Розподіл Байєса. Формула повної ймовірності, формула Байєса

Коротка теорія

Якщо подія настає тільки за умови появи однієї з подій утворюють повну групу несумісних подій, то дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з подій на відповідну умовну ймовірність гаманець.

При цьому події називаються гіпотезами, а ймовірності - апріорними. Ця формула називається формулою повної ймовірності.

Формула Байєса застосовується при вирішенні практичних завдань, коли подія, що з'являється разом з будь-яким з подій утворюють повну групу подій відбулося і потрібно провести кількісну переоцінку ймовірностей гіпотез. Апріорні (до досвіду) ймовірності відомі. Потрібно обчислити апостеріорні (після досвіду) ймовірності, тобто по суті потрібно знайти умовні ймовірності. Формула Байєса виглядає так:

На наступній сторінці розглядається задача на.

Приклад рішення задачі

Умова завдання 1

На фабриці верстати 1,2 і 3 виробляють відповідно 20%, 35% і 45% всіх деталей. У їх продукції шлюб становить відповідно 6%, 4%, 2%. Яка ймовірність того, що випадково обраний виріб виявилося дефектним? Яка ймовірність того, що воно було вироблено: а) верстатом 1; б) верстатом 2; в) верстатом 3?

Рішення завдання 1

Позначимо через подію, яка полягає в тому, що стандартний виріб виявилося дефектним.

Подія може відбутися тільки за умови настання однієї з трьох подій:

Виріб вироблено на верстаті 1;

Виріб вироблено на верстаті 2;

Виріб вироблено на верстаті 3;

Запишемо умовні ймовірності:

Формула повної ймовірності

Якщо подія може відбутися тільки при виконанні однієї з подій, які образуютполную групу несумісних подій, то ймовірність події обчислюється за формулою

За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність події:

Формула Байєса

Формула Байєса дозволяє «переставити причину і наслідок»: за відомим фактом події обчислити вірогідність того, що воно було викликано даної причиною.

Імовірність того, що дефектний виріб виготовлений на верстаті 1:

Імовірність того, що дефектний виріб виготовлений на верстаті 2:

Імовірність того, що дефектний виріб виготовлений на верстаті 3:

Умова завдання 2

Група складається з 1 відмінника, 5 успішних студентів і 14 студентів, успішних посередньо. Відмінник відповідає на 5 і 4 з однаковою ймовірністю, хорошист відповідає на 5, 4 і 3 з однаковою ймовірністю, і посередньо встигає студент відповідає на 4,3 і 2 з однаковою ймовірністю. Випадково обраний студент відповів на 4. Яка ймовірність того, що був викликаний посередньо встигає студент?

Рішення завдання 2

Гіпотези і умовні ймовірності

Можливі наступні гіпотези:

Відповідав відмінник;

Відповідав хорошист;

-відповідав посередньо займається студент;

Нехай подія -Студент отримає 4.

відповідь:

На ціну сильно впливає терміновість вирішення (від доби до декількох годин). Онлайн-допомога на іспиті / заліку здійснюється за попереднім записом.

Заявку можна залишити прямо в чаті, попередньо скинувши умова завдань і повідомивши необхідні вам терміни рішення. Час відповіді - кілька хвилин.

Нехай відомі їх ймовірності і відповідні умовні ймовірності. Тоді ймовірність настання події дорівнює:

Ця формула отримала назву формули повної ймовірності. У підручниках вона формулюється теоремою, доказ якої елементарно: згідно алгебри подій, (Відбулася подія і або відбулася подія і після нього настав подія абовідбулася подія і після нього настав подія або …. або відбулася подія і після нього настав подія). оскільки гіпотези несумісні, а подія - залежно, то по теоремі додавання ймовірностей несумісних подій (перший крок) і теоремі множення ймовірностей залежних подій (Другий крок):

Напевно, багато передчувають зміст першого прикладу \u003d)

Куди не плюнь - скрізь урна:

завдання 1

Є три однакові урни. У першій урні знаходяться 4 білих і 7 чорних куль, у другій - тільки білі і в третій - тільки чорні кулі. Навмання вибирається одна урна і з неї навмання витягується куля. Яка ймовірність того, що ця куля чорний?

Рішення: Розглянемо подія - з навмання обраної урни буде витягнуто чорна куля. Дана подія може відбутися або не відбутися в результаті здійснення однієї з наступних гіпотез:
- буде вибрана 1-я урна;
- буде обрана 2-я урна;
- буде обрана 3-тя урна.

Так як урна вибирається навмання, то вибір будь-якої з трьох урн равновозможен, Отже:

Зверніть увагу, що перераховані гіпотези утворюють повну групу подій, Тобто, за умовою чорна куля може з'явитися тільки з цих урн, а наприклад, не прилетіти з більярдного столу. Проведемо просту проміжну перевірку:
, ОК, їдемо далі:

У першій урні 4 білих + 7 чорних \u003d 11 куль, по класичним визначенням:
- можливість отримання чорного кулі за умови, Що буде обрана 1-я урна.

У другій урні тільки білі кулі, тому в разі її вибору поява чорного кулі стає неможливим: .

І, нарешті, в третій урні одні чорні кулі, а значить, відповідна умовна ймовірність вилучення чорного кулі складе (Подія достовірно).

- ймовірність того, що з навмання обраної урни буде витягнутий чорна куля.

відповідь:

Розібраний приклад знову наводить на думку про те, як важливо вникати в УМОВА. Візьмемо ті ж завдання з урнами і кулями - при їх зовнішньої схожості способи вирішення можуть бути абсолютно різними: десь потрібно застосувати тільки класичне визначення ймовірності, Десь події незалежні, Десь залежні, А де-то мова про гіпотези. При цьому не існує чіткого формального критерію для вибору шляху рішення - над ним майже завжди потрібно думати. Як підвищити свою кваліфікацію? Вирішуємо, вирішуємо і ще раз вирішуємо!

завдання 2

У тирі є 5 різних за точністю бою гвинтівок. Ймовірності попадання в мішень для даного стрілка відповідно рівні 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 і 0,4. Чому дорівнює ймовірність потрапляння в мішень, якщо стрілок робить один постріл з випадково вибраної гвинтівки?

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку.

У більшості тематичних завдань гіпотези, звичайно ж, не рівноймовірно:

завдання 3

У піраміді 5 гвинтівок, три з яких обладнані оптичним прицілом. Імовірність того, що стрілець уразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде вражена, якщо стрілок виробляє один постріл з навмання взятої гвинтівки.

Рішення: В цьому завданні кількість гвинтівок точно таке ж, як і в попередній, але ось гіпотези всього дві:
- стрілок вибере гвинтівку з оптичним прицілом;
- стрілок вибере гвинтівку без оптичного прицілу.
за класичним визначенням ймовірності: .
контроль:

Розглянемо подія: - стрілок уразить мішень з навмання взятої гвинтівки.
За умовою: .

За формулою повної ймовірності:

відповідь: 0,85

На практиці цілком допустимо укорочений спосіб оформлення завдання, який вам теж добре знайомий:

Рішення: За класичним визначенням: - ймовірності вибору гвинтівки з оптичним і без оптичного прицілу відповідно.

За умовою, - ймовірності попадання в мішень з відповідних типів гвинтівок.

За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що стрілець уразить мішень з навмання обраної гвинтівки.

відповідь: 0,85

Наступне завдання для самостійного рішення:

завдання 4

Двигун працює в трьох режимах: нормальному, форсованому і на холостому ходу. У режимі холостого ходу ймовірність його виходу з ладу дорівнює 0,05, при нормальному режимі роботи - 0,1, а при форсованому - 0,7. 70% часу двигун працює в нормальному режимі, а 20% - у форсованому. Яка ймовірність виходу з ладу двигуна під час роботи?

Про всяк випадок нагадаю - щоб отримати значення ймовірностей відсотки потрібно розділити на 100. Будьте дуже уважні! За моїми спостереженнями, умови задач на формулу повної ймовірності частенько намагаються подзапутать; і я спеціально підібрав такий приклад. Скажу по секрету - сам ледь не заплутався \u003d)

Рішення в кінці уроку (оформлено коротким способом)

Завдання на формули Байеса

Матеріал тісно пов'язаний зі змістом попереднього параграфа. Нехай подія настала в результаті здійснення однієї з гіпотез . Як визначити ймовірність того, що мала місце та чи інша гіпотеза?

За умови, Що подія вже відбулося, Ймовірності гіпотез переоцінюються за формулами, які отримали прізвище англійського священика Томаса Байеса:

- ймовірність того, що мала місце гіпотеза;
- ймовірність того, що мала місце гіпотеза;
…
- ймовірність того, що мала місце гіпотеза.

На перший погляд здається повною нісенітницею - навіщо перераховувати ймовірності гіпотез, якщо вони і так відомі? Але насправді різниця є:

- це апріорні (оцінені до випробування) ймовірності.

- це апостеріорні (оцінені після випробування) ймовірності тих же гіпотез, перелічені в зв'язку «з нововиявленими обставинами» - з урахуванням того факту, що подія достовірно сталося.

Розглянемо це відмінність на конкретному прикладі:

завдання 5

На склад надійшло 2 партії виробів: перша - 4000 штук, друга - 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів в першій партії становить 20%, а в другій - 10%. Навмання взяте зі складу виріб виявилося стандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії, б) з другої партії.

