Параметричне рівняння площини що проходить через точку. Площина і пряма в просторі: загальне і параметричне рівняння площини

– загальне рівняння площині в просторі

Нормальний вектор площини

Нормальним вектором площини назвемо ненульовий вектор, ортогональний кожному вектору, який лежить в площині.

Рівняння площини, що проходить через точкус заданим вектором нормалі

- рівняння площини, що проходить через точку M0 із заданим вектором нормалі

Направляючі вектори площині

Два неколінеарних вектора, паралельних площині, назвемо напрямними векторами площині

Параметричні рівняння площини

- параметричне рівняння площини у векторному вигляді

- параметричне рівняння площини в координатах

Рівняння площини через задану точку і два напрямних вектора

-фіксірованная точка

-просто точка лол

-компланарние, значить їх змішане твір дорівнює 0.

Рівняння площини, що проходить через три задані точки

- рівняння площини через три точки

Рівняння площини у відрізках

- рівняння площини в відрізках

Доведення

Для доказу скористаємося тим, що наша площину проходить через A, B, C, а нормальний вектор

Підставами координати точки і вектораnв рівняння площини з нормальним вектором

Розділимо все на і отримаємо

Такі справи.

Нормальне рівняння площини

- кут междуoxі нормальним вектором до площини, які виходять з О.

- кут междуoyі нормальним вектором до площини, які виходять з О.

- кут междуozі нормальним вектором до площини, які виходять з О.

- відстань від початку координат до площини.

Доказ або якась така хуйня

Знак протилежний D.

Аналогічно для інших косинусів. Кінець.

Відстань від точки до площини

Точка S, площина

- орієнтоване відстань від точкіSдо площині

Якщо, тоSі Про лежать по різні боки від площини

Якщо, тоSі Про лежать по одну сторону

множимо наn

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Кут між площинами

При перетині утворюється дві пари вертикальних двухгранних кутів, найменший називається кутом між площинами

Пряма в просторі

Пряма в просторі може бути задана як

Перетин двох площин:

Параметричні рівняння прямої

- параметричне рівняння прямої у векторному вигляді

- параметричне рівняння прямої в координатах

канонічне рівняння

- канонічне рівняння прямої.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

- канонічне рівняння прямої в векторному вигляді;

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Взаємне розміщення прямої і площини в просторі

Кут між прямою і площиною

Відстань від точки до прямої в просторі

a- спрямовує вектор нашої прямої.

- довільна точка, що належить даній прямій

- точка, до якої шукаємо відстань.

Відстань між двома перехресними прямими

Відстань між двома паралельними прямими

М1 - точка, що належить першої прямої

М2 - точка, що належить другий прямий

Криві і поверхні другого порядку

Еліпсом назвемо безліч точок площині, сума відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) є величина постійна.

Канонічне рівняння еліпса

замінимо на

розділимо на

властивості еліпса

Перетин з осями координат

симетрія відносно

почала координат

Еліпс являє собою криву, що лежить в обмеженої частини площині

Еліпс можна отримати з кола шляхом її розтягування або стиснення

Параметричне рівняння еліпса:

- директриси

гіпербола

Гіперболою назвемо безліч точок площині, для яких модуль різниці відстаней до 2х заданих точок (фокусів) є величина постійна (2a)

Робимо все те ж саме, що і з еліпсом, отримуємо

замінюємо на

ділимо на

властивості гіперболи

;

- директриси

асимптота

Асимптота - пряма, до якої крива необмежено наближається, віддаляючись в нескінченність.

парабола

властивості паработи

Спорідненість еліпса, гіперболи і параболи.

Спорідненість між цими кривими має алгебраїчне пояснення: все вони задаються рівняннями другого ступеня. У будь-якій системі координат рівняння цих кривих мають вигляд: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f \u003d 0, де a, b, c, d, e, f - числа

Перетворення прямокутних декартових систем координат

Паралельний перенос системи координат

-O 'в старій системі координат

-коордінати точки в старій системі координат

-коордінати точки в новій системі координат

Координати точки в новій системі координат.

