Приклади на тему показові рівняння. Статечні або показові рівняння
Не лякайся моїх слів, ти вже стикався з цим методом в 7 класі, коли вивчав многочлени.
Наприклад, якщо тобі потрібно:
Давай згрупуємо: перше і третє доданок, а також друге і четверте.
Ясно, що перше і третє - це різниця квадратів:
а друге і четверте мають загальний множник трійку:
Тоді вихідне вираз рівносильно такому:
Звідки винести загальний множник вже не становить труднощів:
отже,
Ось приблизно таким чином ми і будемо робити при вирішенні показових рівнянь: шукати «спільність» серед доданків і виносити її за дужки, ну а потім - будь що буде, я вірю, що нам буде везти \u003d))
приклад №14
Справа стоїть далеко не ступінь сімки (я перевіряв!) Та й зліва - не набагато краще ...
Можна, звичайно, «відрубати» від першого доданка множник а від другого, а потім вже розбиратися з отриманим, але давай з тобою зробимо розумніше.
Я не хочу мати справу з дробом, які неминуче утворюються при «виділення», так чи не краще мені винести?
Тоді дробів у мене не буде: як то кажуть, і вовки ситі і вівці цілі:
Порахуй вираз в дужках.
Чарівним, магічним чином виходить, що (дивно, хоча чого нам ще чекати?).
Тоді скоротимо обидві частини рівняння на цей множник. Отримаємо:, звідки.
Ось приклад складніше (зовсім небагато, правда):
Ось біда-то! У нас тут немає одного загального підстави!
Не зовсім ясно, що ж тепер робити.
А давай зробимо, що зможемо: по-перше перенесемо «четвірки» в одну сторону, а «п'ятірки» в іншу:
Тепер давай винесемо «загальне» ліворуч і праворуч:
Ну і що тепер?
У чому вигода від такої недолугої угруповання? На перший погляд вона зовсім не видно, однак давай глянемо глибше:
Ну а тепер зробимо так, щоб зліва у нас було тільки вираз с, а праворуч - все інше.
Як нам це зробити?
А ось як: Розділити обидві частини рівняння спочатку на (так ми позбудемося мірою справа), а потім розділимо обидві частини на (так ми позбудемося числового множника зліва).
Остаточно отримаємо:
Неймовірно!
Зліва у нас стоїть вираз, а праворуч - просто.
Тоді тут же робимо висновок, що
приклад №15
Я приведу його коротке рішення (Не особливо обтяжуючи себе поясненнями), постарайся сам розібратися у всіх «тонкощах» рішення.
Тепер підсумкове закріплення пройденого матеріалу.
Самостійно рішення наступних 7-ми завдань (з відповідями)
- Винесемо загальний множник за дужки: Звідки
- Перший вираз представимо у вигляді:, розділимо обидві частини на і отримаємо, що
- , Тоді вихідне рівняння перетвориться до виду: Ну а тепер підказка - шукай, де ми з тобою вже вирішували це рівняння!
- Уяви як, як, а, ну а потім поділи обидві частини на, так ти отримаєш найпростіше показове рівняння.
- Винеси за дужки.
- Винеси за дужки.
ПОКАЗОВІ Рівняння. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Я припускаю, що після ознайомлення з першою статтею, в якій розповідалося що таке показові рівняння і як їх вирішувати, Ти опанував необхідним мінімумом знань, необхідних для вирішення найпростіших прикладів.
Тепер я розберу ще один метод вирішення показових рівнянь, це ...
Метод введення нової змінної (або заміни)
Їм вирішується більшість «важких» завдань, на тему показові рівняння (і не тільки рівняння).
Цей спосіб - один з найбільш часто вживаних на практиці. Спершу рекомендую ознайомитися з темою.
Як ти вже зрозумів з назви, суть цього методу - ввести таку заміну змінної, що твоє показове рівняння чудесним чином перетвориться в таке, яке ти вже з легкістю можеш вирішити.
Все що тобі залишиться після вирішення цього самого «спрощеного рівняння» - це зробити «зворотний заміну»: тобто повернутися від заміненого до продуктивністю виріб.
Давай проілюструємо тільки що сказане на дуже простому прикладі:
Приклад 16. Метод простої заміни
Це рівняння вирішується за допомогою «Простої заміни», Як її зневажливо називають математики.
Справді, заміна тут - найочевидніша. Варто лише побачити, що
Тоді вихідне рівняння перетвориться ось в таке:
Якщо ж додатково представити як, то абсолютно ясно, що треба замінювати ...
Звичайно ж, .
У що тоді перетвориться вихідне рівняння? А ось у що:
Ти без проблем самостійно відшукаєш його коріння:.
Що нам робити тепер?
Прийшов час повертатися до початкової змінної.
А що я забув вказати?
Саме: при заміні деякій мірі на нову змінну (тобто при заміні виду), мене будуть цікавити тільки позитивні коріння!
Ти і сам без праці відповіси, чому.
Таким чином, нас з тобою не цікавить, а ось другий корінь нам цілком підходить:
Тоді, звідки.
відповідь:
Як бачиш, в попередньому прикладі, заміна так і просилася до нас в руки. На жаль, так буває далеко не завжди.
Однак, давай не переходити відразу до сумного, а потренуємося ще на одному прикладі з досить простою заміною
Приклад 17. Метод простої заміни
Ясно, що швидше за все замінювати доведеться (це найменша з ступенів, що входить в наше рівняння).
Однак перш ніж вводити заміну, наше рівняння потрібно до неї «підготувати», а саме:,.
Тоді можна замінювати, в результаті я отримаю такий вираз:
Про жах: кубічне рівняння з абсолютно моторошними формулами його рішення (ну якщо говорити в загальному вигляді).
