Площа трикутника по катету і розі. Як знайти площу прямокутного трикутника незвичайним способом

На уроках геометрії в середній школі всім нам говорили про те, трикутника. Однак в рамках шкільної програми ми отримуємо тільки найнеобхідніші знання та вчимося найбільш поширеним і стандартних способів обчислень. Чи існують незвичайні способи знаходження цієї величини?

В якості введення згадаємо, який трикутник вважається прямокутним, а також позначимо поняття площі.

Прямокутним трикутником називають замкнуту геометричну фігуру, один з кутів якої дорівнює 90 0. Невід'ємними поняттями у визначенні є катети і гіпотенуза. Під катетами увазі дві сторони, які в точці з'єднання утворюють прямий кут. Гіпотенуза - сторона, протилежна прямому куті. Прямий трикутник може бути рівнобедреним (дві його сторони будуть мати однакову величину), Але ніколи не буде рівностороннім (всі сторони однієї довжини). Визначення висоти, медіани, векторів і інших математичних термінів докладно розбирати не будемо. Їх легко знайти в довідниках.

Площа прямого трикутника. На відміну від прямокутників, правило про

творі сторін у визначенні не діє. Якщо говорити сухою мовою термінів, то під площею трикутника розуміють властивість цієї фігури займати частину площині, виражене числом. Досить складно до сприйняття, погодьтеся. Не будемо намагатися глибоко вникнути в визначення, наша мета не в цьому. Перейдемо до головного - як знайти площу прямокутного трикутника? Самі обчислення проводити не будемо, зазначимо лише формули. Для цього визначимося з позначеннями: A, B, C - сторони трикутника, катети - AB, BC. Кут ACB - прямий. S - площа трикутника, h n n - висота трикутника, де nn - сторона, на яку вона опущена.

Спосіб 1. Як знайти площу прямокутного трикутника, якщо відома величина його катетів

Спосіб 2. Знаходимо площа рівнобедреного прямокутного трикутника

Спосіб 3. Обчислення площі через прямокутник

Добудовуємо прямокутний трикутник до квадрата (якщо трикутник

рівнобедрений) або прямокутника. Отримаємо простий чотирикутник, складений з 2-х ідентичних прямокутних трикутників. У цьому випадку значення площі одного з них буде дорівнює половині площі отриманої фігури. S прямокутника обчислюємо твором сторін. Позначимо цю величину M. Шукане значення площі дорівнюватиме половині M.

Спосіб 4. «Піфагорови штани». Знаменита теорема Піфагора

Ми всі пам'ятаємо її формулювання: «сума квадратів катетів ...». Але не всі можуть

сказати, до чого тут якісь «штани». Справа в тому, що спочатку Піфагор вивчав взаємозв'язок побудованих на сторонах прямого трикутника. Виявивши закономірності в співвідношенні сторін квадратів, він зміг вивести і відому всім нам формулу. Її можна застосовувати в разі, коли невідома величина однієї зі сторін.

Спосіб 5. Як знайти площу прямокутного трикутника за формулою Герона

Теж досить простий спосіб розрахунку. Формула передбачає вираз площі трикутника через числові значення його сторін. Для розрахунків необхідно знати величини всіх сторін трикутника.

S \u003d (p-AC) * (p-BC), де p \u003d (AB + BC + AC) * 0.5

Крім наведених, існує безліч інших способів знайти величину такої загадкової фігури, як трикутник. Серед них: обчислення методом вписаною або описаного кола, обчислення за допомогою координат вершин, використання векторів, абсолютної величини, синусів, тангенсів.

Трикутник - плоска геометрична фігура з одним кутом рівним 90 °. При цьому в геометрії дуже часто потрібно обчислити площу такої фігури. Як це зробити, ми розповімо далі.

Найпростіша формула визначення площі прямокутного трикутника

Вихідні дані, де: a і b - сторони трикутника, що виходять з прямого кута.