Поворот в прямокутній декартовій системі координат

-нова система координат

Матриця переходу від старого базису до нового

- (під першим стовпцем I’ , Під другим - j’ ) Матриця переходу від базису I,jдо базису I’ ,j’

Загальний випадок

1 варіант

Поворот системи координат

2 варіант

Поворот системи координат
Паралельний перенос початку координат

Загальне рівняння ліній другого порядку та його приведення до канонічного вигляду

– загальний вигляд рівнянь кривої другого порядку

Класифікація кривих другого порядку

еліпсоїд

перетину еліпсоїда

- еліпс

еліпсоїди обертання

Еліпсоїда обертання є або сплющені, або витягнуті сфероїди, в залежності від того, навколо чого обертаємо.

однополосний гіперболоїд

Перетину однополосного гиперболоида

- гіпербола з дійсної осьюoy

- гіпербола з дійсною віссю ох

Виходить еліпс при будь-яких h. Такі справи.

Односмугові гіперболоіди обертання

Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі.

двуполостной гіперболоїд

Перетину двуполостного гиперболоида

- гіпербола з дійств. Осьюoz

- гіпербола з дійсної осьюoz

конус

- пара пересічних прямих

еліптичний параболоїд

- парабола

обертання

Якщо, то еліптичний параболоїд є поверхнею обертання, утворену обертанням параболи навколо її осі симетрії.

гіперболічний параболоїд

парабола

- парабола

h\u003e 0 гіпербола з дійсною віссю паралельної ох

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Під циліндром будемо розуміти поверхню, яка буде виходити при русі прямої в просторі, що не міняє свого напрямку, якщо пряма рухається щодо oz, то рівняння циліндра є рівняння перетину плоскостьюxoy.

еліптичний циліндр

гіперболічний циліндр

параболічний циліндр

Прямолінійні утворюючі поверхонь другого порядку

Прямі, повністю лежать на поверхні, називаються прямолінійними утворюючими поверхні.

поверхні обертання

Ебать ти лох

відображення

відображеннямназвемо правило, за яким кожному елементу множини А ставиться у відповідність один або кілька елементів множестваB. Якщо кожному ставиться єдиний елемент множини В, то відображення називається однозначним, інакше багатозначним.

перетвореннямбезлічі називається взаимнооднозначное відображення безлічі на себе

ін'єкція

Ін'єкція або взаємно-однозначне відображення множини А на множину В

(Різних елементів а відповідають різні елементи В) наприклад y \u003d x ^ 2

сюр'єкція

Сюр'єкція або вiдтворення безлічі А на безліч В

Для кожного В існує хоча б одне А (наприклад синус)

Кожному елементу множини В відповідає тільки один елемент множини А. (наприклад y \u003d x)

Одним з підпунктів теми «Рівняння прямої на площині» є питання складання параметричних рівнянь прямої на площині в прямокутній системі координат. У статті нижче розглядається принцип складання подібних рівнянь при певних відомих даних. Покажемо, як від параметричних рівнянь переходити до рівнянь іншого виду; розберемо рішення типових задач.

Конкретна пряма може бути визначена, якщо задати точку, яка належить цій прямій, і спрямовує вектор прямої.

Припустимо, нам задана прямокутна система координат O x y. А також задані пряма а із зазначенням лежить на ній точки М 1 (x 1, y 1) і спрямовує вектор заданої прямої a → \u003d (a x, a y) . Дамо опис заданої прямої a, використовуючи рівняння.

Використовуємо довільну точку М (x, y) і отримаємо вектор М 1 М →; обчислимо його координати по координатам точок початку і кінця: M 1 M → \u003d (x - x 1, y - y 1). Наведемо отримане: пряма задана множиною точок М (x, y), проходить через точку М 1 (x 1, y 1) і має направляючий вектор a → \u003d (a x, a y) . Зазначене безліч задає пряму тільки тоді, коли вектори M 1 M → \u003d (x - x 1, y - y 1) і a → \u003d (a x, a y) є колінеарними.

Існує необхідна і достатня умова коллинеарности векторів, яке в даному випадку для векторів M 1 M → \u003d (x - x 1, y - y 1) і a → \u003d (a x, a y) можливо записати у вигляді рівняння:

M 1 M → \u003d λ · a →, де λ - деяке дійсне число.

визначення 1

Рівняння M 1 M → \u003d λ · a → називають векторно-параметричних рівнянням прямої.