Але давай не відразу впадати у відчай, а подумаємо, що нам робити.
Я запропоную смошенничать: ми знаємо, що для отримання «красивого» відповіді, нам потрібно отримати у вигляді деякої міри трійки (з чого б це, а?).
А давай спробуємо вгадати хоча б один корінь нашого рівняння (я почну гадати зі ступенів трійки).
Перше припущення. Чи не є коренем. На жаль і ах ...
.
Ліва частина дорівнює.
Права частина:!
Є! Вгадали перший корінь. Тепер справа піде легше!
Ти знаєш, про схему розподілу «куточком»? Звичайно знаєш, ти застосовуєш її, коли ділиш одне число на інше.
Але мало хто знає, що те ж саме можна робити і з многочленами.
Є одна чудова теорема:
Застосовується до моєї ситуації це говорить мені про те, що ділиться без залишку на.
Як же здійснюється поділ? А ось як:
Я дивлюся, на який одночлен я повинен помножити, щоб отримати
Ясно, що на, тоді:
Вичитав отриманий вираз з, отримаю:
Тепер, на що мені потрібно помножити, щоб отримати?
Ясно, що на, тоді отримаю:
і знову віднімемо отриманий вираз з залишився:
Ну і останній крок, домножимо на, і віднімемо з залишився вираження:
Ура, розподіл закінчено! Що ми накопичили в приватному?
Само собою: .
Тоді отримали ось таке розкладання вихідного многочлена:
Вирішимо друге рівняння:
Воно має коріння:
Тоді вихідне рівняння:
має три корені:
Останній корінь ми, звичайно, відкинемо, оскільки він менше нуля.
А перші два після зворотної заміни дадуть нам два кореня:
Відповідь: ..
Цим прикладом я аж ніяк не хотів налякати тебе!
Швидше навпаки, я ставив собі за мету показати, що хоч у нас була досить проста заміна, проте вона привела до досить складного рівняння, рішення якого зажадало від нас деяких особливих навичок.
Ну що ж, від цього ніхто не застрахований. Зате заміна в даному випадку була досить очевидною.
Приклад №18 (з менш очевидною заміною)
Зовсім не ясно, що нам робити: проблема в тому, що в нашому рівнянні два різних підстави і одна підстава не виходить з іншого зведенням ні в яку (розумну, природно) ступінь.
Однак, що ми бачимо?
Обидва підстави - відрізняються тільки знаком, а їх добуток - є різниця квадратів, що дорівнює одиниці:
визначення:
Таким чином, числа, які є підставами в нашому прикладі - пов'язані.
В такому випадку розумним кроком буде помножити обидві частини рівняння на поєднане число.
Наприклад, на, тоді ліва частина рівняння стане дорівнює, а права.
Якщо зробити заміну, то наше з тобою вихідне рівняння стане ось таким:
його коріння, тоді, а пам'ятаючи, що, отримаємо, що.
Відповідь:,.
Як правило, методу заміни виявляється досить, для вирішення більшості «шкільних» показових рівнянь.
наступні завдання підвищеного рівня складності взяті з варіантів ЄДІ.
Три завдання підвищеної складності з варіантів ЄДІ
Ти вже досить грамотний для того, щоб самостійно вирішувати дані приклади. Я лише наведу необхідну заміну.
- Розв'яжіть рівняння:
- Знайдіть корені рівняння:
- Розв'яжіть рівняння:. Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку:
А тепер короткі пояснення і відповіді:
приклад №19
Тут нам досить помітити, що і.
Тоді вихідне рівняння буде еквівалентно отакому:
Дане рівняння вирішується заміною
Подальші викладки виконай самостійно.
В кінці твоя задача зведеться до вирішення найпростіших тригонометричних (залежних від синуса або косинуса). Рішення подібних прикладів ми розберемо в інших розділах.
приклад №20
Тут навіть можна обійтися без заміни ...
Досить перенести від'ємник вправо і представити обидва підстави через ступеня двійки:, а потім відразу перейти до квадратного рівняння.
приклад №21
Теж вирішується досить стандартно: уявімо як.
Тоді замінивши отримаємо квадратне рівняння: тоді,
Ти ж уже знаєш, що таке логарифм? Ні? Тоді терміново читай тему!
Перший корінь, очевидно, не належить відрізку а другий - незрозуміло!
Але ми це дуже скоро дізнаємося!
Так як, то (це властивість логарифма!)
Віднімемо з обох частин, тоді отримаємо:
Ліву частину можна представити у вигляді:
домножимо обидві частини на:
можна помножити на, тоді
Тоді порівняємо:
так як, то:
Тоді другий корінь належить шуканого проміжку
відповідь:
Як бачиш, відбір коренів показових рівнянь вимагає досить глибокого знання властивостей логарифмів, Так що я раджу тобі бути якомога уважнішими, коли вирішуєш показові рівняння.
Як ти розумієш, в математиці все взаємопов'язано!
Як говорила моя вчителька з математики: «математику, як історію, за ніч не прочитаєш».
Як правило, всю складність при вирішенні задач підвищеного рівня складності становить саме відбір коренів рівняння.
Ще один приклад для тренування ...
приклад 22
Ясно, що саме рівняння вирішується досить просто.
Зробивши заміну ми зведемо наше вихідне рівняння до наступного:
Спочатку давай розглянемо перший корінь.
Порівняємо і: так як, то. (Властивість логарифмічною функції, при).
Тоді ясно, що і перший корінь не належить нашому проміжку.
Тепер другий корінь:. Ясно, що (так як функція при - зростаюча).
Залишилося порівняти і.