Перша частина рішення полягає у використанні формули повної ймовірності. Іншими словами, обчислення проводяться в припущенні, що випробування ще не вироблено і подія «Виріб виявилося стандартним» поки не настав.

Розглянемо дві гіпотези:
- навмання взятий виріб буде з 1-й партії;
- навмання взятий виріб буде з 2-й партії.

Всього: 4000 +6000 \u003d 10000 виробів на складі. За класичним визначенням:
.

контроль:

Розглянемо залежне подія: - навмання взяте зі складу виріб буде стандартним.

У першій партії 100% - 20% \u003d 80% стандартних виробів, тому: за умови, Що воно належить 1-й партії.

Аналогічно, у другій партії 100% - 10% \u003d 90% стандартних виробів і - ймовірність того, що навмання взяте на складі виріб буде стандартним за умови, Що воно належить 2-й партії.

За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що навмання взяте на складі виріб буде стандартним.

Частина друга. Нехай навмання взяте зі складу виріб виявилося стандартним. Ця фраза прямо прописана в умови, і вона констатує той факт, що подія відбулося.

За формулами Байєса:

а) - ймовірність того, що вбрання стандартний виріб належить 1-й партії;

б) - ймовірність того, що вбрання стандартний виріб належить 2-й партії.

після переоцінки гіпотези, зрозуміло, як і раніше утворюють повну групу:
(Перевірка ;-))

відповідь:

Зрозуміти сенс переоцінки гіпотез нам допоможе Іван Васильович, якій знову змінив професію і став директором заводу. Він знає, що сьогодні 1-й цех відвантажив на склад 4000, а 2-й цех - 6000 виробів, і приходить упевнитися в цьому. Припустимо, вся продукція однотипна і знаходиться в одному контейнері. Природно, Іван Васильович попередньо підрахував, що виріб, який він зараз витягне для перевірки, з ймовірністю буде випущено 1-м цехом і з ймовірністю - другим. Але після того як обраний виріб виявляється стандартним, він вигукує: «Який же класний болт! - його швидше випустив 2-й цех ». Таким чином, ймовірність другої гіпотези переоцінюється в кращу сторону, а ймовірність першої гіпотези знижується:. І ця переоцінка небезпідставна - адже 2-й цех виробив не тільки більше виробів, але і працює в 2 рази краще!

Ви скажете, чистий суб'єктивізм? Частково - так, більш того, сам Байес інтерпретував апостеріорні ймовірності як рівень довіри. Однак не все так просто - в Байєсова підході є й об'єктивне зерно. Адже ймовірності того, що виріб буде стандартним (0,8 і 0,9 для 1-го і 2-го цехів відповідно) це попередні (Апріорні) і середніоцінки. Але, висловлюючись по-філософськи - все тече, все змінюється, і ймовірності в тому числі. Цілком можливо, що на момент дослідження успішніший 2-й цех підвищив відсоток випуску стандартних виробів (І / або 1-й цех знизив), І якщо перевірити більша кількість або всі 10 тисяч виробів на складі, то переоцінені значення виявляться набагато ближче до істини.

До речі, якщо Іван Васильович витягне нестандартну деталь, то навпаки - він буде більше «підозрювати» 1-й цех і менше - другий. Пропоную переконатися в цьому самостійно:

завдання 6

На склад надійшло 2 партії виробів: перша - 4000 штук, друга - 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів в першій партії 20%, у другій - 10%. Навмання взяте зі складу виріб виявилося нЕстандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії, б) з другої партії.

Умова відрізняться двома буквами, які я виділив жирним шрифтом. Завдання можна вирішити з «чистого аркуша», або скористатися результатами попередніх обчислень. У зразку я провів повне рішення, але щоб не виникло формальної накладки з Завданням №5, подія «Навмання взяте зі складу виріб буде нестандартним» позначено через.

Байєсова схема переоцінки ймовірностей зустрічається повсюдно, причому її активно експлуатують і різного роду шахраї. Розглянемо стало прозивним АТ на три букви, яке приваблює вклади населення, нібито кудись їх інвестує, справно виплачує дивіденди і т.д. Що відбувається? Проходить день за днем, місяць за місяцем і все нові і нові факти, донесённие шляхом реклами і «сарафанне радіо», тільки підвищують рівень довіри до фінансової піраміди (Апостериорная байєсівську переоцінка у зв'язку з подіями, що відбулися!). Тобто, в очах вкладників відбувається постійне збільшення ймовірності того, що «Це серйозна контора»; при цьому ймовірність протилежної гіпотези ( «Це чергові кидали»), Само собою, зменшується і зменшується. Подальше, думаю, зрозуміло. Примітно, що зароблена репутація дає організаторам час успішно сховатися від Івана Васильовича, який залишився не тільки без партії болтів, а й без штанів.

До не менш цікавим прикладів ми повернемося трохи пізніше, а поки на черзі, мабуть, найпоширеніший випадок з трьома гіпотезами:

завдання 7

Електролампи виготовляються на трьох заводах. 1-й завод виробляє 30% загальної кількості ламп, 2-й - 55%, а 3-й - решту. Продукція 1-го заводу містить 1% бракованих ламп, 2-го - 1,5%, 3-го - 2%. У магазин надходить продукція всіх трьох заводів. Куплена лампа виявилася з браком. Яка ймовірність того, що вона зроблена 2-м заводом?

Зауважте, що в задачах на формули Байеса в умови обов'язково фігурує якесь подіюподія, в даному випадку - покупка лампи.

Подій додалося, і рішення зручніше оформити в «швидкому» стилі.

Алгоритм точно такий же: на першому кроці знаходимо ймовірність того, що куплена лампа взагалі виявиться бракованою.

Користуючись вихідними даними, переводимо відсотки в ймовірності:
- ймовірності того, що лампа зроблена 1-м, 2-м і 3-м заводами відповідно.
контроль:

Аналогічно: - ймовірності виготовлення бракованої лампи для відповідних заводів.

За формулою повної ймовірності:

- ймовірність того, що куплена лампа виявиться з браком.

Крок другий. Нехай куплена лампа виявилася бракованою (подія відбулася)

За формулою Байєса:
- ймовірність того, що куплена бракована лампа виготовлена \u200b\u200bдругим заводом

відповідь:

Чому початкова ймовірність 2-й гіпотези після переоцінки збільшилася? Адже другий завод виробляє середні за якістю лампи (перший - краще, третій - гірше). Так чому ж зросла апостериорная ймовірність, що бракована лампа саме з 2-го заводу? Це пояснюється вже не «репутацією», а розміром. Так як завод №2 випустив найбільшу кількість ламп, то на нього (щонайменше, суб'єктивно) і нарікають: «Швидше за все, ця бракована лампа саме звідти».

Цікаво зауважити, що ймовірності 1-й і 3-й гіпотез, переоцінити в очікуваних напрямках і зрівнялися:

контроль: , Що і було потрібно перевірити.

До слова, про занижених і завищених оцінках:

завдання 8

У студентській групі 3 людини мають високий рівень підготовки, 19 осіб - середній і 3 - низький. Ймовірності успішного складання іспиту для даних студентів відповідно рівні: 0,95; 0,7 і 0,4. Відомо, що деякий студент здав іспит. Яка ймовірність того, що:

а) він був підготовлений дуже добре;
б) був підготовлений середньо;
в) був підготовлений погано.

Проведіть обчислення і проаналізуйте результати переоцінки гіпотез.

Завдання наближена до реальності і особливо правдоподібна для групи студентів-заочників, де викладач практично не знає здібностей того чи іншого студента. При цьому результат може послужити причиною досить-таки несподіваних наслідків (Особливо це стосується іспитів в 1-му семестрі). Якщо погано підготовленим студенту пощастило з квитком, то викладач з великою ймовірністю вважатиме його добре встигають або навіть сильним студентом, що принесе непогані дивіденди в майбутньому (Природно, потрібно «піднімати планку» і підтримувати свій імідж). Якщо ж студент 7 днів і 7 ночей вчив, зубрив, повторював, але йому просто не пощастило, то подальші події можуть розвиватися в самому поганому ключі - з численними перездачі і балансуванням на межі вильоту.

Що й казати, репутація - це найважливіший капітал, не випадково багато корпорацій носять імена-прізвища своїх батьків-засновників, які керували справою 100-200 років тому і прославилися своєю бездоганною репутацією.

Так, байесовский підхід до певної міри суб'єктивний, але ... так влаштоване життя!

Закріпимо матеріал заключним індустріальним прикладом, в якому я розповім про досі не зустрічалися технічних тонкощах рішення:

завдання 9

Три цеху заводу виробляють однотипні деталі, які надходять на складання до загального контейнер. Відомо, що перший цех виробляє в 2 рази більше деталей, ніж другий цех, і в 4 рази більше третього цеху. У першому цеху шлюб становить 12%, у другому - 8%, в третьому - 4%. Для контролю з контейнера береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою? Яка ймовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех?