У координатної формі воно має вигляд:

M 1 M → \u003d λ · a → ⇔ x - x 1 \u003d λ · a x y - y 1 \u003d λ · a y ⇔ x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ

Рівняння отриманої системи x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ звуться параметричних рівнянь прямої на площині в прямокутній системі координат. Суть назви в наступному: координати всіх точок прямої можливо визначити по параметричних рівнянь на площині виду x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ при переборі всіх дійсних значень параметра λ

Відповідно до вищесказаного, параметричні рівняння прямої на площині x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ визначають пряму лінію, яка задана в прямокутній системі координат, проходить через точку М 1 (x 1, y 1) і має направляючий вектор a → \u003d (a x, a y) . Отже, якщо задані координати деякої точки прямої і координати її направляючого вектора, то можливо відразу записати параметричні рівняння заданої прямої.

приклад 1

Необхідно скласти параметричні рівняння прямої на площині в прямокутній системі координат, якщо задані належить їй точка М 1 (2, 3) і її спрямовує вектор a → \u003d (3, 1).

Рішення

На основі вихідних даних отримаємо: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Параметричні рівняння матимуть вигляд:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + 1 · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

Наочно проілюструємо:

Відповідь: x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

Необхідно відзначити: якщо вектор a → \u003d (a x, a y) служить напрямних вектором прямої а, а точки М 1 (x 1, y 1) і М 2 (x 2, y 2) належать цій прямій, то її можливо визначити, задавши параметричними рівняннями виду: x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ, а також і таким варіантом: x \u003d x 2 + ax · λ y \u003d y 2 + ay · λ.

Наприклад, нам задані спрямовує вектор прямої a → \u003d (2, - 1), а також точки М 1 (1, - 2) і М 2 (3, - 3), що належать цій прямій. Тоді пряму визначають параметричні рівняння: x \u003d 1 + 2 · λ y \u003d - 2 - λ або x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 3 - λ.

Слід звернути увагу і на такий факт: якщо a → \u003d (a x, a y) - направляючий вектор прямої a, то її направляють векторомбудет і будь-який з векторів μ · a → \u003d (μ · a x, μ · a y), де μ ε R, μ ≠ 0.

Таким чином, пряма а на площині в прямокутній системі координат може бути визначена параметричними рівняннями: x \u003d x 1 + μ · a x · λ y \u003d y 1 + μ · a y · λ при будь-якому значенні μ, відмінному від нуля.

Припустимо, пряма а задана параметричними рівняннями x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 2 - 5 · λ. тоді a → \u003d (2, - 5) - направляючий векторетой прямий. А також будь-який з векторів μ · a → \u003d (μ · 2, μ · - 5) \u003d 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 стане напрямних вектором для заданої прямої. Для наочності розглянемо конкретний вектор - 2 · a → \u003d (- 4, 10), йому відповідає значення μ \u003d - 2. В такому випадку задану пряму можна також визначити параметричними рівняннями x \u003d 3 - 4 · λ y \u003d - 2 + 10 · λ.

Перехід від параметричних рівнянь прямої на площині до інших рівнянь заданої прямої і назад

У рішенні деяких задач застосування параметричних рівнянь є не найоптимальнішим варіантом, тоді виникає необхідність перекладу параметричних рівнянь прямої в рівняння прямої іншого виду. Розглянемо, як же це зробити.

Параметричних рівнянь прямої виду x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ буде відповідати канонічне рівняння прямої на площині x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Дозволимо кожне з параметричних рівнянь щодо параметра λ, прирівняємо праві частини отриманих рівностей і отримаємо канонічне рівняння заданої прямої:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y

При цьому не повинно бентежити, якщо a x або a y дорівнюватимуть нулю.

приклад 2

Необхідно здійснити перехід від параметричних рівнянь прямої x \u003d 3 y \u003d - 2 - 4 · λ до канонічного рівняння.

Рішення

Запишемо задані параметричні рівняння в наступному вигляді: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ

Висловимо параметр λ в кожному з рівнянь: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ ⇔ λ \u003d x - 3 0 λ \u003d y + 2 - 4

Прирівняємо праві частини системи рівнянь і отримаємо необхідну канонічне рівняння прямої на площині:

x - 3 0 \u003d y + 2 - 4

відповідь: x - 3 0 \u003d y + 2 - 4

У разі, коли необхідно записати рівняння прямої виду A x + B y + C \u003d 0, при цьому задані параметричні рівняння прямої на площині, необхідно спочатку здійснити перехід до канонічного рівняння, а потім до загального рівняння прямої. Запишемо всю послідовність дій:

x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ ⇔ λ \u003d x - x 1 ax λ \u003d y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay · (x - x 1) \u003d ax · (y - y 1) ⇔ A x + B y + C \u003d 0

приклад 3

Необхідно записати загальне рівняння прямої, якщо задані визначають її параметричні рівняння: x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ

Рішення

Для початку можна здійснити перехід до канонічного рівняння:

x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 3 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 3

Отримана пропорція ідентична рівності - 3 · (x + 1) \u003d 2 · y. Розкриємо дужки і отримаємо загальне рівняння прямої: - 3 · x + 1 \u003d 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 \u003d 0.

