Як знайти катет знаючи гіпотенузу і катет. Як знайти боку прямокутного трикутника? основи геометрії

Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те, як знайти гіпотенузу, не кажучи вже про те, що це таке.

І дарма. Тому що в подальшому діагональ прямокутника виявляється цієї самої гипотенузой, і її потрібно знайти. Або діаметр окружності збігається з найбільшою стороною трикутника, один з кутів якого прямий. І знайти її без цього знання неможливо.

Існує кілька варіантів того, як знайти гіпотенузу трикутника. Вибір методу залежить від вихідного набору даних в умові завдання величин.

Спосіб під номером 1: дані обидва катета

Це що запам'ятався найбільше метод, тому що використовує теорему Піфагора. Тільки іноді учні забувають, що за цією формулою знаходиться квадрат гіпотенузи. Значить, щоб знайти саму сторону, потрібно буде витягти квадратний корінь. Тому формула для гіпотенузи, яку прийнято позначати буквою «с», буде виглядати так:

з \u003d √ (а 2 + в 2), Де буквами «а» і «в» записані обидва катета прямокутного трикутника.

Спосіб під номером 2: відомий катет і кут, який до нього прилягає

Для того щоб дізнатися, як знайти гіпотенузу, потрібно згадати тригонометричні функції. А саме косинус. Для зручності будемо вважати, що дані катет «а» і прилегла до нього кут α.

Тепер потрібно згадати, що косинус кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню двох сторін. У чисельнику буде стояти значення катета, а в знаменнику - гіпотенузи. З цього випливає, що останню можна буде порахувати за формулою:

з \u003d а / cos α.

Спосіб під номером 3: дані катет і кут, який лежить навпроти нього

Щоб не заплутатися в формулах, введемо позначення для цього кута - β, а сторону залишимо колишню «а». У цьому випадку буде потрібно інша тригонометрическая функція - синус.

Як і в попередньому прикладі, синус дорівнює відношенню катета до гіпотенузи. Формула цього способу виглядає так:

з \u003d а / sin β.

Для того щоб не заплутатися в тригонометричних функціях, можна запам'ятати просте мнемонічне прищепило: якщо в завданні йдеться про пр протіволежащем вугіллі, то потрібно використовувати з інПУ, якщо - про пр ілежачому, то до просинус. Слід звернути увагу на перші голосні в ключових словах. Вони утворюють пари о-і або і-о.

Спосіб під номером 4: по радіусу описаного кола

Тепер, для того щоб дізнатися, як знайти гіпотенузу, потрібно згадати властивість кола, яка описана близько прямокутного трикутника. У ньому йдеться наступне. Центр кола збігається з серединою гіпотенузи. Якщо сказати по-іншому, то найбільша сторона прямокутного трикутника дорівнює діагоналі окружності. Тобто подвоєному радіусу. Формула для цього завдання буде виглядати так:

з \u003d 2 * r, Де буквою r позначений відомий радіус.

Це всі можливі способи того, як знаходити гіпотенузу прямокутного трикутника. Користуватися в кожній конкретній задачі потрібно тим методом, який більше підходить по набору даних.

Приклад завдання №1

Умова: в прямокутному трикутнику проведені медіани до обох катетам. Довжина тієї, яка проведена до більшої сторони, дорівнює √52. Інша медіана має довжину √73. Потрібно обчислити гіпотенузу.

Так як в трикутнику проведені медіани, то вони ділять катети на два рівних відрізка. Для зручності міркувань і пошуку того, як знайти гіпотенузу, потрібно ввести декілька позначень. Нехай обидві половинки більшого катета будуть позначені літерою «х», а іншого - «у».

Тепер потрібно розглянути два прямокутних трикутника, гіпотенуза у яких є відомі медіани. Для них потрібно двічі записати формулу теореми Піфагора:

(2у) 2 + х 2 \u003d (√52) 2

(У) 2 + (2х) 2 \u003d (√73) 2.

Ці два рівняння утворюють систему з двома невідомими. Вирішивши їх, легко можна буде знайти катети вихідного трикутника і по ним його гіпотенузу.

