Понятията за синус, косинус, тангенс и котангенс са основните категории на тригонометрията - раздел на математиката, и са неразривно свързани с дефиницията на ъгъл. Владеенето на тази математическа наука изисква запаметяване и разбиране на формули и теореми, както и развито пространствено мислене. Ето защо тригонометричните изчисления често създават трудности за ученици и студенти. За да ги преодолеете, трябва да се запознаете по-подробно с тригонометричните функции и формули.

Понятия в тригонометрията

За да разберете основните понятия на тригонометрията, първо трябва да определите какво представляват правоъгълен триъгълник и ъгъл в кръг и защо всички основни тригонометрични изчисления са свързани с тях. Триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса, е правоъгълен. В исторически план тази фигура често се използва от хора в архитектурата, навигацията, изкуството, астрономията. Съответно, изучавайки и анализирайки свойствата на тази фигура, хората стигнаха до изчисляването на съответните съотношения на нейните параметри.

Основните категории, свързани с правоъгълни триъгълници, са хипотенуза и катети. Хипотенузата е страната на триъгълника срещу правия ъгъл. Краката, съответно, са другите две страни. Сумата от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180 градуса.

Сферичната тригонометрия е раздел от тригонометрията, който не се изучава в училище, но в приложните науки като астрономия и геодезия учените го използват. Особеността на триъгълника в сферичната тригонометрия е, че той винаги има сбор от ъгли над 180 градуса.

Ъгли на триъгълник

В правоъгълен триъгълник синусът на ъгъла е съотношението на крака, противоположен на желания ъгъл, към хипотенузата на триъгълника. Съответно косинусът е съотношението на съседния крак и хипотенузата. И двете от тези стойности винаги са по-малки от една, тъй като хипотенузата винаги е по-дълга от крака.

Тангенсът на ъгъла е стойност, равна на съотношението на противоположния крак към съседния крак на желания ъгъл или синус към косинус. Котангенсът от своя страна е съотношението на съседния крак на желания ъгъл към противоположния крак. Котангенсът на ъгъл може да се получи и чрез разделяне на единицата на стойността на допирателната.

Единичен кръг

Единична окръжност в геометрията е окръжност, чийто радиус е равен на единица. Такава окръжност се конструира в декартова координатна система, докато центърът на окръжността съвпада с началната точка, а началната позиция на радиус вектора се определя по положителната посока на оста X (абсцисата). Всяка точка от окръжността има две координати: XX и YY, тоест координатите на абсцисите и ординатите. Избирайки произволна точка от окръжността в равнината XX и пускайки перпендикуляра от нея към оста на абсцисата, получаваме правоъгълен триъгълник, образуван от радиуса до избраната точка (означаваме я с буквата C), от начертания перпендикуляр до оста X (точката на пресичане е обозначена с буквата G) и сегмент по оста на абсцисата между началото (точката е обозначена с буквата A) и точката на пресичане G. Полученият триъгълник ACG е правоъгълен ъглов триъгълник, вписан в окръжност, където AG е хипотенузата, а AC и GC са катетите. Ъгълът между радиуса на окръжността AC и отсечката на оста на абсцисата с обозначението AG, ние дефинираме като α (алфа). И така, cos α = AG / AC. Като се има предвид, че AC е радиусът на единичната окръжност и е равен на единица, се оказва, че cos α = AG. По същия начин, sin α = CG.

Освен това, знаейки тези данни, е възможно да се определи координатата на точка C върху окръжността, тъй като cos α = AG и sin α = CG, което означава, че точка C има дадените координати (cos α; sin α). Знаейки, че тангенсът е равен на съотношението на синуса към косинуса, можем да определим, че tg α = y / x, и ctg α = x / y. Като се имат предвид ъглите в отрицателна координатна система, можете да изчислите, че стойностите на синуса и косинуса на някои ъгли може да са отрицателни.

Изчисления и основни формули

Стойности на тригонометрични функции

След като разгледахме същността на тригонометричните функции чрез единичния кръг, можете да извлечете стойностите на тези функции за някои ъгли. Стойностите са изброени в таблицата по-долу.

Най-простите тригонометрични идентичности

Уравнения, в които неизвестна стойност присъства под знака на тригонометрична функция, се наричат ​​тригонометрични. Идентичности със стойност sin х = α, k е всяко цяло число:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, | a | > 1, няма решения.
5. sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Идентичности със стойността cos x = a, където k е всяко цяло число:

1. cos x = 0, x = π / 2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, | a | > 1, няма решения.
5. cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Идентичности със стойност tg x = a, където k е всяко цяло число:

1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arctan α + πk.

