Тест по темі логарифмічні рівняння і нерівності. Матеріали для проведення заліків за темами "показові рівняння і нерівності", "логарифмічні рівняння і нерівності"

забезпечити повторення, узагальнення, систематизацію матеріалу по темі;
створити умови контролю, самоконтролю засвоєних знань і умінь;
сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми: порівняння, узагальнення, виділення головного, перенесення знань у нову ситуацію, розвитку математичного кругозору;
створити умови для розвитку пізнавального інтересу учнів;
виховувати відповідальність за якість і результат виконуваної роботи на уроці, математичну активність, вміння працювати в групах, загальну культуру.

повторити теоретичний матеріал. Звернути особливу увагу на ОДЗ логарифмічною функції.
Систематизувати методи вирішення логарифмічних рівнянь.
Здійснити діагностику знань.

Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань.

Форма уроку: семінар-практикум

Обладнання: підручник, дидактичні матеріали, індивідуальні картки для самостійної роботи, листи обліку знань, медіапроектор.

Хід уроку

1. Організаційний момент

Учням повідомляється тема уроку і мети, підкреслюється актуальність повторення даної теми для підготовки до ЄДІ.

2. Перевірка домашнього завдання

3. Актуалізація колишніх знань

Учні працюють усно по вправам, представленим на екрані за допомогою проектора.

Обчисліть

1 варіант
2)
2 варіант
2)

3)

5)

4. Формування умінь і навичок.

Робота в групах з подальшою перевіркою.

1) Рішення логарифмічних рівнянь за визначенням логарифма.

відповідь:

відповідь: 256

2) Рівняння, які вирішуються потенцированием.

Спочатку потрібно вирішити рівняння системи, а за нерівністю системи проводиться відбір коренів.

відповідь: 3
відповідь: 3,5

Рівняння, які вирішуються підстановкою.

відповідь:

Це рівняння рівносильне рівнянню

Нехай, тоді

відповідь:

Рівняння, які вирішуються логарифмування.

.
\u003d Т.о. відповідь: 0,1; 10..
ОДЗ: x. Логарифмуючи обидві частини за основою 10.
Звідки
Відповідь: 1; 4.

рівняння виду

Це рівняння рівносильне рівнянню при

.
ОДЗ визначається системою

ОДЗ визначається системою

Відповідь: ( (0;)

Рівняння, які вирішуються з використанням різних властивостей логарифмів.

Застосовуємо формулу, отримаємо

Підставивши ці значення x в вихідне рівняння, бачимо, що - корінь рівняння, а 0,1 - не корінний рівняння.

відповідь:

Ті рівняння, які викликали труднощі в учнів, вирішуються на дошці учнями, впоратися з ними.

5. Физкультминутка

Зчепили руки в "замок", витягли перед собою, підняли вгору і добре потягнулися. Лікарі стверджують, що в цей момент виділяється "фермент щастя".

6. Самостійна робота

(Слайд на екрані і картки у кожного учня). Учням пропонується оцінити свої можливості і вибрати рівень завдань А, В або С.

Виконавши роботу, учні здають її на перевірку. На екран виводяться відповіді і коротке рішення. Учням пропонується перевірити і оцінити свою роботу, виставивши оцінку за самостійну роботу.

6. Домашнє завдання

Повторити п.6.2, 6.3. Д.М. С - 21 №2 (б, в), №3 (г, д) варіанти 3 і 4.

7. Підсумок уроку

Отже, ми сьогодні з вами вирішували логарифмічні рівняння. А тепер давайте узагальнимо, які методи вирішення рівнянь ми застосовували:
використовуючи визначення логарифма,

за допомогою основного логарифмічного тотожності,

за допомогою методу потенціювання,

введення нової змінної,

перехід від рівняння з різними підставами до одній підставі,

за допомогою властивостей логарифма.

Виставляння оцінок за кількістю "+" в зошиті, за рішення на дошці і по картках. Визначення результативності роботи учнів.

Наш урок підійшов до кінця. Чи досягли ми поставленої мети?

Непомітно летить час, сьогодні ви - десятикласники, а завтра - вже випускники. Готуючись до іспиту, ніколи не думай, що бракує часу із завданням, а, навпаки, подумки малюй собі картину успіху і тоді у тебе обов'язково все вийде!

