Формулирайте основното свойство на разположението на точките по права линия. Права линия в самолет - необходима информация
Права линия на равнина - необходимата информация.
В тази статия ще се спрем на едно от основните понятия на геометрията - концепцията за права линия върху равнина. Първо, нека дефинираме основните термини и обозначения. След това ще обсъдим относителното положение на права и точка, както и две прави линии в равнината и ще дадем необходимите аксиоми. В заключение ще разгледаме начините за дефиниране на права линия върху равнина и ще предоставим графични илюстрации.
Навигация в страницата.
- Правата линия в равнина е понятие.
- Взаимно подреждане на права линия и точка.
- Взаимно подреждане на прави линии върху равнина.
- Методи за определяне на права линия върху равнина.
Правата линия в равнина е понятие.
Преди да се даде концепцията за права линия върху равнина, трябва ясно да се разбере какво представлява равнината. Концепция за самолетви позволява да получите например плоска повърхност на маса или стена на къща. Трябва обаче да се има предвид, че размерите на таблицата са ограничени и равнината се простира извън тези граници до безкрайност (все едно имаме произволно голяма маса).
Ако вземете добре заточен молив и го докоснете с пръчка до повърхността на "масата", тогава получаваме изображение на точка. Ето как получаваме идея за точка в равнина.
Сега можете да отидете на концепцията за права линия върху равнина.
Поставяме лист чиста хартия върху повърхността на масата (на равнина). За да изобразим права линия, трябва да вземем линийка и да начертаем линия с молив, доколкото позволяват размерите на използваната линийка и лист хартия. Трябва да се отбележи, че по този начин получаваме само част от правата линия. Цяла права линия, простираща се до безкрайност, можем само да си представим.
Обратно към началото на страницата
Взаимно подреждане на права линия и точка.
Трябва да започнем с аксиомата: има точки на всяка права линия и във всяка равнина.
Обичайно е точките да се обозначават с главни латински букви, например точки Аи Ф... От своя страна правите линии се обозначават с малки латински букви, например прави аи д.
Възможен два варианта за относителното положение на права линия и точка в равнината: или точка лежи върху права линия (в този случай те също казват, че права линия минава през точка), или точка не лежи на права линия (те също така казват, че точка не принадлежи на права линия или права линия не минава през точка).
За да се посочи, че дадена точка принадлежи на определена права линия, се използва символът "". Например, ако точка Алежи на права линия а, тогава можете да пишете. Ако точка Ане принадлежи към директен аслед това запишете.
Следното твърдение е вярно: една права линия минава през произволни две точки.
Това твърдение е аксиома и трябва да се приеме като факт. Освен това, това е съвсем очевидно: маркираме две точки на хартия, прилагаме линийка върху тях и начертаваме права линия. Права линия, минаваща през две определени точки (например през точки Аи V), може да се обозначи с тези две букви (в нашия случай правата линия ABили VA).
Трябва да се разбере, че безкрайно много различни точки лежат на права линия, определена върху равнина, и всички тези точки лежат в една и съща равнина. Това твърдение се установява от аксиомата: ако две точки от права линия лежат в определена равнина, тогава всички точки от тази права линия лежат в тази равнина.
Множеството от всички точки, разположени между две точки, дадени на права линия, заедно с тези точки се наричат линеен сегментили просто сегмент... Точките, които ограничават линията, се наричат краища на линия. Сегментът се обозначава с две букви, съответстващи на точките на краищата на сегмента. Например, нека точките Аи Vса краищата на отсечката, то този сегмент може да бъде обозначен ABили VA... Моля, имайте предвид, че това обозначение на сегмент от линия съвпада с обозначението на права линия. За да избегнете объркване, препоръчваме да добавите думата "сегмент" или "направо" към обозначението.
За кратко записване на принадлежността и непринадлежността на точка към определен сегмент се използват едни и същи символи и. За да покажете, че определен сегмент лежи или не лежи на права линия, използвайте символи и, съответно. Например, ако сегментът ABпринадлежи към директен а, може да се напише накратко.
Трябва също така да се спрем на случая, когато три различни точки принадлежат на една и съща права линия. В този случай една и само една точка лежи между другите две. Това твърдение е друга аксиома. Нека точките А, Vи Слежат на една права линия и точката Vлежи между точките Аи С... Тогава можем да кажем, че точките Аи Сса от противоположните страни на точката V... Можете също да кажете, че точките Vи Слегнете на една страна, след което сочи Аи точките Аи Vлежи от едната страна на точката С.
За пълнота, имайте предвид, че всяка точка на права линия разделя тази права линия на две части - две лъч... За този случай е дадена аксиома: произволна точка Опринадлежаща на права линия разделя тази права линия на два лъча и всякакви две точки от един лъч лежат от една и съща страна на точката О, и всякакви две точки от различни лъчи са от противоположните страни на точката О.
Обратно към началото на страницата
Тази публикация ще помогне за систематизиране на придобитите по-рано знания, както и за подготовка за изпит или тест и успешното им преминаване.