Таки Іван Васильович знову на коні \u003d) Повинен же бути у фільму Щасливий кінець \u003d)

Рішення: На відміну від Завдань №№5-8 тут в явному вигляді поставлено питання, який дозволяється за допомогою формули повної ймовірності. Але з іншого боку, умова трохи «зашифровано», і розгадати цей ребус нам допоможе шкільний навик складати найпростіші рівняння. За «ікс» зручно прийняти найменше значення:

Нехай - частка деталей, що випускається третім цехом.

За умовою, перший цех виробляє в 4 рази більше третього цеху, тому частка 1-го цеху становить.

Крім того, перший цех виробляє виробів в 2 рази більше, ніж другий цех, а значить, частка останнього:.

Складемо і вирішимо рівняння:

Таким чином: - ймовірності того, що витягнута з контейнера деталь випущена 1-м, 2-м і 3-м цехами відповідно.

Контроль:. Крім того, буде не зайвим ще раз подивитися на фразу «Відомо, що перший цех виробляє виробів в 2 рази більше другого цеху і в 4 рази більше третього цеху» і переконатися, що отримані значення ймовірностей дійсно відповідають цій умові.

За «ікс» спочатку можна було прийняти частку 1-го або частку 2-го цеху - ймовірності вийдуть такими ж. Але, так чи інакше, найважчу ділянку пройдений, і рішення входить в накатаній колії:

З умови знаходимо:
- ймовірності виготовлення бракованої деталі для відповідних цехів.

За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що навмання витягнута з контейнера деталь виявиться нестандартною.

Питання друге: наскільки ймовірним є те, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех? Дане питання передбачає, що деталь вже залучена, і вона виявилося бракованої. Переоцінюємо гіпотезу за формулою Байеса:
- шукана ймовірність. Абсолютно очікувано - адже третій цех виробляє не тільки найменшу частку деталей, але і лідирує за якістю!

В даному випадку довелося спрощувати чотириповерховий дріб, Що в задачах на формули Байеса доводиться робити досить часто. Але для цього уроку я якось так випадково підібрав приклади, в яких багато обчислення можна провести без звичайних дробів.

Коль скоро в умови немає пунктів «а» і «бе», то відповідь краще забезпечити текстовими коментарями:

відповідь: - ймовірність того, що витягнута з контейнера деталь виявиться бракованою; - ймовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех.

Як бачите, завдання на формулу повної ймовірності та формули Байєса досить просто, і, напевно, з цієї причини в них так часто намагаються ускладнити умова, про що я вже згадував на початку статті.

Додаткові приклади є в файлі з готовими рішеннями на Ф.П.В. і формули Байєса, Крім того, напевно, знайдуться бажаючі більш глибоко ознайомитися з даною темою в інших джерелах. А тема дійсно дуже цікава - чого тільки стОит один парадокс Байеса, Який обґрунтовує той життєвий рада, що якщо у людини діагностована рідкісна хвороба, то йому має сенс провести повторне і навіть два повторних незалежних обстеження. Здавалося б, це роблять виключно від відчаю ... - а ось і ні! Але не будемо про сумне.

- ймовірність того, що довільно обраний студент складе іспит.
Нехай студент здав іспит. За формулами Байєса:
а) - ймовірність того, що студент, який здав іспит, був підготовлений дуже добре. Об'єктивна вихідна ймовірність виявляється завищеною, оскільки майже завжди деяким «середнячкам» везе з питаннями і вони відповідають дуже сильно, що викликає помилкове враження бездоганною підготовки.
б) - ймовірність того, що студент, який здав іспит, був підготовлений середньо. Вихідна ймовірність виявляється трохи завищеною, тому що студентів із середнім рівнем підготовки зазвичай більшість, крім того, сюди викладач віднесе невдало відповіли «відмінників», а зрідка і погано встигає студента, якому крупно повезло з квитком.
в) - ймовірність того, що студент, який здав іспит, був підготовлений погано. Вихідна ймовірність переоцінити в гіршу сторону. Не дивно.
Перевірка:
відповідь :

Розуміння (вивчення) ймовірностей починається там, де закінчується класичний курс теорії ймовірностей. Чомусь в школі і вузі викладають частотну (комбінаторних) ймовірність, або ймовірність того, що визначено. Людський мозок влаштований інакше. У нас є теорії (думки) з приводу всього на світі. Ми суб'єктивно оцінюємо ймовірність тих чи інших подій. Ми також можемо змінити свою думку, якщо сталося щось несподіване. Це те, що ми робимо кожен день. Наприклад, якщо ви зустрічаєтеся з подругою біля пам'ятника Пушкіну, ви розумієте, чи буде вона вчасно, запізниться на 15 хвилин або півгодини. Але вийшовши на площу з метро, \u200b\u200bі побачивши 20 см свіжого снігу, ви відновите свої ймовірності, щоб врахувати нові дані.

Такий підхід був вперше описаний Байєса і Лапласом. Хоча Лаплас, я думаю, що він не був знайомий з роботою Байеса. З незрозумілої мені причини байесовский підхід досить слабо представлений в російськомовній літературі. Для порівняння зазначу, що за запитом Байес Ozon видає 4 посилання, а Amazon - близько 1000.

Справжня замітка є перекладом невеликій англійській книги, і дасть вам інтуїтивне розуміння того, як використовувати теорему Байеса. Вона починається з визначення, а далі використовує приклади в Excel, які дозволять відстежувати весь хід міркувань.

Scott Hartshorn. Bayes 'Theorem Examples: A Visual Guide For Beginners. - 2016, 82 p.

Завантажити замітку в форматі або, приклади в форматі

Визначення теореми Байеса і інтуїтивне пояснення

теорема Байєса

де A і B - події, P (A) і P (B) - ймовірності A і B без урахування один одного, P (A | B) - умовна ймовірність події А за умови, що B істинно, P (B | A) - умовна ймовірність B, якщо А істинно.

Насправді, рівняння дещо складніше, але для більшості застосувань досить і цього. Результат обчислень - це просто нормалізоване зважене значення на основі початкового припущення. Отже, візьміть початкове припущення, зважте його по відношенню до інших початковим можливостям, нормалізуйте на основі спостереження:

В ході вирішення проблем ми будемо виконувати наступні кроки (далі вони стануть зрозумілішими):

1. Визначте, яку з ймовірностей ми хочемо обчислити, а яку ми спостерігаємо.
2. Оцініть початкові ймовірності для всіх можливих варіантів.
3. Припустивши істинність якогось початкового варіанту, розрахуйте ймовірність нашого спостереження; і так для всіх початкових варіантів.
4. Знайдіть зважену величину, як твір початкової ймовірності (крок 2) і умовної ймовірності (крок 3), і так для кожного з початкових варіантів.
5. Нормалізуйте результати: розділіть кожну зважену ймовірність (крок 4) на суму всіх зважених ймовірностей; сума нормалізованих ймовірностей \u003d 1.
6. Повторіть кроки 2-5 для кожного нового спостереження.

Приклад 1. Простий приклад з кістками

Припустимо, у вашого друга є 3 кістки: з 4, 6 і 8 гранями. Він випадковим чином вибирає одну з них, не вказує вам, кидає і повідомляє результат - 2. Обчисліть ймовірність того, що був обраний 4-гранник, 6-гранник, 8-гранник.

Крок 1. Ми хочемо обчислити вірогідність вибору 4-гранника, 6-гранника або 8-гранника. Ми спостерігаємо випало число - 2.

Крок 2. Оскільки кісток було 3, вихідна ймовірність вибору кожної з них - 1/3.

Крок 3. Спостереження - кістка впала гранню 2. Якщо був узятий 4-гранник, шанси цього рівні 1/4. Для 6-гранника шанси випадання 2-ки - 1/6. Для 8-гранника - 1/8.

Крок 4. Випадання 2-ки для 4-гранника \u003d 1/3 * 1/4 \u003d 1/12, для 6-гранника \u003d 1/3 * 1/6 \u003d 1/18, для 8-гранника \u003d 1/3 * 1/8 \u003d 1/24.

Крок 5. Загальна ймовірність випадання 2-ки \u003d 1/12 + 1/18 + 1/24 \u003d 13/72. Це число менше 1, тому що шанси кинути 2-ку менше 1. Але ми знаємо, що вже кинули саме 2-ку. Таким чином, нам потрібно розділити шанси кожного варіанта з кроку 4 на 13/72, щоб сума всіх шансів для всіх кісток лягти 2-ий дорівнювала 1. Цей процес називається нормалізацією.

Нормалізує кожну зважену ймовірність, ми знаходимо ймовірність того, що саме ця кістка була обрана:

• 4-гранник \u003d (1/12) / (13/72) \u003d 6/13
• 6-гранник \u003d (1/18) / (13/72) \u003d 4/13
• 8-гранник \u003d (1/24) / (13/72) \u003d 3/13

І це відповідь.

Коли ми почали вирішувати завдання, ми припустили, що ймовірність вибрати певну кістка дорівнює 33,3%. Після випадання 2-ки, ми розрахували, що шанси, що спочатку був обраний 4-гранник виросли до 46,1%, шанси вибору 6-гранника знизилися до 30,8%, а шанси, що був обраний 8-гранник і зовсім впали до 23,1%.

Якщо зробити ще один кидок, ми могли б використовувати нові розраховані відсотки в якості наших початкових припущень і уточнити ймовірності на основі другого спостереження.