так як, то, в той же час.
Таким чином, я можу «вбити кілочок» між і.
Цим кілочком є \u200b\u200bчисло.
Перший вираз менше, а друге - більше.
Тоді другий вираз більше першого і корінь належить проміжку.
Відповідь:.
На завершення давай розглянемо ще один приклад рівняння, де заміна досить нестандартна.
Приклад №23 (Рівняння з нестандартною заміною!)
Давай відразу почнемо з того, що робити можна, а що - в принципі можна, але краще не робити.
Можна - представити всі через ступеня трійки, двійки і шістки.
До чого це призведе?
Так ні до чого і не призведе: мішанина ступенів, причому від деяких буде досить складно позбутися.
А що ж тоді потрібно?
Давай зауважимо, що а
І що нам це дасть?
А то, що ми можемо звести рішення даного прикладу до вирішення досить простого показового рівняння!
Спочатку давай перепишемо наше рівняння у вигляді:
Тепер розділимо обидві частини отриманого рівняння на:
Еврика! Тепер можна замінювати, отримаємо:
Ну що, тепер твоя черга вирішувати завдання на показові, а я приведу до них лише короткі коментарі, щоб ти не збився з вірного шляху! Успіхів!
приклад №24
Найважча!
Заміну тут угледіти ох як негелко! Але тим не менше цей факт цілком вирішуємо за допомогою виділення повного квадрата.
Для його вирішення досить помітити, що:
Тоді ось тобі і заміна:
(Зверни увагу, що тут при нашій заміні ми не можемо відкидати негативний корінь !!! А чому, як ти думаєш?)
Тепер для вирішення прикладу тобі залишилося вирішити два рівняння:
Обидва вони вирішуються «стандартної заміною» (зате другий в одному прикладі!)
приклад №25
2. Заметь, що і зроби заміну.
приклад №26
3. Розклади число на взаємно-прості множники і спрости отриманий вираз.
приклад №27
4. Поділи чисельник і знаменник дробу на (або, якщо тобі так більше до душі) і зроби заміну або.
приклад №28
5. Заметь, що числа і - пов'язані.
РІШЕННЯ ПОКАЗОВИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ логарифмування. ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ
На додаток давай розглянемо ще один спосіб - рішення показових рівнянь методом логарифмування.
Не можу сказати, що рішення показових рівнянь цим методом дуже вже популярно, проте в деяких випадках тільки він здатний привести нас до правильного рішення нашого рівняння.
Особливо часто він використовується для вирішення так званих « змішаних рівнянь»: Тобто таких, де зустрічаються функції різного виду.
приклад №29
в загальному випадку можна вирішити тільки логарифмування обох частин (наприклад по підставі), при якому вихідне рівняння перетвориться в наступне:
Давай розглянемо наступний приклад:
Ясно, що за ОПЗ логарифмічною функції, нас цікавлять тільки.
Однак, це слід не тільки з ОДЗ логарифма, а ще з однієї причини.
Я думаю, що тобі не буде важко вгадати, з якої ж саме.
Давай прологарифмируем обидві частини нашого рівняння за основою:
Як бачиш, логарифмирование нашого вихідного рівняння досить швидко привело нас до правильного (і красивому!) Відповіді.
Давай потренуємося ще на одному прикладі.
приклад №30
Тут теж немає нічого страшного: прологарифмируем обидві сторони рівняння за основою, тоді отримаємо:
Зробимо заміну:
Однак, ми дещо втратили! Ти помітив, де я зробив промах? Адже тоді:
що не задовольняє вимогу (подумай звідки воно взялося!)
відповідь:
Спробуй самостійно записати рішення показових рівнянь наведених нижче:
А тепер звір своє рішення з цим:
приклад №31
Логарифмуючи обидві частини за основою, враховуючи, що:
(Другий корінь нам не підходить через заміни)
приклад №32
Логарифмуючи по підставі:
Перетворимо отримане вираження до наступного вигляду:
ПОКАЗОВІ Рівняння. КОРОТКИЙ ОПИС ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
показовий рівняння
Рівняння виду:
називається найпростішим показовим рівнянням.
властивості ступенів
Підходи до вирішення
- Приведення до однакового основи
- Приведення до однакового показника ступеня
- заміна змінної
- Спрощення виразу і застосування одного з вищезгаданих.
На етапі підготовки до заключного тестування учням старших класів необхідно підтягнути знання з теми «Показові рівняння». Досвід минулих років свідчить про те, що подібні завдання викликають у школярів певні труднощі. Тому старшокласникам, незалежно від рівня їх підготовки, необхідно ретельно засвоїти теорію, запам'ятати формули і зрозуміти принцип рішення таких рівнянь. Навчившись справлятися з даним видом завдань, випускники зможуть розраховувати на високі бали при здачі ЄДІ з математики.
Готуйтеся до екзаменаційного тестування разом зі «Школково»!
При повторенні пройдених матеріалів багато учнів стикаються з проблемою пошуку потрібних для вирішення рівнянь формул. Шкільний підручник не завжди знаходиться під рукою, а відбір необхідної інформації по темі в Інтернеті займає тривалий час.
Освітній портал «Школково» пропонує учням скористатися нашою базою знань. Ми реалізуємо абсолютно новий метод підготовки до підсумкового тестування. Займаючись на нашому сайті, ви зможете виявити прогалини в знаннях і приділити увагу саме тих завдань, які викликають найбільші труднощі.
Викладачі «Школково» зібрали, систематизували і виклали весь необхідний для успішної здачі ЄДІ матеріал в максимально простій і доступній формі.
Основні визначення і формули представлені в розділі «Теоретична довідка».
