Сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциалната функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме разгледания материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също и ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели с ниско ниво на обучение трябва да се обърнат към статията Как да намеря производната? Примери за решения, което ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решите всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, уверено ще разграничите доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? И това е достатъчно! ”, Защото всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.

Да започнем с повторението. На урока Производна на сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаването на диференциалното смятане и други клонове на математическия анализ ще трябва да правите диференциация много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да пишете примери много подробно. Затова ще практикуваме устно намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простите сложни функции, например:

Според правилото за диференциране на сложна функция :

При изучаване на други теми на matan в бъдеще често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автоматичния автопилот. Представете си, че в 3 часа сутринта телефонът звъни и приятен глас попита: "Каква е производната на тангенса на две Xs?" Това трябва да бъде последвано от почти незабавен и учтив отговор: .

Първият пример веднага ще бъде предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например:. За да изпълните задачата, трябва да използвате само таблица на производните на елементарни функции(ако все още не се помни). Ако имате някакви затруднения, препоръчвам да препрочетете урока. Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Сложни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 функционални приставки ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат трудни за някои, но ако ги разберете (някой ще страда), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намирането на производната на сложна функция на първо място е необходимо правоРАЗБЕРЕТЕ прикачените файлове. В случаите, когато има съмнения, си спомням полезна техника: вземаме например експерименталната стойност на "X" и се опитваме (умствено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо, трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбоката инвестиция.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това повдигнете косинуса до куб:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда без грешки....

(1) Вземете производната на квадратния корен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземаме производната на косинуса.

(5) Вземаме производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото гнездене.

Може да звучи твърде трудно, но това все още не е най-бруталният пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че те обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция, или не разбира.

Следващият пример е за решение „направи си сам“.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо, приложете правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Сега е моментът да преминете към нещо по-компактно и сладко.
Не е необичайно за пример да се даде продукт не от две, а от три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, нека видим дали е възможно да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в продукта, тогава бихме могли да разширим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприлага правилото за диференциране на продуктите два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции:, а за "ve" - ​​логаритъмът:. Защо това може да се направи? Така ли - това не е продукт на два фактора и правилото не работи ?! Няма нищо сложно:

Сега остава за втори път да приложим правилото към скоби:

Все още можете да бъдете извратени и да поставите нещо извън скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разгледаният пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно еквивалентни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение, в пробата се решава по първия начин.

Нека разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина да отидете тук:

или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако на първо място използваме правилото за диференциране на частното , вземайки за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако го оставиш както е, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите чернова, но възможно ли е да се опрости отговорът? Нека сведем израза на числителя до общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намирането на производната, а в случай на банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят заданието и искат да „докарат в ума“ производното.

По-прост пример за решение "направи си сам":

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да усвояваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато „ужасният“ логаритъм се предлага за диференциране

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага ви потъва в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Ето защо предикак да вземем производната на "фантастичния" логаритъм, тя е предварително опростена с помощта на добре познатите училищни свойства:

! Ако имате под ръка тетрадка за упражнения, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, преначертайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде структурирано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намерете производната:

Предварителното конфигуриране на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато се предлага подобен логаритъм за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

И сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

Логаритмична производна

Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Наскоро сме виждали подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да прилагате правилото за диференциране на коефициента и след това правилото за диференциране на работата. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги „окачат“ от двете страни:

Забележка : от функцията може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: които ще изчезнат в резултат на диференциацията. Въпреки това, настоящият дизайн също е приемлив, където се вземат предвид настройките по подразбиране комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая трябва да се направи резервация.

Сега трябва максимално да "унищожите" логаритъма на дясната страна (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Всъщност преминаваме към диференциация.
Заграждаме и двете части под чертата:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва уверено да се справите с него.

Ами лявата страна?

Отляво имаме сложна функция... Предвиждам въпроса: "Защо, има и една буква" ygrek "под логаритъма?"

