Презентація по темі вписана і описана окружності. Коло, описане навколо трикутника

На якому малюнку окружність вписана в трикутник?

Якщо окружність вписана в трикутник,

то трикутник описаний близько окружності.

Теорема. У трикутник можна вписати коло, і притому тільки одну. Її центр - точка перетину биссектрис трикутника.

Дано: АВС

Довести: існує Окр. (О; r),

вписана в трикутник

Доведення:

Проведемо бісектриси трикутника: АА 1, ВВ 1, СС 1.

По властивості (чудова точка трикутника)

бісектриси перетинаються в одній точці - О,

і ця точка рівновіддалена від усіх сторін трикутника, т. е:

ОК \u003d ОЕ \u003d ОР, де ОК АВ, ОЕ ВС, ДР АС, значить,

Про - центр окружності, а АВ, ВС, АС - дотичні до неї.

Значить, окружність вписана в АВС.

Дано: Окр. (О; r) вписана в АВС,

р \u003d ½ (АВ + ВС + АС) - напівпериметр.

довести: S ABC \u003d P · r

Доведення:

з'єднаємо центр кола з вершинами

трикутника і проведемо радіуси

кола в точки дотику.

Ці радіуси є

висотами трикутників АОВ, ВОС, СОА.

S ABC \u003d S AOB + S BOC + S AOC \u003d ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r \u003d

\u003d ½ (AB + BC + AC) · r \u003d ½ p · r.

Завдання: в рівносторонній трикутник зі стороною 4 см

вписане коло. Знайдіть її радіус.

Висновок формули для радіуса вписаного в трикутник кола

S \u003d p · r \u003d ½ P · r \u003d ½ (a + b + c) · r

2S \u003d (a + b + c) · r

Потрібна формула для радіуса кола,

вписаною в прямокутний трикутник

- катети, с - гіпотенуза

визначення: окружність називається вписаною в чотирикутник, якщо всі сторони чотирикутника стосуються її.

На якому малюнку окружність вписана в чотирикутник:

теорема: якщо в чотирикутник вписане коло,

то суми протилежних сторін

чотирикутника рівні ( в будь-якому описаному

чотирикутнику суми протилежних

сторін рівні).

АВ + СК \u003d ВС + АК.

Зворотній теорема: якщо суми протилежних сторін

опуклого чотирикутника рівні,

то в нього можна вписати коло.

Завдання: в ромб, гострий кут якого 60 0, вписане коло,

радіус якої дорівнює 2 см. Знайти периметр ромба.

виріши завдання

Дано: Окр. (О; r) вписана в АВСК,

Р АВСК \u003d 10

Знайти: ВС + АК

Дано: АВСМ описаний близько Окр. (О; r)

BC \u003d 6, AM \u003d 15,

«Алгебра та геометрія» - Жінка навчає дітей геометрії. Прокл був уже, по-види-мому, останнім представником грецької геометрії. За межами 4-го ступеня таких формул для спільного рішення рівнянь не існує. Посредни-ками між еллінської і нової європейської наукою з'явилися араби. Було поставлено питання про геометризації фізики.

«Терміни по геометрії» - Бісектриса трикутника. Абсциса точки. Діагональ. Словник по геометрії. Окружність. Радіус. Периметр трикутника. Вертикальні кути. Терміни. Кут. Хорда кола. Ви можете додасть свої терміни. Теорема. Виберіть першу букву. Геометрія. Електронний словник. Ламана. Циркуль. Суміжні кути. Медіана трикутника.

«Геометрія 8 клас» - Так перебираючи теореми, можна дістатися до аксіом. Поняття теореми. квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. А2 + В2 \u003d с2. Поняття аксіом. Кожне математичне твердження, що отримується шляхом логічного докази, є теорема. У будь-якої будівлі є фундамент. Кожне твердження спирається на вже доведені.

«Наочна геометрія» - Квадрат. Конверт № 3. Допоможіть, будь ласка, хлопці, а то Матроскін мене зовсім зі світу зживе. Всі сторони квадрата рівні. Квадрати навколо нас. Скільки квадратів зображено на малюнку? Завдання на уважність. Конверт № 2. Всі кути квадрата прямі. Дорогий Шарик! Наочна геометрія, 5 клас. Відмінні властивості Різна довжина сторін Різний колір.

«Початкові геометричні відомості» - Евклід. Читання. Що кажуть фігури про нас. На малюнку виділена частина прямої, обмежена двома точками. Через одну точку можна провести скільки завгодно різних прямих. Математика. В геометрії немає царського шляху. Запис. Додаткові завдання. Планиметрия. Позначення. Сторінки «Начал» Евкліда. Платон (477-347 до н.е.) - давньогрецький філософ, учень Сократа.

«Таблиці з геометрії» - Таблиці. Множення вектора на число Осьова і центральна симетрія. Дотична до кола Центральні і вписані кути Вписана і описана окружність Поняття вектора Додавання і віднімання векторів. Зміст: Багатокутники Паралелограм і трапеція Прямокутник, ромб, квадрат Площа багатокутника Площа трикутника, паралелограма і трапеції Теорема Піфагора подібні трикутники Ознаки подібності трикутників Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника Взаємне розташування прямої та кола.