література:
Нікольський С.М., Потапов М.К., Решетніков М.М., Шовкун А.В. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 клас. Підручник для загальноосвітніх установ: Базовий і профільний рівні. - М., 2009

Потапов М.К., Шовкун А.В. Алгебра і початки математичного аналізу. Дидактичні матеріали для 10 класу. - М., 2009.

Шепелєва Ю.В. Алгебра і початки математичного аналізу. Тематичні і підсумкові тести для 10 класу. - М., 2009.

Лисенко Ф.Ф.. Математика ЄДІ-2009. Легіон. - М., 2009.

Клов А.Г. Математика ЄДІ-2010 - М., 2010 року.

Єріна Т.М. Алгебра. Логарифмічні рівняння і нерівності - М, 2004.

1 з 22

Опис презентації по окремим слайдів:

№ слайда 1

Навчальний посібник з алгебри Тема: «Логарифмічні і показові рівняння і нерівності »Виконала: Мануїлова Л.Н.-учитель математики МБОУ ЗОШ № 76 м Іжевськ Удмуртія

№ слайда 2

Зміст: Глава 1. 1.1. Поняття логарифма 1.2. Властивості логарифма 1.3. Логарифмічні рівняння А.Теоретіческая частина Б.Прімери 1.4. Логарифмічні нерівності А.Теоретіческая частина Б.Прімери Глава 2. 2.1. Ступінь позитивного числа 2.2. Показова функція 2.3. Показові рівняння А.Теоретіческая частина Б.Прімери 2.4. Показові нерівності А.Теоретіческая частина Б.Прімери Глава 3. 3.1. Тест по темі «Логарифмічні рівняння і нерівності» I рівень складності II рівень складності III рівень складності 3.2. Тест по темі «Показові рівняння і нерівності» I рівень складності II рівень складності III рівень складності

№ слайда 3

1.1 Поняття логарифма у х y \u003d b b M 1 0 n y \u003d ax (a\u003e 1) х y \u003d ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 0) називають число n, таке, що b \u003d an Логарифм позитивного числа b по підставі a (a\u003e 0, a ≠ 1) позначають так: n \u003d loga b З визначення логарифм очевидно випливає, що для a\u003e 0 , a ≠ 1, b\u003e 0: a loga b \u003d b

№ слайда 4

Логарифмічна функція у у х х 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y \u003d log2 x y \u003d log3 x y \u003d log⅓x y \u003d log½x Функцію y \u003d loga x називають логарифмічною функцією. Властивості функції y \u003d loga x, при а\u003e 0: безперервний і зростає на проміжку (0; + ∞); Якщо х → + ∞, то у → + ∞; якщо х → 0, то у → -∞. Так як loga1 \u003d 0, то з властивості 1 випливає: якщо х\u003e 1, то у\u003e 0; якщо 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х > 1, то у< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

№ слайда 5

Нехай a, M і N - позитивні числа, причому a ≠ 1, і k - дійсно число. Тоді справедливі рівності: 1. loga (M · N) \u003d loga M + loga N - Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел. 2. loga М \u003d loga M - loga N - Логарифм приватного позитивних чисел N дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника. 3. loga Mk \u003d k · loga M - Логарифм ступеня позитивно числа дорівнює добутку показника степеня на логарифм цього числа. 4. loga M \u003d logb M → loga b \u003d 1 - Формула переходу логарифмів від одного logb a logb a підстави до іншого. Окремі випадки: 1. log10 b \u003d lg b - Логарифм позитивного числа b по підставі 10 називають десятковим логарифмом числа b. 2. loge b \u003d ln b - Логарифм позитивного числа b по підставі e називають натуральним логарифмом числа b 1.2 Властивості логарифмів

№ слайда 6

1. Нехай а - це позитивне, не рівне 1 число, b - це дійсне число. Тоді рівняння loga x \u003d b - називають найпростішим логарифмическим рівнянням. Наприклад, рівняння a) log3 x \u003d 3; (1) б) log⅓ x \u003d -2; (2) в) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x \u003d 0; (3) є найпростішими логарифмічними рівняннями. За визначенням логарифма якщо число х0, задовольняє числовому рівності loga x \u003d b, то число x0 є аb, причому це число x0 \u003d ab єдине. Таким чином, для будь-якого дійсного числа b рівняння loga x \u003d b має єдиний корінь x0 \u003d ab. 2. Рівняння, які після заміни невідомого перетворюються в найпростіші логарифмічні рівняння: а) log5 (4x - 3) \u003d 2; (4) б) 2 + 1 \u003d -1; (5) lg (3x + 1) + lg0,01 lg (3x + 1) 1.3 Рівняння (Теоретична частина)