Відповідь: 3 x + 2 y + 3 \u003d 0

Дотримуючись вищевказаної логіці дій, для отримання рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, рівняння прямої в відрізках або нормального рівняння прямої необхідно отримати загальне рівняння прямої, а від нього здійснювати подальший перехід.

Тепер розглянемо зворотну дію: запис параметричних рівнянь прямої при іншому заданому вигляді рівнянь цієї прямої.

Найпростіший перехід: від канонічного рівняння до параметричних. Нехай задано канонічне рівняння виду: x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Кожне з відносин цього рівності приймемо рівним параметру λ:

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y

Дозволимо отримані рівняння щодо змінних x і y:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ

приклад 4

Необхідно записати параметричні рівняння прямої, якщо відомо канонічне рівняння прямої на площині: x - 2 +5 \u003d y - 2 + 2

Рішення

Прирівняємо частини відомого рівняння до параметру λ: x - 2 +5 \u003d y - 2 + 2 \u003d λ. З отриманої рівності отримаємо параметричні рівняння прямої: x - 2 5 \u003d y - 2 2 \u003d λ ⇔ λ \u003d x - 2 5 λ \u003d y - 2 5 ⇔ x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

Відповідь: x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

Коли необхідно здійснити перехід до параметричних рівнянь від заданого загального рівняння прямої, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом або рівняння прямої в відрізках, необхідно вихідне рівняння привести до канонічного, а після здійснювати перехід до параметричних рівнянь.

приклад 5

Необхідно записати параметричні рівняння прямої при відомому загальному рівнянні цієї прямої: 4 x - 3 y - 3 \u003d 0.

Рішення

Заданий загальне рівняння перетворимо в рівняння канонічного виду:

4 x - 3 y - 3 \u003d 0 ⇔ 4 x \u003d 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x \u003d 3 y +1 3 ⇔ x 3 \u003d y +1 3 4

Прирівняємо обидві частини рівності до параметру λ і отримаємо необхідні параметричні рівняння прямої:

x 3 \u003d y +1 3 4 \u003d λ ⇔ x 3 \u003d λ y +1 3 4 \u003d λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d посилання - 1 3 + 4 · λ

відповідь: x \u003d 3 · λ y \u003d посилання - 1 3 + 4 · λ

Приклади і задачі з параметричними рівняннями прямої на площині

Розглянемо найчастіше зустрічаються типи завдань з використанням параметричних рівнянь прямої на площині в прямокутній системі координат.

У завданнях першого типу задані координати точок, що належать чи ні прямої, описаної параметричними рівняннями.

Рішення таких завдань спирається на наступний факт: числа (x, y), що визначаються з параметричних рівнянь x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ при деякому дійсному значенні λ, є координатами точки, що належить прямій, яка описується цими параметричними рівняннями.

приклад 6

Необхідно визначити координати точки, яка лежить на прямій, заданої параметричними рівняннями x \u003d 2 - 1 6 ∙ λ y \u003d - 1 + 2 · λ при λ \u003d 3.

Рішення

Підставами в задані параметричні рівняння відоме значення λ \u003d 3 і здійснимо обчислення шуканих координат: x \u003d 2 - 1 6 ∙ 3 y \u003d - 1 + 2 · 3 ⇔ x \u003d 1 1 2 y \u003d 5

відповідь: 1 1 2 , 5

Також можлива наступна задача: нехай задана деяка точка M 0 (x 0, y 0) на площині в прямокутній системі координат і потрібно визначити, чи належить ця точка прямої, описуваної параметричними рівняннями x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ.

Щоб вирішити це завдання, необхідно підставити координати заданої точки в відомі параметричні рівняння прямої. Якщо буде визначено, що можливо таке значення параметра λ \u003d λ 0, при якому будуть вірними обидва параметричних рівняння, тоді задана точка є що належить заданій прямій.

