Сфера, вписана у правильну трикутну призму. Багатогранники, описані біля сфери Багатогранник називається описаним біля сфери, якщо площини всіх його граней стосуються сфери

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і куля" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються під час вирішення завдань. У підручнику С.Атанасяна та ін. на цю тему (стор. 138) можна знайти лише визначення багатогранника, описаного біля сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаної в багатогранник, та сфери, описаної біля багатогранника. У методичні рекомендаціїдо цього підручника (див. книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тіл розглядаються при вирішенні завдань № 629-646, і звертається увагу на те, що “при вирішенні того чи іншого завдання насамперед потрібно домогтися того, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених умов тіл”. Далі наводиться вирішення завдань №638(а) та №640.

Враховуючи все вище сказане, і те, що найважчими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення та повідомити їх учнів.

Визначення.

1. Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаною біля багатогранника, а багатогранник вписаним у кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаною в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (основи) і всіх утворюють циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписано коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаною біля циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола основ (коло основи і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що біля будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описано коло більшого кола кулі).

Загальні зауваження щодо положення центру кулі.

1. Центр кулі, вписаної в багатогранник, лежить у точці перетину бісекторних площин всіх двогранних кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаної біля багатогранника, лежить у точці перетину площин, перпендикулярних всім ребрам багатогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований усередині, на поверхні та поза багатогранником.

Комбінація кулі із призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Кулю можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить у середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна вписати у прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якої суми протилежних сторін основи рівні між собою) за умови Н = 2r, де Н – висота призми, r – радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описана біля призми.

Теорема 2. Кулю можна описати біля призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1. Центр кулі, описаної біля прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного біля основи.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна описати: біля прямої трикутної призми, біля правильної призми, прямокутного паралелепіпеда, біля прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів основи дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).

Комбінація кулі із пірамідою.

1. Куля, описана біля піраміди.

Теорема 3. Біля піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1.Центр кулі, описаної біля піраміди, лежить у точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаної біля цієї основи, і площині, перпендикулярній будь-якому бічному ребру, проведеної через середину цього ребра.

Наслідок 2.Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або одно нахилені до площини основи), то біля такої піраміди можна описати кулю. бічного ребра та висоти.

Наслідок 3.Кулю, зокрема, можна описати: біля трикутної піраміди, біля правильної піраміди, біля чотирикутної піраміди, у якої сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то таку піраміду можна вписати кулю.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в піраміду, у якої бічні грані однаково нахилені до основи, лежить у точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута на підставі піраміди, стороною якого служить висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Наслідок 2.У правильну піраміду можна вписати шар.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.

Комбінація кулі з усіченою пірамідою.

1. Куля, описана при правильній зрізаної піраміди.

Теорема 5. Біля будь-якої правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідною)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну зрізану піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофем основ.

На комбінацію кулі з усіченою пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є лише одне завдання (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Біля циліндра, зрізаного конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо рівномірний циліндр.

Теорема 9. У будь-який конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У зрізаний конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його утворює дорівнює сумі радіусів основ.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для успішного вивчення матеріалу цієї теми необхідно включати у хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (r = a/2, R = a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (а) так; б) так; в) ні; г) ні; д) ні)

3. Чи справедливе твердження, що біля будь-якої трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу біля будь-якої чотирикутної піраміди? (Ні, не біля кожної чотирикутної піраміди)

5. Які властивості має піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (У її основі має лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно до основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери – точка перетину двох геометричних місцьточок у просторі. Перше - перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаної біля нього. Друге – площина перпендикулярна даному бічному ребру і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу біля призми, на основі якої – трапеція? (По-перше, призма має бути прямою, і, по-друге, трапеція має бути рівнобедреною, щоб біля неї можна було описати коло)

8. Яким умовам має задовольняти призма, щоб у неї можна було описати сферу? (Призма має бути прямою, і її основою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Біля трикутної призми описана сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є основою призми? (Тупокутний трикутник)

10. Чи можна описати сферу біля похилої призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, буде на одній із бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Основа піраміди – рівнобедрена трапеція. Ортогональна проекція вершини піраміди на площину основи – точка, розташована поза трапецією. Чи можна при такій трапеції описати сферу? (Так, можна. Те, що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її основою, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція– багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. При правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикулярі, проведеному до площини основи через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, лежить: а) усередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупокутний трикутник)