2. Условието за намиране на три точки на една права линия. Уравнение на права линия. Взаимно подреждане на точки и права линия. Куп прави линии. Разстояние от точка до линия
1. Нека са дадени три точки А 1 (NS 1 , в 1), А 2 (NS 2 , в 2), А 3 (NS 3 , в 3), тогава условието за намирането им на една права линия:
или ( NS 2 – NS 1) (в 3 – в 1) – (NS 3 – х 1) (в 2 – в 1) = 0.
2. Нека са дадени две точки А 1 (NS 1 , в 1), А 2 (NS 2 , в 2), след това y подравняване на права линия, минаваща през тези две точки:
(NS 2 – NS 1)(y - y 1) – (х - х 1)(в 2 – в 1) = 0 или ( х - х 1) / (NS 2 – NS 1) = (y - y 1) / (в 2 – в 1).
3. Нека има точка М (NS 1 , в 1) и някаква права линия Лпредставено от уравнението в = ох + с. Уравнение на права линия, минаваща успоредно на дадена права линия Л през тази точка М:
y - y 1 = а(х - х 1).
Ако прави Лдадено от уравнението ох + Уау + С М, се описва с уравнението А(х - х 1) + V(y - y 1) = 0.
Уравнение на права линия, минаваща перпендикулярно на дадена права линия Л през тази точка М:
y - y 1 = –(х - х 1) / а
а(y - y 1) = NS 1 – NS.
Ако прави Лдадено от уравнението ох + Уау + С= 0, тогава права линия, успоредна на нея, минаваща през точката М(NS 1 , в 1) се описва с уравнението А (y - y 1) – V(х - х 1) = 0.
4. Нека са дадени две точки А 1 (NS 1 , в 1), А 2 (NS 2 , в 2) и правата линия, дадена от уравнението ох + Уау + C = 0. Относителното положение на точките спрямо тази права линия:
1) точки А 1 , А 2 лежат от едната страна на тази права линия, ако изрази ( ох 1 + Уау 1 + С) и ( ох 2 + Уау 2 + С) имат същите знаци;
2) точки А 1 ,А 2 лежат от противоположните страни на тази права линия, ако изрази ( ох 1 + Уау 1 + С) и ( ох 2 + Уау 2 + С) имат различни знаци;
3) една или и двете точки А 1 , А 2 лежат на този ред, ако един или и двата израза, съответно ( ох 1 + + Уау 1 + С) и ( ох 2 + Уау 2 + С) вземете нула.
5. Централна гредаПредставлява набор от прави линии, минаващи през една точка М (NS 1 , в 1) наричан център на лъча... Всяка от правите линии на гредата се описва с уравнението на гредата y - y 1 = Да се(х - х 1) (параметър на лъча Да сеза всеки ред свое).
Всички прави линии на лъча могат да бъдат представени с уравнението: л(y - y 1) = м(х - х 1), където л, м- произволни числа, които не са равни на нула едновременно.
Ако две прави греди Л 1 и Л 2 съответно имат формата ( А 1 NS + V 1 в+ С 1) = 0 и ( А 2 NS+ V 2 в+ С 2) = 0, тогава уравнението на гредата: м 1 (А 1 NS + V 1 в + С 1) + м 2 (А 2 NS + V 2 в + С 2) = 0. Ако правите Л 1 и Л 2 пресичащи се, тогава снопът е централен, ако правите линии са успоредни, тогава снопът е успореден.
6. Нека е дадена точка М(NS 1 ,в 1) и правата линия, дадена от уравнението Ax + Wu + C = 0. Разстоянието доттова точки М до прав:
- 1. Основни понятия. Координатни системи. Прави линии и тяхното взаимно положение
- 2. Условието за намиране на три точки на една права линия. Уравнение на права линия. Взаимно подреждане на точки и права линия. Куп прави линии. Разстояние от точка до линия
Отсечката е част от права линия, която се състои от всички точки на тази права линия, лежащи между двете й дадени точки. Тези точки се наричат краища на линията. Сегментът се обозначава с индикацията на неговите краища.
На фигура 7, b отсечката AB е част от правата линия a. Точка M лежи между точки A и B и следователно принадлежи на отсечката AB; точка K не лежи между точки A и B, следователно не принадлежи на отсечката AB.
Аксиомата (основното свойство) за разположението на точките по права линия се формулира, както следва:
От трите точки на права линия, една и само една лежи между другите две.
Следната аксиома изразява основното свойство за измерване на отсечки от линии.
Всеки сегмент има определена дължина, по-голяма от нула. Дължината на отсечката е равна на сбора от дължините на частите, на които е разделен от някоя от неговите точки.
Това означава, че ако върху отсечката MK се вземе някаква точка C, тогава дължината на отсечката MK е равна на сумата от дължините на отсечките MC и SK (фиг. 7, в).
Дължината на отсечката MK се нарича още разстоянието между точките M и K.
Пример 1. На права са дадени три точки O, P и M. Известно е, че. Точка P лежи ли между O и M? Може ли точка B да принадлежи на отсечката PM, ако? Обяснете отговора.