Идентичности със стойността ctg x = a, където k е всяко цяло число:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Формули за леене

Тази категория константни формули означава методи, които могат да се използват за превключване от тригонометрични функции на формата към функции на аргумент, тоест за привеждане на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл с произволна стойност до съответните индикатори на ъгъл на интервала от 0 до 90 градуса за по-голямо удобство на изчисленията.

Формулите за преобразуване на функции за синус на ъгъл изглеждат така:

• sin (900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin (1800 - α) = sin α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin (3600 + α) = sin α.

За косинус на ъгъл:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Използването на горните формули е възможно при спазване на две правила. Първо, ако ъгълът може да бъде представен като стойност (π / 2 ± a) или (3π / 2 ± a), стойността на функцията се променя:

• от грях към cos;
• от cos към грях;
• от tg до ctg;
• от ctg до tg.

Стойността на функцията остава непроменена, ако ъгълът може да бъде представен като (π ± a) или (2π ± a).

Второ, знакът на намалената функция не се променя: ако първоначално е бил положителен, той остава такъв. По същия начин и с отрицателните функции.

Формули за събиране

Тези формули изразяват стойностите на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на сумата и разликата на два ъгъла на въртене по отношение на техните тригонометрични функции. Ъглите обикновено се наричат ​​α и β.

Формулите изглеждат така:

1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. тен (α ± β) = (тен α ± тен β) / (1 ∓ тен α * тен β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Тези формули са валидни за всякакви стойности на ъглите α и β.

Формули за двоен и троен ъгъл

Тригонометричните формули с двоен и троен ъгъл са формули, които свързват функциите на ъглите 2α и 3α, съответно, с тригонометричните функции на ъгъла α. Извлечено от формули за добавяне:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - тен ^ 3 α) / (1-тен ^ 2 α).

Преходът от сума към продукт

Като се има предвид, че 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y), опростявайки тази формула, получаваме идентичността sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. По същия начин sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Преминаване от работа към сбор

Тези формули следват от идентичностите на прехода на сбора към произведението:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Формули за намаляване на степента

В тези идентичности квадратната и кубичната мощност на синуса и косинуса могат да бъдат изразени чрез синуса и косинуса на първата степен на множествения ъгъл:

• sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Универсална замяна

Универсалните тригонометрични формули за заместване изразяват тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), докато x = π + 2πn;
• cos x = (1 - тен ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), където x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), където x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), докато x = π + 2πn.

Специални случаи

По-долу са дадени конкретни случаи на най-простите тригонометрични уравнения (k е всяко цяло число).

Частно за синусите:

Коефициентите за косинус са:

Частно за тангента:

Частно за котангенс:

Теореми

Синусова теорема

Има две версии на теоремата - проста и разширена. Проста теорема за синусите: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. В този случай a, b, c са страните на триъгълника, а α, β, γ са съответно противоположни ъгли.

Разширена синусова теорема за произволен триъгълник: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. В това тождество R означава радиуса на окръжността, в която е вписан дадения триъгълник.

Теорема за косинусите

Идентичността се показва, както следва: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Във формулата a, b, c са страните на триъгълника, а α е ъгълът срещу страната a.

Допирателна теорема

Формулата изразява връзката между тангентите на два ъгъла и дължината на страните, противоположни на тях. Страните се означават като a, b, c, а съответните противоположни ъгли са α, β, γ. Формулата на теоремата за допирателната е: (a - b) / (a ​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Котангентна теорема

Свързва радиуса на окръжност, вписана в триъгълник, с дължината на страните му. Ако a, b, c са страните на триъгълника и A, B, C, съответно, са противоположни ъгли, r е радиусът на вписаната окръжност и p е полупериметърът на триъгълника, следните тъждества са валидно:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

Приложно приложение

Тригонометрията е не само теоретична наука, свързана с математическите формули. Неговите свойства, теореми и правила се използват на практика от различни клонове на човешката дейност - астрономия, въздушна и морска навигация, теория на музиката, геодезия, химия, акустика, оптика, електроника, архитектура, икономика, машиностроене, измервателна дейност, компютърна графика, картография, океанография и много други.

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните понятия на тригонометрията, с помощта на които можете математически да изразите връзката между ъглите и дължините на страните в триъгълник и да намерите необходимите количества чрез тъждества, теореми и правила.