15. Біля прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1 дм, 2 дм та 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. У який зрізаний конус можна вписати сферу? (У усічений конус, в осьовий перетин якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Інакше кажучи, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати твірної)

17. У усічений конус вписано сферу. Під яким кутом утворююча конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яка властивість повинна мати пряму призму, щоб у неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаного в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, куди не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна до цієї призму вписати сферу? (Ні, не можна, тому що біля ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови у пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми вдвічі більша за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови у правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони основи перпендикулярно до неї, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписано сферу. Яка точка піраміди є осередком сфери? (Центр вписаної в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з основою)

24. Чи можна описати сферу біля циліндра прямого кругового? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу біля конуса, усіченого конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. У будь-який циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинен мати циліндр, щоб у нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Чи можна в будь-який конус вписати сферу? Як визначити положення центру сфери, вписаної у конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу, що утворює до площини основи)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться з планування на тему "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і куля", два уроки доцільно відвести на розв'язання задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу під час уроків доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (за смиренням вчителя) перебіг чи план доказу.

«Сфера політики» - Відносини соціальних суб'єктів з приводу державної влади. Науково-теоретичний. Процес взаємодії з економікою. Разом із державою. Регулювання суспільних відносин зумовлено соціальними інтересами. Процес взаємодії політики з мораллю. Силу держави, переконання, стимулювання.

«Призма геометрія» - Дана пряма чотирикутна призма ABCDA1B1C1D1. Евклід, мабуть, вважав справою практичних посібниківз геометрії. Пряма призма - призма, у якої бічне ребро перпендикулярне до основи. Призма у геометрії. За якістю 2 обсягів V=V1+V2, тобто V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Отже, трикутники A1B1C1 і ABC рівні по трьох сторонах.

"Обсяг призми" - Як знайти обсяг прямої призми? Обсяг вихідної призми дорівнює добутку S · h. Основні кроки за доказом теореми прямої призми? Площа S основи вихідної призми. Проведення висоти трикутника ABC. Завдання. Пряма призма. Цілі уроку. Концепція призми. Об'єм прямої призми. Рішення задачі. Призму можна розбити на трикутні прямі призми з висотою h.

"Поверхня сфери" - Марс. М'яч – куля? Куля та сфера. Земля. Енциклопедія Ми вболіваємо за нашу шкільну команду з бейсболу. Венера. Уран. Чи куля на малюнку? Трохи з історії. атмосфера. Вирішив я провести невелике дослідження……. Сатурн. Ти готовий відповісти на запитання?

Багатогранники, описані біля сфери Багатогранник називається описаним біля сфери, якщо площини всіх його граней стосуються сфери. Сама сфера називається вписаною в багатогранник. Теорема. У призму можна вписати сферу тоді і лише тоді, коли в її основу можна вписати коло, і висота призми дорівнює діаметру цього кола. Теорема. У будь-яку трикутну піраміду можна вписати сферу, і лише одну.

Вправа 1 Зітріть квадрат і намалюйте два паралелограми, що зображають верхню та нижню грані куба. З'єднайте їх вершини відрізками. Отримайте зображення сфери, вписаної у куб. Зобразіть сферу, вписану в куб як на попередньому слайді. Для цього зобразіть еліпс, вписаний у паралелограм, отримані стисненням кола та квадрата в 4 рази. Позначте полюси сфери та точки торкання еліпса та паралелограма.

Вправа 1 Сфера вписана у пряму чотирикутну призму, В основі якої ромб зі стороною 1 і гострим кутом 60 про. Знайдіть радіус сфери та висоту призми. Рішення. Радіус сфери дорівнює половині висоти DG основи, тобто. Висота призми дорівнює діаметру сфери, тобто.