Решение. Точка P се намира между точки O и M, ако проверим изпълнението на това условие:. Заключение: точка P се намира между точки O и M.
Точка B принадлежи на отсечката PM, ако се намира между точки P и M, тоест проверете: и по условие. Заключение: точка B не принадлежи на отсечката PM.
Пример 2. Възможно ли е да се подредят 6, 7 и 8 отсечки на равнина така, че всеки от тях да пресича точно три други?
Решение. 6 сегмента могат да бъдат подредени така (фиг. 8, о). По този начин могат да бъдат подредени и 8 сегмента (фиг. 8, б). 7 сегмента не могат да бъдат подредени по този начин.
Нека докажем последното твърдение. Да предположим, че е възможно такова подреждане на седемте отсечки. Нека номерираме сегментите и съставим такава таблица в клетката в пресечната точка на реда и колоната, поставяме „+“, ако сегментът се пресича с j-тия, и „-“, ако не се пресича. Ако и това е зададено. Нека преброим по два начина колко знака има в таблицата.
От една страна, във всеки ред има по 3 от тях, така че има само знаци. От друга страна, таблицата се попълва симетрично по отношение на диагонала:
ако в клетка C: j) също е в клетката. Това означава, че общият брой знаци трябва да е четен. Имаме противоречие.
Тук сме използвали доказателство от противоречие.
5. Рей.
Полуправ или лъч е част от права линия, която се състои от всички точки на тази права линия, лежащи от едната страна на дадената й точка. Тази точка се нарича начална точка на полуправата или началото на лъча. Различните полуправи от една и съща права линия с обща начална точка се наричат комплементарни.
Полуправите се означават с малки латински букви. Можете да обозначите полуправа с две букви: начална и друга буква, съответстваща на точка, принадлежаща на полуправата. В този случай отправната точка е поставена на първо място. Например, на фигура 9, а са показани греди AB и AC, които са допълнителни, на фигура 9, b са показани греди MA, MB и греда c.
Следната аксиома отразява основното свойство на отлагането на линейни сегменти.
На всяка полуправа от началната й точка можете да отложите сегмент с дадена дължина и само един.
Пример. Дадени са ви две точки A и B. Колко линии можете да начертаете през точки A и B? Колко лъча съществуват на права AB с начало в точка A, в точка B? Отбележете две точки на линия A B, различни от A и B. Принадлежат ли на отсечка AB?
Решение. 1) Според аксиомата винаги можете да начертаете права линия през точки A и B и само една.
2) На правата АВ с начало в точка А има два лъча, които се наричат допълнителни. По същия начин за точка Б.
3) Отговорът зависи от местоположението на отбелязаните точки. Нека разгледаме възможните случаи (фиг. 10). Ясно е, че в случай а) точките принадлежат на отсечката AB; в случаи б), в) една точка
принадлежи на сегмент, а другият не; в случаи г) и д) точките M и N не принадлежат на отсечката AB.
6. Обиколка. кръг.
Кръгът е форма, която се състои от всички точки от равнината, които са на определено разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността.
Разстоянието от точките на окръжността до центъра му се нарича радиус на окръжността. Всеки сегмент, свързващ точка от окръжност с нейния център, се нарича също радиус.
Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Хордата, минаваща през центъра, се нарича диаметър.
Фигура 11, а показва окръжност с център в точка O. Сегментът OA е радиусът на тази окръжност, BD е хордата на окръжността, CM е диаметърът на окръжността.
Кръгът е фигура, която се състои от всички точки от равнината, които са на разстояние не повече от дадено от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността, а това разстояние се нарича радиус на окръжността. Границата на окръжността е кръг със същия център и радиус (фиг. 11, б).
Пример. Какъв е най-големият брой различни части, които нямат общи точки, освен техните граници, равнината може да се раздели на: а) права линия и окръжност; б) два кръга; в) три кръга?
Решение. Нека изобразим на фигурата случаите на взаимно подреждане на фигури, съответстващи на условието. Нека запишем отговора: а) четири части (фиг. 12, о); б) четири части (фиг. 12, б); в) осем части (фиг. 12, в).
7. Полуравнина.
Нека формулираме още една аксиома на геометрията.
Правата линия разделя равнината на две полуравнини.
На фигура 13 правата линия a разделя равнината на две полуравнини, така че всяка точка от равнината, която не принадлежи на правата o, лежи в една от тях. Този дял има следното свойство: ако краищата на някой отсечка принадлежат на една полуравнина, тогава отсечката не се пресича с права линия; ако краищата на отсечката принадлежат на различни полуравнини, тогава отсечката се пресича с права линия. На фигура 13 точките лежат в една от полуравнините, на които линия a разделя равнината. Следователно отсечката AB не се пресича с правата а. Точки C и D лежат в различни полуравнини. Следователно отсечката CD пресича правата a.
8. Ъгъл. Градусната мярка на ъгъла.
Ъгълът е фигура, която се състои от точка – върха на ъгъла и две различни полуправи, излизащи от тази точка – страните на ъгъла (фиг. 14). Ако страните на ъгъла са допълнителни полулинии, тогава ъгълът се нарича разгънат.