Якщо у вас єдине спостереження, всі кроки зручно представити у вигляді таблиці:

Таблиця. 1. Покрокове рішення у вигляді таблиці (формули див. У файлі Excel на аркуші приклад 1)

Зверніть увагу:

• Якби замість 2-ки випала, наприклад, 7-ка, то шанси на кроці 3 у 4- і 6-гранника дорівнювали б нулю, і після нормалізації шанси 8-гранника склали б 100%.
• Оскільки приклад включає лише три кістки і один кидок, ми використовували прості дроби. Для більшості проблем з великою кількістю варіантів і подій легше працювати з десятковими дробами.

Приклад 2. Більше кісток. більше кидків

На цей раз у нас 6 кісток з 4, 6, 8, 10, 12 і 20 гранями. Ми вибираємо одну з них випадковим чином і кидаємо 15 разів. Яка ймовірність того, що була обрана певна кістка?

Я використовую модель в Excel (рис. 1; див. Лист приклад 2). Випадкові числа генеруються в стовпці B за допомогою функції \u003d СЛУЧМЕЖДУ (1; $ B $ 9). В даному випадку в осередку В9 обраний 8-гранник, тому випадкові числа можуть приймати значення від 1 до 8. Оскільки Excel оновлює випадкові числа після кожної зміни на аркуші, я скопіював стовпець В в буфер і вставив тільки значення в стовпець C. Тепер значення не змінюються і будуть використовуватися для наступних малюнків. (Я додав вам можливість «пограти» з вибором числа граней і випадковими кидками на аркуші Приклад 2 ігрової. Особливо цікаві результати виходять, якщо в осередку В9 встановити число 13 🙂 - Прим. Багузіна.)

Мал. 1. Генератор випадкових чисел

Крок 2. Оскільки всього шість кубиків, то ймовірність вибрати один випадковим чином дорівнює 1/6 або 0,167.

Кроки 3 і 4. Запишемо рівняння для ймовірності початкового вибору певної кістки після відповідного кидка. Як ми бачили в кінці прикладу 1, деякі кидки можуть не відповідати тим чи іншим кісткам. Наприклад, випадання 9-ки робить ймовірність 4-, 6- і 8-гранной кістки рівною нулю. Якщо ж випало «легітимне» число, то його ймовірність для даної кістки дорівнює одиниці, поділеній на число граней. Для зручності ми об'єднали кроки 3 і 4, тому ми відразу запишемо формулу для ймовірності кидка, помноженої на нормалізовану ймовірність після попереднього кидка (рис. 2):

ЯКЩО (кидок\u003e числа граней; 0; 1 / число граней * попередня нормалізована ймовірність)

Якщо ви акуратно скористаєтеся, то зможете протягнути цю формулу на всі рядки.

Мал. 2. Рівняння ймовірності; щоб збільшити зображення клікніть на ньому правою кнопкою миші і виберіть Відкрити зображення в новій вкладці

Крок 5. Останнім кроком є \u200b\u200bнормалізація результатів після кожного кидка (область L11: R28 на рис. 3).

Мал. 3. Нормалізація результатів

Отже, після 15 кидків з ймовірністю 96,4% ми можемо вважати, що спочатку вибрали 8-гранную кістка. Хоча залишаються шанси, що була обрана кістка з б про льшим числом граней: 3,4% - за 10-гранную кістка, 0,2% - за 12-гранную, 0,0001% - за 20-гранную. А от імовірність 4- і 6-гранних кісток дорівнює нулю, так як серед випали чисел були 7 і 8. Це, природно, відповідає тому, що ми ввели число 8 в осередок В9, обмеживши значення для генератора випадкових чисел.

Якщо ми побудуємо графік ймовірності кожного варіанта початкового вибору кістки, кидок за кидком, то побачимо (рис. 4):

• Після першого кидка ймовірність вибору 4-гранной кістки падає до нуля, так як відразу ж випала 6-ка. Тому лідерство захопив варіант 6-гранной кістки.
• Для кількох перших кидків 6-гранна кістка має найбільшу ймовірність, так як вона містить найменше граней серед кісток, які можуть відповідати випав значенням.
• На п'ятому кидку випала 8-ка, ймовірність 6-гранника падає до нуля, і 8-гранник стає лідером.
• Ймовірності 10-, 12- і 20-гранних кісток при перших кидках плавно зменшувалися, а потім зазнали сплеск, коли 6-гранна кістка випала з гонки. Це пов'язано з тим, що результати були нормалізовані за набагато меншою вибіркою.

Мал. 4. Зміна ймовірностей кидок за кидком

Зверніть увагу:

• Теорема Байєса для кількох подій - просто повторне множення на послідовно оновлюваних даних. Відповідь не залежить від того, в якому порядку наступали події.
• Не обов'язково нормалізувати ймовірності після кожної події. Можете зробити це один раз в самому кінці. Проблема в тому, що, якщо не займатися нормалізацією постійно, ймовірності стають такими маленькими, що Excel може працювати некоректно через помилки округлення. Таким чином, практичніше нормалізувалася на кожному кроці, ніж перевіряти, чи не підійшли ви до кордону точності Excel.

Теорема Байєса. Термінологія

• Початкова ймовірність, ймовірність кожної можливості до того, як відбулося спостереження, називається апріорної.
• Нормалізований відповідь після обчислення ймовірності для кожної точки даних (для кожного спостереження) називається апостеріорного.
• Сумарна ймовірність, що використовується для нормалізації відповіді, є константою нормалізації.
• Умовна ймовірність, тобто ймовірність кожної події, називається правдоподібністю.

Ось як ці терміни виглядають для першого прикладу (порівняй з рис. 1).

Мал. 5. Терміни теореми Байеса

Сама теорема Байеса в нових визначеннях виглядає так (порівняй з формулою 2):

Приклад 3. Нечесна монета

У вас є монета, яка, як ви підозрюєте, не є чесною. Ви кидаєте її 100 разів. Обчисліть ймовірність того, що нечесна монета впаде орлом вгору з ймовірністю 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

Звернемося до файлу Excel, лист приклад 3. В осередках В13: В112 я згенерував випадкове число від 0 до 1, і за допомогою спеціальної вставки переніс значення в стовпець С. В осередку В8 я вказав очікуваний відсоток випадінь орла для цієї нечесної монети. У стовпці D за допомогою функції ЯКЩО я перетворив ймовірності в одиниці (орли, для ймовірності р від 0,35 до 1) або в нулі (решки, для р від 0 до 0,35).

Мал. 6. Вихідні дані для підкидань нечесної монети

У мене вийшло 63 орла і 37 решек, що добре відповідає генератору випадкових чисел, якщо на вході ми встановили ймовірність орлів 65%.

Крок 1. Ми хочемо обчислити ймовірності того, що орли відносяться до кошиків 0%, 10%, ... 100%, спостерігаючи 63 орла і 37 решки при 100 кидках.

Крок 2. Є 11 початкових можливостей: ймовірності 0%, 10%, ... 100%. Будемо наївно вважати, що все початкові можливості мають рівну ймовірність, тобто 1 шанс з 11 (рис. 7). (Більш реалістично ми могли б надати початковим можливостям, розташованим в районі 50% більші ваги, ніж можливостям на краях - 0% і 100%. Але саме чудове полягає в тому, що, оскільки у нас цілих 100 підкидань, початкові ймовірності не так вже важливі!)

Крок 3 і 4. Розрахунок правдоподібності. Щоб розрахувати ймовірність після кожного підкидання в Excel використовується функція ЯКЩО. У разі, якщо випав орел, правдоподібність дорівнює добутку можливості на попередню нормовану ймовірність. Якщо випала решка, правдоподібність одно (1 мінус можливість) * попередню нормовану ймовірність (рис. 8).

Мал. 8. Правдоподібність

Крок 5. Нормалізація виконується, як і в попередньому прикладі.

Результати найбільш наочно представити у вигляді серії гістограм. Початковий графік - це завжди апріорна ймовірність. Потім кожен новий графік - ситуація після чергових 25 кидків (рис. 9). Оскільки ми задали на вході ймовірність орла 65%, представлені графіки не викликають подиву.

Мал. 9. Вірогідність варіантів після серії кидків

Що насправді означає 70% -ий шанс для можливості 0,6? Це не 70% -ий шанс, що монета точно потрапляє на 60%. Оскільки у нас був крок розміром 10% між варіантами, ми оцінюємо, що є 70% -ий шанс, що ця монета потрапить в діапазон між 55 і 65%. Рішення використовувати 11 початкових варіантів, з кроком 10% було повністю довільним. Ми могли б використовувати 101 початкову можливість з кроком 1%. В цьому випадку ми б отримали результат з максимумом при 63% (так як у нас було 63 орла) і більш плавне падіння на графіку.

Зверніть увагу, в цьому прикладі ми спостерігали більш повільну збіжність у порівнянні з Прикладом 2. Це пов'язано з тим, що різниця між монетою, перевертається 60% проти 70%, менше, ніж між кубиками з 8 і 10 гранями.

Приклад 4. Ще кістки. Але з помилками в потоці даних

Повернемося до прикладу 2. У одного в мішку кістки з 4, 6, 8, 10, 12, 20 гранями. Він виймає одну кістку випадковим чином і кидає її 80 разів. Він записує випали числа, але в 5% випадків помиляється. У цьому випадку з'являється випадкове число від 1 і 20 замість фактичного результату кидка. Після 80 кидків, як ви думаєте, яка кістка була обрана?

