu yanaYalnızca bir pozitif kökü vardır, sonra veya . Bu şu anlama geliyor:

Cevap: .

Örnek 9. Denklemi çözün

. (9)

Çözüm. Denklem (9)'dan bu yana şu şekildedir: sonra burada. Özellik 10'a göre, yazılabilir.

Bu bakımdan denklem (9), denklemlere eşdeğer olacaktır.

Veya .

Buradan denklemin (9) kökünü elde ederiz.

Örnek 10. Denklemi çözün

. (10)

Çözüm. Denklem (10)'daki değişkenin izin verilen değerlerinin aralığı . Özellik 4'e göre, burada

. (11)

O zamandan beri, denklem (11) ikinci dereceden bir denklem biçimini alır, burada . İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve'dir.

O zamandan beri ve . Buradan ve alıyoruz.

Cevap: , .

Örnek 11. Denklemi çözün

. (12)

Çözüm. O zaman belirtelim ve denklem (12) şu şekli alır

Veya

. (13)

Denklemin (13) kökünün olduğunu görmek kolaydır. Bu denklemin başka köklerinin olmadığını gösterelim. Bunu yapmak için her iki tarafı da bölün ve eşdeğer denklemi elde edin

. (14)

Fonksiyon azalan ve fonksiyon tüm sayısal eksende arttığı için denklem (14)'ün birden fazla kökü olamaz. Denklem (13) ve (14) eşdeğer olduğundan denklem (13)'ün tek kökü vardır.

O zamandan beri ve .

Cevap: .

Örnek 12. Denklemi çözün

. (15)

Çözüm. ve'yi gösterelim. Fonksiyon tanım kümesinde azaldığından ve fonksiyon her değerde arttığından denklemin kökü aynı olamaz. Doğrudan seçimle denklemin (15) istenen kökünün - olduğunu tespit ederiz.

Cevap: .

Örnek 13. Denklemi çözün

. (16)

Çözüm. Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

O zamandan beri ve eşitsizliğimiz var

Ortaya çıkan eşitsizlik yalnızca veya durumunda denklem (16) ile örtüşür.

Değer ikamesine göreDenklemde (16) ikna olduk ki, Ne onun köküdür.

Cevap: .

Örnek 14. Denklemi çözün

. (17)

Çözüm. Buradan itibaren denklem (17) formunu alır.

Eğer koyarsak denklemi elde ederiz

, (18)

Nerede . Denklem (18)'den şu sonuç çıkar: veya . Çünkü denklemin uygun bir kökü vardır. Ancak bu yüzden.

Örnek 15. Denklemi çözün

. (19)

Çözüm. gösterelim, sonra denklem (19) şeklini alır. Bu denklemi 3 tabanına alırsak, şunu elde ederiz:

Veya

Bunu takip eder ve . O zamandan beri ve . Bu bağlamda ve.

Cevap: , .

Örnek 16. Denklemi çözün

. (20)

Çözüm. Parametreyi girelimve denklemi (20) parametreye göre ikinci dereceden bir denklem biçiminde yeniden yazın yani

. (21)

Denklemin (21) kökleri:

veya , . O zamandan beri denklemlerimiz var ve . Buradan ve alıyoruz.

Cevap: , .

Örnek 17. Denklemi çözün

. (22)

Çözüm. Denklem (22)'deki değişkenin tanım alanını oluşturmak için üç eşitsizlik kümesini dikkate almak gerekir: , ve .

Özellik 2 uygulanıyor, denklem (22)'den elde ederiz

Veya

. (23)

Eğer denklem (23)'e koyarsak, o zaman denklemi elde ederiz

. (24)

Denklem (24) şu şekilde çözülecektir:

Veya

Bunu takip eder ve yani. Denklemin (24) iki kökü vardır: ve .

O zamandan beri , veya , .

Cevap: , .

Örnek 18. Denklemi çözün

. (25)

Çözüm. Logaritmanın özelliklerini kullanarak denklem (25)'i aşağıdaki gibi dönüştürürüz:

, , .

Buradan anlıyoruz.

Örnek 19. Denklemi çözün

. (26)

Çözüm. O zamandan beri.

Sırada biz var. Buradan , eşitlik (26) ancak şu durumda sağlanır:, Denklemin her iki tarafı da aynı anda 2'ye eşit olduğunda.

Böylece , denklem (26) denklem sistemine eşdeğerdir

Sistemin ikinci denkleminden elde ettiğimiz

Veya .

Görmek kolay anlamı ne sistemin ilk denklemini de sağlamaktadır.

Cevap: .

Logaritmik denklemleri çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için önerilen literatür listesinden ders kitaplarına başvurabilirsiniz.

1. Kushnir A.I. Okul matematiğinin başyapıtları (iki kitapta problemler ve çözümler). – Kiev: Astarte, kitap 1, 1995. – 576 s.

2. Üniversitelere başvuran adaylar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Barış ve Eğitim, 2013. – 608 s.

3. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: okul müfredatının ek bölümleri. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

4. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: artan karmaşıklığın görevleri. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 s.

5. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: problem çözmede standart olmayan yöntemler. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.