Ъгълът се обозначава или чрез посочване на неговия връх, или чрез посочване на неговите страни, или чрез посочване на три точки; върхове и две точки от страните на ъгъла. Думата „ъгъл понякога се заменя със символа Z.
Ъгълът на фигура 14 може да бъде обозначен по три начина:
Казват, че лъч c минава между страните на ъгъла, ако излиза от неговия връх и пресича сегмент с краища на страните на ъгъла.
На фигура 15 лъч c минава между страните на ъгъла, тъй като пресича сегмент AB.
В случай на плосък ъгъл всеки лъч, излизащ от неговия връх и различен от неговите страни, минава между страните на ъгъла.
Ъглите се измерват в градуси. Ако вземете разширен ъгъл и го разделите на 180 равни ъгъла, тогава градусната мярка на всеки от тези ъгли се нарича градус.
Основните свойства на измерването на ъгли се изразяват в следната аксиома:
Всеки ъгъл има определена степен, по-голяма от нула. Сплесканият ъгъл е 180 °. Градусната мярка на ъгъла е равна на сумата от градусните мерки на ъглите, на които е разделен от всеки лъч, преминаващ между страните му.
Това означава, че ако лъчът c минава между страните на ъгъла, тогава ъгълът е равен на сумата от ъглите
Градусната мярка на ъгъла се намира с помощта на транспортир.
Ъгъл, равен на 90 °, се нарича прав ъгъл. Ъгъл по-малък от 90 ° се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от 90 ° и по-малък от 180 °, се нарича тъп.
Нека формулираме основното свойство на отлагането на ъгли.
От всяка полуправа до дадена полуравнина можете да отложите ъгъл с дадена градусова мярка по-малка от 180 ° и само един.
Помислете за полуправата a. Нека го разширим отвъд началната точка A. Получената права линия разделя равнината на две полуравнини. Фигура 16 показва как с помощта на транспортир да отделите ъгъл с дадена градусова мярка от 60 ° от полуправата a до горната полуравнина.
Ако два ъгъла се отделят от дадена полуправа в една полуравнина, тогава страната на по-малкия ъгъл, различна от дадената полуправа, минава между страните на по-големия ъгъл.
Нека ъглите, начертани от дадената полуправа и в една полуравнина, и нека ъгълът е по-малък от ъгъла. Теорема 1.2 гласи, че лъч b минава между страните на ъгъла (ac) (фиг. 17).
Симетралата на ъгъла е лъч, който излиза от неговия връх, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина. На фигура 18 лъчът OM е ъглополовящата на ъгъла AOB.
В геометрията има понятието плосък ъгъл. Равнинният ъгъл е частта от равнина, ограничена от два различни лъча, излизащи от една точка. Тези лъчи се наричат страни на ъгъла. Има два равнинни ъгъла с тези страни. Те се наричат допълващи. На фигура 19 един от плоските ъгли със страни a и b е засенчен.
Ако равнинен ъгъл е част от полуравнина, тогава неговата степенна мярка е градусната мярка на обикновен ъгъл със същите страни. Ако равнинният ъгъл съдържа полуравнина, тогава градусната му мярка е 360 ° - a, където a е градусната мярка на допълнителния равнинен ъгъл.
Пример. Греда a минава между страните на ъгъл, равен на 120 °. Намерете ъглите, ако техните градусни мерки са 4: 2.
Решение. Лъч a минава между страните на ъгъла, което означава, според основното свойство за измерване на ъгли (виж т. 8)
Тъй като степенните мерки са свързани като 4: 2, тогава
9. Съседни и вертикални ъгли.
Два ъгъла се наричат съседни, ако имат една обща страна, а другите страни на тези ъгли са допълнителни полуправи. На фигура 20 ъглите са съседни.
Сумата от съседни ъгли е 180°.
Теорема 1.3 предполага следните свойства:
1) ако два ъгъла са равни, тогава ъглите, съседни на тях, са равни;
2) ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл;
3) ъгъл, съседен на остър, е тъп, а ъгъл, съседен на тъп, е остър.
Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи страни на другия. На фигура 21 и ъглите са вертикални.
Вертикалните ъгли са равни.
Очевидно две пресичащи се прави линии образуват съседни и вертикални ъгли. Съседните ъгли се допълват взаимно до 180 °. Ъгловата мярка на по-малката от тях се нарича ъгъл между правите.
Пример. На фигура 21, b ъгълът е 30. ° Какви са ъглите AOK и
Решение. Ъглите COD и AOK са вертикални, следователно, според теорема 1.4, те са равни, тоест ъгълът TYUK, съседен на ъгъла SOD, означава, според теорема 1.3
10. Централни и вписани ъгли.
Централният ъгъл в кръг е плосък ъгъл с връх в центъра му. Частта от окръжност, разположена вътре в плосък ъгъл, се нарича кръгова дъга, съответстваща на този централен ъгъл. Градусната мярка на дъга на окръжност е градусната мярка на съответния централен ъгъл.