Для кращого засвоєння матеріалу рекомендуємо попрактикуватися у виконанні завдань. Уважно перегляньте представлені на даній сторінці приклади показових рівнянь з рішенням, щоб зрозуміти алгоритм обчислення. Після цього приступайте до виконання завдань в розділі «Довідники». Ви можете почати з найлегших завдань або відразу перейти до вирішення складних показових рівнянь з декількома невідомими або. База вправ на нашому сайті постійно доповнюється і оновлюється.
Ті приклади з показниками, які викликали у вас труднощі, можна додати в «Вибране». Так ви можете швидко знайти їх і обговорити рішення з викладачем.
Щоб успішно здати ЄДІ, займайтеся на порталі «Школково» кожен день!
На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових відео уроків.
Для початку згадаємо основні формули ступенів і їх властивості.
твір числа a саме на себе відбувається n раз, цей вислів ми можемо записати як a a ... a \u003d a n
1. a 0 \u003d 1 (a ≠ 0)
3. a n a m \u003d a n + m
4. (a n) m \u003d a nm
5. a n b n \u003d (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Статечні або показові рівняння - це рівняння в яких змінні знаходяться в ступенях (або показниках), а підставою є число.
Приклади показових рівнянь:
В даному прикладі число 6 є підставою воно завжди стоїть внизу, а змінна x ступенем або показником.
Наведемо ще приклади показових рівнянь.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0
Тепер розберемо як вирішуються показові рівняння?
Візьмемо просте рівняння:
2 х \u003d 2 3
Такий приклад можна вирішити навіть в розумі. Видно, що x \u003d 3. Адже щоб ліва і права частина були рівні потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:
2 х \u003d 2 3
х \u003d 3
Для того, щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави (Тобто двійки) і записали то що залишилося, це ступеня. Отримали шуканий відповідь.
Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.
Алгоритм рішення показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однакові Чи є підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того як підстави стануть однаковими, прирівнюємо ступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.
Тепер прорешать кілька прикладів:
Почнемо з простого.
Підстави в лівій і правій частині рівні числу 2, значить ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.
x + 2 \u003d 4 Вийшло просте рівняння.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
Відповідь: x \u003d 2
У наступному прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.
3 3х - 9 х + 8 \u003d 0
Для початку переносимо дев'ятку в праву сторону, отримуємо:
Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 \u003d 3 2. Скористаємося формулою ступенів (a n) m \u003d a nm.
3 3х \u003d (3 2) х + 8
Отримаємо 9 х + 8 \u003d (3 2) х + 8 \u003d 3 2х + 16
3 3х \u003d 3 2х + 16 тепер видно що в лівій і правій стороні підстави однакові і рівні трійці, значить ми їх можемо відкинути і прирівняти ступеня.
3x \u003d 2x + 16 отримали просте рівняння
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
Відповідь: x \u003d 16.
Дивимося наступний приклад:
2 2х + 4 - 10 4 х \u003d 2 4
В першу чергу дивимося на підстави, підстави різні два і чотири. А нам потрібно, щоб були - однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m \u003d a nm.
4 х \u003d (2 + 2) х \u003d 2 2х
І ще використовуємо одну формулу a n a m \u003d a n + m:
2 2х + 4 \u003d 2 2х 2 4
Додаємо в рівняння:
2 2х 2 4 - 10 2 2х \u003d 24
Ми навели приклад до однакових підставах. Але нам заважають інші числа 10 і 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:
2 2х (2 4 - 10) \u003d 24
Порахуємо вираз в дужках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Всі рівняння ділимо на 6:
Уявімо 4 \u003d 2 + 2:
2 2х \u003d 2 2 підстави однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х \u003d 2 вийшло просте рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х \u003d 1
Відповідь: х \u003d 1.
Вирішимо рівняння:
9 х - 12 * 3 х + 27 \u003d 0
перетворимо:
9 х \u003d (3 2) х \u003d 3 2х
Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 \u003d 0
Підстави у нас однакові рівні трем.В даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь в два рази (2x) більше, ніж у другій (просто x). В такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:
Тоді 3 2х \u003d (3 х) 2 \u003d t 2
Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3
Повертаємося до змінної x.
Беремо t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 х
Стало бути,
3 х \u003d 9
3 х \u003d 3 2
х 1 \u003d 2
Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 х
3 х \u003d 3 1
х 2 \u003d 1
Відповідь: х 1 \u003d 2; х 2 \u003d 1.
На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ задавати питання ми Вам обов'язково відповімо.
Вступайте в групу
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, Будь ласка, завантажте повну версію.
Тип уроку
: Урок узагальнення і комплексних застосувань знань, умінь і навичок за темою "Показові рівняння і способи їх вирішення".Мета уроку.
устаткування:
комп'ютер і мультимедійний проектор.На уроці використовуються інформаційні технології : методичне забезпечення до уроку - презентація в програмі Microsoft Power Point.
Хід уроку
Будь-яке вміння працею дається
I. Постановка мети уроку(Слайд № 2 )
На цьому уроці підведемо підсумок і узагальнимо тему "Показові рівняння, їх рішення". Познайомимося з типовими завданнями ЄДІ різних років по даній темі.
Завдання на рішення показових рівнянь можуть зустрічатися в будь-якій частині завдань ЄДІ. В частини " В " зазвичай пропонують вирішити найпростіші показникові рівняння. В частини " З " можна зустріти більш складні показникові рівняння, рішення яких зазвичай є одним з етапів виконання завдання.
наприклад ( Слайд № 3 ).
- Єдиний державний іспит - 2007
В 4 - Знайдіть найбільше значення виразу х у, Де ( х; у) - рішення системи:
В 1 - Вирішити рівняння:
а) х 6 3х – 36 6 3х = 0;
б) 4 х +1 + 8 4 х= 3.
