Производната на функцията y x c е равна на. Производна на сложна функция
На който анализирахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциране и някои техники за намиране на производни. По този начин, ако не сте много с производните на функциите или някои точки от тази статия не са напълно ясни, тогава първо прочетете горния урок. Моля, настройте се на сериозно настроение - материалът не е лесен, но все пак ще се опитам да го представя по прост и достъпен начин.
На практика трябва да се справяте с производната на сложна функция много често, дори бих казал, почти винаги, когато ви се поставят задачи за намиране на производни.
Разглеждаме в таблицата правилото (№ 5) за диференциране на сложна функция:
Разбиране. Първо, нека обърнем внимание на записа. Тук имаме две функции - и освен това функцията, образно казано, е вградена във функцията. Функция от този вид (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.
Ще извикам функцията външна функцияи функцията - вътрешна (или вложена) функция.
! Тези определения не са теоретични и не трябва да се появяват в окончателния дизайн на заданията. Използвам неформални изрази "външна функция", "вътрешна" функция само за да ви улесня в разбирането на материала.
За да изясните ситуацията, помислете за:
Пример 1
Намерете производната на функция
Под синуса имаме не само буквата "X", а целочислен израз, така че няма да е възможно да се намери производната веднага от таблицата. Също така забелязваме, че е невъзможно да се прилагат първите четири правила тук, изглежда има разлика, но факт е, че не можете да „разкъсате“ синус:
В този пример, вече от моите обяснения, е интуитивно ясно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (вложена) и външна функция.
Първа стъпка, което трябва да се извърши при намиране на производната на сложна функция, е това разберете коя функция е вътрешна и коя външна.
В случай на прости примери изглежда ясно, че полиномът е вложен под синуса. Но какво ще стане, ако всичко не е очевидно? Как да определим коя точно функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се направи мислено или на чернова.
Представете си, че трябва да изчислим стойността на израз в на калкулатор (вместо едно може да има произволно число).
Какво ще изчислим първо? Преди всичкоще трябва да извършите следното действие:, така че полиномът ще бъде вътрешна функция: 
Второще трябва да се намери, така че синусът ще бъде външна функция: 
След като ние Разбрахс вътрешни и външни функции е време да приложим правилото за диференциране на сложна функция 
.
Започваме да решаваме. От урока Как да намеря производната?помним, че дизайнът на решението на всяка производна винаги започва така - затваряме израза в скоби и поставяме щрих в горния десен ъгъл:
Първонамерете производната на външната функция (синус), погледнете таблицата с производните на елементарните функции и забележете това. Всички таблични формули са приложими дори ако "x" е заменено със сложен израз, в такъв случай:
Имайте предвид, че вътрешната функция не се е променило, ние не го докосваме.
Е, това е съвсем очевидно
Резултатът от прилагането на формулата 
в крайния дизайн изглежда така:
Постоянен фактор обикновено се поставя в началото на израза:
Ако има някакво объркване, запишете решението и прочетете отново обясненията.
Пример 2
Намерете производната на функция
Пример 3
Намерете производната на функция
Както винаги, ние записваме: 
Нека да разберем къде имаме външна функция и къде имаме вътрешна. За да направите това, опитайте (умствено или на чернова) да изчислите стойността на израза at. Какво трябва да се направи първо? На първо място, трябва да изчислите на какво е равна основата: което означава, че полиномът е вътрешна функция: 
И едва тогава се извършва възлагането в степен, следователно функцията на мощността е външна функция: 
Според формулата 
, първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търсим необходимата формула в таблицата:. Пак повтаряме: всяка таблична формула е валидна не само за "x", но и за сложен израз... По този начин резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция 
следващия:
Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, вътрешната функция не се променя за нас: 
Сега остава да намерим много проста производна на вътрешната функция и да "разрешим" малко резултата:
Пример 4
Намерете производната на функция
Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).
За да затвърдя разбирането за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, спекулирайте къде е външната и къде е вътрешната функция, защо задачите бяха решени по този начин?
Пример 5
а) Намерете производната на функцията
б) Намерете производната на функцията
Пример 6
Намерете производната на функция 
Тук имаме корен и за да се диференцира коренът, той трябва да бъде представен като степен. Така първо привеждаме функцията във форма, подходяща за диференциране:
Анализирайки функцията, стигаме до извода, че сумата от три члена е вътрешна функция, а степенуването е външна функция. Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция 
:
Степента отново се представя като радикал (корен), а за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:
Готов. Можете също да доведете израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко в една дроб. Хубаво, разбира се, но когато се получат тромави дълги производни, по-добре е да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да провери).