На фигура 22 ъгълът AOB е централният ъгъл на окръжността, неговият връх O е центърът на тази окръжност, а страните OA и OB пресичат окръжността. Дъгата AB е частта от кръг вътре в централния ъгъл.
Градусната мярка на дъгата AB на фигура 22 е равна на градусната мярка на ъгъла AOB. Градусната мярка на дъгата AB се обозначава AB.
Ъгълът, чийто връх лежи върху окръжността, а страните пресичат този кръг, се нарича вписан в окръжността. Фигура 23 показва вписани ъгли.
Ъгъл, вписан в окръжност, чиито страни минават през две дадени точки от окръжността, е равен на половината от ъгъла между радиусите, изтеглени към тези точки, или допълва тази половина до 180 °.
При доказване на теорема 1.5 е необходимо да се разгледат три различни случая, които са показани на фигура 23: една от страните на вписания ъгъл минава през центъра на окръжността (фигура 23, в); центърът на окръжността лежи във вътрешността на вписания ъгъл (фиг. 23, б); центърът на окръжността лежи извън вписания ъгъл (фиг. 23, в).
От теорема 1. 5 следва следното: всички ъгли, вписани в окръжност, чиито страни минават през две дадени точки на окръжността, а върховете лежат от едната страна на правата линия, свързваща тези точки, са равни; вписаните ъгли, чиито страни минават през краищата на диаметъра на окръжността, са прави.
На фигура 24 страните на вписания ъгъл ABC преминават през краищата на диаметъра AC, следователно
Пример. Точки A, B и C лежат върху окръжност с център O. Намерете ъгъла AOC, ако
Решение. Ъгъл ABC, вписан в окръжност, почива върху дъгата AC, а централният ъгъл на тази окръжност (фиг. 25). , следователно, по теорема 1.5 и тъй като ъгълът AOC е централен, неговата степенна мярка е равна на градусната мярка на дъгата AC, т.е.
11. Успоредни прави.
Две прави в равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат.
Фигура 26 показва как с помощта на квадрат и линийка начертайте права линия 6 през дадена точка B, успоредна на дадена права линия a.
За да се обозначи успоредността на правите, се използва символът II. Записът гласи: "Правата a е успоредна на права b".
Аксиомата за паралелизъм изразява основното свойство на успоредните прави.
През точка, която не лежи на дадена права, на равнината може да се проведе най-много една права линия, успоредна на дадената.
Две прави линии, успоредни на третата, са успоредни една на друга.
На фигура 27 правите a и b са успоредни на права c. Теорема 1. 6 гласи, че.
Можете да докажете, че през точка, която не принадлежи на права линия, можете да начертаете права линия, успоредна на дадената. На фигура 28 през точка A, която не принадлежи на b, е проведена права линия a, успоредна на права b.
Сравнявайки това твърдение и аксиомата на паралелите, те стигат до важно заключение: на равнина през точка, която не лежи на дадена права линия, е възможно да се начертае права линия, успоредна на нея, и само една права.
Аксиомата на паралелизма в книгата на Евклид „Началото се наричаше“ пети постулат. Древните геометри се опитаха да докажат уникалността на паралела. Тези неуспешни опити продължават над 2000 години, до 19 век.
Големият руски математик Н. И. Лобачевски и независимо от него унгарският математик Й. Бояи показаха, че като се приеме възможността през точка да се проведат няколко прави, успоредни на дадена, е възможно да се конструира друго, също толкова „правилно” не -Евклидова геометрия. Така се ражда геометрията на Лобачевски.
Пример за теорема, която използва концепцията за паралелизъм и нейното доказателство се основава на паралелната аксиома, е теоремата на Талес. Талес от Милет е древногръцки математик, живял през 625-547 г. пр.н.е NS
Ако успоредни прави линии, пресичащи страните на ъгъл, отрязват равни сегменти от едната му страна, тогава те отрязват равни сегменти от другата му страна (теорема на Талес).
Нека точките на пресичане на успоредни прави линии от една от страните на ъгъла и лежат между (фиг. 29). Нека съответните точки на пресичане на тези линии с другата страна на ъгъла. Теорема 1.7 гласи, че ако тогава
Пример 1. Могат ли седем прави да се пресичат в осем точки?
Решение. Те могат. Например, фигура 30 показва седем такива прави линии, три от които са успоредни.
Пример 2. Произволен сегмент от АС е разделен на 6 равни части.
Решение. Нека начертаем сегмент от AC. Нека начертаем от точка A лъч AM, който не лежи на правата AC. На лъча AM от точка А отделяме последователно 6 равни сегмента (фиг. 31). Краищата на сегментите ще бъдат обозначени. Свържете точката със сегмент с точка C и през точките ще начертаем прави линии, успоредни на правата линия. Пресечните точки на тези прави с отсечката AC ще го разделят на 6 равни части (по теорема 1.7).
12. Признаци на успоредност на правите.
