Рішення правильного трикутника. Рівносторонній трикутник

Правильного трикутника, R - радіус описаного кола, r - радіус вписаного кола.

Радіус вписаного кола правильного трикутника, виражений через його бік:

r \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (6) a

Радіус описаного кола правильного трикутника, виражений через його бік:

R \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (3) a

Периметр правильного трикутника:

P \u003d 3a \u003d 3 \\ sqrt 3 R \u003d 6 \\ sqrt 3 r

Висоти, медіани і бісектриси правильного трикутника:

h \u003d m \u003d l \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2) a

Площа правильного трикутника розраховується за формулами:

S \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (4) a ^ 2 \u003d \\ frac (3 \\ sqrt 3) (4) R ^ 2 \u003d 3 \\ sqrt 3 r ^ 2 \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (36) P ^ 2

Радіус описаного кола дорівнює подвійному радіусу вписаного кола:

R \u003d 2r

Правильними трикутниками можна замостити площину.

У правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаною окружністю.

Для рівностороннього трикутника T група рухів (самосовмещеній) площині, що переводять трикутник в себе, складається з 6 елементів: трьох поворотів на кути 0, 2π / 3 і 4π / 3 навколо точки O, а також трьох симетрій щодо трьох прямих, на яких лежать бісектриси трикутника (останні є також його висотами і медианами).
На описаного кола довільного трикутника $ABC$ існують рівно три точки такі, що їх пряма Симсона стосується окружності Ейлера трикутника $ABC$ , Причому ці точки утворюють правильний трикутник. Сторони цього трикутника паралельні сторонам трикутника Морлея.
Рівносторонній трикутник є одночасно і Рівнокутні трикутником, тобто у нього рівні всі внутрішні кути.
Рівносторонній трикутник є приватними випадком рівнобедреного трикутника, а саме: двічі рівнобедреним трикутником.

Див. також

Теореми про рівнобічному трикутнику або містять його

Пряма Симсона одна з властивостей

За кількістю сторін

правильні

трикутники

чотирикутники

Див. також



багатокутники

зірчасті багатокутники

Паркети на площині

правильні багатогранники і сферичні паркети

Багатогранники Кеплера - Пуансо

стільники

Коли на другий день вранці государ сказав присутнім у нього офіцерам: «Ви врятували не одне Росію; ви врятували Європу », - все вже тоді зрозуміли, що війна не закінчена. Один Кутузов не хотів розуміти цього і відкрито говорив свою думку про те, що нова війна не може поліпшити становище і збільшити славу Росії, а тільки може погіршити її стан і зменшити ту вищу ступінь слави, на якій, на його думку, тепер стояла Росія. Він намагався довести государю неможливість набрання нових військ; говорив про тяжке становище населений, про можливість невдач і т. п. При такому настрої фельдмаршал, природно, представлявся лише перешкодою і гальмом майбутньої війни. Для уникнення зіткнень зі старим сам собою знайшовся вихід, який полягає в тому, щоб, як в Аустерліцем і як на початку кампанії при Барклай, вийняти з під головнокомандувача, не турбуючи його, не оголошуючи йому про те, той грунт влади, на якій він стояв , і перенести її до самого государя. З цією метою потроху переформувався штаб, і вся суттєва сила штабу Кутузова була знищена і перенесена до государя. Толь, Коновніцин, Єрмолов - отримали інші призначення. Всі голосно говорили, що фельдмаршал став дуже слабкий і засмучений здоров'ям. Йому треба було бути слабким здоров'ям, для того щоб передати своє місце того, хто заступав його. І дійсно, здоров'я його було слабо. Як природно, і просто, і поступово з'явився Кутузов з Туреччини в казенну палату Петербурга збирати ополчення і потім в армію, саме тоді, коли він був необхідний, точно так само природно, поступово і просто тепер, коли роль Кутузова була зіграна, на місце його з'явився новий, требовавшийся діяч. Війна 1812 го року, крім свого дорогого російському серцю народного значення, повинна була мати інше - європейське. За рухом народів із заходу на схід мало наслідувати рух народів зі сходу на захід, і для цієї нової війни потрібен був новий діяч, який має інші, ніж Кутузов, властивості, погляди, який рухається іншими мотивами. Олександр Перший для руху народів зі сходу на захід і для відновлення меж народів був так само необхідний, як необхідний був Кутузов для порятунку і слави Росії. Кутузов не розумів того, що означало Європа, рівновагу, Наполеон. Він не міг розуміти цього. Представнику російського народу, після того як ворог був знищений, Росія звільнена і поставлена \u200b\u200bна вищий ступінь своєї слави, російській людині, як російській, робити було нічого. Представнику народної війни нічого не залишалося, крім смерті. І він помер. П'єр, як це здебільшого буває, відчув всю тяжкість фізичних поневірянь і напруг, випробуваних в полоні, тільки тоді, коли ці напруги і позбавлення скінчилися. Після свого звільнення з полону він приїхав в Орел і на третій день свого приїзду, в той час як він зібрався до Києва, захворів і пролежав хворим в Орлі три місяці; з ним стала, як говорили доктора, жовчна гарячка. Незважаючи на те, що лікарі лікували його, пускали кров і давали пити ліки, він все таки видужав.