Спочатку потрібно все звести до другого степеня. виходить:

4у 2 + х 2 \u003d 52

у 2 + 4х 2 \u003d 73.

З другого рівняння видно, що у 2 \u003d 73 - 4х 2. Цей вислів потрібно підставити в перше і обчислити «х»:

4 (73 - 4х 2) + х 2 \u003d 52.

Після перетворення:

292 - 16 х 2 + х 2 \u003d 52 або 15х 2 \u003d 240.

З останнього виразу х \u003d √16 \u003d 4.

Тепер можна обчислити «у»:

у 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

За даними умови виходить, що катети вихідного трикутника рівні 6 і 8. Значить, можна скористатися формулою з першого способу і знайти гіпотенузу:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

відповідь: Гіпотенуза дорівнює 10.

Приклад завдання №2

Умова: обчислити діагональ, проведену в прямокутнику з меншою стороною, рівною 41. Якщо відомо, що вона ділить кут на такі, які співвідносяться як 2 до 1.

У цьому завданні діагональ прямокутника є найбільшою стороною в трикутнику з кутом 90º. Тому все зводиться до того, як знайти гіпотенузу.

У задачі йдеться про кути. Це означає, що потрібно буде користуватися однією з формул, в яких присутні тригонометричні функції. А спочатку потрібно визначити величину одного з гострих кутів.

Нехай менший з кутів, про які йде мова в умови, буде позначений α. Тоді прямий кут, який ділиться діагоналлю, буде дорівнює 3α. Математична запис цього виглядає так:

З цього рівняння просто визначити α. Він буде дорівнює 30º. Причому він буде лежати навпроти меншої сторони прямокутника. Тому потрібно формула, описана в способі №3.

Гіпотенуза дорівнює відношенню катета до синусу протилежного кута, тобто:

41 / sin 30º \u003d 41 / (0,5) \u003d 82.

Відповідь: гіпотенуза дорівнює 82.

Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута в 90 о. Піфагорових трикутником називається той, сторони якого рівні натуральним числам; їх довжини в такому випадку мають назву «Числа Піфагора».

Єгипетський трикутник

Для того щоб нинішнє покоління дізналося геометрію в тому вигляді, в якому її викладають в школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основоположним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного відома на весь світ) складають 3, 4, 5.

Мало хто не знайомий з фразою «Піфагороі штани всі сторони рівні». Однак насправді теорема звучить так: c 2 (квадрат гіпотенузи) \u003d a 2 + b 2 (сума квадратів катетів).

Серед математиків трикутник зі сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. Д.) Називається "єгипетським". Цікаво те, що яка вписана в фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили в Єгипет.

При побудові пірамід архітектори і землеміри користувалися співвідношенням 3: 4: 5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.

Для того щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому випадку ймовірність побудови саме прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.

Ознаки рівності фігур

• Гострий кут в прямокутному трикутнику і велика сторона, які дорівнюють тим же елементам в другому трикутнику, - безперечний ознака рівності фігур. Беручи до уваги суму кутів, легко довести, що другі гострі кути є рівними. Таким чином, трикутники однакові за другою ознакою.
• При накладенні двох фігур один на одного повернемо їх таким чином, щоб вони, поєднавши, стали одним рівнобедреним трикутником. За його властивості боку, а точніше, гіпотенузи, рівні, так само як і кути при підставі, а значить, ці фігури однакові.

За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники дійсно рівні, головне, щоб дві менші сторони (т. Е. Катети) були рівними між собою.

Трикутники будуть однаковими по II ознакою, суть якого полягає у рівності катета і гострого кута.

Властивості трикутника з прямим кутом

Висота, яку опустили з прямого кута, розбиває фігуру на дві рівні частини.

Сторони прямокутного трикутника і його медіани легко дізнатися за правилом: медіана, яка опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині добутку катетів.

У прямокутному трикутнику діють властивості кутів в 30 о, 45 о і 60 о.