приклад 7

Задані точки М 0 (4, - 2) і N 0 (- 2, 1). Необхідно визначити, чи є вони належать прямий, визначеної параметричними рівняннями x \u003d 2 · λ y \u003d - 1 - 1 2 · λ.

Рішення

Підставами координати точки М 0 (4, - 2) в задані параметричні рівняння:

4 \u003d 2 · λ - 2 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d 2 λ \u003d 2 ⇔ λ \u003d 2

Робимо висновок, що точка М 0 належить заданій прямій, оскільки відповідає значенню λ \u003d 2.

2 \u003d 2 · λ 1 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d - 1 λ \u003d - 4

Очевидно, що не існує такого параметра λ, яким буде відповідати точка N 0. Іншими словами, задана пряма не проходить через точку N 0 (- 2, 1).

відповідь:точка М 0 належить заданій прямій; точка N 0 не належить заданій прямій.

У завданнях другого типу потрібно скласти параметричні рівняння прямої на площині в прямокутній системі координат. Найпростіший приклад такого завдання (при відомих координатах точки прямої і направляючого вектора) було розглянуто вище. Тепер розберемо приклади, в яких спочатку потрібно знайти координати направляючого вектора, а потім записати параметричні рівняння.

приклад 8

Задана точка M 1 + 1 2, 2, 3. Необхідно скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через цю точку і паралельної прямої x 2 \u003d y - 3 - 1.

Рішення

За умовою завдання пряма, рівняння якої нам належить випередити, паралельна прямій x 2 \u003d y - 3 - 1. Тоді в якості направляючого вектора прямої, що проходить через задану точку, можливо використовувати направляючий вектор прямої x 2 \u003d y - 3 - 1, який запишемо у вигляді: a → \u003d (2, - 1). Тепер відомі всі необхідні дані для того, щоб скласти шукані параметричні рівняння:

x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ ⇔ x \u003d 1 2 + 2 · λ y \u003d 2 3+ (- 1) · λ ⇔ x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ

відповідь: x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ.

приклад 9

Задана точка М 1 (0, - 7). Необхідно записати параметричні рівняння прямої, що проходить через цю точку перпендикулярно прямий 3 x - 2 y - 5 \u003d 0.

Рішення

В якості направляючого вектора прямої, рівняння якої треба скласти, можливо взяти нормальний вектор прямої 3 x - 2 y - 5 \u003d 0. Його координати (3, - 2). Запишемо необхідні параметричні рівняння прямої:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 0 + 3 · λ y \u003d - 7 + (- 2) · λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

відповідь: x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

У завданнях третього типу потрібно здійснити перехід від параметричних рівнянь заданої прямої до інших видів рівнянь, які її визначають. Рішення подібних прикладів ми розглядали вище, наведемо ще один.

приклад 10

Дана пряма на площині в прямокутній системі координат, яка визначається параметричними рівняннями x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ. Необхідно знайти координати будь-якого нормального вектора цієї прямої.

Рішення

Щоб визначити шукані координати нормального вектора, здійснимо перехід від параметричних рівнянь до загального рівняння:

x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ ⇔ λ \u003d x - 1 - 3 4 λ \u003d y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 \u003d y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 \u003d - 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 \u003d 0

Коефіцієнти змінних x і y дають нам необхідні координати нормального вектора. Таким чином, нормальний вектор прямої x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ має координати 1, 3, 4.

відповідь: 1 , 3 4 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

До сих пір ми розглядали рівняння поверхні в просторі з координатними осями Х, Y, Z в явній формі або в неявній формі

Можна написати рівняння поверхні в параметричної формі, висловлюючи координати її точок у вигляді функцій двох незалежних змінних параметрів і

Ми будемо припускати, що ці функції однозначні, безперервні і мають безперервні похідні до другого порядку в деякій області зміни параметрів

Якщо підставити ці вирази координат через u і v в ліву частину рівняння (37), то ми повинні отримати тотожність щодо і і V. Дифференцируя це тотожність із незалежним змінним і та v, матимемо

Розглядаючи ці рівняння як два однорідних рівняння щодо і застосовуючи алгебраїчну лемму, згадану в, отримаємо

де k - деякий коефіцієнт пропорційності.

Ми вважаємо, що множник до і принаймні одна з різниць, що стоять в правих частинах останніх формул, відмінні від нуля.

