Рівняння рух по колу. Рівномірний рух по колу

Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю- це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу описує однакові дуги.

Положення тіла на колі визначається радіусом-вектором\ (~ \ Vec r \), проведеним з центру кола. Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусу кола R(Рис. 1).

За час Δ tтіло, рухаючись з точки Ав ціль В, Здійснює переміщення \ (~ \ Delta \ vec r \), рівне хорді АВ, І проходить шлях, рівний довжині дуги l.

Радіус-вектор повертається на кут Δ φ . Кут висловлюють в радіанах.

Швидкість \ (~ \ vec \ upsilon \) руху тіла по траєкторії (кола) спрямована по дотичній до траєкторії. Вона називається лінійної швидкістю. Модуль лінійної швидкості дорівнює відношенню довжини дуги кола lдо проміжку часу Δ tза який ця дуга пройдена:

\ (~ \ Upsilon = \ frac (l) (\ Delta t). \)

скалярная фізична величина, Чисельно дорівнює відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається кутовий швидкістю:

\ (~ \ Omega = \ frac (\ Delta \ varphi) (\ Delta t). \)

В СІ одиницею кутової швидкості є радіан в секунду (рад / с).

При рівномірному русі по колу кутова швидкість і модуль лінійної швидкості - величини постійні: ω = Const; υ = Const.

Положення тіла можна визначити, якщо відомий модуль радіуса-вектора \ (~ \ vec r \) і кут φ , Який він складає з віссю Ox(Кутова координата). Якщо в початковий момент часу t 0 = 0 кутова координата дорівнює φ 0, а в момент часу tвона дорівнює φ , То кут повороту Δ φ радіуса-вектора за часом \ (~ \ Delta t = t - t_0 = t \) дорівнює \ (~ \ Delta \ varphi = \ varphi - \ varphi_0 \). Тоді з останньої формули можна отримати кінематичне рівняння руху матеріальної точкипо колу:

\ (~ \ Varphi = \ varphi_0 + \ omega t. \)

Воно дозволяє визначити положення тіла в будь-який момент часу t. З огляду на, що \ (~ \ Delta \ varphi = \ frac (l) (R) \), отримуємо \ [~ \ omega = \ frac (l) (R \ Delta t) = \ frac (\ upsilon) (R) \ Rightarrow \]

\ (~ \ Upsilon = \ omega R \) - формула зв'язку між лінійною і кутовою швидкістю.

Проміжок часу Τ , Протягом якого тіло робить один повний оберт, називається періодом обертання:

\ (~ T = \ frac (\ Delta t) (N), \)

де N- число оборотів, скоєних тілом за час Δ t.

За час Δ t = Τ тіло проходить шлях \ (~ l = 2 \ pi R \). отже,

\ (~ \ Upsilon = \ frac (2 \ pi R) (T); \ \ omega = \ frac (2 \ pi) (T). \)

величина ν , Зворотна періоду, що показує, скільки оборотів здійснює тіло за одиницю часу, називається частотою обертання:

\ (~ \ Nu = \ frac (1) (T) = \ frac (N) (\ Delta t). \)

отже,

\ (~ \ Upsilon = 2 \ pi \ nu R; \ \ omega = 2 \ pi \ nu. \)

література

Аксеновіч Л. А. Фізика в середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Учеб. посібник для установ, що забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксеновіч, Н.Н.Ракіна, К. С. Фаріно; Під ред. К. С. Фаріно. - Мн .: Адукация i вихаванне, 2004. - C. 18-19.

Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу можна назватьравномерним, воно являетсяравноускоренним.

Кутова швидкість

Виберемо на колі точку 1 . Побудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься в пункт 2 . При цьому радіус описує кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіуса за одиницю часу.

Період і частота

період обертання T- це час, за який тіло робить один оборот.

Частота обертання - це кількість оборотів за одну секунду.