Вправа 4 Сфера вписана в пряму чотирикутну призму, на основі якої чотирикутник, периметра 4 та площі 2. Знайдіть радіус r вписаної сфери. Рішення. Зауважимо, що радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Скористаємося тим, що радіус кола, вписаного в багатокутник, дорівнює площі цього багатокутника поділеного на його напівпериметр. Отримаємо,

Вправа 3 Знайдіть радіус сфери, вписаної у правильну трикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює 2, та двогранні кути при підставі дорівнюють 60 о. Рішення. Скористаємося тим, що центр вписаної сфери є точкою перетину біссектральних площин двогранних кутів на підставі піраміди. Для радіусу сфери OE має місце рівність Отже,

Вправа 4 Знайдіть радіус сфери, вписаної у правильну трикутну піраміду, бічні ребра якої дорівнюють 1, і плоскі кути при вершині дорівнюють 90 о. Відповідь: Рішення. У тетраедрі SABC маємо: SD = DE = SE = З подоби трикутників SOF і SDE отримуємо рівняння, вирішуючи яке, знаходимо

Вправа 1 Знайдіть радіус сфери, вписаної в правильну чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні 1. Скористаємося тим, що для радіусу r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r = S/p, де S – площа, p – півпериметр трикутника . У разі S = p = Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SEF, в якому SE = SF = EF = 1, SG = Отже,

Вправа 2 Знайдіть радіус сфери, вписаної в правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює 1, а бічне ребро - 2. Скористаємося тим, що для радіусу r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r = S/p, де S – площа, p – напівпериметр трикутника. У разі S = p = Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SEF, в якому SE = SF = EF = 1, SG = Отже,

Вправа 3 Знайдіть радіус сфери, вписаної у правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює 2, та двогранні кути при підставі дорівнюють 60 о. Рішення. Скористаємося тим, що центр вписаної сфери є точкою перетину біссектральних площин двогранних кутів на підставі піраміди. Для радіусу сфери OG має місце рівність Отже,

Вправа 4 Одинична сфера вписана у правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює 4. Знайдіть висоту піраміди. Скористаємося тим, що для радіусу r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r = S/p, де S – площа, p – напівпериметр трикутника. У разі S = 2h, p = Рішення. Позначимо висоту SG піраміди h. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SEF, в якому SE = SF = EF = 4. Отже, маємо рівність з якої знаходимо

Вправа 1 Знайдіть радіус сфери, вписаної в правильну шестикутну піраміду, у якої ребра основи дорівнюють 1, а бічні ребра - 2. Скористаємося тим, що для радіуса r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r = S/p, де S - Площа, p - Півпериметр трикутника. У нашому випадку S = p = Отже, Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SPQ, в якому SP = SQ = PQ = SH =

Вправа 2 Знайдіть радіус сфери, вписаної в правильну шестикутну піраміду, у якої ребра основи дорівнюють 1, і двогранні кути при підставі дорівнюють 60 о. Рішення. Скористаємося тим, що центр вписаної сфери є точкою перетину біссектральних площин двогранних кутів на підставі піраміди. Для радіусу сфери OH має місце рівність Отже,
Вправа Знайдіть радіус сфери, вписаної в одиничний октаедр. Відповідь: Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в ромб SESF, в якому SE = SF = EF = 1, SO = Тоді висота ромба, опущена з вершини E, дорівнюватиме Шуканий радіус дорівнює половині висоти, і дорівнює O

Вправа Знайдіть радіус сфери, вписаної в одиничний ікосаедр. Рішення. Скористаємося тим, що радіус OA описаної сфери дорівнює а радіус AQ кола, описаного навколо рівностороннього трикутниказі стороною 1, дорівнює По теоремі Піфагора, застосованої до прямокутному трикутнику OAQ, отримаємо вправу Знайдіть радіус сфери, вписаної в одиничний додекаедр. Рішення. Скористаємося тим, що радіус OF описаної сфери дорівнює а радіус FQ кола, описаного навколо рівностороннього п'ятикутниказі стороною 1 дорівнює По теоремі Піфагора, застосованої до прямокутного трикутника OFQ, отримаємо

Вправа 1 Чи можна вписати сферу в усічений тетраедр? Рішення. Зауважимо, що центр O сфери, вписаної в зрізаний тетраедр повинен збігатися з центром сфери, вписаної в тетраедр, який збігається з центром сфери, напіввписаної в зрізаний тетраедр. Відстані d 1, d 2 від точки O до шестикутної та трикутної граней обчислюються за теоремою Піфагора: де R – радіус напіввписаної сфери, r 1, r 2 – радіуси кіл, вписаних у шестикутник та трикутник, відповідно. Оскільки r 1 > r 2 то d 1 r 2 то d 1