В 4 - Знайдіть значення виразу х + у, Де ( х; у) - рішення системи:
- Єдиний державний іспит - 2010
II. Актуалізація опорних знань. повторення
(Слайди № 4 - 6 презентації до уроку)На екран демонструється опорний конспект теоретичного матеріалу по темі.
Обговорюються такі питання:
- Які рівняння називаються показовими?
- Назвати основні способи їх вирішення. Привести приклади їх видів ( Слайд № 4 )
- Яку теорему використовують при вирішенні найпростіших показових рівнянь виду: а f (x) \u003d a g (x)?
- Які ще методи вирішення показових рівнянь існують? ( Слайд № 5 )
(Самостійно вирішити пропоновані рівняння до кожного способу і виконати самоперевірку за допомогою слайда)
- Метод розкладання на множники (Заснований на властивостях ступенів з підставами, прийом: виноситься за дужки ступінь з найменшим показником).
- Прийом ділення (множення) на показове вираження, відмінне від нуля, при вирішенні однорідних показових рівнянь .
- Порада:
-
Рішення рівнянь двома останніми методами з наступними коментарями
(Слайд № 6 ).
. 4 х+ 1 – 2 4 х– 2 = 124, 4 х– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 х– 2 62 = 124,4 х– 2 = 2, 4 х– 2 = 4 0,5 , х– 2 = 0,5, х \u003d 2,5 .
2 + 2 2х - 3 2 х 5 х - 5 5 2х \u003d 0| 5 2 х0,2 (2/5) 2х - 3 (2/5) х - 5 = 0,
t \u003d (2/5) х, t > 0, 2t 2 - 3 t - 5 = 0, t= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) х, х= ?...
III. Рішення завдань ЄДІ 2010
Учні самостійно вирішують запропоновані на початку уроку на слайді № 3 завдання, використовуючи вказівки до вирішення, перевіряють свій хід рішення і відповіді до них за допомогою презентації ( Слайд № 7 ). В процесі роботи обговорюються варіанти і способи вирішення, звертається увага на можливі помилки при вирішенні.
: А) 7 х- 2 \u003d 49, б) (1/6) 12 - 7 х = 36. відповідь: а) х\u003d 4, б) х = 2. : 4 х2 + 3х – 2 - 0,5 2х2 + 2х - 1 \u003d 0. (Можна замінити 0,5 \u003d 4 - 0,5)Рішення. ,
х 2 + 3х – 2 = -х 2 - 4х + 0,5 …
відповідь: х= -5/2, х = 1/2.
5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y , При сos y< 0.Вказівка \u200b\u200bдо вирішення
. 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y | 5 tg y 0,5 5 2g y + 4 5 tg y - 1 \u003d 0. Нехай х\u003d 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y \u003d1/5.
Так як tg y\u003d -1 і сos y< 0, то у II координатної чверті
відповідь: у= 3/4 + 2k, k N.
IV. Спільна робота біля дошки
Розглядається завдання високого рівня навченості - Слайд № 8 . За допомогою даного слайда відбувається діалог вчителя і учнів, який сприяє розвиткові рішення.
- При якому параметрі а рівняння 2 + 2 х – 3 2 х + а 2 – 4а \u003d 0 має два корені?нехай t= 2 х , де t > 0 . отримуємо t 2 – 3t + (а 2 – 4а) = 0 .
1). Так як рівняння має два кореня, то D\u003e 0;
2). Так як t 1,2\u003e 0, то t 1 t 2\u003e 0, тобто а 2 – 4а> 0 (?...).
відповідь: а(- 0,5; 0) або (4; 4,5).
V. Перевірочна робота
(Слайд № 9 )учні виконують перевірочну роботу на листочках, здійснюючи самоконтроль і самооцінку виконаної роботи за допомогою презентації, утверджуючись в темі. Самостійно визначають для себе програму регулювання і корекції знань з допущених помилок в робочих зошитах. Листи з виконаною самостійною роботою здаються вчителю на перевірку.
Підкреслені номера - базового рівня, Із зірочкою - підвищеної складності.
Рішення і відповіді.
3. 2 х– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 х– 1 76 = 19, 2 х– 1 = 1/4, 2 х– 1 = 2 – 2 , х– 1 = -2,
х \u003d -1.
4 * .3 9 х \u003d 2 3 х 5 х+ 5 25 х | : 25 х ,
3 (9/25) х \u003d 2 (3/5) х+ 5,
3 (9/27) х = 2 (3/5) х + 5 = 0,
3 (3/5) 2х – 2 (3/5) х - 5 = 0,…, (3/5) х = -1 (не підходить),
(3/5) х = 5, х \u003d -1.
VI. Завдання на будинок
(Слайд № 10 )- Повторити § 11, 12.
- з матеріалів ЄДІ 2008 - 2010 р вибрати завдання по темі і вирішити їх.
- Домашня перевірочна робота :
Цей урок призначений для тих, хто тільки починає вивчати показові рівняння. Як завжди, почнемо з визначення і найпростіших прикладів.
Якщо ви читаєте цей урок, то я підозрюю, що ви вже маєте хоча б мінімальне уявлення про найпростіші рівняннях - лінійних і квадратних: $ 56x-11 \u003d 0 $; $ ((X) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((X) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $ і т.д. Вміти вирішувати такі конструкції абсолютно необхідно для того, щоб не «зависнути» в тій темі, про яку зараз піде мова.