У шкільному курсі геометрії величезна кількість часу приділяється вивченню трикутників. Учні обчислюють кути, будують бісектриси і висоти, з'ясовують, чим фігури відрізняються один від одного, і як найпростіше знайти їх площа і периметр. Здається, що це не знадобиться в житті, але іноді все-таки корисно дізнатися, наприклад, як визначити, що трикутник рівносторонній або тупоугольние. Як же це зробити?

типи трикутників

Три точки, що не лежать на одній прямій, і відрізки, які їх з'єднують. Здається, що ця фігура - найпростіша. Якими можуть бути трикутники, якщо у них всього три сторони? Насправді варіантів досить велика кількість, і деяким з них приділяється особлива увага в рамках шкільного курсу геометрії. Правильний трикутник - рівносторонній, тобто всі його кути і сторони рівні. Він має низку примітних властивостей, про які йтиметься далі.

У рівнобедреного рівні тільки дві сторони, і він також досить цікавий. У прямокутного і як нескладно здогадатися, відповідно, один з кутів прямий або тупий. При цьому вони також можуть рівнобокими.

Існує і особливий званий єгипетським. Його сторони рівні 3, 4 і 5 одиниць. При цьому він є прямокутним. Вважається, активно використовувався єгипетськими землемірами і архітекторами для побудови прямих кутів. Є думка, що з його допомогою були зведені знамениті піраміди.

І все-таки все вершини трикутника можуть лежати на одній прямій. У цьому випадку він буде називатися виродженим, в той час як всі інші - невиродженими. Саме вони і є одним з предметів вивчення геометрії.

трикутник рівносторонній

Зрозуміло, правильні фігури викликають завжди найбільший інтерес. Вони здаються більш досконалими, більш витонченими. Формули обчислення їх характеристик часто простіше і коротше, ніж для звичайних фігур. Це відноситься і до трикутниках. Не дивно, що при вивченні геометрії їм приділяється досить багато уваги: \u200b\u200bшколярів вчать відрізняти правильні фігури від інших, а також розповідають про деякі їх цікавих характеристиках.

Ознаки та властивості

Як неважко здогадатися з назви, кожна сторона рівностороннього трикутника дорівнює двом іншим. Крім того, він має ряд ознак, завдяки яким можна визначити, чи правильна фігура чи ні.

Якщо спостерігається хоча б один з перерахованих вище ознак, то трикутник - рівносторонній. Для правильної фігури справедливі всі згадані твердження.

Всі трикутники мають ряд примітних властивостей. По-перше, середня лінія, тобто відрізок, який ділив дві сторони навпіл і паралельний третьої, дорівнює половині підстави. По-друге, сума всіх кутів цієї фігури завжди дорівнює 180 градусам. Крім того, в трикутниках спостерігається ще одна цікава взаємозв'язок. Так, проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Але це, звичайно, до рівностороннього трикутника відношення не має, адже у нього всі кути рівні.

Вписані і описані окружності

Нерідко в курсі геометрії учні також вивчають те, як фігури можуть взаємодіяти один з одним. Зокрема, вивчаються окружності, вписані в багатокутники або описані навколо них. Про що йде мова?

Вписаною називають таку окружність, для якої всі сторони багатокутника є дотичними. Описаної - ту, яка має точки дотику з усіма кутами. Для кожного трикутника завжди можна побудувати як першу, так і другу окружність, але тільки одну кожного виду. Докази двох цих

теорем наводяться в шкільному курсі геометрії.

Крім обчислення параметрів самих трикутників, деякі завдання також мають на увазі розрахунок радіусів цих кіл. І формули стосовно
рівностороннього трикутника виглядають наступним чином:

де r - радіус вписаного кола, R - радіус описаного кола, a - довжина сторони трикутника.