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

описана окружність

Визначення: окружність називається описаної близько трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на цьому колі. На якому малюнку окружність описана близько трикутника: 1) 2) 3) 4) 5) Якщо окружність описана близько трикутника, то трикутник вписаний в коло.

Теорема. Близько трикутника можна описати коло, і притому тільки одну. Її центр - точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. А В С Дано: АВС Довести: існує Окр. (О; r), описане навколо АВС. Доказ: Проведемо серединні перпендикуляри p, k, n до сторін АВ, ВС, АС По властивості серединних перпендикулярів до сторін трикутника (чудова точка трикутника): вони перетинаються в одній точці - О, для якої ОА \u003d ОВ \u003d ОС. Т. е. Все вершини трикутника рівновіддалені від точки О, значить, вони лежать на окружності з центром О. Значить, окружність описана близько трикутника АВС. Про n p k

Важлива властивість: Якщо окружність описана близько прямокутного трикутника, то її центр - середина гіпотенузи. O R R C A B R \u003d ½ AB Задача: знайти радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 3 см і 4 см. Центр кола, описаного навколо тупоугольного трикутника, лежить поза трикутником.

a b c R R \u003d Формули для радіуса описаного навколо трикутника кола Задача: знайти радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 4 см. Рішення: R \u003d R \u003d, Відповідь: см (см)

Завдання: в коло, радіус якої 10 см, вписаний трикутник. Висота, проведена до його основи дорівнює 16 см. Знайти бічну сторону і площа трикутника. А В С О Н Рішення: Т. к. Окружність описана близько рівнобедреного трикутника АВС, то центр окружності лежить на висоті ВН. АТ \u003d ВО \u003d СО \u003d 10 см, ОН \u003d ВН - ВО \u003d \u003d 16 - 10 \u003d 6 (см) АОН - прямокутний, АТ 2 \u003d АН 2 + АН 2, АН 2 \u003d 10 2 - 6 2 \u003d 64, АН \u003d 8 см АВН - прямокутний, АВ 2 \u003d АН 2 + ВН 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d 64 + 256 \u003d 320, АВ \u003d (см) АС \u003d 2АН \u003d 2 · 8 \u003d 16 (см), S АВС \u003d ½ АС · ВН \u003d ½ · 16 · 16 \u003d 128 (см 2) Відповідь: АВ \u003d см S \u003d 128 см 2, Знайти: АВ, S АВС Дано: АВС р / б, ВН АС, ВН \u003d 16 см Окр. (Про ; 10 см) описана близько АВС

Визначення: окружність називається описаної близько чотирикутника, якщо всі вершини чотирикутника лежать на окружності. Теорема. Якщо близько чотирикутника описана окружність, то сума його протилежних кутів дорівнює 180 0. Доказ: Т. к. Окружність описана близько АВС D, то А, В, С, D - вписані, значить, А + C \u003d ½ BCD + ½ BAD \u003d ½ (BCD + BAD) \u003d ½ · 360 0 \u003d 180 0 B + D \u003d ½ ADC + ½ ABC \u003d ½ (ADC + ABC) \u003d ½ · 360 0 \u003d 180 0 A + C \u003d B + D \u003d 180 0 Дано: Окр. (О; R) описана близько АВС D Довести: Значить, A + C \u003d B + D \u003d 180 0 Інша формулювання теореми: у вписанном в коло чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 0. A B C D Про

Зворотній теорема: якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 0, то біля нього можна описати коло. Дано: АВС D, A + C \u003d 180 0 A B C D Про Довести: Окр. (О; R) описана близько АВС D Доказ: № 729 (підручник) Навколо якого чотирикутника можна описати коло?

Слідство 1: близько будь-якого прямокутника можна описати коло, її центр - точка перетину діагоналей. Слідство 2: близько рівнобедреної трапеції можна описати коло. А В С К

Виріши завдання 80 0 120 0? ? А В С М К Н Про Р Е 70 0 Знайти кути чотирикутника РКЕН: 80 0

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

8 клас Л.С. Атанасян Геометрія 7-9 Вписана і описана окружності

Про D В С Якщо всі сторони багатокутника стосуються окружності, то коло називається вписаною в багатокутник. А E А багатокутник називається описаним близько цієї окружності.