№ слайда 7

1.3 Приклади log3 x \u003d 3 Перепишемо рівняння у вигляді: log3 x \u003d log3 27 Тоді очевидно, що це рівняння має єдиний корінь x0 \u003d 27. Відповідь: 27. б) log1 / 3 x \u003d -2 Це рівняння має єдиний корінь x0 \u003d ( ⅓) -2 \u003d 9 Відповідь: 9. в) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x \u003d 0 (1) Наводячи всі логарифми до одній підставі, перепишемо рівняння у вигляді: 1 + 5 + 7 \u003d 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Так як кожний доданок суми, укладену в дужки, позитивно, то сума не дорівнює нулю. Тому рівняння (1), і значить рівняння (2), рівносильні рівняння log25 x \u003d 0, має єдиний корінь x0 \u003d 1. Отже, рівняння (1) має єдиний корінь x0 \u003d 1. Відповідь: 1. а, б - найпростіші рівняння; в - рівняння, яке після перетворень перетворюється в просте лог. рівняння

№ слайда 8

1.3 Приклади а) log5 (4x - 3) \u003d 2 (1) Ввівши нове відоме t \u003d 4x - 3, перепишемо рівняння у вигляді: log5 t \u003d 2. Це рівняння має єдиний корінь t1 \u003d 52 \u003d 25. Щоб знайти корінь рівняння (1), треба вирішити рівняння: 4х - 3 \u003d 25. (2) Воно має єдиний корінь x1 \u003d 7. Отже, рівняння (1) теж має єдиний корінь х1 \u003d 7. Відповідь: 7. б) 2 + 1 \u003d -1 (1) lg (3x + 1) + lg0,01 lg (3x + 1) Ввівши нове невідоме t \u003d lg (3x + 1) і з огляду на що lg 0,01 \u003d -2, перепишемо рівняння (1) у вигляді: 2 + 1 \u003d -1 (2) t2 t Вирішивши раціональне рівняння (2), отримаємо, що воно має два кореня t1 \u003d -2 і t2 \u003d 1. Щоб знайти всі корені рівняння (1), треба об'єднати коріння двох рівнянь lg (3x + 1) \u003d -2 і lg (3x + 1) \u003d 1. Перше рівняння рівносильне рівнянню 3x + 1 \u003d 10-2, має єдиний корінь x1 \u003d -0.33. Друге рівняння рівносильне рівнянню 3x + 1 \u003d 10, також має єдиний корінь x2 \u003d 3. Відповідь: -0,33; 3. а, б - рівняння, що зводяться до найпростіших заміною невідомого

№ слайда 9

1.4 Нерівності (Теоретична частина) Нехай a - це позитивно, не рівне 1 число, b - це дійсне число. Тоді нерівності: logа x\u003e b (1) logа x< b (2) являются простейшими логарифмічними нерівностями. Нерівності (1) і (2) можна переписати у вигляді: loga x\u003e loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, то функція y \u003d loga x зростає на всій своїй області визначення, тобто на інтервалі (0; + ∞). Тому для будь-якого числа x\u003e x0 справедливо числове нерівність loga x\u003e loga x0, а для будь-якого числа х з проміжку 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а > 1 і будь-якому дійсному числі b безліч всіх рішень нерівності (3) є інтервал (х0; + ∞), а безліч всіх рішень нерівності (4) є інтервал (0; х0). Якщо ж 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x > x0 справедливо числове нерівність loga x< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x > loga x0. Крім того, рівність loga x \u003d loga x0 справедливо лише при х \u003d х 0. Таким чином, при 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

№ слайда 10

1.4 Нерівності (Теоретична частина) На координатній площині xOy розглянемо графіки функції y \u003d loga x і y \u003d b. Пряма y \u003d b перетинає графік функції y \u003d loga x в єдиній точці x0 \u003d ab. Якщо a\u003e 1, то для кожного x\u003e x0 відповідна точка точка графіка функції y \u003d loga x знаходиться вище прямої y \u003d b, тобто для кожного x\u003e x0 відповідна ордината y \u003d ах більше, ніж ордината aх0, а для кожного х з інтервалу 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x > x0 відповідна точка графіка функції y \u003d loga x знаходиться нижче прямої y \u003d b, а для кожного x з інтервали 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a > 1) y \u003d b y \u003d loga x (0< a < 1) х0