Обчислення висоти, периметра і площі

Основні параметри, обчисленням яких займаються школярі під час вивчення геометрії, залишаються незмінними практично для будь-яких фігур. Це периметр, площа і висота. Для простоти розрахунків існують різні формули.

Так, периметр, тобто довжина всіх сторін, обчислюється наступним чином:

P \u003d 3a \u003d 3√ ̅3R \u003d 6√ ̅3r, де a - сторона правильного трикутника, R - радіус описаного кола, r - вписаною.

h \u003d (√ ̅3 / 2) * a, де a - довжина сторони.

Нарешті, формула виводиться з стандартної, тобто твори половини підстави на його висоту.

S \u003d (√ ̅3 / 4) * a 2, де a - довжина сторони.

Також ця величина може бути обчислена через параметри описаної або вписаного кола. Для цього також існують спеціальні формули:

S \u003d 3√ ̅3r 2 \u003d (3√ ̅3 / 4) * R 2, де r і R - відповідно радіуси вписаного та описаного кіл.

побудова

Ще один цікавий тип завдань, що стосується в тому числі і трикутників, пов'язаний з необхідністю накреслити ту чи іншу фігуру, використовуючи мінімальний набір

інструментів: циркуль і лінійку без поділів.

Для того щоб побудувати правильний трикутник за допомогою тільки цих пристосувань, необхідно виконати кілька кроків.

Потрібно накреслити коло з будь-яким радіусом і з центром в довільно взятій точці А. Її необхідно відзначити.
Далі потрібно провести пряму через цю точку.
Перетину кола і прямої необхідно позначити як В і С. Всі побудови повинні проводитися з максимально можливою точністю.
Далі треба побудувати ще одну окружність з тим же радіусом і центром в точці С або дугу з відповідними параметрами. Місця перетину будуть позначені як D і F.
Точки B, F, D необхідно з'єднати відрізками. Рівносторонній трикутник побудований.

Рішення подібних завдань зазвичай представляє для школярів проблему, але це вміння може стати в нагоді і в звичайному житті.

Побудова трикутника Рело Трикутник Рело [* 1] предста ... Вікіпедія

правильний - I пра / -Вільний а, е; льон, льону, льно. см. тж. правильність 1) а) Відповідний встановленим правилам, які не відступає від існуючих правил, норм, порядку. П е вимова, написання. П е фізичний розвиток дитини. П е розподіл ... ... Словник багатьох виразів

правильний - 1) правильний а, е; льон, льону, льно. 1. Заснований на правилах (див. Правило в 1 знач.), Що відбувається за правилами, відповідний правилам. Правильна вимова. □ Сліпота не завадила правильному фізичному розвитку, і вплив її на ... ... Малий академічний словник

правильний тетраедр - Тетраедр Тип Правильний багатогранник Грань Правильний трикутник Вершин ... Вікіпедія

правильний багатокутник - Правильний семикутник Правильний багатокутник це опуклий багатокутник, у якого всі сторони і кути рівні. Визначення правильного багатокутника може залежати від визначення ... Вікіпедія

правильний семикутник - Правильний семикутник це правильний багатокутник з сімома сторонами. Зміст ... Вікіпедія

правильний шестикутник - (гексагон) це правильний багатокутник з шістьма сторонами ... Вікіпедія

правильний дев'ятикутник - це правильний багатокутник з дев'ятьма сторонами. Властивості Правиль ... Вікіпедія

Правильний 17-кутник - Правильний сімнадцятикутник геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів, всі його кути і сторони рівні між собою, все вершини лежать на одному колі. Зміст 1 ... ... Вікіпедія

правильний сімнадцятикутник - геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів, всі його кути і сторони рівні між собою, все вершини лежать на одному колі. Зміст ... Вікіпедія

книги

Зближення, Пріст Крістофер. В недалекому майбутньому Тібор Тарент, житель ІРВБ, Ісламської Республіки Великобританії, привертає до себе увагу спецслужб після того, як його дружина стає жертвою дивного зброї. Воно ... Купити за 686 руб
Зближення, Пріст К .. В недалекому майбутньому Тібор Тарент, житель ІРВБ, Ісламської Республіки Великобританії, привертає до себе увагу спецслужб після того, як його дружина стає жертвою дивного зброї. Воно ...

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.