Нека AB и CD са две прави. Нека AC е третата линия, пресичаща прави AB и CD (фиг. 32, в). Директният AC по отношение на преките AB и CD се нарича секанс. Правите ъгли, образувани от тези прави ъгли, често се разглеждат по двойки. Двойките ъгли са получили специални имена. Така че, ако точки B и D лежат в една и съща полуравнина спрямо правата AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат вътрешни едностранни (фиг. 32, c). Ако точки B и D лежат в различни полуравнини спрямо правата AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат вътрешни напречно (фиг. 32, б).
Секущата AC образува с прави AB и CD две двойки вътрешни едностранни две двойки вътрешни кръстосано разположени ъгли Фиг. 32, в).
Ако вътрешните напречни ъгли са равни или сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °, тогава правите линии са успоредни.
На фигура 32, c четири двойки ъгли са номерирани. Теорема 1.8 гласи, че ако или тогава правите c и b са успоредни. Теорема 1.8 също гласи, че ако или, тогава линиите a и b са успоредни.
Теореми 1.6 и 1.8 са критерии за паралелизъм на правите. Обратната теорема на теорема 1.8 също е вярна.
Ако две успоредни прави линии се пресичат от трета права линия, тогава вътрешните кръстосани ъгли са равни, а сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °.
Пример. Един от вътрешните едностранни ъгли, образуван при пресичането на две успоредни прави линии на третата права линия, е 4 пъти по-голям от другия. На какво са равни тези ъгли?
Решение. Съгласно теорема 1.9, сумата от вътрешните едностранни ъгли за две успоредни прави и секуща е 180 °. Нека означим тези ъгли с буквите a и P, тогава a е известно, че a е 4 пъти повече, което означава, че тогава
13. Перпендикулярни прави линии.
Две прави се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (фиг. 33).
Перпендикулярността на правите линии се записва с помощта на символа Записът гласи: "Правата a е перпендикулярна на права b".
Перпендикулярно на дадена права линия е отсечка от права линия, перпендикулярна на дадена, имаща крайна точка на тяхното пресичане. Този край на линията се нарича основа на перпендикуляра.
На фигура 34 перпендикулярът AB е начертан от точка А до права а. Точка B е основата на перпендикуляра.
През всяка точка от правата линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.
От всяка точка, която не лежи на правата линия, можете да пуснете перпендикуляр на тази права линия и само един.
Дължината на перпендикуляр, спуснат от дадена точка върху права линия, се нарича разстоянието от точка до права линия.
Разстоянието между успоредни прави линии е разстоянието от всяка точка на една права линия до друга права линия.
Нека BA е перпендикуляр, изпуснат от точка на права линия a, а C - всяка точка от права c, различна от A. Отсечката BC се нарича наклонена, изтеглена от точка B към права линия a (фиг. 35) . Точка C се нарича основа на наклонената. Отсечката AC се нарича наклонена проекция.
Права линия, минаваща през средата на отсечка, перпендикулярна на нея, се нарича перпендикуляр на средната точка.
На фигура 36 правата линия a е перпендикулярна на отсечка AB и минава през точка C - средата на сегмент AB, тоест a е средната перпендикулярна точка.
Пример. Равни отсечки AD и CB, затворени между успоредни прави AC и BD, се пресичат в точка O. Докажете това.
Решение. Да начертаем от точки A до C перпендикуляри на правата BD (фиг. 37). AK = CM като разстоянието между успоредни прави линии, ZAKD и DSLYAV са правоъгълни, те
са равни по хипотенуза и катет (виж T. 1.25), което означава равнобедрен (T. 1.19), което означава, че следва от равенството на триъгълниците AKT) и CTAB, че и след това, т.е. A. AOS е равнобедрен , което означава
14. Допирателна към окръжността. Докосване на окръжности.
Права линия, минаваща през точка от окръжност, перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка, се нарича допирателна. В този случай тази точка на окръжността се нарича точка на допир. На фигура 38 права линия a е начертана през точка A на окръжността, перпендикулярна на радиуса OA. Правата c е допирателна към окръжността. Точка А е точката на допир. Можем също да кажем, че окръжността докосва правата линия a в точка A.
Казват, че две окръжности с обща точка се докосват в тази точка, ако имат обща допирателна линия в тази точка. Допирането на окръжностите се нарича вътрешна, ако центровете на окръжностите лежат от едната страна на общата им допирателна. Допиранието на окръжностите се нарича външна, ако центровете на окръжностите лежат от противоположните страни на тяхната обща
допирателна. На фигура 39, c, допирането на окръжностите е вътрешна, а на фигура 39, b - външна.
Пример 1. Построете окръжност с даден радиус, допирателна към дадена права линия в дадена точка.
Решение. Допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, изтеглен към допирателната точка. Следователно центърът на желаната окръжност лежи върху перпендикуляра на дадена права линия, минаваща през дадената точка, и се намира от тази точка на разстояние, равно на радиуса. Задачата има две решения - две окръжности, симетрични една спрямо друга спрямо дадена права линия (фиг. 40).
Пример 2. Два кръга с диаметър 4 и 8 см се допират външно. Какво е разстоянието между центровете на тези окръжности?