Отже, показові рівняння. Відразу наведу кілька прикладів:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Якісь із них можуть здатися вам більш складними, якісь - навпаки, занадто простими. Але всіх їх об'єднує одна важлива ознака: в їх запису присутній показова функція $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) $. Таким чином, введемо визначення:
Показовий рівняння - це будь-яке рівняння, що містить в собі показову функцію, тобто вираз виду $ ((a) ^ (x)) $. Крім зазначеної функції подібні рівняння можуть містити в собі будь-які інші алгебраїчні конструкції - многочлени, коріння, тригонометрію, логарифми і т.д.
Ну добре. З визначенням розібралися. Тепер питання: як всю цю хрень вирішувати? Відповідь одночасно і простий, і складний.
Почнемо з хорошої новини: зі свого досвіду занять з безліччю учнів можу сказати, що більшості з них показові рівняння даються набагато легше, ніж ті ж логарифми і вже тим більше тригонометрія.
Але є і погана новина: іноді укладачів завдань для всіляких підручників і іспитів відвідує «натхнення», і їх запалений наркотиками мозок починає видавати такі звірячі рівняння, що вирішити їх стає проблематично не лише учням - навіть багато вчителів на таких завданнях залипають.
Втім, не будемо про сумне. І повернемося до тих трьох рівнянь, які були наведені в самому початку розповіді. Спробуємо вирішити кожне з них.
Перше рівняння: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. Ну і в який ступінь треба звести число 2, щоб отримати число 4? Напевно, в другу? Адже $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - і ми отримали вірну числову рівність, тобто дійсно $ x \u003d 2 $. Що ж, спасибі, кеп, але це рівняння було настільки простим, що його вирішив би навіть мій кіт. :)
Подивимося на наступне рівняння:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]
А ось тут вже трохи складніше. Багато учнів знають, що $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ - це таблиця множення. Деякі також підозрюють, що $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ - це по суті визначення негативних ступенів (за аналогією з формулою $ ((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).
Нарешті, лише обрані здогадуються, що ці факти можна поєднувати і на виході отримати наступний результат:
\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
Таким чином, наше вихідне рівняння перепишеться так:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
А ось це вже цілком можна вирішити! Зліва в рівнянні варто показова функція, праворуч в рівнянні варто показова функція, нічого крім них ніде більше немає. Отже, можна «відкинути» підстави і тупо прирівняти показники:
Отримали найпростіше лінійне рівняння, яке будь-який учень вирішить буквально в пару рядків. Ну ладно, в чотири рядки:
\\ [\\ Begin (align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]
Якщо ви не зрозуміли, що зараз відбувалося в останніх чотирьох рядках - обов'язково поверніться в тему « лінійні рівняння»І повторіть її. Тому що без чіткого засвоєння цієї теми вам рано братися за показові рівняння.
\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Ну і як таке вирішувати? Перша думка: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, тому вихідне рівняння можна переписати так:
\\ [((\\ Left (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Потім згадуємо, що при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються:
\\ [((\\ Left (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ Rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]
\\ [\\ Begin (align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]
І ось за таке рішення ми отримаємо чесно заслужену двійку. Бо ми з незворушністю покемона відправили знак «мінус», що стоїть перед трійкою, в ступінь цієї самої трійки. А так робити не можна. І ось чому. Погляньте на різні ступені трійки:
\\ [\\ Begin (matrix) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) ( 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ (\\ 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (matrix) \\]
Складаючи цю табличку, я вже як тільки не перекручували: і позитивні ступеня розглянув, і негативні, і навіть дробові ... ну і де тут хоч одне від'ємне число? Його нема! І не може бути, тому що показова функція $ y \u003d ((a) ^ (x)) $, по-перше, завжди приймає лише позитивні значення (скільки вагон не множ або НЕ поділи на двійку - все одно буде позитивне число), а по-друге, підстава такої функції - число $ a $ - за визначенням є позитивним числом!
Ну і як тоді вирішувати рівняння $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $? А ніяк: коренів немає. І в цьому сенсі показові рівняння дуже схожі на квадратні - там теж може не бути коренів. Але якщо в квадратних рівняннях число коренів визначається дискримінантом (дискриминант позитивний - 2 кореня, негативний - немає коренів), то в показових все залежить від того, що стоїть праворуч від знака рівності.
Таким чином, сформулюємо ключовий висновок: найпростіше показове рівняння виду $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ має корінь тоді і тільки тоді, коли $ b \\ gt 0 $. Знаючи цей простий факт, ви без зусиль визначите: є у запропонованого вам рівняння коріння чи ні. Тобто чи варто взагалі його вирішувати або відразу записати, що коріння немає.
Це знання ще неодноразово допоможе нам, коли доведеться вирішувати більш складні завдання. А поки вистачить лірики - пора вивчити основний алгоритм вирішення показових рівнянь.
Як вирішувати показові рівняння
Отже, сформулюємо завдання. Необхідно вирішити показове рівняння:
\\ [((A) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]
Згідно «наївному» алгоритму, за яким ми діяли раніше, необхідно представити число $ b $ як ступінь числа $ a $:
Крім того, якщо замість змінної $ x $ стоятиме який-небудь вираз, ми отримаємо нове рівняння, яке вже цілком можна вирішити. наприклад:
\\ [\\ Begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ Rightarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Rightarrow -x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ end (align) \\]
І як не дивно, ця схема працює приблизно в 90% випадків. А що тоді з іншими 10%? Решта 10% - це трохи «шизофренічності» показові рівняння виду:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]
Ну і в який ступінь треба звести 2, щоб отримати 3? В першу? А ось і ні: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - замало. У другу? Теж ні: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - забагато. А в яку тоді?