Позначимо для стислості написання три різниці в такий спосіб:

Як відомо, рівняння дотичної площини до нашої поверхні в деякій її точці (х, у, z) можна написати у вигляді

або, замінюючи пропорційними величинами, можемо переписати рівняння дотичної площини так:

Коефіцієнти в цьому рівнянні, як відомо, пропорційні напрямних косинусам нормалі до поверхні.

Положення змінної точки М на поверхні характеризується значеннями параметрів і та v, і ці параметри називаються зазвичай координатами точок поверхні або координатними параметрами.

Надаючи параметрам і і v постійні значення, отримаємо два сімейства ліній на поверхні, які ми назвемо координатними лініями поверхні: координатні лінії уздовж яких змінюється тільки v, і координатні лінії уздовж яких змінюється тільки і. Ці два сімейства координатних ліній дають координатну сітку на поверхні.

Як приклад розглянемо сферу з центром на початку координат і радіусом R. Параметричні рівняння такої сфери можуть бути написані у вигляді

Координатні, лінії являють собою в даному випадку, очевидно, паралелі і меридіани нашої сфери.

Відволікаючись від координатних осей, ми можемо охарактеризувати поверхню змінним радіусом-вектором йде з постійною точки О в змінну точку М нашої поверхні. Приватні похідні від цього радіусу-вектора за параметрами дадуть, очевидно, вектори, спрямовані по дотичним до координатним лініях. Складові цих векторів по осях

будуть, згідно і звідси видно, що коефіцієнти в рівнянні дотичній площині (39) суть складові векторного твори Це векторне твір є вектор, перпендикулярний до дотичним т. е. вектор, спрямований по нормалі поверхні. Квадрат довжини цього вектора виражається, очевидно, скалярним твором вектора на самого себе, т. Е. Простіше кажучи, квадратом цього вектора 1). Надалі буде відігравати суттєву роль одиничний вектор нормалі до поверхні, який ми можемо, очевидно, написати у вигляді

Змінюючи порядок співмножників в написаному векторному добутку, ми отримаємо для вектора (40) протилежний зміст. Ми будемо надалі певним чином фіксувати порядок множників, т. Е. Будемо певним чином фіксувати напрямок нормалі до поверхні.

Візьмемо на поверхні деяку точку М і проведемо через цю точку якусь криву (L), що лежить на поверхні. Ця крива, взагалі кажучи, не координатна лінія, і уздовж неї будуть змінюватися як Ну так і v. Напрямок дотичній до цієї кривої буде визначатися вектором якщо вважати, що уздовж (L) в околиці точки параметр v є функція від має похідну. Звідси видно, що напрямок дотичної до кривої, проведеної на поверхні, в будь-якій точці М цієї кривої, цілком характеризується величиною в цій точці. При визначенні Дотичній площині і виведення її рівняння (39) ми вважали, що функції (38) в даній точці і її околиці мають безперервні приватні похідні і що, по крайней мере, один з коефіцієнтів рівняння (39) відмінний від нуля в даній точці.

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3.1)

задає площину, і навпаки: будь-яка площина може бути представлена \u200b\u200bрівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.

вектор n (A, B, C), прямокутний площині, називається нормальним вектором площині. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не рівні 0.

Особливі випадки рівняння (3.1):

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - площина проходить через початок координат.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - площина паралельна осі Oz.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - площина проходить через вісь Oz.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Пряма в просторі може бути задана:

1) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) двома своїми точками M 1 (x 1, y 1, z 1) і M 2 (x 2, y 2, z 2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

3) точкою M 1 (x 1, y 1, z 1), їй належить, і вектором a(M, n, р), їй колінеарну. Тоді пряма визначається рівняннями:

Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннями прямої.

вектор a називається напрямних вектором прямої.

Параметричні рівняння прямоїотримаємо, прирівнявши кожне з відносин (3.4) параметру t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + р t. (3.5)

Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x і y, Приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведеним рівнянням прямої :

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)

Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічним рівнянням, знаходячи z з кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним і іншим способом, якщо знайти яку-небудь точку цієї прямої і її спрямовує вектор n= [n 1 , n 2], де n 1 (A 1, B 1, C 1) і n 2 (A 2, B 2, C 2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо один з знаменників m, n або р в рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідної дробу треба покласти рівним нулю, тобто система

рівносильна системі; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

Система рівносильна системі x \u003d x 1, y \u003d y 1; пряма паралельна осі Oz.