Решение. Радиусите на окръжностите OA и O, A са перпендикулярни на общата допирателна, минаваща през точка A (фиг. 41). Следователно, вж
15. Триъгълници.
Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, които свързват тези точки по двойки. Точките се наричат върхове на триъгълника, а отсечките се наричат страни. Триъгълникът е обозначен от върховете му. Вместо думата „триъгълник“ се използва символът D.
Фигура 42 показва триъгълник ABC; A, B, C - върховете на този триъгълник; A B, BC и AC са неговите страни.
Ъгълът на триъгълника ABC при връх A е ъгълът, образуван от полуправите AB и AC. Определят се и ъглите на триъгълника при върховете от B до C.
Ако права линия, която не минава през нито един от върховете на триъгълника, пресича една от неговите страни, тогава тя пресича само една от другите две страни.
Височината на триъгълник, изпуснат от даден връх, се нарича перпендикуляр, изтеглен от този връх към права линия, съдържаща противоположната страна на триъгълника. На фигура 43, в, отсечката AD е височината на остроъгълната A. ABC, а на фигура 43, b основата на височината на точката с тъп ъгъл D - лежи върху продължението на страната BC.
Симетралата на триъгълника е отсечката от ъглополовящата на ъгъла на триъгълника, която свързва върха с точка от противоположната страна. На фигура 44 сегментът AD е ъглополовящата на триъгълник ABC.
Медианата на триъгълник, изтеглена от даден връх, е отсечката, свързваща този връх със средата
противоположната страна на триъгълника. На фигура 45 сегментът AD е медианата на триъгълника
Средната линия на триъгълника е сегментът, който свързва средните точки на двете му страни.
Средната линия на триъгълника, която свързва средните точки на тези две страни, е успоредна и равна на половината от третата страна.
Нека DE е средната линия на триъгълник ABC (фиг. 46).
Теоремата гласи, че.
Неравенството на триъгълника е свойството на разстоянията между три точки, което се изразява със следната теорема:
Каквито и да са трите точки, разстоянието между които и да е две от тези точки не е повече от сбора на разстоянията от тях до третата точка.
Нека три дадени точки. Относителното положение на тези точки може да бъде различно: а) две точки от три или и трите съвпадат, в този случай твърдението на теоремата е очевидно; б) точките са различни и лежат на една права линия (фиг. 47, а), една от тях, например B, лежи между две други, откъдето следва, че всяко от трите разстояния е не повече от сума от другите две; в) точките не лъжат
на една права линия (фиг. 47, б), тогава теорема 1.14 твърди, че.
В случай в) три точки A, B, C са върховете на триъгълника. Следователно във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.
Пример 1. Има ли триъгълник ABC със страни: а); б)
Решение. За страните на триъгълник ABC трябва да са изпълнени следните неравенства:
В случай а) неравенство (2) не е валидно, което означава, че такова подреждане на точките не може да бъде; в случай б) неравенствата са в сила, тоест триъгълникът съществува.
Пример 2. Намерете разстоянието между точки А и разделени от препятствие.
Решение. За да намерим разстоянието, окачваме основата CD и начертаваме прави BC и AD (фиг. 48). Намерете точка M - средата на CD. Извършваме и MPAD. От това следва, че PN е средната линия, т.е.
Чрез измерване на PN не е трудно да се намери AB.
16. Равенство на триъгълници.
За две отсечки се казва, че са равни, ако имат еднаква дължина. Два ъгъла се казват равни, ако имат еднаква ъглова мярка в градуси.
Триъгълниците ABC и се наричат равни, ако
Това се изразява накратко с думи: триъгълниците са равни, ако имат съответните страни и съответните ъгли са равни.
Нека формулираме основното свойство за съществуването на равни триъгълници (аксиомата за съществуването на триъгълник, равен на даден):
Какъвто и да е триъгълникът, има равен триъгълник на дадено място спрямо дадена полуправа.
Има три критерия за равенство на триъгълниците:
Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни съответно на двете страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство на триъгълниците на двете страни и ъгъла между тях).
Ако страната и прилежащите към нея ъгли на единия триъгълник са равни съответно на страната и ъглите, прилежащи към нея на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство на триъгълниците по протежение на страната и съседните ъгли към него).
Ако три страни на един триъгълник са равни, съответно, на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство на триъгълниците на трите страни).
Пример. Точки B и D лежат в различни полуравнини спрямо правата AC (фиг. 49). Известно е, че докажи това
Решение. по условие и тъй като тези ъгли се получават чрез изваждане от равни ъгли BCD и DAB на равни ъгли BC A и DAC. Освен това страната на високоговорителя е обща в посочените триъгълници. Тези триъгълници са равни по страна и ъгли, съседни на нея.
17. Равнобедрен триъгълник.
Триъгълник се нарича равнобедрен, ако двете му страни са равни. Тези равни страни се наричат страни, а третата страна се нарича основа на триъгълника.
В триъгълник означава ABC е равнобедрен с основа AC.
В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.
Ако два ъгъла в триъгълника са равни, то той е равнобедрен (противоположно на теорема Т. 1.18).