Таблица със стойности на тригонометричните функции

Забележка... Тази таблица със стойности на тригонометричните функции използва знака √, за да посочи квадратния корен. За обозначаване на дроб - символът "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометричната функция, намерете го в пресечната точка на тригонометричната функционална линия. Например, синус 30 градуса - потърсете колона със заглавие sin (синус) и намерете пресечната точка на тази колона на таблицата с реда "30 градуса", на пресечната им точка четем резултата - една секунда. По същия начин намираме косинус 60градуси, синус 60градуса (отново в пресечната точка на колоната sin (синус) и реда 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3 / 2) и т.н. По същия начин се намират стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други "популярни" ъгли.

Синус на пи, косинус на пи, тангенс на пи и други ъгли в радиани

Таблицата на косинусите, синусите и тангентите по-долу също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент дадено в радиани... За да направите това, използвайте втората колона със стойности на ъглите. Благодарение на това стойността на популярните ъгли може да се преобразува от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъл от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π / 3 радиана.

Числото pi уникално изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Значи пи радиани са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено в пи (радиан), може лесно да се преобразува в градусова мярка, като се заменят пи (π) със 180.

Примери за:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синусът на пи е същият като синусът на 180 градуса и е нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
по този начин косинусът на пи е същият като косинусът на 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенсът на pi е същият като допирателната на 180 градуса и е нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции вместо стойността на функцията е посочено тире (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава функцията няма определено значение за тази стойност на степенната мярка на ъгъла. Ако няма тире - клетката е празна, значи все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се от това за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъгли са напълно достатъчни, за да решават повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности "като в таблиците на Брадис")

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в дните на древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. В него се обсъждат дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Значението им е обяснено и илюстрирано в контекста на геометрията.

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез съотношенията на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъла (sin α) е отношението на противоположния на този ъгъл катет към хипотенузата.

Косинусът на ъгъла (cos α) е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъла (t g α) е отношението на противоположния катет към съседния.

Котангенс на ъгъл (c t g α) - отношението на съседния крак към противоположния.

Тези определения са дадени за остър ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Ето една илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Определенията на синус, косинус, тангенс и котангенс ви позволяват да изчислите стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълника.

Важно е да запомните!

Диапазонът на стойностите на синуса и косинуса: от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Обхватът на стойностите на тангенса и котангенса е цялото число линия, тоест тези функции могат да приемат всякакви стойности.

Определенията, дадени по-горе, са за остри ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на въртене, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до рамка от 0 до 90 градуса. Ъгълът на въртене в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞.

В този контекст можете да дадете определение на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Представете си единичната окръжност, центрирана в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1, 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на някакъв ъгъл α и отива в точка A 1. Определението е дадено чрез координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на въртене

Синусът на ъгъла на завъртане α е ордината на точка A 1 (x, y). sin α = y

Косинусът (cos) на ъгъла на въртене

Косинусът на ъгъла на въртене α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) ъгъл на въртене

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абсцис. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на въртене

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синус и косинус са дефинирани за всеки ъгъл на въртене. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точка след завъртане могат да бъдат определени под произволен ъгъл. Различна е ситуацията с тангенса и котангенса. Допирателната не се дефинира, когато точката след завъртане отива към точката с нулева абсцис (0, 1) и (0, - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не се дефинира, когато ординатата на точката изчезне.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са дефинирани за всеки ъгъл α.

Тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Когато решавате практически примери, не казвайте "синус на ъгъла на въртене α". Думите "ъгъл на въртене" просто са пропуснати, което означава, че от контекста е ясно за какво става дума.

Числа

Какво ще кажете за дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не на ъгъла на въртене?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tе число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например, синусът от 10 π е равен на синуса на ъгъла на въртене от 10 π rad.

Има и друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-подробно.

Всяко реално число Tсе задава точка от единичната окръжност с център в началото на правоъгълна декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се дефинират чрез координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1, 0).

Положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще отиде началната точка, ако се движи обратно на часовниковата стрелка по окръжността и пресича пътя t.