приклад 1.15. Cоставьте рівняння площини, знаючи, що точка А (1, -1,3) служить підставою перпендикуляра, проведеного з початку координат до цієї площини.

Рішення.За умовою завдання вектор ОА (1, -1,3) є нормальним вектором площини, тоді її рівняння можна записати у вигляді
x-y + 3z + D \u003d 0. Підставивши координати точки А (1, -1,3), що належить площині, знайдемо D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D \u003d 0 Þ D \u003d -11. Отже, x-y + 3z-11 \u003d 0.

приклад 1.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Оz і утворює з площиною 2x + y- z-7 \u003d 0 кут 60 о.

Рішення.Площина, що проходить через вісь Oz, задається рівнянням Ax + By \u003d 0, де А і В одночасно не звертаються в нуль. Нехай В не
дорівнює 0, A / Bx + y \u003d 0. За формулою косинуса кута між двома площинами

Вирішуючи квадратне рівняння 3m 2 + 8m - 3 \u003d 0, знаходимо його корені
m 1 \u003d 1/3, m 2 \u003d -3, звідки отримуємо дві площини 1 / 3x + y \u003d 0 і -3x + y \u003d 0.

Приклад 1.17.Складіть канонічні рівняння прямої:
5x + y + z \u003d 0, 2x + 3y - 2z + 5 \u003d 0.

Рішення.Канонічні рівняння прямої мають вигляд:

де m, n, р - координати направляючого вектора прямої, x 1, y 1, z 1 - координати будь-якої точки, що належить прямій. Пряма задана як лінія перетину двох площин. Щоб знайти точку, що належить прямій, фіксують одну з координат (найпростіше покласти, наприклад, x \u003d 0) і отриману систему вирішують як систему лінійних рівнянь з двома невідомими. Отже, нехай x \u003d 0, тоді y + z \u003d 0, 3y - 2z + 5 \u003d 0, звідки y \u003d -1, z \u003d 1. Координати точки М (x 1, y 1, z 1), що належить даній прямій, ми знайшли: M (0, -1,1). Спрямовує вектор прямої легко знайти, знаючи нормальні вектори вихідних площин n 1 (5,1,1) і n 2 (2,3, -2). тоді

Канонічні рівняння прямої мають вигляд: x / (- 5) \u003d (y + 1) / 12 \u003d
\u003d (Z - 1) / 13.

Векторне і параметричні рівняння площині. Нехай r 0 і r - радіус-вектори точок М 0 і M відповідно. Тоді M 0 M \u003d r - r 0, і умова (5.1) приналежності точки M площині, що проходить через точку М 0 перпендикулярно ненульових векторів n (рис. 5.2, а), можна записати за допомогою скалярного твори у вигляді співвідношення

n (r - r 0) \u003d 0, (5.4)

яке називають векторних рівнянням площини.

Фіксованій площині в просторі відповідає безліч паралельних їй векторів, тобто простір V 2. Виберемо в цьому просторі базис e 1, e 2, тобто пару неколінеарних векторів, паралельних даній площині, і точку M 0 на площині. Якщо точка M належить площині, то це еквівалентно тому, що їй паралельний вектор M 0 M (рис. 5.2, б), тобто він належить вказаному простору V 2. Це означає, що існує розкладання вектора M 0 M в базисі e 1, e 2, тобто існують такі числа t 1 і t 2, для яких M 0 M \u003d t 1 e 1 + t 2 e 2. Записавши ліву частину цього рівняння через радіус-вектори r 0 і r точок М 0 і M відповідно, отримуємо векторне параметричне рівняння площини

r \u003d r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, t 1, t 1 ∈ R. (5.5)

Щоб перейти від рівності векторів в (5.5) до рівності їх координат, Позначимо через (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) координати точок M 0, M і через (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) координати векторів e 1, e 2. Прирівнюючи однойменні координати векторів r і r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, отримуємо параметричні рівняння площини