В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е ъглополовящата и височината.
Можете също да докажете, че в равнобедрен триъгълник височината, изтеглена към основата, е ъглополовящата и медианата. По същия начин, ъглополовящата на равнобедрен триъгълник, изтеглена от върха срещу основата, е медиана и височина.
Триъгълник, в който всички страни са равни, се нарича равностранен.
Пример. В триъгълник ADB ъгълът D е 90 °. В продължението на страната AD има отсечка (точка D лежи между точки A и C) (фиг. 51). Докажете, че триъгълникът ABC е равнобедрен.
Външният ъгъл на триъгълника е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.
От теорема 1.22 следва, че външният ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него.
Пример. В триъгълник
Симетралата AD на този триъгълник отрязва от него Намерете ъглите на този триъгълник.
Решение. тъй като AD е ъглополовящата на ъгъл A (вижте подраздел като външния ъгъл по теоремата за сбора на ъглите
19. Правоъгълен триъгълник. Питагорова теорема.
Триъгълник се нарича правоъгълен, ако има прав ъгъл. Тъй като сумата от ъглите на триъгълника е 180 °, тогава правоъгълният триъгълник има само един прав ъгъл. Другите два ъгъла на правоъгълния триъгълник са остри и се допълват до 90°. Страната на правоъгълен триъгълник, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза, другите две страни се наричат катети. A ABC, показана на фигура 54, правоъгълна, права, хипотенуза, CB и BA - катета.
За правоъгълни триъгълници можете да формулирате свои собствени критерии за равенство.
Ако хипотенузата и острия ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и острия ъгъл на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство за хипотенузата и острия ъгъл).
Ако кракът и противоположният ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на катета и противоположния ъгъл на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство в катета и противоположния ъгъл).
Ако хипотенузата и катета на единия правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и катета на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство за хипотенузата и катета).
В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 ° кракът, противоположен на ъгъла на атома, е половината от шината на хипотенузата.
В триъгълника ABC, показан на фигурата, е права линия, И така, в този триъгълник.
В правоъгълен триъгълник е валидна питагоровата теорема, кръстена на древногръцкия учен Питагор, живял през 6 век. пр.н.е NS
В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета (теорема на Питагор).
Нека ABC е даден правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, катети a и b и хипотенуза c (фиг. 56). Теоремата гласи, че
От теоремата на Питагор следва, че в правоъгълен триъгълник всеки от катетите е по-малък от хипотенузата.
От теоремата на Питагор следва, че ако се начертаят перпендикуляр и наклонена права от една точка, тогава наклонената е по-голяма от перпендикуляра; равни наклонени имат равни проекции; от двете наклонени, по-голям е този с по-голяма проекция.
На фигура 57, от точка O до права линия a, са начертани перпендикулярна OA и наклонена OB, OS и OD, докато Въз основа на горното: а)
Периметърът на правоъгълника KDMA е 18 cm
Пример 3. В кръг с радиус 25 см от едната страна на центъра й са начертани две успоредни хорди с дължина 40 и 30 см. Намерете разстоянието между тези хорди.
Решение. Да начертаем радиуса OK, перпендикулярно на хордите AB и CD, да свържем центъра на окръжността O с точки C, A, D и B (фиг. 60). Триъгълниците COD и AOB са равнобедрени, тъй като (като радиуси); OM и ON са височините на тези триъгълници. По теорема 1.20 всяка от височините е едновременно медиана на съответния триъгълник, т.е.
Триъгълниците OCM и O AN са правоъгълни в тях. ON и ОМ се намират по питагоровата теорема.
20. Кръгове, вписани в триъгълник и описани около триъгълника.
Окръжност се нарича описана около триъгълник, ако минава през всичките му върхове.
Центърът на окръжност, описана около триъгълник, е пресечната точка на перпендикулярите на страните на триъгълника.
На фигура 61 е описан кръг около триъгълник ABC. Центърът на тази окръжност O е пресечната точка на средните перпендикуляри OM, ON и OJT, изтеглени съответно към страните AB, BC и C A.
Кръг се нарича вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни.
Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, е пресечната точка на неговите ъглополовящи.
На фигура 62 окръжността е вписана в триъгълник ABC. Центърът на тази окръжност O е пресечната точка на ъглите AO, BO и CO на съответните ъгли на триъгълника.
Пример. В правоъгълен триъгълник катетите са 12 и 16 см. Изчислете радиусите: 1) вписаната окръжност; 2) описаната окръжност.
Решение. 1) Нека е даден триъгълник ABC, в който е центърът на вписаната окръжност (фиг. 63, а). Периметърът на триъгълник ABC е равен на сбора от удвоената хипотенуза и диаметъра на окръжността, вписана в триъгълника (използвайте определението на допирателната към окръжността и равенството на правоъгълните триъгълници AOM и AOK, MOC и LOC по протежение на хипотенузата и катета).
Така, откъдето по питагоровата теорема, т.е.
2) Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, съвпада със средата на хипотенузата, откъдето радиусът на описаната окръжност е cm (фиг. 63, б).
Зареждане...