Частота і період взаємопов'язані співвідношенням

Зв'язок з кутовий швидкістю

лінійна швидкість

Кожна точка на окружності рухається з деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійної. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрям миттєвої швидкості.

Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оберт, час, який витрачено - це є період T.Путь, який долає точка - це є довжина кола.

доцентровийприскорення

При русі по колу вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований в центр кола.

Використовуючи попередні формули, можна вивести наступні співвідношення

Точки, що лежать на одній прямій виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), будуть мати однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони будуть обертатися однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона буде рухатися.

Закон додавання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла або системи відліку не є рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю обертової каруселі, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.

Земля бере участь в двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) і орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу на схід, період цього обертання становить 1 добу або 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора і напрямом з центру Землі на точку її поверхні.

Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо рух тіло відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаною до нього мотузку, то діючою силою є сила пружності.

Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом з диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло буде рухатися по прямій

Розглянемо переміщення точки на колі з А в В. Лінійна швидкість дорівнює

Тепер перейдемо в нерухому систему, пов'язану з землею. Повний прискорення точки А залишиться колишнім і по модулю, і по напрямку, так як при переході від однієї системи відліку до іншої прискорення не змінюється. З точки зору нерухомого спостерігача траєкторія точки А - вже не окружність, а більш складна крива (циклоїда), уздовж якої точка рухається нерівномірно.

рівномірний рухпо колу- це найпростіший приклад. Наприклад, по колу рухається кінець стрілки годинника по циферблату. Швидкість руху тіла по колу носить назву лінійна швидкість.

При рівномірному русі тіла по колу модуль швидкості тіла з плином часу не змінюється, тобто v = const, а змінюється тільки напрямок вектора швидкості в цьому випадку відсутній (a r = 0), а зміна вектора швидкості у напрямку характеризується величиною, яка називається доцентровийприскорення() A n або а ЦС. У кожній точці вектор центростремительного прискорення спрямований до центру кола по радіусу.

Модуль центростремительного прискорення дорівнює

a ЦС = v 2 / R

Де v - лінійна швидкість, R - радіус кола

Мал. 1.22. Рух тіла по колу.

Коли описується рух тіла по колу, використовується кут повороту радіуса- кут φ, на який за час t повертається радіус, проведений з центра кола до точки, в якій в цей момент знаходиться рухоме тіло. Кут повороту вимірюється в радіанах. дорівнює кутуміж двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу кола (рис. 1.23). Тобто якщо l = R, то

1 радіан = l / R

Так як довжина окружностідорівнює

l = 2πR

360 о = 2πR / R = 2π рад.

отже

1 рад. = 57,2958 о = 57 про 18 '

Кутова швидкістьрівномірного руху тіла по колу - це величина ω, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса φ до проміжку часу, протягом якого здійснено цей поворот:

ω = φ / t

Одиниця виміру кутової швидкості - радіан в секунду [рад / с]. Модуль лінійної швидкості визначається відношенням довжини пройденого шляху l до проміжку часу t:

v = l / t

лінійна швидкістьпри рівномірному русі по колу спрямована по дотичній в даній точці кола. При русі точки довжина l дуги окружності, пройденої точкою, пов'язана з кутом повороту φ виразом

l = Rφ

де R - радіус кола.

Тоді в разі рівномірного руху точки лінійна і кутова швидкості пов'язані співвідношенням:

v = l / t = Rφ / t = Rω або v = Rω

Мал. 1.23. Радіан.

період обертання- це проміжок часу Т, протягом якого тіло (точка) здійснює один оберт по колу. частота звернення- це величина, зворотна періоду обертання - число оборотів в одиницю часу (в секунду). Частота звернення позначається буквою n.

n = 1 / T

За один період кут повороту φ точки дорівнює 2π рад, тому 2π = ωT, звідки

T = 2π / ω

Тобто кутова швидкість дорівнює

ω = 2π / T = 2πn

доцентровийприскоренняможна виразити через період Т і частоту звернення n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Рух по колу - найпростіший випадок криволінійного руху тіла. Коли тіло рухається навколо деякої точки, поряд з вектором переміщення зручно ввести кутове переміщення Δ φ (кут повороту щодо центру кола), що вимірюється в радіанах.