№ слайда 11

1.4 Приклади Вирішимо нерівність log1 / 3 x\u003e -2. (1) Так як -2 \u003d log⅓ 9, то нерівність (1) можна переписати у вигляді log ⅓x\u003e log ⅓ 9 (2) Так як ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x > ½. (3) Так як ½ \u003d log4 2, то нерівність (3) можна переписати у вигляді log4 x\u003e log4 2 (4) Так як 4\u003e 1, то функція y \u003d log4 x зростаюча. Тому безліч всіх рішень нерівності (4), а значить і нерівності (3), є інтервал (2; + ∞). Відповідь: (2; + ∞). (Див. Рис.1) х у 1 2 3 4 1 -1 0 рис.1 y \u003d ½ y \u003d log4 x

№ слайда 12

1.4 Приклади Вирішимо нерівність log3 x - 3log9 x - log81 x\u003e 1,5. (5) Оскільки log9 x \u003d (log3 x) / (log3 9) \u003d (log3 x) / 2 \u003d ½ (log3 x), log81 x \u003d (log3 x) / (log3 81) \u003d (log3 x) / 4 \u003d ¼ (log3 x), то нерівність (5) можна переписати у вигляді: (1 - 1,5 - ¼) log3 x\u003e 1.5 або у вигляді log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 > 1, то функція y \u003d log3 x зростаюча. Тому безліч всіх рішень нерівності (6), а значить і нерівності (5), тобто інтервал 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

№ слайда 13

2.1 Ступінь позитивного числа Ступінь з раціональним показником Нехай а - позитивне число, а p / q - раціональне число (q ≥ 2). За визначенням число а в ступені p / q є арифметичний корінь ступеня q з a в ступеня p, тобто a p / q \u003d q√ap. ТЕОРЕМА. Нехай a - позитивне число, p - ціле число, k і q - натуральні числа, Q ≥ 2, k ≥ 2. Тоді справедливі рівності a) ap / q \u003d (a1 / p) p; б) ap / q \u003d a pk / qk; в) ap \u003d а pq / q; Властивості ступеня з раціональним показником ТЕОРЕМА 1. Позитивне число а в ступені з будь-яким раціональним показником r позитивно: аr\u003e 0 Теорема 2. Нехай а - позитивне число, а r1, r2 і r - раціональні числа. Тоді справедливі властивості: 1. При множенні ступенів з раціональними показниками одного і того ж позитивного числа показники ступенів складають: Аr1 ∙ аr2 \u003d Аr1 + r2. 2. При розподілі ступенів з раціональними показниками одного і того дже позитивного числа показники ступенів віднімають: Аr1: аr2 \u003d Аr1 - r2. 3. При зведенні ступеня з раціональним показником позитивного числа в раціональну ступінь показники ступенів перемножуються: (а r1) r2 \u003d а r1 ∙ r2. ТЕОРЕМА 3. Нехай а і b - позитивні числа, а r - раціональне число. Тоді справедливі такі властивості ступеня з раціональним показником: Ступінь з раціональним показником твори позитивних чисел дорівнює добутку тих же ступенів співмножників: (ab) r \u003d ar ∙ br. Ступінь з раціональним показником приватного позитивних чисел дорівнює частці тих же ступенів діленого і дільника: (a / b) r \u003d ar / br. ТЕОРЕМА 4. Нехай число a\u003e 1, а r - раціональне число. Тоді ar\u003e 1 при r\u003e 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a > 1, а раціональні числа r1 і r2 задовольняють нерівності r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

№ слайда 14

2.2 Показова функція Розглянемо функцію y \u003d a (1), де a\u003e 0 і a ≠ 0, на безлічі раціональних чисел. Для кожного раціонального числа r визначено число ar. Цим функція (1) поки визначена на безлічі раціональних чисел. Графік цієї функції в системі координат x0y є сукупність точок (x; ax), де x - будь-яке раціональне число. При a\u003e 1 цей графік схематично зображено на малюнку (1), а при 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют показовою функцією з основою а.