Тобто, площа дорівнює половині добутку двох сторін, які виходять з прямого кута. Звичайно, існує формула Герона, яка використовується для обчислення площі звичайного трикутника, але для визначення величини необхідно знати довжину трьох сторін. Відповідно, вам доведеться розрахувати гіпотенузу, а це зайвий час.

Знайти площу прямокутного трикутника через формулу Герона

Це всім відома і вихідна формула, але для цього вам доведеться порахувати гіпотенузу за двома катетам, використовуючи Теорему Піфагора.

У цій формулі: a, b, c - сторони трикутника, а p - напівпериметр.

Знайти площу прямокутного трикутника по гіпотенузі і розі

Якщо у вашій задачі не відомий жоден з катетів, то скористатися самим простим способом ви не зможете. Для визначення величини вам потрібно розрахувати довжину катетів. Це зробити просто по гіпотенузі і косинусу прилеглого кута.

b \u003d c × cos (α)

Дізнавшись довжину одного з катетів, по теоремі Піфагора ви зможете розрахувати другу сторону, що виходить з прямого кута.

b 2 \u003d c 2 -a 2

У цій формулі c і a - гіпотенуза і катет відповідно. Тепер можете розрахувати площу по першій формулі. Точно так само можна обчислити один з катетів, маючи другий і кут. У такому випадку одна з шуканих сторін буде дорівнює добутку катета на тангенс кута. Існують і інші способи обчислення площі, але знаючи основні теореми і правила, ви зможете легко знайти шукану величину.

Якщо у вас немає жодної зі сторін трикутника, а є лише медіана і один з кутів, то ви зможете обчислити довжину сторін. Для цього використовуйте властивості медіани ділити прямокутний трикутник на два. Відповідно, вона може виступати гипотенузой, якщо виходить з гострого кута. Скористайтеся теоремою Піфагора і визначте довжину сторін трикутника, що виходять з прямого кута.

Як бачите, знаючи основні формули і Теорему Піфагора, ви зможете розрахувати площа прямокутного трикутника, маючи лише один з кутів і довжину однієї зі сторін.

Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого один з кутів дорівнює 90 °. Його площа можна знайти, якщо відомі два катета. Можна, звичайно, піти і довгим шляхом - знайти гіпотенузу і прорахувати площу по, але в більшості випадків це тільки займе зайвий час. Саме тому формула площі прямокутного трикутника виглядає так:

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори катетів.

Приклад розрахунку площі прямокутного трикутника.
Дан прямокутний трикутник з катетами a \u003d 8 см, b \u003d 6 см.
Обчислюємо площу:
Площа дорівнює: 24 см 2

Також в прямокутному трикутнику застосовується теорема Піфагора. - сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
Формула площі рівнобедреного прямокутного трикутника обчислюється також як і звичайного прямокутного трикутника.

Приклад розрахунку площі рівнобедреного прямокутного трикутника:
Дан трикутник з катетами a \u003d 4 см, b \u003d 4 см. Обчислюємо площа:
Обчислюємо площу: \u003d 8 см 2

Формула площі прямокутного трикутника по гіпотенузі може використовуватися, якщо в умові дано один катет. З теореми Піфагора знаходимо довжину невідомого катета. Наприклад, дана гіпотенуза c і катет a, катет b буде дорівнює:
Далі обчислюємо площу за звичайною формулою. Приклад розрахунку формули площі прямокутного трикутника по гіпотенузі ідентичний описаному вище.

Розглянемо цікаве завдання, яка допоможе закріпити знання формул для вирішення трикутника.
завдання: Площа прямокутного трикутника дорівнює 180 кв. см. Знайдіть менший катет трикутника, якщо він менше другого на 31 см.
Рішення: Позначимо катети a і b. Тепер підставимо дані в формулу площі :, ще ми знаємо, що один катет менше іншого a – b \u003d 31 см
З першої умови одержуємо, що
Підставляємо дана умова в друге рівняння:

Так як ми знаходили боку, то знак мінус прибираємо.
Виходить, що катет a \u003d 40 см, а b \u003d 9 см.