Пример 7
Намерете производната на функция
Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).
Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за диференциране на сложна функция може да се използва правилото за диференциране на частното 
, но такова решение ще изглежда необичайно като извращение. Ето един типичен пример:
Пример 8
Намерете производната на функция
Тук можете да използвате правилото за диференциране на коефициента 
, но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:
Подготвяме функцията за диференциране - преместваме минус извън знака на производната и повдигаме косинуса до числителя:
Косинусът е вътрешна функция, степента е външна функция.
Ние използваме нашето правило 
:
Намерете производната на вътрешната функция, нулирайте косинуса обратно:
Готов. В разглеждания пример е важно да не се бъркате в знаците. Между другото, опитайте се да го решите с правилото 
, отговорите трябва да съвпадат.
Пример 9
Намерете производната на функция
Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).
Досега разглеждахме случаи, в които имахме само един прикачен файл в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, като кукли за гнездене, една в друга, 3 или дори 4-5 функции са вложени наведнъж.
Пример 10
Намерете производната на функция
Нека разберем прикачените файлове на тази функция. Опитвам се да оценим израза с помощта на тестовата стойност. Как да разчитаме на калкулатор?
Първо трябва да намерите, което означава, че арксинусът е най-дълбокото гнездене:
Тогава този арксинус от едно трябва да бъде на квадрат:
И накрая, вдигнете 7 на степен: 
Тоест, в този пример имаме три различни функции и две прикачени файлове, докато най-вътрешната функция е арксинус, а най-външната функция е експоненциалната функция.
Започваме да решаваме
Според правилото 
първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата на производните и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо "x" имаме сложен израз, който не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция 
следващия.
Много е лесно да се запомни.
Е, да не отиваме далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? логаритъм:
В нашия случай основата е число:
Такъв логаритъм (тоест логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: вместо това пишете.
На какво е равно? Разбира се, .
Производната на естествения логаритъм също е много проста:
Примери:
- Намерете производната на функцията.
- Каква е производната на функцията?
Отговори: Показателят и естественият логаритъм са уникално прости функции от гледна точка на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.
Правила за диференциране
Правилата на какво? Пак нов мандат, пак?!...
Диференциацияе процесът на намиране на производно.
Това е всичко. Как иначе да наречем този процес с една дума? Не е деривация ... Диференциалът на математиката се нарича същото увеличение на функция при. Този термин идва от латинското differentia - разлика. Тук.
Когато извеждаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Нуждаем се и от формули за техните увеличения:
Има общо 5 правила.
Константата се премества извън знака на производната.
Ако е някакво постоянно число (константа), тогава.
Очевидно това правило работи и за разликата:.
Нека го докажем. Нека или по-лесно.
Примери.
Намерете производните на функциите:
- в точката;
- в точката;
- в точката;
- в точката.
Решения:
- (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните?);
Производна на произведение
Тук всичко е същото: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:
Производна:
Примери:
- Намерете производните на функциите и;
- Намерете производната на функцията в точката.
Решения:
Производна на експоненциалната функция
Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производната на всяка експоненциална функция, а не само на степента (забравили ли сте какво е това?).
И така, къде е някакво число.
Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да прехвърлим нашата функция към нов корен:
За да направим това, ще използваме просто правило:. Тогава:
Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е трудна.
Се случи?
Ето, проверете сами:
Формулата се оказа много подобна на производната на степента: както беше, така и остана, се появи само множител, който е просто число, но не и променлива.
Примери:
Намерете производните на функциите:
Отговори:
Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-проста форма. Затова в отговора го оставяме в този вид.
Имайте предвид, че тук е частното от две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:
В този пример продуктът на две функции:
Производна на логаритмична функция
Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:
Следователно, за да намерите произволен един от логаритъма с различна основа, например:
Трябва да приведете този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъма? Надявам се да помните тази формула:
Едва сега вместо ние ще напишем:
Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:
Производните на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се намират в изпита, но няма да е излишно да ги знаете.
Производна на сложна функция.
Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции може да са трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви се струва труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще мине), но от гледна точка на математиката думата "труден" не означава "труден".
Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакво действие с някакви предмети. Например, първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв композитен обект: шоколадова лента, увита и вързана с панделка. За да изядете шоколадов блок, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.
Нека създадем подобен математически тръбопровод: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще квадратурираме полученото число. И така, получаваме номер (шоколадово блокче), намирам неговия косинус (обвивка) и след това квадратирате това, което имам (връзвате го с панделка). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, правим първото действие директно с променливата, а след това друго второ действие с резултата от първото.