№ слайда 15

2.3 Показові рівняння (Теоретична частина) 1. Нехай a - це позитивне, не рівне 1 число, b - це дійсне число. Тоді рівняння ax \u003d b (1) називають найпростішим показовим рівнянням. Наприклад, рівняння 2х \u003d 8, (1/3) х \u003d 9, 25х \u003d -25 є найпростішими показовими рівняннями. Коренем (або рішенням) рівняння з невідомим x називають число x0, при підстановці якого в рівняння замість x виходить правильне числове рівність. Вирішити рівняння - означає знайти всі його корені або показати, що їх немає. Оскільки ax0\u003e 0 для будь-якого дійсного числа x0, для якого було б справедливо числове рівність ax0 \u003d b задовольняє однина x0 \u003d loga b. Таким чином, рівняння (1): При b ≤ 0 не має коренів; При b\u003e 0 має єдиний корінь x0 \u003d loga b. 2. Рівняння, який після заміни невідомого перетворюються в найпростіші показникові рівняння.

№ слайда 16

2.3 Приклади Вирішимо рівняння (1/2) х \u003d 2 (2) Так як 2\u003e 1, то це рівняння має єдиний корінь x0 \u003d log½ 2 \u003d -1. Відповідь: -1. Вирішимо рівняння 3х \u003d 5 (3) Так як 5\u003e 0, то це рівняння має єдиний корінь x0 \u003d log3 5. Відповідь: log3 5. Вирішимо рівняння 25х \u003d -25 Оскільки -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b > 0 це рівняння часто записують у вигляді ax \u003d aα, де α \u003d loga b. Тоді очевидно, що єдиний корінь цього рівняння, а значить і рівняння (1), є число α. Так як рівняння (2) можна записати у вигляді (1/2) х \u003d (1/2) -1, то його єдиний корінь x0 \u003d -1. Так як рівняння (3) можна записати у вигляді 3х \u003d 3log 35, то його єдиний корінь x0 \u003d log3 5.

№ слайда 17

2.3 Приклади Тепер розглянемо рівняння, які після нескладних перетворень перетворюються в найпростіші показникові рівняння. Вирішимо рівняння 5х + 2 - 2 · 5х - 3 · 5х + 1 \u003d 200 (4) Так як 5х + 2 \u003d 25 · 5х, 5х + 1 \u003d 5 · 5х, то рівняння (4) можна переписати у вигляді 5х · ( 25 - 2 - 15) \u003d 200 або у вигляді 5х \u003d 52 (5) Очевидно, що рівняння (5), а значить і рівняння (4), мають єдиний корінь x0 \u003d 2. Відповідь: 2. Вирішимо рівняння 4 · 3х - 9 · 2х \u003d 0 (6) Так як 2х ≠ 0 для будь-якого дійсного числа, то, розділивши рівняння (6) на 2х, отримаємо рівняння 4 · (3/2) х - 9 \u003d 0, (7) рівносильне рівнянню (6 ). Рівняння (7) можна переписати у вигляді (3/2) х \u003d (3/2) 2. (8) Оскільки рівняння (8) має єдиний корінь x0 \u003d 2, то і рівносильне йому рівняння (6) має єдиний корінь x0 \u003d 2. Відповідь: 2.

№ слайда 18

2.3 Приклади Вирішимо рівняння 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 - 8x + 3 -1 \u003d 0. (9) Переписавши рівняння (9) у вигляді 34x2 - 8x + 3 \u003d 1, введемо нове невідоме t \u003d 4x2 - 8x + 3. Тоді рівняння (9) можна переписати у вигляді 3t \u003d 1. (10) Так як рівняння (10 ) має єдиний корінь t1 \u003d 0, то для того, щоб знайти корені рівняння (9), треба вирішити рівняння 4x2 - 8x + 3 \u003d 0. Це рівняння має два кореня x1 \u003d 1/2, х2 \u003d 3/2, тому рівняння (9) має те ж коріння. Відповідь: 1/2; 3/2. Тепер розглянемо рішення рівнянь, які після введення нового невідомого t перетворюються в квадратні або раціональні рівняння з невідомим t. Вирішимо рівняння 4х - 3 · 2х + 2 \u003d 0. (11) Так як 4х \u003d (2х) 2, то рівняння (11) можна переписати у вигляді (2х) 2 - 3 · 2х + 2 \u003d 0. Ввівши нове невідоме t \u003d 2х, одержимо квадратне рівняння t2 - 3t + 2 \u003d 0, яке має два кореня t1 \u003d 1, t2 \u003d 2. Отже, щоб знайти всі корені рівняння (11), треба об'єднати всі корені двох рівнянь 2х \u003d 1 і 2х \u003d 2 . Вирішивши ці найпростіші показникові рівняння, отримаємо, що всі корені рівняння (11) є x1 \u003d 0; х2 \u003d 1. Відповідь: 0; 1.