След като връзката между числото и точката на окръжността е установена, пристъпваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синусът (грехът) на t

Синус на числото Tе ордината на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) на число t

Косинус номер Tе абсцисата на точката на единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенсът (tg) на числото t

Тангенс на числото T- отношението на ординатата към абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните дефиниции са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на тази клауза. Точката от окръжността, съответстваща на числото T, съвпада с точката, до която отива началната точка след завъртане на ъгъл Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглови и числови аргументи

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Както и всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z), съответства определена стойност на допирателната. Котангенсът, както бе споменато по-горе, е дефиниран за всички α, с изключение на α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α, cos α, t g α, c t g α са функции на ъгъла alpha или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин можете да говорите за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числов аргумент. Към всяко реално число Tсъответства на конкретна стойност на синуса или косинуса на число T... Всички числа, различни от π 2 + π · k, k ∈ Z, съответстват на стойността на допирателната. Котангенсът е дефиниран по подобен начин за всички числа с изключение на π k, k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основни тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Нека се върнем към данните в самото начало на дефинициите и ъгъла алфа, лежащ в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс са напълно съвместими с геометричните дефиниции, дадени с помощта на пропорциите на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Вземете единичната окръжност, центрирана в правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и начертаем перпендикуляр на оста на абсцисата от получената точка A 1 (x, y). В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точка A 1 (x, y). Дължината на крака срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като това е радиусът на единичната окръжност.

Според определението от геометрията, синусът на ъгъла α е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на определяне на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа лежи в диапазона от 0 до 90 градуса.

По същия начин съответствието на дефинициите може да бъде показано за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

1. Един от катетите на правоъгълен триъгълник е 25 см. Изчислете дължината на втория крак, ако ъгълът, съседен на известния катет, е 36º.
   

   Решение:

   Според определението тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на противоположния катет към съседния катет. Катет a = 25 cm е съседен на ъгъла α = 36º, а неизвестният катет b е противоположен. Тогава:

   $$ tg (\ alpha) = \ frac (b) (a) $$, следователно $$ b = a \ cdot tg (\ alpha) $$

   Нека направим замяната:

   $$ b = 25 \ cdot tg (36 ^ 0) = 25 \ cdot 0,727 = 18,175 cm $$

   Отговор:

   $$ b = 18,175 см $$

2. Изчислете стойността на израза: $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ вляво (\ frac (\ pi) (5) \ вдясно) $$
   

   Решение:

   При заместване имайте предвид, че единият от ъглите се измерва в градуси, а другият в радиани:

   $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ вляво (\ frac (\ pi) (5) \ вдясно) = 2 + 0,213 - 0,727 ^ 2 \ приблизително 1,684 $$

   Отговор:
3. За да изчисли височината на пирамидата на Хеопс, ученият изчака, докато Слънцето, откъдето се намира, докосне върха й. След това той измерва ъгловата височина на Слънцето над хоризонта, тя се оказва 21º, а разстоянието до пирамидата е 362 м. Каква е нейната височина?
   

   Решение:

   Височината на пирамидата H и разстоянието L до нея са краката на правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е слънчев лъч. Тогава тангенсът на ъгъла, под който се вижда слънцето от върха на пирамидата, е:

   $$ tg \ alpha = \ frac (H) (L) $$, ние изчисляваме височината чрез трансформиране на формулата:

   $$ H = L \ cdot tg (\ alpha) = 362 \ cdot tg (21 ^ 0) = 138,96 $$

   Отговор:

   $$ H = 138,96 $$

4. Намерете tg α, ако противоположният катет е 6 cm, а съседният е 5 cm.
   

   Решение:

   А-приорат

   $$ tg \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ alpha = \ frac (6) (5) = 1,2 $$

   Така че ъгълът е $$ \ alpha = 50 ^ (\ circ) $$.

   Отговор:

   $$ tg \ alpha = 1,2 $$

5. Намерете tg α, ако противоположният катет е 8 cm, а хипотенузата е 10 cm.
   

   Решение:

   Използвайки формулата на Питагор, намираме съседния крак на триъгълника:

   $$ a = \ sqrt ((c ^ 2 - b ^ 2)) $$

   $$ a = \ sqrt ((10 ^ 2 - 8 ^ 2)) = \ sqrt (36) = 6 \ cm $$

   А-приорат

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (8) (6) = 1,333 $$

   Значи ъгълът е $$ \ alpha = 53 ^ (\ circ) $$.

   Отговор:

   $$ tg \ alpha = 1,333 $$

6. Намерете tg α, ако съседният катет е 2 пъти по-голям от противоположния, а хипотенузата е 5√5 cm.
   