С други думи, сложната функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .
За нашия пример,.
Можем да направим същите действия в обратен ред: първо квадратирате, а след това аз търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато промените реда на действията, функцията се променя.
Втори пример: (същото). ...
Действието, което правим последно, ще бъде извикано "Външна" функция, а предприетото първо действие – респ "Вътрешна" функция(това са неформални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).
Опитайте се сами да определите коя функция е външна и коя вътрешна:
Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция
- Кое е първото действие, което трябва да предприемете? Първо ще изчислим синуса и едва след това ще го повдигнем до куб. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
И оригиналната функция е техният състав:. - Вътрешен:; външен:.
Преглед: . - Вътрешен:; външен:.
Преглед: . - Вътрешен:; външен:.
Преглед: . - Вътрешен:; външен:.
Преглед: .
променяме променливи и получаваме функция.
Е, сега ще извлечем нашия шоколадов блок – потърсете производно. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. По отношение на оригиналния пример изглежда така:
Друг пример:
И така, нека най-накрая формулираме официално правило:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
Всичко изглежда просто, нали?
Нека проверим с примери:
Решения:
1) Вътрешни:;
Външен:;
2) Вътрешни:;
(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не може да бъде извадено изпод косинуса, помните ли?)
3) Вътрешни:;
Външен:;
Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в края на краищата това вече е сложна функция сама по себе си и от нея извличаме и корена, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколадово блокче в обвивка и я поставете в куфарче с панделка). Но няма причина да се страхуваме: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.
Тоест първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И тогава умножаваме всичко това.
В такива случаи е удобно да се номерират стъпките. Тоест, нека си представим какво знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да вземем пример:
Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:
Тук гнезденето обикновено е на 4 нива. Нека дефинираме курс на действие.
1. Радикален израз. ...
2. Корен. ...
3. Синус. ...
4. Квадрат. ...
5. Събиране на всичко:
ПРОИЗВОДЕН. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО
Производна на функция- съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:
Основни производни:
Правила за диференциация:
Константата се премества извън знака на производната:
Производна на сумата:
Производна на произведението:
Производна на коефициента:
Производна на сложна функция:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
- Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
- Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
- Умножаваме резултатите от първата и втората точка.
Вероятно концепцията за производно е позната на всеки от нас още от училище. Обикновено учениците изпитват трудности да разберат това, несъмнено много важно нещо. Той се използва активно в различни области на човешкия живот и много инженерни разработки се основават именно на математически изчисления, получени с помощта на производна. Но преди да преминем към анализ на това какво представляват производните на числата, как да ги изчислим и къде са полезни, нека се потопим малко в историята.
История
Основата на математическия анализ е открита (по-добре е дори да се каже "измислена", защото не е съществувала в природата като такава) от Исак Нютон, когото всички познаваме от откриването на закона за всемирното привличане. Именно той за първи път прилага тази концепция във физиката, за да свърже естеството на скоростта и ускорението на телата. И много учени все още хвалят Нютон за това великолепно изобретение, защото всъщност той е изобретил основата на диференциалното и интегралното смятане, всъщност основата на цяла област на математиката, наречена "математически анализ". Ако Нобеловата награда беше по това време, Нютон най-вероятно щеше да я получи няколко пъти.
Не и без други велики умове. В допълнение към Нютон, такива изтъкнати гении на математиката като Леонард Ойлер, Луис Лагранж и Готфрид Лайбниц са работили върху развитието на производната и интеграла. Благодарение на тях получихме теорията във вида, в който съществува и до днес. Между другото, именно Лайбниц открива геометричното значение на производната, което се оказва нищо повече от тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към графиката на функцията.
Какво представляват производните на числата? Нека повторим малко това, което преживяхме в училище.
Какво е производно?
Тази концепция може да бъде дефинирана по няколко различни начина. Най-простото обяснение: производната е скоростта на промяна на функция. Представете си графика на някаква функция y спрямо x. Ако не е права линия, тогава има някои завои в графиката, периоди на нарастване и намаляване. Ако вземем някакъв безкрайно малък интервал от тази графика, това ще бъде отсечка по права линия. И така, съотношението на размера на този безкрайно малък сегмент по координатата y към размера по координатата x ще бъде производна на тази функция в дадена точка. Ако разгледаме функцията като цяло, а не в конкретна точка, тогава получаваме функцията на производната, тоест определена зависимост на играта от x.