В якості вхідних даних в Excel (лист приклад 4) Я ввів кількість сторін (8), а також ймовірність того, що дані містять помилку (0,05). Формула для значення кидка (рис. 10):

ЯКЩО (СЛЧИС ()\u003e ймовірності помилки; СЛУЧМЕЖДУ (1; число граней); СЛУЧМЕЖДУ (1; 20))

Якщо випадкове число більше ймовірності помилки (0,05), то при цьому кидку помилки не було, так що генератор випадкових чисел вибирає значення між 1 і «задуманим» кількістю сторін кубика, в іншому випадку слід згенерувати випадкове ціле число між 1 і 20.

Мал. 10. Розрахунок значення кидка

На перший погляд, ми могли б вирішити цю проблему так само, як і в прикладі 2. Але, якщо не враховувати ймовірність помилки, ми отримаємо графік ймовірностей як на рис. 11. (Найпростіший спосіб отримати його в EXCEL - спочатку згенерувати кидки в стовпці В при значенні помилки 0,05; потім перенести значення кидків в стовпець С, і нарешті, поміняти значення в осередку В11 на 0; оскільки формули розрахунку правдоподібності в діапазоні D14 : J94 посилаються на осередок В11, ефект неврахування помилок буде досягнутий.)

Мал. 11. Обробка значення кидків без урахування ймовірності присутності помилок

Оскільки ймовірність помилки мала, а генератор випадкових чисел налаштований на 8-гранник, ймовірність останнього з кожним кидком стає домінуючою. Більш того, так як помилка може з імовірністю 40% (вісім з двадцяти) дати значення в межах 8, то значення помилки, що вплинуло на результат, з'явилося лише на 63-му кидку. Однак, якщо помилки не беруться в розрахунок, ймовірність 8-гранника звернеться в нуль, а 100% отримає 20-гранник. Зауважимо, що до 63-го кидка ймовірність 20-гранника становила всього 2 * 10 -25.

Шанси отримати помилку - 5%, а ймовірність того, що помилка дасть значення більше 8, становить 60%. Тобто, 3% кидків дадуть помилку зі значенням більше 8, яка і трапилася на кидку 63, коли було зроблено запис 17. Якщо формула правдоподібності не зважатиме на можливі помилки, ми отримаємо зліт ймовірності 20-гранника з 2 * 10 -25 до 1, як на рис. 11.

Якщо людина скрупульозно спостерігає за даними, він може виявити цю помилку і не брати до уваги помилкові значення. Для автоматизації процесу доповніть рівняння правдоподібності перевіркою на помилки. Ніколи не встановлюйте нульові ймовірності помилок, якщо ви допускаєте, що їх не можна повністю виключити. Якщо ви врахуєте ймовірності помилок, то сотні «правильних» даних не дозволять окремим помилковим значенням зіпсувати картину.

Доповнюємо рівняння функції правдоподібності перевіркою на помилки (рис. 12):

ЯКЩО ($ C15\u003e F $ 13; $ B $ 11 * 1/20 * N14; ($ B $ 11 * 1/20 + (1 $ B $ 11) / F $ 13) * N14)

Мал. 12. Функція правдоподібності з урахуванням помилок

Якщо записане значення кидка більше числа граней ($ C15\u003e F $ 13) умовну вірогідність не Обнуляємо, а зменшуємо з урахуванням ймовірності помилки ($ B $ 11 * 1/20 * N14). Якщо записане число менше числа граней, умовну ймовірність збільшуємо не в повному обсязі, а також з урахуванням можливої \u200b\u200bпомилки ($ B $ 11 * 1/20 + (1 $ B $ 11) / F $ 13) * N14). В останньому випадку вважаємо, що записане число могло з'явитися як наслідком помилки ($ B $ 11 * 1/20), так і результатом правильної записи (1 $ B $ 11) / F $ 13).

Зміна нормализованной ймовірності стає більш стійким до можливих помилок (рис. 13).

Мал. 13. Зміна нормализованной ймовірності від кидка до кидка

У цьому прикладі 6-гранна кістка спочатку є фаворитом, тому що перші 3 кидка - 5, 6, 1. Потім випаде 7-ка і ймовірність 8-гранника йде вгору. Однак, поява 7-но не обнуляє ймовірність 6-гранника, тому що 7-ка може бути помилкою. І наступні дев'ять кидків начебто підтверджують це, коли випадають значення не більше 6: ймовірність 6-гранника знову починає рости. Проте, на 14-му і 15-му кидках знову випадають 7-ки, і ймовірність 6-гранной кістки наближається до нуля. Пізніше, з'являються значення 17 і 19, які «система» визначає, як явно помилкові.

Приклад 4A. Що робити, якщо у вас дійсно висока частота помилок?

Цей приклад аналогічний попередньому, але частота помилок збільшена з 5% до 75%. Оскільки дані стали менш релевантними, ми збільшили число кидків до 250. Застосовуючи ті ж рівняння, що і в прикладі 4 отримаємо наступний графік:

Мал. 14. Нормалізована ймовірність при 75% помилкових записів

З настільки високою частотою помилок потрібно набагато більше кидків. До того ж результат менш визначено, і 6-гранник періодично стає більш імовірним. Якщо у вас ще більш висока частота помилок, наприклад, 99%, все одно можна отримати правильну відповідь. Очевидно, чим вище частота помилок, тим більше кидків потрібно зробити. Для 75% помилок ми отримуємо одне правильне значення з чотирьох. Якщо ж ймовірність помилки складе 99%, ми б отримали лише одне правильне значення зі ста. Нам, ймовірно, знадобиться в 25 разів більше даних, щоб виявити домінуючий варіант.

А що якщо ви не знаєте ймовірність помилки? Рекомендую «пограти» з прикладами 4 і 4А, встановлюючи в осередку В11 різні значення від дуже маленьких (наприклад, 2 * 10 -25 для прикладу 4) до дуже великих (наприклад, 90% для прикладу 4А). Ось основні висновки:

• Якщо оцінка частоти помилок вище, ніж фактична частота помилок, результати будуть сходитися повільніше, але все одно сходяться до правильної відповіді.
• Якщо ви оцінюєте частоту помилок занадто низько, існує ризик того, що результати не будуть правильними.
• Чим менше фактична частота помилок, тим більше місця для маневру у вас є в вгадуванні частоти помилок.
• Чим вище фактична частота помилок, тим більше даних вам потрібно.

Приклад 5. Проблема німецького танка

У цьому завданні ви намагаєтеся оцінити, скільки танків було вироблено, виходячи з серійних номерів захоплених танків. Теорема Байєса була використана союзниками під час Другої світової війни, і в кінцевому підсумку дала результати нижчі, ніж ті, про які повідомляла розвідка. Після війни записи показали, що статистичні оцінки з використанням теореми Байєса були більш точними. (Цікаво, що я написав замітку на цю тему, ще не знаючи, що таке ймовірності по Байеса; см.. - Прим. Багузіна.)

Отже, ви аналізуєте серійні номери, зняті з розбитих або захоплених танків. Мета - оцінити, скільки танків було вироблено. Ось що ви знаєте про серійні номери танків:

• Вони починаються з 1.
• Це цілі числа без пропусків.
• Ви знайшли наступні серійні номери: 30, 70, 140, 125.

Нас цікавить відповідь на питання: яке максимальне число танків? Я почну від 1000 танків. Але хтось інший міг почати з 500 танків або 2000 танків, і ми можемо отримати різні результати. Я збираюся аналізувати кожні 20 танків, що означає, що у мене є 50 початкових можливостей для кількості танків. Можна ускладнити модель, і проаналізувати для кожного окремого числа в Excel, але відповідь сильно не зміниться, а аналіз значно ускладниться.

Я припускаю, що всі можливості кількості танків рівні (тобто ймовірність наявності 50 танків, така ж, як і 500). Зверніть увагу, що в файлі Excel більше стовпців, ніж показано на малюнку. Умовна ймовірність для функції правдоподібності дуже схожа на умовну ймовірність з Прикладу 2:

• Якщо спостережуваний серійний номер більше максимального серійного номера для цієї групи, то ймовірність наявності такої кількості танків дорівнює 0.
• Якщо спостережуваний серійний номер менше максимального серійного номера для цієї групи, ймовірність є одиниця, поділена на число танків, помножена на нормалізовану ймовірність на попередньому кроці (рис. 15).

Мал. 15. Умовні ймовірності розподілу танків по групам

Нормалізовані ймовірності виглядають наступним чином (рис. 16).

Мал. 16. Нормалізовані ймовірності кількості танків

Спостерігається великий сплеск ймовірності для максимально спостережуваного серійного номера. Після цього відбувається асимптотическое зниження до нуля. Для 4 виявлених серійних номерів максимум відповідає 140 танкам. Але, не дивлячись на те, що це число є найбільш імовірним відповіддю, це не найкраща оцінка, так як вона майже напевно недооцінює кількість танків.