Площина, що проходить через три точки. Припустимо, що три точки M 1, M 2 і М 3 чи не лежать на одній прямій. Тоді існує єдина площина π, якій ці точки належать. Знайдемо рівняння цієї площини, сформулювавши критерій приналежності довільної точки M цій площині π. Потім запишемо цей критерій через координати точок. Зазначеним критерієм є опис площині π як безлічі тих точок M, для яких вектори M 1 M 2, M 1 M 3 і M 1 M компланарність. Критерієм компланарності трьох векторів є рівність нулю їх змішаного твори (Див. 3.2). Змішане твір обчислюється за допомогою визначника третього порядку, Рядками якого є координати векторів в ортонормированном базисі. Тому, якщо (xi; yx i; Zx i) - координати точок Mx i, i \u003d 1, 2, 3, а (x; y; z) - координати точки M, то M 1 M \u003d (х-x 1; у-y 1; zz 1), M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 \u200b\u200b-y 1; z 2 -z 1), M 1 M 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) і умова рівності нулю змішаного твори цих векторів має вигляд

Обчисливши визначник, отримаємо лінійне щодо x, y, z рівняння, що є загальним рівнянням шуканої площини. Наприклад, якщо розкласти визначник по 1-му рядку, То отримаємо

Це рівність після обчислення визначників і розкриття дужок перетвориться до спільного рівняння площині.

Відзначимо, що коефіцієнти при змінних в останньому рівнянні збігаються з координатами векторного твори M 1 M 2 × M 1 M 3. Це векторне твір, будучи твором двох неколінеарних векторів, паралельних площині π, дає ненульовий вектор, перпендикулярний π, тобто її нормальний вектор. Так що поява координат векторного твори в якості коефіцієнтів загального рівняння площини цілком закономірно.

Розглянемо наступний окремий випадок площині, що проходить через три точки. Точки M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, не лежать на одній прямій і задають площину, яка відтинає на осях координат відрізки ненульовий довжини (рис. 5.3). Тут під "довжинами відрізків" розуміють значення ненульових координат радіус-векторів точок M i, i \u003d 1,2,3.

Оскільки M 1 M 2 \u003d (-a; b; 0), M 1 M 3 \u003d (-a; 0; c), M 1 M \u003d (x-a; y; z), то рівняння (5.7) приймає вигляд

Обчисливши визначник, знайдемо bc (x - a) + acy + abz \u003d 0, розділимо отримане рівняння на abc і перенесемо вільний член в праву частину,

x / a + y / b + z / c \u003d 1.

Це рівняння називають рівнянням площини у відрізках.

Приклад 5.2. Знайдемо загальне рівняння площини, яка проходить через точку з координатами (1; 1; 2) і відсікає від осей координат відрізки однакової довжини.

Рівняння площини у відрізках за умови, що вона відсікає від осей координат відрізки рівної довжини, скажімо a ≠ 0, має вигляд x / a + y / b + z / c \u003d 1. Цьому рівнянню повинні задовольняти координати (1; 1; 2) відомої точки на площині, тобто виконується рівність 4 / a \u003d 1. Тому a \u003d 4 і шуканим рівнянням є x + y + z - 4 \u003d 0.

Нормальне рівняння площині. Розглянемо деяку площину π в просторі. Фіксуємо для неї одиничний нормальний вектор n, спрямований з початку координат "В сторону площині", і позначимо через р відстань від початку O системи координат до площини π (рис. 5.4). Якщо площина проходить через початок системи координат, то p \u003d 0, а в якості напрямку для нормального вектора n можна вибрати будь-який з двох можливих.

Якщо точка M належить площині π, то це еквівалентно тому, що ортогональна проекція вектора OM на напрям вектора n дорівнює р, тобто виконана умова nOM \u003d ін n OM \u003d р, так як довжина вектора n дорівнює одиниці.

Позначимо координати точки M через (x; y; z) і нехай n \u003d (cosα; cosβ; cosγ) (нагадаємо, що для одиничного вектора n його направляючі косинусиcosα, cosβ, cosγ одночасно є і його координатами). Записуючи скалярний твір в рівність nOM \u003d р в координатної формі, отримуємо нормальне рівняння площині

xcosα + ycosbeta; + Zcosγ - p \u003d 0.

Аналогічно нагоди прямий на площині, загальне рівняння площини в просторі можна перетворити в її нормальне рівняння діленням на нормуючий множник.

Для рівняння площини Ax + By + Cz + D \u003d 0 нормує множником є \u200b\u200bчисло ± √ (A 2 + B 2 + C 2), знак якого вибирається протилежним знаком D. За абсолютною величиною нормирующий множник являє собою довжину нормального вектора (A; B ; C) площині, а знак відповідає потрібному напрямку одиничного нормального вектора площини. Якщо площина проходить через початок системи координат, тобто D \u003d 0, то знак нормує множники можна вибрати будь-яким.