Знаючі учні вже напевно здогадалися: в таких випадках, коли «красиво» вирішити не виходить, до справи підключається «важка артилерія» - логарифми. Нагадаю, що за допомогою логарифмів будь-яке позитивне число можна представити як ступінь будь-якого іншого позитивного числа (за винятком одиниці):
Пам'ятаєте цю формулу? Коли я розповідаю своїм учням про логарифми, то завжди попереджаю: ця формула (вона ж - основна логарифмічна тотожність або, якщо завгодно, визначення логарифма) буде переслідувати вас її дуже довго і «спливати» в найнесподіваніших місцях. Ну ось вона і спливла. Давайте подивимося на наше рівняння і на цю формулу:
\\ [\\ Begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ end (align) \\]
Якщо допустити, що $ a \u003d 3 $ - наше вихідне число, що стоїть праворуч, а $ b \u003d 2 $ - то саму підставу показовою функції, До якого ми так хочемо привести праву частину, то отримаємо наступне:
\\ [\\ Begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ Rightarrow 3 \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ end (align) \\]
Отримали трохи дивну відповідь: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 $. В якомусь іншому завданні багато при такій відповіді засумнівалися б і почали перевіряти своє рішення: раптом там десь закралася помилка? Поспішаю вас порадувати: ніякої помилки тут немає, і логарифми в коренях показових рівнянь - цілком типова ситуація. Так що звикайте. :)
Тепер вирішимо по аналогії залишилися два рівняння:
\\ [\\ Begin (align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ end (align) \\]
От і все! До речі, остання відповідь можна записати інакше:
Це ми внесли множник в аргумент логарифма. Але ніхто не заважає нам внести цей множник в основу:
При цьому всі три варіанти є правильними - це просто різні форми запису одного і того ж числа. Який з них вибрати і записати в сьогоденні вирішенні - вирішувати тільки вам.
Таким чином, ми навчилися вирішувати будь-які показові рівняння виду $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, де числа $ a $ і $ b $ строго позитивні. Однак сувора реальність нашого світу така, що подібні прості завдання будуть зустрічатися вам дуже і дуже рідко. Куди частіше вам буде потрапляти що-небудь типу цього:
\\ [\\ Begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ end (align) \\]
Ну і як таке вирішувати? Це взагалі можна вирішити? І якщо так, то як?
Без паніки. Всі ці рівняння швидко і просто зводяться до тих простими формулами, Які ми вже розглянули. Потрібно лише знати згадати парочку прийомів з курсу алгебри. Ну і звичайно, тут нікуди без правил роботи зі ступенями. Про все це я зараз розповім. :)
Перетворення показових рівнянь
Перше, що потрібно запам'ятати: будь-показове рівняння, яким би складним воно не було, так чи інакше має зводитися до найпростіших рівнянь - тим самим, які ми вже розглянули і які знаємо як вирішувати. Іншими словами, схема рішення будь-якого показового рівняння виглядає наступним чином:
- Записати вихідне рівняння. Наприклад: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Зробити якусь незрозумілу хрень. Або навіть кілька хрін, які називаються «перетворити рівняння»;
- На виході отримати найпростіші вирази виду $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ або що-небудь ще в такому дусі. Причому одне вихідне рівняння може давати відразу кілька таких виразів.
З першим пунктом все зрозуміло - записати рівняння на листочок зможе навіть мій кіт. З третім пунктом теж, начебто, більш-менш ясно - ми такі рівняння вже цілу пачку навирішувати вище.
Але як бути з другим пунктом? Що за перетворення? Що-що перетворювати? І як?
Що ж, давайте розбиратися. Перш за все, зазначу таке. Все показові рівняння діляться на два типи:
- Рівняння складено з показових функцій з одним і тим же підставою. Приклад: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- У формулі присутні показові функції з різними підставами. Приклади: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ і $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 $.
Почнемо з рівнянь першого типу - вони вирішуються найпростіше. І в їх вирішенні нам допоможе такий прийом як виділення стійких виразів.
Виділення сталого виразу
Давайте ще раз подивимося на це рівняння:
\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]
Що ми бачимо? Четвірка зводиться в різні ступені. Але всі ці міри - прості суми змінної $ x $ з іншими числами. Тому необхідно згадати правила роботи зі ступенями:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (y))). \\\\\\ end (align) \\]
Простіше кажучи, складання показників можна перетворити на витвір ступенів, а віднімання легко перетворюється в розподіл. Спробуємо застосувати ці формули до ступенями з нашого рівняння:
\\ [\\ Begin (align) & ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Перепишемо вихідне рівняння з урахуванням цього факту, а потім зберемо всі складові зліва:
\\ [\\ Begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -11; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]
У перших чотирьох доданків присутній елемент $ ((4) ^ (x)) $ - винесемо його за дужку:
\\ [\\ Begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1 + \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ end (align) \\]
Залишилося розділити обидві частини рівняння на дріб $ - \\ frac (11) (4) $, тобто по суті помножити на перевернуту дріб - $ - \\ frac (4) (11) $. отримаємо:
\\ [\\ Begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]
От і все! Ми звели вихідне рівняння до найпростішого і отримали остаточну відповідь.
При цьому в процесі рішення ми виявили (і навіть винесли за дужки) загальний множник $ ((4) ^ (x)) $ - це і є сталий вираз. Його можна позначати за нову змінну, а можна просто акуратно висловити і отримати відповідь. У будь-якому випадку, ключовий принцип вирішення наступний:
Знайти в вихідному рівнянні стійкий вираз, що містить змінну, яке легко виділяється з усіх показових функцій.
Гарна новина полягає в тому, що практично кожне показове рівняння допускає виділення такого сталого виразу.