Якщо взяти середньозважену кількість танків, тобто підсумовувати попарно перемножені групи і їх ймовірності для чотирьох танків, застосувавши формулу:

ОКРУГЛ (СУММПРОИЗВ (BD9: DA9; BD14: DA14); 0)

ми отримуємо найкращу оцінку рівну 193.

Якби ми спочатку виходили з 2000 року танків, середньозважене значення було б 195 танків, що по суті нічого не міняє.

Приклад 6. Тестування на наркотики

Ви знаєте, що 0,5% населення вживає наркотики. У вас є тест, який дає 99% справжніх позитивних результатів для вживають наркотик, і 98% справжніх негативних результатів для не вживають. Ви випадковим чином вибираєте людини, проводите тест і отримуєте позитивний результат. Яка ймовірність того, що людина насправді вживає наркотики?

Для нашого випадкового індивідуума первісна ймовірність того, що він є споживачем наркотиків, дорівнює 0,5%, і ймовірність того, що він не є споживачем наркотиків становить 99,5%.

Наступний крок - розрахунок умовної ймовірності:

• Якщо випробуваний вживає наркотики, то тест буде позитивним в 99% випадків і негативним в 1% випадків.
• Якщо випробуваний не вживає наркотики, то тест буде позитивним в 2% випадків і негативним в 98% випадків.

Функції правдоподібності для вживають і не вживають наркотики представлені на рис. 17.

Мал. 17. Функції правдоподібності: (а) для вживають наркотики; (Б) для не вживають наркотики

Після нормалізації, ми бачимо, що, незважаючи на позитивний результат тесту, ймовірність того, що цей випадковий чоловік, вживає наркотики, становить всього 0,1992 або 19,9%. Цей результат дивує багатьох людей, тому що в кінці кінців, точність тесту досить висока - цілих 99%. Оскільки початкова ймовірність була лише 0,5%, навіть великого збільшення цієї ймовірності було недостатньо, щоб зробити відгук дійсно великим.

Інтуїція більшості людей не враховує початкову ймовірність. Навіть якщо умовна ймовірність дійсно висока, дуже низька початкова ймовірність може призвести до низької кінцевої ймовірності. Інтуїція більшості людей налаштована навколо початкової ймовірності 50/50. Якщо це так, і результат тесту позитивний, то нормалізована ймовірність складе очікувані 98%, підтверджуючи, що людина вживає наркотики (рис. 18).

Мал. 18. Результат тесту при початкової можливості 50/50

Альтернативний підхід до пояснення подібних ситуацій см..

Бібліографію по теоремі Байеса дивись в кінці замітки.

якщо подія А може відбутися тільки при виконанні однієї з подій, які утворюють повну групу несумісних подій , То ймовірність події А обчислюється за формулою

Ця формула називається формулою повної ймовірності .

Знову розглянемо повну групу несумісних подій, ймовірності появи яких . подія А може відбутися тільки разом з будь-яким з подій, які будемо називати гіпотезами . Тоді за формулою повної ймовірності

якщо подія А відбулося, то це може змінити ймовірності гіпотез .

По теоремі множення ймовірностей

.

Аналогічно, для інших гіпотез

Отримана формула називається формулою Байеса (формулою Бейеса ). Ймовірності гіпотез називаються апостеріорними можливостями , тоді як - апріорними ймовірностями .

Приклад. У магазин надійшла нова продукція з трьох підприємств. Процентний склад цієї продукції наступний: 20% - продукція першого підприємства, 30% - продукція другого підприємства, 50% - продукція третього підприємства; далі, 10% продукції першого підприємства вищого сорту, на другому підприємстві - 5% і на третьому - 20% продукції вищого сорту. Знайти ймовірність того, що випадково куплена нова продукція виявиться вищого гатунку.

Рішення. позначимо через В подія, що полягає в тому, що буде куплена продукція вищого гатунку, через позначимо події, які полягають у купівлі продукції, що належить відповідно до першого, другого і третього підприємствам.

Можна застосувати формулу повної ймовірності, причому в наших позначеннях:

Підставляючи ці значення в формулу повної ймовірності, отримаємо шукану ймовірність:

Приклад. Один з трьох стрільців викликається на лінію вогню і виробляє два постріли. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,3, для другого - 0,5; для третього - 0,8. Мішень не уражена. Знайти ймовірність того, що постріли зроблені першим стрільцем.

Рішення. Можливі три гіпотези:

На лінію вогню викликаний перший стрілок,

На лінію вогню викликаний другий стрілок,

На лінію вогню викликаний третій стрілок.

Так як виклик на лінію вогню будь-якого стрілка равновозможен, то

В результаті досвіду спостерігалося подія В - після проведених пострілів мішень не уражена. Умовні ймовірності цієї події при зроблених гіпотезах рівні:

за формулою Байеса знаходимо ймовірність гіпотези після досвіду:

Приклад. На трьох верстатах-автоматах обробляються однотипні деталі, що надходять після обробки на загальний конвеєр. Перший верстат дає 2% браку, другий - 7%, третій - 10%. Продуктивність першого верстата в 3 рази більше продуктивності другого, а третього - в 2 рази менше, ніж другого.

а) Який відсоток браку на конвеєрі?

б) Які частки деталей кожного верстата серед бракованих деталей на конвеєрі?

Рішення. Візьмемо з конвеєра навмання одну деталь і розглянемо подія А - деталь бракована. Воно пов'язане з гіпотезами щодо того, де була оброблена ця деталь: - взята навмання деталь оброблена на-му верстаті ,.

Умовні ймовірності (в умові завдання вони дані у формі відсотків):

Залежності між продуктивністю верстатів означають наступне:

А так як гіпотези утворюють повну групу, то.

Вирішивши отриману систему рівнянь, знайдемо:.

а) Повна ймовірність того, що взята навмання з конвеєра деталь - бракована:

Іншими словами, в масі деталей, що сходять з конвеєра, шлюб становить 4%.

б) Нехай відомо, що взята навмання деталь - бракована. Користуючись формулою Байеса, знайдемо умовні ймовірності гіпотез:

Таким чином, в загальній масі бракованих деталей на конвеєрі частка першого верстата становить 33%, другого - 39%, третього - 28%.

практичні завдання

Завдання 1

Рішення задач з основних розділів теорії ймовірності

Мета - отримання практичних навичок у вирішенні завдань по

розділах теорії ймовірностей

Підготовка до виконання практичного завдання

Ознайомитися з теоретичним матеріалом з даної тематики, вивчити зміст теоретичного, а також відповідні розділи в літературних джерелах

Порядок виконання завдання

Вирішити 5 завдань відповідно до номера варіанта завдання, наведеного в таблиці 1.

Варіанти вихідних даних

Таблиця 1

	номер завдання

Склад звіту за завданням 1

5 вирішених завдань згідно з номером варіанту.

Завдання для самостійного рішення

1 .. Чи є випадками наступні групи подій: а) досвід - кидання монети; події: А1- поява герба; А2- поява цифри; б) досвід - кидання двох монет; події: В 1- поява двох гербів; В 2 -поява двох цифр; У 3- поява одного герба і однієї цифри; в) досвід - кидання грального кубика; події: З 1 -поява не більше двох очок; С2 -поява трьох або чотирьох очок; С3 -поява не менше п'яти очок; г) досвід - постріл по мішені; події: D1- потрапляння; D2 -промах; д) досвід - два постріли по мішені; події: Е0- жодного попадання; Е1- одне влучення; Е2- два попадання; е) досвід - виймання двох карт з колоди; події: F1 -поява двох червоних карток; F2- поява двох чорних карт?

2. В урні A білих і B чорних куль. З урни виймають навмання одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля - білий.

3. В урні A білих і B чорних куль. З урни виймають одну кулю і відкладають в сторону. Ця куля виявився білим. Після цього з урни беруть ще один шар. Знайти ймовірність того, що ця куля теж буде білим.

4. В урні A білих і B чорних куль. З урни вийняли одну кулю і, не дивлячись, відклали в сторону. Після цього з урни взяли ще одну кулю. Він виявився білим. Знайти ймовірність того, що перший шар, відкладений убік, - теж білий.

5. З урни, що містить A білих і B чорних куль, виймають один за одним всі кулі, крім одного. Знайти ймовірність того, що останній залишився в урні куля буде білим.

6. З урни, в якій A білих куль і B чорних, виймають поспіль всі наявні в ній кулі. Знайти ймовірність того, що другим по порядку буде вийнято білу кулю.

7. В урні A білих і B чорних куль (A > 2). З урни виймають відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

8. В урні A білих і B чорних куль (A\u003e 2, B\u003e 3). З урни виймають відразу п'ять куль. знайти ймовірність ртого, що два з них будуть білими, а три чорними.

9. У партії, яка складається з X виробів, є Iдефектних. З партії вибирається для контролю I виробів. знайти ймовірність ртого, що з них рівно J виробів будуть дефектними.

10. Гральний кубик кидається один раз. Знайти ймовірність наступних подій: А -поява парного числа очок; В- поява не менше 5 очок; С-поява не більше 5 очок.

11. Гральний кубик кидається два рази. знайти ймовірність ртого, що обидва рази з'явиться однакове число очок.

12. Впадають одночасно дві гральні кістки. Знайти ймовірності наступних подій: А- сума випали очок дорівнює 8; В- твір випали очок дорівнює 8; С-сума випали очок більше, ніж їх твір.