Факт е, че това "игрек с една буква" - САМАТА Е ФУНКЦИЯ(ако не е много ясно, вижте статията, извлечена от имплицитна функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а „играта“ е вътрешна функция. И ние използваме правилото за диференциране на сложна функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производно. Освен това, според правилото за пропорция, хвърляме "играта" от знаменателя на лявата страна до върха на дясната страна:

И сега си спомняме какъв вид „игра“-функция обсъждахме при диференциацията? Разглеждаме условието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример за решение "направи си сам". Извадка от дизайна на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго е, че функциите там са по-прости и, може би, използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на експоненциалната функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциална функция е функция, в която и степента и основата зависят от "x"... Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или във всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Окачваме логаритми от двете страни:

По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:

В резултат на това от дясната страна получихме продукт от две функции, които ще бъдат диференцирани според стандартната формула .

Намираме производната, за това ограждаме и двете части под чертите:

По-нататъшните действия са прости:

накрая:

Ако някаква трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията в Пример 11.

В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания пример от лекция.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъма на x" (под логаритъма е вложен друг логаритъм). При диференциране на константата, както помним, е по-добре веднага да извадите знака на производната, за да не ви пречи под краката; и разбира се прилагаме познатото правило :

Доказателство и извеждане на формули за производната на естествения логаритъм и основата на логаритъма. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство на формулата за производната на n-тия ред на логаритъма по метода на математическата индукция.

Съдържание

Вижте също: Логаритъм - свойства, формули, графика
Естествен логаритъм - свойства, формули, графика

Извеждане на формули за производни на естествения логаритъм и логаритъмната основа a

Производната на естествения логаритъм на x е равна на единица, разделена на x:
(1) (ln x) ′ =.

Производната на логаритъмната основа a е равна на единица, разделена на променливата x по естествения логаритъм на a:
(2) (log a x) ′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Помислете за функция, която зависи от променливата x, която е логаритъмът към основата:
.
Тази функция е дефинирана в. Нека намерим нейната производна по отношение на променливата x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го сведем до добре познатите математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а)Свойства на логаритъм. Нуждаем се от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето една функция, която има ограничение и тази граница е положителна.
V)Значението на втората забележителна граница:
(8) .

Ние прилагаме тези факти до нашия лимит. Първо, трансформираме алгебричния израз
.
За това прилагаме свойства (4) и (5).

.

Нека използваме свойството (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, ние прилагаме свойство (6):
.
Основа на логаритъм дНаречен естествен логаритъм... Означава се, както следва:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на естествения логаритъм

Още веднъж изписваме формулата за производната на логаритъма по отношение на основата a:
.
Тази формула има най-простата форма за естествения логаритъм, за който,. Тогава
(1) .

Поради тази простота естественият логаритъм се използва много широко в математическия анализ и в други клонове на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други бази могат да бъдат изразени чрез естествения логаритъм, използвайки свойство (6):
.

Основната производна на логаритъма може да се намери от формула (1), ако константата се извади от знака на диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъма

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на степента:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на естествения логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратен на експоненциалната функция.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, чрез прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Функцията, обратна на естествения логаритъм, е експонента:
.
Производната му се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с всяка буква. Във формула (9) заменете променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на естествения логаритъм, използвайки сложни правила за диференциране на функции... Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Ние диференцираме това уравнение по отношение на променливата x:
(10) .
Х-производната е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместете в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на в 2x, В 3хи ln nx.

Оригиналните функции са подобни. Следователно ще намерим производната на функцията y = ln nx... След това включете n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производните на В 2хи В 3х .

И така, търсим производната на функцията
y = ln nx .
Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Зависими от променлива функции:;
2) Зависими от променлива функции:.
Тогава оригиналната функция се състои от функции и:
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производната на комплексна функция.
.
Тук се настроихме.