Знаючи кутове переміщення, можна обчислити довжину дуги кола (шлях), яку пройшло тіло.

Δ l = R Δ φ

Якщо кут повороту малий, то Δ l ≈ Δ s.

Проілюструємо сказане:

Кутова швидкість

При криволінійному русі вводиться поняття кутової швидкості ω, тобто швидкості зміни кута повороту.

Визначення. Кутова швидкість

Кутова швидкість в даній точці траєкторії - межа відносини кутового переміщення Δ φ до проміжку часу Δ t, за яке воно сталося. Δ t → 0.

ω = Δ φ Δ t, Δ t → 0.

Одиниця виміру кутової швидкості - радіан в секунду (р а д с).

Існує зв'язок між кутовий і лінійної швидкостями тіла при русі по колу. Формула для знаходження кутової швидкості:

При рівномірному русі по колу, швидкості v і ω залишаються незмінними. Змінюється тільки напрямок вектора лінійної швидкості.

При цьому рівномірний рух по колу на тіло діє доцентровий, або нормальне прискорення, Спрямоване по радіусу кола до її центру.

a n = Δ v → Δ t, Δ t → 0

Модуль центростремительного прискорення можна обчислити за формулою:

a n = v 2 R = ω 2 R

Доведемо ці співвідношення.

Розглянемо, як змінюється вектор v → за малий проміжок часу Δ t. Δ v → = v B → - v A →.

У точках А і В вектор швидкості спрямований по дотичній до окружності, при цьому модулі швидкостей в обох точках однакові.

За визначенням прискорення:

a → = Δ v → Δ t, Δ t → 0

Погляньмо на малюнок:

Трикутники OAB і BCD подібні. З цього випливає, що O A A B = B C C D.

Якщо значення кута Δ φ мало, відстань A B = Δ s ≈ v · Δ t. Беручи до уваги, що O A = R і C D = Δ v для розглянутих вище подібних трикутниківотримаємо:

R v Δ t = v Δ v або Δ v Δ t = v 2 R

При Δ φ → 0, напрямок вектора Δ v → = v B → - v A → наближається до напрямку на центр кола. Беручи, що Δ t → 0, отримуємо:

a → = a n → = Δ v → Δ t; Δ t → 0; a n → = v 2 R.

При рівномірному русі по колу модуль прискорення залишається постійним, а напрям вектора змінюється з часом, зберігаючи орієнтацію на центр кола. Саме тому це прискорення називається доцентрові: вектор в будь-який момент часу спрямований до центру кола.

Запис центростремительного прискорення в векторній формі виглядає наступним чином:

a n → = - ω 2 R →.

Тут R → - радіус вектор точки на колі з початком в її центрі.

У загальному випадку прискорення при русі по колу складається з двох компонентів - нормальне, і тангенціальне.

Розглянемо випадок, коли тіло рухається по колу нерівномірно. Введемо поняття тангенціального (дотичного) прискорення. Його напрямок збігається з напрямком лінійної швидкості тіла і в кожній точці кола направлено по дотичній до неї.

a τ = Δ v τ Δ t; Δ t → 0

Тут Δ v τ = v 2 - v 1 - зміна модуля швидкості за проміжок Δ t

Напрямок повного прискорення визначається векторної сумою нормального і тангенціального прискорень.

Рух по колу в площині можна описувати за допомогою двох координат: x і y. У кожен момент часу швидкість тіла можна розкласти на складові v x і v y.

Якщо рух рівномірний, величини v x і v y а також відповідні координати будуть змінюватися в часі за гармонійним законом з періодом T = 2 π R v = 2 π ω

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter