Урок системи показових рівнянь і нерівностей. показові рівняння
Способи вирішення систем рівнянь
Для початку коротко згадаємо, які взагалі існують способи вирішення систем рівнянь.
існують чотири основних способи рішення систем рівнянь:
Спосіб підстановки: береться будь-яка з даних рівнянь і виражається $ y $ через $ x $, потім $ y $ підставляється в рівняння системи, звідки і знаходиться змінна $ x. $ Після цього ми легко можемо обчислити змінну $ y. $
Спосіб складання: в даному способі необхідно множити одне або обидва рівняння на такі числа, щоб при додаванні разом обох одна з змінних «зникла».
Графічний спосіб: обидва рівняння системи зображується на координатної площині і знаходиться точка їх перетину.
Спосіб введення нових змінних: в цьому способі ми робимо заміну будь-яких виразів для спрощення системи, а потім застосовуємо один з вище зазначених способів.
Системи показових рівнянь
визначення 1
Системи рівнянь, що складаються з показових рівнянь, Називаються системою показових рівнянь.
Рішення систем показових рівнянь будемо розглядати на прикладах.
приклад 1
Вирішити систему рівнянь
Малюнок 1.
Рішення.
Будемо користуватися першим способом для вирішення даної системи. Для початку висловимо в першому рівнянні $ y $ через $ x $.
Малюнок 2.
Підставами $ y $ в друге рівняння:
\\ \\ \\ [- 2-x \u003d 2 \\] \\ \\
відповідь: $(-4,6)$.
приклад 2
Вирішити систему рівнянь
Малюнок 3.
Рішення.
Дана система рівносильна системі
Малюнок 4.
Застосуємо четвертий метод розв'язання рівнянь. Нехай $ 2 ^ x \u003d u \\ (u\u003e 0) $, а $ 3 ^ y \u003d v \\ (v\u003e 0) $, отримаємо:
Малюнок 5.
Вирішимо отриману систему шляхом складання. Складемо рівняння:
\ \
Тоді з другого рівняння, отримаємо, що
Повертаючись до заміни, отримав нову систему показових рівнянь:
Малюнок 6.
отримуємо:
Малюнок 7.
відповідь: $(0,1)$.
Системи показових нерівностей
визначення 2
Системи нерівностей, що складаються з показових рівнянь, називаються системою показових нерівностей.
Рішення систем показових нерівностей будемо розглядати на прикладах.
приклад 3
Вирішити систему нерівностей
Малюнок 8.
Рішення:
Дана система нерівностей рівносильна системі
Малюнок 9.
Для вирішення першого нерівності згадаємо наступну теорему равносильности показових нерівностей:
Теорема 1. Нерівність $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (\\ varphi (x)) $, де $ a\u003e 0, a \\ ne 1 $ рівносильна сукупності двох систем
\ \ \
відповідь: $(-4,6)$.
приклад 2
Вирішити систему рівнянь
Малюнок 3.
Рішення.
Дана система рівносильна системі
Малюнок 4.
Застосуємо четвертий метод розв'язання рівнянь. Нехай $ 2 ^ x \u003d u \\ (u\u003e 0) $, а $ 3 ^ y \u003d v \\ (v\u003e 0) $, отримаємо:
Малюнок 5.
Вирішимо отриману систему шляхом складання. Складемо рівняння:
\ \
Тоді з другого рівняння, отримаємо, що
Повертаючись до заміни, отримав нову систему показових рівнянь:
Малюнок 6.
отримуємо:
Малюнок 7.
відповідь: $(0,1)$.
Системи показових нерівностей
визначення 2
Системи нерівностей, що складаються з показових рівнянь, називаються системою показових нерівностей.
Рішення систем показових нерівностей будемо розглядати на прикладах.
приклад 3
Вирішити систему нерівностей
Малюнок 8.
Рішення:
Дана система нерівностей рівносильна системі
Малюнок 9.
Для вирішення першого нерівності згадаємо наступну теорему равносильности показових нерівностей:
Теорема 1. Нерівність $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (\\ varphi (x)) $, де $ a\u003e 0, a \\ ne 1 $ рівносильна сукупності двох систем
\}
Завантаження ...