13. Впадають дві монети. Яка з подій є більш імовірним: А -монети ляжуть однаковими сторонами; В -монети ляжуть різними сторонами?

14. В урні A білих і B чорних куль (A > 2; B > 2). З урни виймають одночасно дві кулі. Яка подія більш ймовірно: А- кулі одного кольору; В -кулі різних кольорів?

15. Троє гравців грають в карти. Кожному з них здано по 10 карт і дві карти залишені в прикупці. Один з гравців бачить, що у нього на руках 6 карт бубновою масті і 4 - НЕ бубновою. Він скидає дві карти з цих чотирьох і бере собі прикуп. Знайти ймовірність того, що він прикупить дві бубнові карти.

16. З урни, що містить пперенумерованих куль, навмання виймають один за одним всі знаходяться в ній кулі. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль йтимуть по порядку: 1, 2, ..., п.

17. Та ж урна, що і в попередній задачі, але кожен шар після виймання вкладається назад і перемішується з іншими, а його номер записується. Знайти ймовірність того, що буде записана природна послідовність номерів: 1, 2, ..., п.

18. Повна колода карт (52 листа) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 аркушів. Знайти ймовірності наступних подій: А -в кожній з пачок виявиться по два туза; В- в одній з пачок не буде жодного туза, а в іншій - всі чотири; З-воднією з пачок буде один туз, а в іншій - три.

19. У розіграші першості з баскетболу беруть участь 18 команд, з яких випадковим чином формуються дві групи по 9 команд в кожній. Серед учасників змагань є 5 команд

екстра-класу. Знайти ймовірності наступних подій: А -всі команди екстра-класу потраплять в одну і ту ж групу; В- дві команди екстра-класу потраплять в одну з груп, а три - в іншу.

20. На дев'яти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дві з них виймаються навмання і укладаються на стіл в порядку появи, потім читається отримане число, наприклад 07 (сім), 14 ( чотирнадцять) і т. п. Знайти ймовірність того, що число буде парним.

21. На п'яти картках написані цифри: 1, 2, 3, 4, 5. Дві з них, одна за одною, виймаються. Знайти ймовірність того, що число на другій картці буде більше, ніж на першій.

22. Те ж питання, що в завданні 21, але перша картка після виймання кладеться назад і перемішується з іншими, а що стоїть на ній число записується.

23. В урні A білих, B чорних і C червоних куль. З урни виймають один за одним всі знаходяться в ній кулі і записують їх кольору. Знайти ймовірність того, що в цьому списку білий колір з'явиться раніше чорного.

24. Є дві урни: у першій A білих і B чорних куль; в другій C білих і D чорних. З кожної урни виймається по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

25. В умовах задачі 24 знайти ймовірність того, що вийняті кулі будуть різних кольорів.

26. У барабані револьвера сім гнізд, з них в п'яти закладені патрони, а два залишені порожніми. Барабан приводиться в обертання, в результаті чого проти стовбура випадковим чином виявляється одне з гнізд. Після цього натискається спусковий гачок; якщо осередок була порожня, пострілу не відбувається. знайти ймовірність ртого, що, повторивши такий досвід два рази поспіль, ми обидва рази не вистрілила.

27. У тих же умовах (див. Задачу 26) знайти ймовірність того, що обидва рази постріл відбудеться.

28. В урні є А; куль, позначених номерами 1, 2, ..., доз урни Iраз виймається по одній кулі (I<к), номер кулі записується і куля кладеться назад в урну. знайти ймовірність ртого, що всі записані номери будуть різні.

29. З п'яти букв розрізної азбуки складено слово «книга». Дитина, яка не вміє читати, розсипав ці букви і потім зібрав в довільному порядку. знайти ймовірність ртого, що у нього знову вийшло слово «книга».

30. З букв розрізної азбуки складено слово «ананас». Дитина, яка не вміє читати, розсипав ці букви і потім зібрав в довільному порядку. знайти ймовірність ртого, що у нього знову слово «ананас

31. З повної колоди карт (52 аркуша, 4 масті) виймається відразу кілька карт. Скільки карт потрібно вийняти для того, щоб з ймовірністю, більшою ніж 0,50, стверджувати, що серед них будуть карти однієї і тієї ж масті?

32. Nлюдина випадковим чином розсаджуються за круглим столом (N\u003e2). знайти ймовірність ртого, що два фіксованих особи Аі Вопиняться поруч.

33. Таке ж завдання (див 32), але стіл прямокутний, і N людина розсідаються випадково уздовж однієї з його сторін.

34. На діжках лото написані числа від 1 до N.З цих Nдіжок випадково вибираються два. Знайти ймовірність того що на обох діжках написані числа, менші ніж k (2

35. На діжках лото написані числа від 1 до N.З цих Nдіжок випадково вибираються два. Знайти ймовірність того що на одному з діжок написано число, більше ніж k , а на іншому - менше ніж k . (2

36. Батарея з Мзнарядь веде вогонь по групі, що складається з Nцілей (М< N). Знаряддя вибирають собі цілі послідовно, випадковим чином, за умови, що ніякі дві гармати стріляти по одній меті не можуть. знайти ймовірність ртого, що будуть обстріляні мети з номерами 1, 2, ..., М.

37 .. Батарея, що складається з дознарядь, веде вогонь по групі, що складається з Iлітаків (до< 2). Кожне знаряддя вибирає собі за мету випадково і незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що всі дознарядь стрілятимуть по одній і тій же меті.

38. В умовах попередньої задачі знайти ймовірність того, що всі знаряддя стрілятимуть по різним цілям.

39. Чотири кульки випадковим чином розкидаються по чотирьом лунках; кожен кульку потрапляє в ту або іншу лунку з однаковою ймовірністю і незалежно від інших (перешкод до потрапляння в одну і ту ж лунку декількох кульок немає). Знайти ймовірність того, що в одній з лунок виявиться три кульки, в іншій - один, а в двох інших лунках кульок не буде.

40. Маша посварилася з Петром і не хоче їхати з ним в одному автобусі. Від гуртожитку до інституту з 7 до 8 відправляється 5 автобусів. Чи не встиг на ці автобуси спізнюється на лекцію. Скількома способами Маша і Петя можуть доїхати до інституту на різних автобусах і не запізнитися на лекцію?

41. У інформаційно-технологічному управлінні банку працює 3 аналітика, 10 програмістів і 20 інженерів. Для понаднормової в святковий день начальник управління повинен виділити одного співробітника. Скількома способами це можна зробити?

42. Начальник служби безпеки банку повинен щодня розставляти 10 охоронців по 10 постів. Скількома способами це можна зробити?

43. Новий президент банку повинен призначити 2 нових віце президентів з числа 10 директорів. Скількома способами це можна зробити?

44. Одна з воюючих сторін захопив 12, а інша - 15 полонених. Скількома способами можна обміняти 7 військовополонених?

45. Петя і Маша колекціонують відеодиски. У Петі є 30 комедій, 80 бойовиків і 7 мелодрам, у Маші - 20 комедій, 5 бойовиків і 90 мелодрам. Скількома способами Петя і Маша можуть обмінятися 3 комедіями, 2 бойовиками і 1 мелодрамою?

46. \u200b\u200bВ умовах задачі 45 скількома способами Петя і Маша можуть обмінятися 3 мелодрамами та 5 комедіями?

47. В умовах задачі 45 скількома способами Петя і Маша можуть обмінятися 2 бойовиками і 7 комедіями.

48. Одна з воюючих сторін захопив 15, а інша - 16 полонених. Скількома способами можна обміняти 5 військовополонених?

49. Скільки автомобілів можна зареєструвати в 1 місті, якщо номер має 3 цифри і 3 літери (тільки ті чиє написання збігається з латинськими - А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х )?

50. Одна з воюючих сторін захопив 14, а інша - 17 полонених. Скількома способами можна обміняти 6 військовополонених?

51. Скільки різних слів можна скласти переставляючи букви в слові «мама»?

52. У кошику 3 червоних і 7 зелених яблук. З неї виймають одне яблуко. Знайти ймовірність того, що воно буде червоним.

53. У кошику 3 червоних і 7 зелених яблук. З неї вийняли і відклали в сторону одне зелене яблуко. Після чого з кошика виймають ще 1 яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко буде зеленим?

54. У партії, яка складається з 1000 виробів, 4 мають дефекти. Для контролю вибирають партію з 100 виробів. Яка ймовірність ТОО, що в контрольній партії не виявиться бракованих?

56.В 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 5 з 36». Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав жодного числа.

57.В 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 5 з 36». Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав одне число.

58.В 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 5 з 36». Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав 3 числа.

59.В 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 5 з 36». Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав всі 5 чисел.

60.В 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 6 із 49». Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав 2 числа.

61. У 80-і роки в СРСР була популярна гра «спортлото 6 із 49». Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав жодного числа.

62.В 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 6 із 49». Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різного ґатунку якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражної комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав всі 6 чисел.

63. У партії, яка складається з 1000 виробів, 4 мають дефекти. Для контролю вибирають партію з 100 виробів. Яка ймовірність ТОО, що в контрольній партії виявиться тільки 1 бракована?

64. Скільки різних слів можна скласти переставляючи букви в слові «книга»?

65. Скільки різних слів можна скласти переставляючи букви в слові «ананас»?

66. У ліфт увійшло 6 осіб, а гуртожиток має 7 поверхів. Яка ймовірність того що все 6 осіб вийдуть на одному поверсі?

67. У ліфт увійшло 6 осіб, будівля має 7 поверхів. Яка ймовірність того що все 6 осіб вийдуть на різних поверхах?

68. Під час грози на ділянці між 40 і 79 км лінії електропередачі стався обрив проводу. Вважаючи що обрив однаково можливий в будь-якій точці, знайти ймовірність того що обрив стався між 40-м і 45-м кілометрами.

69. На 200 кілометровій ділянці газопроводу відбувається витік газу між компресорними станціями А і В, яка однаково можлива в будь-якій точці трубопроводу. наскільки ймовірним є те що витік відбувається не далі 20 км від А

70. На 200 кілометровій ділянці газопроводу відбувається витік газу між компресорними станціями А і В, яка однаково можлива в будь-якій точці трубопроводу. наскільки ймовірним є те що витік відбувається ближче до А, ніж до В

71. Радар інспектора ДПС має точність 10 км \\ год і округлює в найближчу сторону. Що відбувається частіше - округлення на користь водія або інспектора?

72. Маша витрачає на дорогу до інституту від 40 до 50 хвилин, причому будь-який час в цьому проміжку є рівно можливих. Яка ймовірність того що вона витратить на дорогу від 45 до 50 хвилин.

73. Петя і Маша домовилися зустрітися біля пам'ятника Пушкіну з 12 до 13 годин, однак ніхто не зміг вказати точно час приходу. Вони домовилися чекати один одного 15 хвилин. Яка ймовірність їх зустрічі?

74. Рибалки зловили в ставку 120 риб, з них 10 виявилися окільцьованими. Яка ймовірність зловити окільцьовану рибу?

75. З кошика містить 3 червоних і 7 зелених яблук виймають все яблука по черзі. наскільки ймовірним є те що 2-е яблуко виявиться корисним?

76. З кошика містить 3 червоних і 7 зелених яблук виймають все яблука по черзі. наскільки ймовірним є те що останнє яблуко виявиться зеленим?

77. Студенти вважають що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя і Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Яка ймовірність того, що Маші дістався «хороший» квиток?

78. Студенти вважають що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя і Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Яка ймовірність того, що їм обом дістався «хороший» квиток?

79. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор задає 3 питання. Яка ймовірність того що Маша відповість на 3 питання?

80. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор задає 3 питання. Яка ймовірність того що Маша не відповість ні на одне питання?

81. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор задає 3 питання. Яка ймовірність того що Маша відповість на 1 питання?

82. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, решта - фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 і 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

83. ймовірність того що тижневий оборот торговця морозивом перевищить 2000 руб. становить 80% при ясній погоді, 50% при мінливій хмарності і 10% при дощовій погоді. Яка ймовірність що оборот перевищить 2000 руб. якщо ймовірність ясної погоди - 20%, а мінливій хмарності і дощів - по 40%.

84. В урні А білих (б) і В чорних (ч) куль. З урни виймають (одночасно або послідовно) два кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

85. В урні А білих і В

86. В урні А білих і В

87. В урні А білих і В чорних куль. З урни виймається одна куля, відзначається його колір і куля повертається в урну. Після цього з урни береться ще один шар. Знайти ймовірність того, що ці кулі будуть різних кольорів.

88. Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі; після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів гра від неграючі не відрізняють. Яка ймовірність того, що після трьох ігор в коробці не залишиться неграючі м'ячів?

89. Йдучи з квартири, N кожен гість одягне свої калоші;

90. Йдучи з квартири, Nгостей, що мають однакові розміри взуття, надягають калоші в темряві. Кожен з них може відрізнити праву калошу від лівої, але не може відрізнити свою від чужої. Знайти ймовірність того що кожен гість, надіне калоші, що відносяться до однієї парі (може бути і не свої).

91. В умовах задачі 90найті ймовірність того що кожен піде в своїх калошах якщо гості не можуть відрізнити правої калоші від лівої і просто беруть перші-ліпші дві калоші.

92. Ведеться стрілянина по літаку, уразливими частинами якого є два двигуна і кабіна пілота. Для того щоб вразити (вивести з ладу) літак, досить вразити обидва двигуни разом або кабіну пілота. За даних умов стрільби ймовірність ураження першого двигуна дорівнює p1другого двигуна р2,кабіни пілота р3.Частини літака уражаються незалежно один від одного. Знайти ймовірність того, що літак буде вражений.

93. Два стрільці, незалежно один від іншого, роблять по два постріли (кожен по своїй мішені). Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця p1для другого р2.Виграв змагання вважається той стрілок, в мішені якого буде більше пробоїн. знайти ймовірність Рхтого, що виграє перший стрілець.

94. за космічним об'єктом, об'єкт виявляється з імовірністю р.Виявлення об'єкта в кожному циклі відбувається незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що при пциклах об'єкт буде виявлений.

95. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної азбуки. П'ять карток виймаються навмання одна за одною і укладаються на стіл в порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово «кінець».

96. Два кульки розкидаються випадково і незалежно один від одного по чотирьом осередкам, розташованим одна за одною по прямій лінії. Кожен кульку з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну клітинку. Знайти ймовірність того, що кульки потраплять в сусідні осередки.

97. Проводиться стрільба по літаку запальними снарядами. Пальне на літаку зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за іншим. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, досить потрапити двома снарядами або в один і той же бак, або в сусідні баки. Відомо, що в область баків потрапило два снаряда. Знайти ймовірність того, що літак загориться.

98. З повної колоди карт (52 листа) виймаються відразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

99. З повної колоди карт (52 листа) виймаються відразу чотири карти, але кожна карта після виймання повертається в колоду. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей ..

100. При включенні запалювання двигун починає працювати з ймовірністю р.

101. Прилад може працювати в двох режимах: 1) нормальному і 2) ненормальному. Нормальний режим спостерігається в 80% всіх випадків роботи приладу; ненормальний - в 20%. Ймовірність виходу приладу з ладу за час tв нормальному режимі дорівнює 0,1; в ненормальному - 0,7. Знайти повну ймовірність рвиходу приладу з ладу.

102. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го і 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 і 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того що куплений бракований товар надійшов від другого постачальника.

103.Поток автомобілів повз АЗС складається на 60% з вантажних і на 40% з легкових автомобілів. Яка ймовірність знаходження на АЗС вантажного автомобіля, якщо ймовірність його заправки 0.1, а легкового - 0.3

104. Потік автомобілів повз АЗС складається на 60% з вантажних і на 40% з легкових автомобілів. Яка ймовірність знаходження на АЗС вантажного автомобіля, якщо ймовірність його заправки 0.1, а легкового - 0.3

105. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го і 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 і 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того що куплений бракований товар надійшов від 1-го постачальника.

106. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної азбуки. П'ять карток виймаються навмання одна за одною і укладаються на стіл в порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово «книга».

107. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го і 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 і 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того що куплений бракований товар надійшов від 1-го постачальника.

108. Два кульки розкидаються випадково і незалежно один від одного по чотирьом осередкам, розташованим одна за одною по прямій лінії. Кожен кульку з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну клітинку. Знайти ймовірність того, що 2 кульки потраплять в одну клітинку

109. При включенні запалювання двигун починає працювати з ймовірністю р. Знайти ймовірність того, що двигун почне працювати при другому включенні запалювання;

110. Виробляється стрілянина по літаку запальними снарядами. Пальне на літаку зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за іншим. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, досить потрапити двома снарядами в один і той же бак. Відомо, що в область баків потрапило два снаряда. Знайти ймовірність того, що літак загориться

111. Виробляється стрілянина по літаку запальними снарядами. Пальне на літаку зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за іншим. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, досить потрапити двома снарядами в сусідні баки. Відомо, що в область баків потрапило два снаряда. Знайти ймовірність того, що літак загориться

112.В урні А білих і В чорних куль. З урни виймається одна куля, відзначається його колір і куля повертається в урну. Після цього з урни береться ще один шар. Знайти ймовірність того, що обидва вийняті кулі будуть білими.

113. В урні А білих і В чорних куль. З урни виймаються відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі будуть різних кольорів.

114. Два кульки розкидаються випадково і незалежно один від одного по чотирьом осередкам, розташованим одна за одною по прямій лінії. Кожен кульку з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну клітинку. Знайти ймовірність того, що кульки потраплять в сусідні осередки.

115. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор задає 3 питання. Яка ймовірність того що Маша відповість на 2 питання?

116. Студенти вважають що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя і Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Яка ймовірність того, що їм обом дістався «хороший» квиток?

117. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, решта - фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 і 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

118. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної азбуки. П'ять карток виймаються навмання одна за одною і укладаються на стіл в порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово «кінець».

119 Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, решта - фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 і 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

120. ймовірність того що тижневий оборот торговця морозивом перевищить 2000 руб. становить 80% при ясній погоді, 50% при мінливій хмарності і 10% при дощовій погоді. Яка ймовірність що оборот перевищить 2000 руб. якщо ймовірність ясної погоди - 20%, а мінливій хмарності і дощів - по 40%.