D В С Який з двох чотирикутників АВС D або АЕК D є описаним? А E К О

D В С В прямокутник можна вписати коло. А Про

D В С Які відомі властивості нам знадобляться при вивченні вписаного кола? А E Про До Властивість дотичної Властивість відрізків дотичних F P

D В С В будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. А E Про a a R N F b b c c d d

D В С Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 15 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника. А Про № 695 В C + AD \u003d 15 AB + DC \u003d 15 P ABCD \u003d 30 см

D F Знайти FD А Про N? 4 7 6 5

D В С равнобокой трапеція описана близько окружності. Підстави трапеції дорівнюють 2 і 8. Знайдіть радіус вписаного кола. А В C + AD \u003d 1 0 AB + DC \u003d 1 0 2 8 5 5 2 N F 3 3 4 S L Про

D В С Вірно і зворотне твердження. А Про Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло. ВС + А D \u003d АВ + DC

D В С можна в даний чотирикутник вписати коло? А Про 5 + 7 \u003d 4 + 8 5 7 4 8

В С А В будь-трикутник можна вписати коло. Теорема Довести, що в трикутник можна вписати коло Дано: АВС

K В С А L M О 1) ДП: бісектриси кутів трикутника 2) З OL \u003d CO М, по гіпотенузі і ост. розі Про L \u003d M Про Проведемо з точки Про перпендикуляри до сторін трикутника 3) МОА \u003d КОА, по гіпотенузі і ост. розі МО \u003d КО 4) L О \u003d M О \u003d K Про точка Про рівновіддалена від сторін трикутника. Значить, коло з центром в т.О проходить через точки K, L і M. Сторони трикутника АВС стосуються цієї окружності. Значить, окружність є вписаною АВС.

K В С А В будь-трикутник можна вписати коло. L M Про Теорема

D В С Доведіть, що площа описаного багатокутника дорівнює половині твори його периметра на радіус вписаного кола. А № 69 7 F r a 1 a 2 a 3 r Про r ... + К

Про D В С Якщо все вершини багатокутника лежать на окружності, то коло називається описаною навколо багатокутника. А E А багатокутник називається вписаним в це коло.

Про D В С Який з багатокутників, зображених на малюнку є вписаною в коло? А E L P X E Про D В С А E

Про А В D З Які відомі властивості нам знадобляться при вивченні описаного кола? Теорема про кут, вписаний

Про А В D В будь-якому вписанном чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 0. З +360 0

59 0? 90 0? 65 0? 100 0 D А В С Про 80 \u200b\u200b0 115 0 D А В С Про 121 0 Знайти невідомі кути чотирикутників.

D Вірно і зворотне твердження. Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 0, то біля нього можна вписати коло. А В С Про 80 \u200b\u200b0 100 0 113 0 67 0 Про D А В С 79 0 99 0 123 0 77 0

В С А Близько будь-якого трикутника можна описати коло. Теорема Довести, що можна описати коло Дано: АВС

K В С А LM О 1) ДП: серединні перпендикуляри до сторін ВО \u003d СО 2) В OL \u003d CO L, по катетам 3) СОМ \u003d А O М, по катетам СО \u003d АТ 4) ВО \u003d СО \u003d АТ, т. е. точка Про рівновіддалена від вершин трикутника. Значить, коло з центром в т.О і радіусом ОА пройде через всі три вершини трикутника, тобто є описаної окружністю.

K В С А Близько будь-якого трикутника можна описати коло. L M Теорема Про

Про У З А О В С А № 702 В коло вписаний трикутник АВС так, що АВ - діаметр окружності. Знайдіть кути трикутника, якщо: а) ЗС \u003d 134 0 134 0 67 0 23 0 б) АС \u003d 70 0 70 0 55 0 35 0

Про У З А № 703 В коло вписаний трикутник АВС з основою ВС. Знайдіть кути трикутника, якщо ВС \u003d 102 0. 102 0 51 0 (180 0 - 51 0): 2 \u003d 129 0: 2 \u003d 128 0 60 /: 2 \u003d 64 0 30 /

Про У З А № 704 (a) Коло з центром Про описана близько прямокутного трикутника. Доведіть, що точка О - середина гіпотенузи. 180 0 д і а м е т р

Про У З А № 704 (б) Коло з центром Про описана близько прямокутного трикутника. Знайдіть сторони трикутника, якщо діаметр кола дорівнює d, а один з гострих кутів трикутника дорівнює. d

Про З У А № 705 (а) Близько прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С описана окружність. Знайдіть радіус цього кола, якщо АС \u003d 8 см, ВС \u003d 6 см. 8 6 10 5 5

Про З А В № 705 (б) Близько прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С описана окружність. Знайдіть радіус цього кола, якщо АС \u003d 18 см, 18 30 0 36 18 18

Про У З А Бічні сторони трикутника, зображеного на малюнку, рівні 3 см. Знайти радіус описаного навколо нього кола. 180 0 3 3

Про У З А Радіус кола, описаного навколо трикутника, зображеного на кресленні, дорівнює 2 см. Знайти сторону АВ. 180 0 2 2 45 0?

По темі: методичні розробки, презентації та конспекти

Презентація до уроку включає визначення основних понять, створення проблемної ситуації, А також розвиток творчих здібностей учнів ....

Робоча програма по елективного курсу з геометрії «Рішення планиметрических завдань на вписані і описані окружності» 9 клас

Статистичні дані аналізу результатів проведення ЄДІ говорять про те, що найменший відсоток вірних відповідей традиційно дається учнями на геометричні завдання. Завдання з планіметрії, що включаються в ...