№ слайда 19

2.4 Показові нерівності (Теоретична частина) Нехай a - це позитивне, не рівне 1 число, b - це дійсне число. Тоді нерівності ax\u003e b (1) і ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x > 4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 > 0 для будь-якого дійсного числа х0, то при b ≤ 0 нерівність a x0\u003e b справедливо для Будь-якого дійсного числа х0, але немає жодного дійсного числа х0, для якого було б справедливо числове нерівність a x0< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b > 0, то нерівність (1) і (2) можна переписати у вигляді ax\u003e ax0 (1) і ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а > 1. Так як для такого а функція y \u003d ax є зростаючою, то для будь-якого числа х\u003e\u003e ax0, а для будь-якого числа х\u003e x0 справедливо числове нерівність ax< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

№ слайда 20

2.4 Показові нерівності (Теоретична частина) Таким чином, при b\u003e 0 і a\u003e 1 безліч всіх рішень нерівності (3) є інтервал (x0; + ∞), а безліч всіх рішень нерівності (4) є інтервал (-∞; x0) , де x0 \u003d loga b. Нехай тепер 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х > x0 справедливо числове нерівність ax< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b > 0 і 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax > b і немає таких х, для яких виконувалося б нерівність ax< b . При b > 0 пряма y \u003d b перетинає графік функції y \u003d ах в єдиній точці x0 \u003d loga b. 1 y y x x y \u003d 0 y \u003d 0 y \u003d ax (a\u003e 1) 0 1 y \u003d b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

№ слайда 22

2.4 Приклади Вирішимо нерівність 2x< 8 . (1) Так как 8 > 0, то нерівність (1) можна переписати у вигляді 2x< 23. (2) Так как 2 > 1, то функція y \u003d 2x зростаюча. Тому рішеннями нерівності (2), а значить і нерівності (1), є всі х< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 > 0, то це нерівність (3) можна переписати у вигляді (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х > log⅓ 5. Відповідь: (log⅓ 5; + ∞). Розглянемо нерівність, яке після заміни невідомого перетворюється в просте показове нерівність. Вирішимо нерівність 5 3x2 - 2x - 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 > 1, то всі рішення цієї нерівності є всі t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратное неравенство (6), найдем все его решения: -1 < x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Концентрація уваги: \u200b\u200bКонцентрація уваги дорівнює N. N \u003d (число вірних відповідей) х 0,125 х 100%. Запишіть окремий випадок формули переходу до логарифму іншої основи Запишіть формулу переходу до логарифму іншої основи Чому дорівнює логарифм ступеня числа і підстави? Чому дорівнює логарифм ступеня підстави? Чому дорівнює логарифм ступеня числа? Чому дорівнює логарифм приватного? Чому дорівнює логарифм твори? Сформулюйте визначення логарифма Про т в е т В про п р про з до р про з с - про п р про з

Розглянемо взаємне розташування графіка функції y \u003d log a x (a\u003e 0, a ≠ 1) і прямий y \u003d b. y \u003d log a x (a\u003e 1) y x 0 y \u003d log a x (0

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення ВИСНОВОК: Графік функції y \u003d log a x (a\u003e 0, a ≠ 1) і пряма y \u003d b перетинаються в єдиній точці, тобто рівняння log a x \u003d b, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 має єдине рішення x 0 \u003d a b.