   Решение:

   Използвайки формулата на Питагор, намираме краката на триъгълника:

   $$ c = \ sqrt ((b ^ 2 + 4b ^ 2)) = \ sqrt ((5b ^ 2)) = b \ sqrt (5) $$

   $$ b = \ frac (c) (\ sqrt (5)) = \ frac (5 \ sqrt (5)) (\ sqrt (5)) = 5 \ cm $$

   $$ a = 5 \ cdot 2 = 10 \ cm $$

   А-приорат

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (5) (10) = 0,5 $$

   Следователно ъгълът $$ \ alpha = 27 ^ (\ circ) $$.

   Отговор:

   $$ tg \ alpha = 0,5 $$

7. Намерете tan α, ако хипотенузата е 12 cm и ъгълът β = 30 °.
   

   Решение:

   Нека намерим крака в съседство с желания ъгъл. Известно е, че катет, лежащ срещу ъгъл от 30 °, е равен на половината от хипотенузата. означава,

   $$ a = 6 \ cm $$

   По теоремата на Питагор намираме крака, противоположен на желания ъгъл:

   $$ b = \ sqrt ((c ^ 2 + a ^ 2)) $$

   $$ b = \ sqrt ((144-36)) = \ sqrt (108) = 6 \ sqrt (3) $$

   А-приорат

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (6 \ sqrt (3)) (6) = \ sqrt (3) = 1,732 $$

   Значи ъгълът е $$ \ alpha = 60 ^ (\ circ) $$.

   Отговор:

   $$ tg \ alpha = 1,732 $$

8. Намерете tg α, ако противоположните и съседните катети са равни и хипотенузата е 6√2cm.
   

   Решение:

   А-приорат

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ алфа = 1 $$

   Значи ъгълът е $$ \ alpha = 45 ^ (\ circ) $$.

   Отговор:

   Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс на произволен ъгъл

   Синус, косинус на произволен ъгъл

   
   

   За да разберем какво представляват тригонометричните функции, нека се обърнем към окръжност с единичен радиус. Тази окръжност е центрирана в началото на координатната равнина. За да определим дадените функции, ще използваме радиус вектора ИЛИкоято започва в центъра на окръжността и точката Ре точката на окръжността. Този радиус вектор образува ъгъл алфа с оста ох... Тъй като окръжността има радиус, равен на единица, тогава OP = R = 1.

   

   Ако от точката Рспуснете перпендикуляра на оста ох, тогава получаваме правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица.

   
   

   Ако радиус векторът се движи по посока на часовниковата стрелка, тогава тази посока се нарича отрицателен, ако се движи обратно на часовниковата стрелка - положителен.

   

   
   

   Синус ъгъл ИЛИ, е ордината на точката Рвектори върху окръжност.

   Тоест, за да се получи стойността на синуса на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата Имайтена повърхността.

   Как е получена тази стойност? Тъй като знаем, че синусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния катет към хипотенузата, получаваме, че

   

   И тъй като R = 1, тогава sin (α) = y 0 .

   
   

   В единичния кръг стойността на ординатата не може да бъде по-малка от -1 и повече от 1, което означава, че

   

   

   Синусът е положителен в първата и втората четвърт на единичния кръг и отрицателен в третата и четвъртата.

   Косинус ъгълдадения кръг, образуван от радиус вектора ИЛИ, е абсцисата на точката Рвектори върху окръжност.

   Тоест, за да се получи стойността на косинуса на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата NSна повърхността.

   
   

   Косинусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към хипотенузата, получаваме, че

   
   

   И тъй като R = 1, тогава cos (α) = x 0 .

   В единичния кръг стойността на абсцисата не може да бъде по-малка от -1 и повече от 1, което означава, че

   

   

   Косинусът е положителен в първата и четвъртата четвърт на единичната окръжност и отрицателен във втората и третата.

   Тангентапроизволен ъгълразглежда се съотношението синус към косинус.

   Ако разгледаме правоъгълен триъгълник, тогава това е съотношението на противоположния крак към съседния. Ако говорим за единична окръжност, тогава това е съотношението на ординатата към абсцисата.

   

   Съдейки по тези съотношения, може да се разбере, че допирателната не може да съществува, ако стойността на абсцисата е нула, тоест под ъгъл от 90 градуса. Тангенсът може да приеме всички други стойности.

   

   Допирателната е положителна в първата и третата четвърт на единичната окръжност и отрицателна във втората и четвъртата.