• При вугіллі, який дорівнює 30 о, слід пам'ятати, що протилежний катет буде дорівнює 1/2 найбільшою боку.
• Якщо кут 45о, значить, другий гострий кут також 45 о. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, і його катети однакові.
• Властивість кута в 60 про полягає в тому, що третій кут має градусну міру в 30 о.

Площа легко дізнатися по одній з трьох формул:

1. через висоту і сторону, на яку вона опускається;
2. за формулою Герона;
3. по сторонам і куту між ними.

Сторони прямокутного трикутника, а точніше катети, сходяться з двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати утворився трикутник, і тоді за теоремою Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули існує також співвідношення подвоєною площі і довжини гіпотенузи. Найбільш поширеним виразом серед учнів є перше, так як вимагає менше розрахунків.

Теореми, що застосовуються до прямокутного трикутника

Геометрія прямокутного трикутника включає в себе використання таких теорем, як:

У житті нам часто доводиться стикатися з математичними завданнями: в школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій будуть стикатися з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати або згадувати математичні правила. У цій статті ми розберемо одне з них: перебування катета прямокутного трикутника.

Що таке прямокутний трикутник

Для початку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник - це геометрична фігура з трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один з кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, яка лежить навпроти прямого кута - гіпотенузою.

Знаходимо катет прямокутного трикутника

Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися довжину катета. Хотілося б розглянути б їх докладніше.

Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Якщо нам відомі гіпотенуза і катет, то ми можемо знайти довжину невідомого катета по теоремі Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c² \u003d a² + b², де c - гіпотенуза, a і b - катети. Перетворюємо формулу і отримуємо: a² \u003d c²-b².

Приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет - 3 см. Перетворювати формулу: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Далі вирішуємо: a² \u003d 5²-3²; a² \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (см).

Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона і будь-який гострий кут прямокутного трикутника. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенс. Для вирішення завдань нам допоможе таблиця, яка знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синуса

Синус кута (sin) - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin \u003d a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу і отримуємо: a \u003d sin * c.

Приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою вирішуємо: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса

Косинус кута (cos) - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos \u003d b / c, де b - катет, прилеглий до цього кутку, а з - гіпотенуза. Перетворимо формулу і отримаємо: b \u003d cos * c.

Приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенса

Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg \u003d a / b, де а - протилежні до кута катет, а b - прилегла. Перетворимо формулу і отримуємо: a \u003d tg * b.

Приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенс

Котангенс кута (ctg) - це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg \u003d b / a, де b - прилегла до кута катет, а - протилежні. Інакше кажучи, котангенс - це "перевернутий тангенс". Отримуємо: b \u003d ctg * a.

Приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. По таблиці тангенс кута А дорівнює √3. Рахуємо: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (см).

Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет в прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так вже й складно, головне - запам'ятати формули.

Інструкція

Кути, протилежні катетам a і b позначимо відповідно через A і B. Гіпотенуза, за визначенням, це сторона прямокутного трикутника, яка протилежна прямого кута (при цьому з іншими сторонами трикутника гіпотенуза утворює гострі кути). Довжину гіпотенузи позначимо через с.

Вам знадобиться:
Калькулятор.

Скористайтеся для катета наступним виразом: a \u003d sqrt (c ^ 2-b ^ 2), в тому випадку, якщо вам відомі величини гіпотенузи й іншого катета. Цей вислів виходить з теореми Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Оператор sqrt позначає витяг квадратного кореня. Знак "^ 2" означає зведення в другу ступінь.

Використовуйте формулу a \u003d c * sinA, якщо вам відома гіпотенуза (c) і кут, протилежний шуканого катета (цей кут ми позначили, як A).
Вираз a \u003d c * cosB використовуйте для знаходження катета, якщо вам відома гіпотенуза (c) і кут, прилегла шуканого катета (цей кут ми позначили як B).
Обчисліть катет за формулою a \u003d b * tgA в разі, коли заданий катет b і кут, протилежний шуканого катета (цей кут ми домовилися позначати A).

Зверніть увагу:
Якщо ж у вашій задачі катет чи не знаходиться ні одним з описаних способів, швидше за все, її можна звести до якогось з них.