ВИЗНАЧЕННЯ: Рівняння log a x \u003d b, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 називається найпростішим логарифмическим рівнянням. Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Приклад:

Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. ВИЗНАЧЕННЯ: логарифмічна називаються рівняння, що містять невідому під знаком логарифма або в підставі логарифма (або і те й інше одночасно). Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення

Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. ДОПОВНЕННЯ: При вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно враховувати: область допустимих значень логарифма: під знаком логарифма можуть перебувати тільки позитивні величини; в підставі логарифмів - тільки позитивні величини, відмінні від одиниці; властивості логарифмів; дію потенцирования. Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 1) Найпростіші логарифмічні рівняння. Приклад №1 Відповідь: Рішення:

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 2) Логарифмічні рівняння, що зводяться до найпростіших логарифмическим рівнянням. Приклад №1 Відповідь: Рішення:

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 3) Логарифмічні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь. Приклад №1 Відповідь: Рішення:

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 3) Логарифмічні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь. Приклад №2 Відповідь: Рішення: В знайденої області допустимих значень змінної x перетворимо рівняння, використовуючи властивості логарифмів. З урахуванням області допустимих значень отримаємо: 10; 100

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 4) Логарифмічні рівняння, що зводяться до раціональних рівнянь. Приклад №1 Відповідь: Рішення: Повернемося до змінної х

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 4) Логарифмічні рівняння, що зводяться до раціональних рівнянь. Приклад №2 Відповідь: Рішення: В знайденої області допустимих значень змінної х перетворимо дане рівняння і отримаємо: Повернемося до змінної х:

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 5) Логарифмічні рівняння зі змінною в підставі і під знаком логарифма. Приклад №1 Відповідь: Рішення: В знайденої області допустимих значень змінної х перетворимо рівняння і отримаємо: З урахуванням області допустимих значень змінної х отримаємо:

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення Типи і методи вирішення логарифмічних рівнянь. 5) Логарифмічні рівняння зі змінною в підставі і під знаком логарифма. Приклад №2 Відповідь: Рішення: В знайденої області допустимих значень змінної х рівняння рівносильне сукупності: З урахуванням області допустимих значень змінної х отримаємо: 5; 6.

Логарифмічні рівняння їх типи і методи вирішення

При вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей користуються властивостями логарифмів, а також властивостями логарифмічною функції

y \u003d log a x, a\u003e 0, a 1:

1) Область визначення: x\u003e 0;

2) Область значень: y R ;

3) log a x 1 \u003d log a x 2 x 1 \u003d x 2;

4) При a\u003e 1 функція y \u003d log a x зростає, при 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x > 0, тобто

a\u003e 1 і log a x 1\u003e log a x 2 x 1\u003e x 2,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

При переходах від логарифмічних рівнянь (нерівностей) до рівнянь (нерівностей), що не містить знака логарифма, слід враховувати область допустимих значень (ОДЗ) вихідного рівняння (нерівності).

Завдання і тести по темі "Логарифмічні рівняння"

логарифмічні рівняння
Уроків: 4 Завдань: 25 Тестів: 1
Системи показових і логарифмічних рівнянь - Показова і логарифмічна функції 11 клас
Уроків: 1 Завдань: 15 Тестів: 1
§5.1. Рішення логарифмічних рівнянь
Уроків: 1 Завдань: 38
§7 Показові і логарифмічні рівняння і нерівності - Розділ 5. Показова і логарифмічна функції 10 клас
Уроків: 1 Завдань: 17
равносильность рівнянь - Рівняння і нерівності 11 клас
Уроків: 2 Завдань: 9 Тестів: 1

При вирішенні логарифмічних рівнянь в багатьох випадках доводиться використовувати властивості логарифма твори, приватного, ступеня. У тих випадках, коли в одному логарифмическом рівнянні є логарифми з різними підставами, застосування зазначених властивостей можливо лише після переходу до логарифмам з рівними підставами.

Крім того, рішення логарифмічного рівняння слід починати з знаходження області допустимих значень (О.Д.З.) заданого рівняння, тому що в процесі вирішення можлива поява сторонніх коренів. Завершуючи рішення, не забудьте перевірити знайдені корені на приналежність О.Д.З.

Вирішувати логарифмічні рівняння можна і без використання О.Д.З. В цьому випадку перевірка є обов'язковим елементом рішення.

Приклади.

Вирішити рівняння:

a) log 3 (5х - 1) \u003d 2.

Рішення:

ОДЗ: 5х - 1\u003e 0; х\u003e 1/5.
log 3 (5х- 1) \u003d 2,
log 3 (5х - 1) \u003d log 3 3 2,
5х - 1 \u003d 9,
х \u003d 2.

1 варіант

2 варіант

ключ

	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	B1	B2	C1
1 варіант	2	1	3	4	1	3	1	4	3	2
2 варіант	2	2	4	2	4	3	2	3	4	2