Така че открихме:
(11) .
Виждаме, че производната е независима от n. Този резултат е съвсем естествен, ако трансформираме оригиналната функция с помощта на формулата за логаритъм на произведението:
.
е постоянна. Производната му е нула. Тогава според правилото за диференциране на сумата имаме:
.

; ; .

Производна на логаритъма на модула x

Нека намерим производната на друга много важна функция - естествения логаритъм на модула x:
(12) .

Нека разгледаме един случай. Тогава функцията има формата:
.
Производната му се определя по формулата (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията има формата:
,
където .
Но също така открихме производната на тази функция в горния пример. То не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно за логаритъмната основа а имаме:
.

Производни от по-висок порядък на естествения логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме производната му от първи ред:
(13) .

Намерете производната от втори ред:
.
Намерете производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Вижда се, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез метода на математическата индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като тогава за n = 1 , формула (14) е валидна.

Да предположим, че формула (14) е валидна за n = k. Нека докажем, че това означава, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Ние правим разлика по отношение на променливата x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 ... По този начин, от допускането, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно формулата (14) за производната от n-ти ред е валидна за всяко n.

Производни от по-висок порядък на логаритъма с основа а

За да намерите производната от n-ти порядък на основата като логаритъм, трябва да я изразите чрез естествения логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-то производно:
.

Вижте също:

Много е лесно да се запомни.

Е, да не отиваме далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (тоест логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: вместо това пишете.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Показателят и естественият логаритъм са уникално прости функции от гледна точка на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Правилата на какво? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производно.

Това е всичко. Как иначе да наречем този процес с една дума? Не е деривация ... Диференциалът на математиката се нарича същото увеличение на функция при. Този термин идва от латинското differentia - разлика. Тук.

Когато извеждаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Нуждаем се и от формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се премества извън знака на производната.

Ако е някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата:.

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производните на функциите:

1. в точката;
2. в точката;
3. в точката;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);

Производна на произведение

Тук всичко е същото: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

Производна:

Примери:

1. Намерете производните на функциите и;
2. Намерете производната на функцията в точката.

Решения:

Производна на експоненциалната функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производната на всяка експоненциална функция, а не само на степента (забравили ли сте какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да прехвърлим нашата функция към нов корен:

За да направим това, ще използваме просто правило:. Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е трудна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на степента: както беше, така и остана, се появи само множител, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-проста форма. Затова в отговора го оставяме в този вид.

Имайте предвид, че тук е частното от две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен един от логаритъма с различна основа, например:

Трябва да приведете този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъма? Надявам се да помните тази формула:

Едва сега вместо ние ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производните на експоненциална и логаритмична функции почти никога не се намират в изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции може да са трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви се струва труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще мине), но от гледна точка на математиката думата "труден" не означава "труден".

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакво действие с някакви предмети. Например, първият увива блокче шоколад в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв композитен обект: шоколадова лента, увита и вързана с панделка. За да изядете шоколадов блок, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически тръбопровод: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще квадратурираме полученото число. И така, получаваме число (шоколадово блокче), намирам неговия косинус (обвивка) и след това квадратирате това, което имам (връзвате го с панделка). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, правим първото действие директно с променливата, а след това друго второ действие с резултата от първото.

С други думи, сложната функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем да направим същите действия в обратен ред: първо квадратирате, а след това аз търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се предположи, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато промените реда на действията, функцията се променя.

Втори пример: (същото). ...

Действието, което правим последно, ще бъде извикано "Външна" функция, а предприетото първо действие – респ "Вътрешна" функция(това са неформални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се сами да определите коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

1. Кое е първото действие, което трябва да предприемете? Първо ще изчислим синуса и едва след това ще го повдигнем до куб. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
   И оригиналната функция е техният състав:.
2. Вътрешен:; външен:.
   Преглед: .
3. Вътрешен:; външен:.
   Преглед: .
4. Вътрешен:; външен:.
   Преглед: .
5. Вътрешен:; външен:.
   Преглед: .

променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколадов блок – потърсете производно. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. По отношение на оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официално правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Всичко изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешни:;

Външен:;

2) Вътрешни:;

(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не може да бъде извадено изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешни:;

Външен:;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в края на краищата това вече е сложна функция сама по себе си и от нея извличаме и корена, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколадово блокче в обвивка и я поставете в куфарче с панделка). Но няма причина да се страхуваме: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И тогава ние умножаваме всичко това.

В такива случаи е удобно да се номерират стъпките. Тоест, нека си представим какво знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да вземем пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е на 4 нива. Нека дефинираме курс на действие.

1. Радикален израз. ...

2. Корен. ...

3. Синус. ...

4. Квадрат. ...

5. Събиране на всичко:

ПРОИЗВОДЕН. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Производна на функция- съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциация:

Константата се премества извън знака на производната:

Производна на сумата:

Производна на произведението:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
2. Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първата и втората точка.

Мислите ли, че има още много време до изпита? Месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. На изпита има много трудни задачи, които пречат на студента и бъдещия кандидат към най-високите резултати. Трябва да се научите да преодолявате тези препятствия, освен това не е трудно да го направите. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с нови.

На пръв поглед логаритмите изглеждат невероятно сложни, но подробен анализ прави ситуацията много по-лесна. Ако искате да издържите изпита за най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, която предлагаме да направите в тази статия.

Нека започнем с разделяне на тези определения. Какво е логаритъм (логаритм)? Това е индикатор за степента, до която основата трябва да се повдигне, за да се получи посоченото число. Ако не е ясно, нека разгледаме елементарен пример.

В този случай основата по-долу трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.

Сега нека се заемем с втората концепция. Производната на функция във всякаква форма е понятие, което характеризира промяната на функция в намалена точка. Това обаче е училищна програма и ако изпитвате проблеми с тези понятия поотделно, си струва да повторите темата.

Производна на логаритъма

В задачите на изпита по тази тема могат да се посочат няколко задачи като пример. За начало, най-простата логаритмична производна. Необходимо е да се намери производната на следната функция.

Трябва да намерим следната производна

Има специална формула.

В този случай x = u, log3x = v. Заместваме стойностите от нашата функция във формулата.

Производната x ще бъде равна на единица. Логаритъмът е малко по-труден. Но можете да разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната lg x се нарича производна на десетичния логаритъм, а производната ln x е производна на естествения логаритъм (основа e).

Сега просто включете тези стойности във формулата. Опитайте сами, след това проверете отговора.

Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието естествен логаритъм. Ще ви разкажем за него и в същото време ще разберем как да решим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете как работи. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (особено във висшето образование).

Производна на естествения логаритъм

В основата си това е производната на логаритъма по основата e (това е ирационално число, което е равно на около 2,7). Всъщност ln е много прост и затова често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да си припомним, че производната по основата e на естествения логаритъм ще бъде равна на единица, разделена на x. Най-показателното решение ще бъде следният пример.

Нека си го представим като сложна функция, състояща се от две прости.

Достатъчно за преобразуване

Търсим производната на u по отношение на x

Да продължим с втория

Използваме метода за решаване на производната на комплексна функция чрез заместване на u = nx.

Какво стана накрая?

Сега нека си спомним какво означава n в този пример? Това е всяко число, което може да се появи в естествения логаритъм преди x. За вас е важно да разберете, че отговорът не зависи от нея. Заменете каквото искате, отговорът пак ще бъде 1 / x.

Както можете да видите, тук няма нищо сложно, достатъчно е просто да разберете принципа, за да решите бързо и ефективно проблемите по тази тема. Сега знаете теорията, остава да се консолидира на практика. Практикувайте решаването на проблеми, за да запомните принципа на решаването им за дълго време. Може да нямате нужда от тези знания след дипломирането, но на изпита ще са по-актуални от всякога. Късмет!