Корисні поради:
Всі ці вирази виходять із загальновідомих визначень тригонометричних функцій, тому, навіть якщо ви забули якесь із них, ви завжди зможете шляхом нескладних операцій його швидко вивести. Також, корисно знати значення тригонометричних функцій для найбільш типових кутів 30, 45, 60, 90, 180 градусів.

Трикутник є геометричне число, що складається з трьох сегментів, які з'єднують три точки, що не лежать на одній лінії. Точки, які утворюють трикутник, називаються його точками, а сегменти пліч-о-пліч.

Залежно від типу трикутника (прямокутного, монохромного і т. Д.) Ви можете розрахувати сторону трикутника по-різному, в залежності від вихідних даних і умов проблеми.

Швидка навігація для статті

Щоб обчислити боку прямокутного трикутника, використовується теорема Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів ноги.

Якщо ми відзначаємо ноги буквами «a» і «b», а гіпотенуза - «c», то сторінки можуть бути знайдені з наступними формулами:

Якщо відомі гострі кути прямокутного трикутника (a і b), його боку можуть бути знайдені з наступними формулами:

обрізаний трикутник

Трикутник називається рівностороннім трикутником, в якому обидві сторони однакові.

Як знайти гіпотенузу в двох ногах

Якщо буква «a» ідентична одній і тій же сторінці, «b» - підстава, «b» - кут, протилежний основи, «a» - суміжний кут для обчислення сторінок може використовувати такі формули:

Два кута і бічна сторона

Якщо відомі одна сторінка (c) і два кути (a і b) будь-якого трикутника, формула синуса використовується для обчислення залишилися сторінок:

Ви повинні знайти третє значення y \u003d 180 - (a + b), тому що

сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °;

Дві сторони і кут

Якщо відомі дві сторони трикутника (a і b) і кут між ними (y), для обчислення третьої сторони може бути використана теорема косинуса.

Як визначити периметр прямокутного трикутника

Трикутний трикутник є трикутник, один з яких дорівнює 90 градусам, а два інших - гострі. розрахунок периметр такий трикутник в залежності від кількості відомих відомостей про це.

Вам це знадобиться

• Залежно від випадку, навички 2 трьох сторін трикутника, а також один з його гострих кутів.

інструкції

перший Метод 1. Якщо відомі всі три сторінки трикутник , Потім, незалежно, перпендикулярно або НЕ треугольно, периметр розраховується як: P \u003d A + B + C, де можливо, c - гіпотенуза; a і b - ноги.

другий Спосіб 2.

Якщо в прямокутнику є тільки дві сторони, то, використовуючи теорему Піфагора, трикутник може бути розрахована за формулою: P \u003d v (a2 + b2) + a + b або P \u003d v (c2 - b2) + b + c.

третій Метод 3. Нехай гіпотенуза c і \u200b\u200bгострий кут? З огляду на прямокутний трикутник, можна буде виявити периметр таким чином: P \u003d (1 + sin?

четверта Метод 4. Кажуть, що в правому трикутнику довжина однієї ноги дорівнює а і, навпаки, має гострий кут. потім обчислити периметр це трикутник буде виконуватися за формулою: P \u003d a * (1 / tg?

1 / син? + 1)

п'яті Спосіб 5.

Онлайн-розрахунок трикутника

Дозвольте нашій нозі привести і бути включеним в неї, тоді діапазон буде розраховуватися як: P \u003d A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Схожі відео

Теорема Піфагора є основою будь-якої математики. Визначає зв'язок між сторонами істинного трикутника. Тепер вказано 367 доказів цієї теореми.

інструкції

перший Класична шкільна формулювання теореми Піфагора звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів ніг.

Щоб знайти гіпотенузу в прямокутному трикутнику двох Catets, ви повинні звернутися, щоб побудувати квадрат довжини ніг, зібрати їх і взяти квадратний корінь з суми. В оригінальному формулюванні його висловлювання ринок заснований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів з 2 квадратів виробництва Catete. Однак сучасна алгебраїчна формулювання не вимагає введення уявлення області.