Освен това, освен скоростта на промяна на функцията, има и геометричен смисъл. Сега ще говорим за него.
Геометричен смисъл
Самите производни на числата представляват определено число, което, без правилно разбиране, не носи никакво значение. Оказва се, че производната показва не само скоростта на нарастване или намаляване на функцията, но и тангенса на наклона на допирателната към графиката на функцията в дадена точка. Не съвсем ясна дефиниция. Нека го анализираме по-подробно. Да кажем, че имаме графика на някаква функция (нека вземем крива за интерес). На него има безкраен брой точки, но има области, в които само една точка има максимум или минимум. През всяка такава точка можете да начертаете права линия, която би била перпендикулярна на графиката на функцията в тази точка. Такава права ще се нарича допирателна. Да кажем, че сме го начертали до пресечната точка с оста OX. Така ъгълът, получен между допирателната и оста OX, ще бъде определен от производната. По-точно тангенсът на този ъгъл ще бъде равен на него.
Нека поговорим малко за специални случаи и да анализираме производните на числата.
Специални случаи
Както казахме, производните на числата са стойностите на производната в определена точка. Например, нека вземем функцията y = x 2. Производната x е число, а в общия случай е функция, равна на 2 * x. Ако трябва да изчислим производната, да речем, в точката x 0 = 1, тогава получаваме y "(1) = 2 * 1 = 2. Всичко е много просто. Интересен случай е производната. Нека просто кажем, че това е число, което съдържа така наречената въображаема единица - число, чийто квадрат е равен на 1. Изчисляването на такава производна е възможно само ако са изпълнени следните условия:
1) Трябва да има частични производни от първи ред на реалната и имагинерната част по отношение на y и x.
2) Удовлетворени са условията на Коши-Риман, които са свързани с описаното в първия параграф равенство на частните производни.
Друг интересен случай, макар и не толкова труден като предишния, е производната на отрицателно число. Всъщност всяко отрицателно число може да се разглежда като положително число, умножено по -1. Е, производната на константата и функцията е равна на константата, умножена по производната на функцията.
Ще бъде интересно да научим за ролята на производното в ежедневието и това ще обсъдим сега.
Приложение
Вероятно всеки от нас поне веднъж в живота си се хваща да мисли, че математиката едва ли ще му бъде полезна. А такова сложно нещо като производно вероятно изобщо няма приложение. Всъщност математиката – и всичките й плодове се развиват основно от физиката, химията, астрономията и дори икономиката. Производната положи основата, която ни даде способността да правим изводи от графиките на функциите и ние се научихме да тълкуваме законите на природата и да ги обръщаме в наша полза благодарение на него.
Заключение
Разбира се, не всеки може да се нуждае от производно в реалния живот. Но математиката развива логиката, която със сигурност ще е необходима. Неслучайно математиката се нарича кралица на науките: от нея се формират основите за разбиране на други области на знанието.
Абсолютно невъзможно е да се решават физически задачи или примери по математика без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия на математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физическо и геометрично значение, как да изчислим производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?
Геометричен и физически смисъл на производната
Нека има функция е (х) дадени в някакъв интервал (а, б) ... Точки х и х0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумент - разликата между неговите стойности x-x0 ... Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата в стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производната:
Производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на приращението на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.
Иначе може да се напише така:
Какъв е смисълът от намирането на такава граница? И ето какво:
производната на функцията в дадена точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в тази точка.
Физическото значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейното движение.
Наистина, още от училищните времена всеки знае, че скоростта е личен път. x = f (t) и времето T ... Средна скорост за определен период от време:
За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:
Правило първо: извадете константа
Константата може да бъде преместена извън знака на производната. Освен това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете като правило - ако можете да опростите израза, не забравяйте да го опростите .
Пример. Нека изчислим производната:
Правило второ: производна на сбора от функции
Производната на сбора от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.
Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.
Намерете производната на функция:
Правило трето: производна на произведението на функциите
Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:
Пример: намерете производната на функция:
Решение: 
Тук е важно да се каже за изчисляването на производни на сложни функции. Производната на комплексна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент на производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.
В горния пример срещаме израза:
В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на непосредствения междинен аргумент по отношение на независимата променлива.
Четвърто правило: коефициентната производна на две функции
Формула за определяне на производната на частното на две функции:
Опитахме се да ви разкажем за деривати за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото звучи, така че бъдете предупредени: често има клопки в примерите, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.
При всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете студентска служба... За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да се справите със задачи, дори ако никога досега не сте правили изчисляване на производни.
Зареждане...