Але є і погана новина: подібні вирази можуть виявитися вельми хитрими, і виділити їх буває досить складно. Тому розберемо ще одну задачу:
\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]
Можливо, у когось зараз виникне питання: «Паша, ти що, обкурився? Тут же різні підстави - 5 і 0,2 ». Але давайте спробуємо перетворити ступінь з підстава 0,2. Наприклад, позбудемося десяткового дробу, привівши її до звичайної:
\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (2) (10 ) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right)) ) \\]
Як бачите, число 5 все-таки з'явилося, нехай і в знаменнику. Заодно переписали показник у вигляді негативного. А тепер згадуємо одне з найважливіших правил роботи зі ступенями:
\\ [((A) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Тут я, звичайно, трохи злукавив. Тому що для повного розуміння формулу позбавлення від негативних показників треба було записати так:
\\ [((A) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n )) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ З іншого боку, ніщо не заважало нам працювати з однією лише дробом:
\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]
Але в цьому випадку потрібно вміти зводити ступінь в іншу ступінь (нагадаю: при цьому показники складаються). Зате не довелося «перевертати» дроби - можливо, для когось це буде простіше. :)
У будь-якому випадку, вихідне показове рівняння буде переписано у вигляді:
\\ [\\ Begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]
Ось і виходить, що вихідне рівняння вирішується навіть простіше, ніж раніше розглянуте: тут навіть не треба виділяти стійкий вираз - все само скоротилося. Залишилося лише згадати, що $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, звідки отримаємо:
\\ [\\ Begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ end (align) \\]
Ось і все рішення! Ми отримали остаточну відповідь: $ x \u003d -2 $. При цьому хотілося б відзначити один прийом, який значно спростив нам все викладки:
У показових рівняннях обов'язково позбавляйтеся від
десяткових дробів
, Переводите їх в звичайні. Це дозволить побачити однакові підстави ступенів і значно спростить рішення. перейдемо тепер до більшскладним рівнянням
, В яких присутні різні підстави, які взагалі не зводяться один до одного за допомогою ступенів. використання властивості ступенівНагадаю, що у нас є ще два особливо суворих рівняння:
\\ [\\ Begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ end (align) \\]
Основна складність тут - незрозуміло, що і до яким основи приводити. Де стійкі вирази? Де однакові підстави? Нічого цього немає.
Але спробуємо піти іншим шляхом. Якщо немає готових однакових підстав, їх можна спробувати знайти, розкладаючи наявні підстави на множники.
Почнемо з першого рівняння:
\\ [\\ Begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ end (align) \\]
Але ж можна вчинити навпаки - скласти з чисел 7 і 3 число 21. Особливо це просто зробити зліва, оскільки показники і обох ступенів однакові:
\\ [\\ Begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ end (align) \\]
От і все! Ви винесли показник ступеня за межі твору і відразу отримали гарне рівняння, яке вирішується в пару рядків.
Тепер розберемося з другим рівнянням. Тут все набагато складніше:
\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]
\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]
В даному випадку дробу вийшли нескоротних, але якби щось можна було скоротити - обов'язково скорочуйте. Найчастіше при цьому з'являться цікаві підстави, з якими вже можна працювати.
У нас же, на жаль, нічого особливо не з'явилося. Зате ми бачимо, що показники ступенів, що стоїть в творі зліва, протилежні:
Нагадаю: щоб позбутися від знака «мінус» в показнику, досить просто «перевернути» дріб. Що ж, перепишемо вихідне рівняння:
\\ [\\ Begin (align) & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9 ) (100); \\\\ & ((\\ left (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ end (align) \\]
У другій сходинці ми просто винесли загальний показник з твору за дужку за правилом $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((\\ left (a \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $, а в останній просто помножили число 100 на дріб.
Тепер зауважимо, що числа, які стоять зліва (в основі) і праворуч, чимось схожі. Чим? Так очевидно ж: вони є ступенями одного і того ж числа! маємо:
\\ [\\ Begin (align) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac ( 10) (3) \\ right)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)). \\\\\\ end (align) \\]
Таким чином, наше рівняння перепишеться так:
\\ [((\\ Left (((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ left (\\ frac (3 ) (10) \\ right)) ^ (2)) \\]
\\ [((\\ Left (((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10 ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x-1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \\]
При цьому справа теж можна отримати ступінь з таким же підставою, для чого достатньо просто «перевернути» дріб:
\\ [((\\ Left (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]
Остаточно наше рівняння набуде вигляду:
\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ end (align) \\]
Ось і все рішення. Основна його ідея зводиться до того, що навіть при різних підставах ми намагаємося будь-якими правдами і неправдами звести ці підстави до одного і того ж. У цьому нам допомагають елементарні перетворення рівнянь і правила роботи зі ступенями.
Але які правила і коли використовувати? Як зрозуміти, що в одному рівнянні потрібно ділити обидві сторони на щось, а в іншому - розкладати підставу показовою функції на множники?
Відповідь на це питання прийде з досвідом. Спробуйте свої сили спочатку на простих рівняннях, а потім поступово ускладнюйте завдання - і дуже скоро ваших навичок буде достатньо, щоб вирішити будь-показове рівняння з того ж ЄДІ або будь-який самостійної / контрольної роботи.
А щоб допомогти вам в цій нелегкій справі, пропоную завантажити на моєму сайті комплект рівнянь для самостійного рішення. До всіх рівнянь є відповіді, тому ви завжди зможете себе перевірити.
Загалом, бажаю вдалої тренування. І побачимося в наступному уроці - там ми будемо розбирати дійсно складні показникові рівняння, де описаних вище способів вже недостатньо. І простий тренування теж буде недостатньо. :)
Завантаження ...