другий Наприклад, прямокутний трикутник, ноги якого складають 7 см і 8 см.

Тоді, відповідно до теореми Піфагора, квадратна гіпотенуза дорівнює R + S \u003d 49 + 64 \u003d 113 см. Гіпотенуза дорівнює квадратному кореню з числа 113.

Кути прямокутного трикутника

Результатом став необгрунтований номер.

третій Якщо трикутники - ноги 3 і 4, то гіпотенуза \u003d 25 \u003d 5. Коли ви витягаєте квадратний корінь, ви отримуєте натуральне число. Числа 3, 4, 5 утворюють пігагорейскій триплет, так як вони задовольняють співвідношенню x? + Y? \u003d Z, що природно.

Іншими прикладами пифагорейского триплета є: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

четверта У такому випадку, якщо ноги ідентичні один одному, теорема Піфагора перетворюється в більш примітивне рівняння. Наприклад, нехай така рука дорівнює числу А і гіпотенуза визначена для С, а потім з? \u003d Ap + Ap, C \u003d 2A2, C \u003d A? 2. У цьому випадку вам не потрібен A.

п'яті Теорема Піфагора - окремий випадок, який більше загальної теореми косинуса, який встановлює зв'язок між трьома сторонами трикутника для будь-якого кута між двома з них.

Рада 2: Як визначити гіпотенузу для ніг і кутів

Гіпотенуза називається стороною в прямокутному трикутнику, яка протилежна куту 90 градусів.

інструкції

перший У разі відомих катетерів, а також гострого кута прямокутного трикутника може гіпотенузи розмір, рівний відношенню ноги до косинус / синус цього кута, якщо кут знаходився навпроти / е включають в себе: Н \u003d С1 (або С2) / гріх, Н \u003d С1 (або С2?) / cos?. Приклад: Нехай ABC заданий неправильний трикутник з гіпотенузою AB і під прямим кутом C.

Нехай B дорівнює 60 градусам і A 30 градусів. Довжина ніжки BC 8 см. Повинна бути виявлена \u200b\u200bдовжина гіпотенузи AB. Для цього ви можете використовувати один з вищевказаних методів: AB \u003d BC / cos60 \u003d 8 см. AB \u003d BC / sin30 \u003d 8 см.

Гіпотенуза - найдовша сторона прямокутника трикутник . Він розташований під прямим кутом. Метод пошуку гіпотенузи прямокутника трикутник в залежності від вихідних даних.

інструкції

перший Якщо ваші ноги перпендикулярні трикутник , То довжина гіпотенузи прямокутника трикутник може бути виявлено пифагорейским аналогом - квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин ніг: c2 \u003d a2 + b2, де a і b - довжина ніг правої трикутник .

другий Якщо відомо, і одна з ніг під гострим кутом, формула для знаходження гіпотенузи буде залежати від наявності або відсутностей під певним кутом по відношенню до відомого катета - суміжно (катет розташована поблизу), або навпаки (розташоване протилежний випадок nego.V зазначеного кут дорівнює частці гіпотенуза ноги в косинусном кут: a \u003d a / cos; E, з іншого боку, гіпотенуза така ж, як відношення синусоїдальних кутів: da \u003d a / sin.

Схожі відео

Корисні поради
Кутовий трикутник, сторони якого пов'язані як 3: 4: 5, звані єгипетської дельтою, через те, що ці фігури широко використовуються архітекторами стародавнього Єгипту.

Це також найпростіший приклад трикутників Джерона, в якому сторінки і область представлені цілими числами.

Трикутник називається прямокутником, кут якого дорівнює 90 °. Сторона, протилежна правому кутку, називається гіпотенузою, інша - ногами.

Якщо ви хочете знайти, як прямокутного трикутника, утвореного деякими властивостями правильних трикутників, а саме той факт, що сума гострих кутів 90 °, який використовується, і той факт, що довжина протилежної ноги становить половину гіпотенузи становить 30 °.

Швидка навігація для статті

обрізаний трикутник

Одним з властивостей рівного трикутника є те, що його два кути однакові.

Щоб обчислити кут прямокутного рівного трикутника, вам потрібно знати, що:

• Це не гірше 90 °.
• Значення гострих кутів визначаються за формулою: (180 ° -90 °) / 2 \u003d 45 °, тобто

  Кути α і β рівні 45 °.

Якщо відоме значення одного з гострих кутів відомо, інше можна знайти за формулою: β \u003d 180º-90º-α або α \u003d 180º-90º-β.

Це співвідношення найбільш часто використовується, якщо один з кутів становить 60 ° або 30 °.

Ключові поняття

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °.

Тому що це один рівень, два залишаються гострими.

Обчислити трикутник онлайн

Якщо ви хочете їх знайти, вам потрібно знати, що:

інші способи

Значення гострих кутів прямокутного трикутника можна обчислити з середнього значення - з лінією від точки на протилежній стороні трикутника, а висота - лінія являє собою перпендикуляр, опущеною з гіпотенузи під прямим кутом.

Нехай медіана витягується від правого кута до середини гіпотенузи, а h - висота. В цьому випадку виявляється, що:

• sin α \u003d b / (2 * s); sin β \u003d a / (2 * s).
• cos α \u003d a / (2 * s); cos β \u003d b / (2 * s).
• sin α \u003d h / b; sin β \u003d h / a.

дві сторінки

Якщо довжини гіпотенузи і одна з ніг відомі в прямокутному трикутнику або з двох сторін, то для визначення значень гострих кутів використовуються тригонометричні тотожності:

• α \u003d arcsin (a / c), β \u003d arcsin (b / c).
• α \u003d arcos (b / c), β \u003d arcos (a / c).
• α \u003d arctg (a / b), β \u003d arctg (b / a).

Довжина прямокутного трикутника

Площа і площа трикутника

периметр

Окружність будь-якого трикутника дорівнює сумі довжин трьох сторін. Загальна формула для пошуку трикутного трикутника:

де P - окружність трикутника, a, b і c його боку.

Периметр рівного трикутника можна знайти шляхом послідовного об'єднання довжин його сторін або множення бічній довжини на 2 і додавання до продукту довжини підстави.

Загальна формула для знаходження рівноважного трикутника буде виглядати так:

де P - периметр рівного трикутника, але або b, b - підстава.

Периметр рівностороннього трикутника можна знайти шляхом послідовного об'єднання довжини його сторін або шляхом множення довжини будь-якої сторінки на 3.

Загальна формула для знаходження обода рівносторонніх трикутників буде виглядати так:

де P - периметр рівностороннього трикутника, a - будь-яка з його сторін.

область

Якщо ви хочете виміряти область трикутника, ви можете порівняти її з параллелограммом. Розглянемо трикутник ABC:

Якщо ми візьмемо той же трикутник і зафіксуємо його так, щоб ми отримали паралелограм, ми отримаємо паралелограм тієї ж висоти і основи, що і цей трикутник:

У цьому випадку загальна сторона трикутників складається разом по діагоналі формованого паралелограма.

З властивостей паралелограма. Відомо, що діагоналі паралелограма завжди діляться на два рівних трикутника, то поверхня кожного трикутника дорівнює половині діапазону паралелограма.

Так як площа паралелограма збігається з продуктом його базової висоти, площа трикутника буде дорівнює половині цього продукту. Таким чином, для ΔABC область буде однаковою

Тепер розглянемо прямокутний трикутник:

Два однакових прямокутних трикутника можна згинати в прямокутник, якщо він тулиться до них, що кожна інша гіпотенуза.

Так як поверхня прямокутника збігається з поверхнею сусідніх сторін, площа даного трикутника однакова:

Звідси можна зробити висновок, що поверхня будь-якого прямокутного трикутника дорівнює добутку ніг, поділена на 2.

З цих прикладів можна зробити висновок, що поверхня кожного трикутника така ж, як твір довжини, а висота знижується до підкладки, розділеної на 2.

Загальна формула для пошуку області трикутника буде виглядати так:

де S - область трикутника, але його основу, але висота падає на дно a.