Паралелограм. Паралелограм Как да намерим по-ниската височина на успоредник

Как да определим височината на паралелограма, като знаем някои от другите му параметри? Като площ, дължини на диагоналите и страните, големината на ъглите.

Ще имаш нужда

калкулатор

Инструкции

В задачи по геометрия, по-точно в планиметрия и тригонометрия, понякога се изисква да се намери височината на успоредник, въз основа на дадените стойности на страните, ъглите, диагоналите и др.

За да намерите височината на паралелограма, като знаете неговата площ и дължината на основата, трябва да използвате правилото за определяне на площта на успоредник. Площта на паралелограма, както знаете, е равна на произведението на височината и дължината на основата:

S - площ на паралелограма,

а - дължината на основата на паралелограма,

h е дължината на височината, спусната до страната а (или до нейното продължение).

От това откриваме, че височината на паралелограма ще бъде равна на площта, разделена на дължината на основата:

Например,

дадено: площта на успоредника е 50 кв. см, основата е 10 см -

намерете: височината на паралелограма.

h = 50/10 = 5 (см).

Тъй като височината на успоредника, частта от основата и страната, съседна на основата, образуват правоъгълен триъгълник, някои аспектни съотношения и ъгли на правоъгълните триъгълници могат да се използват за намиране на височината на успоредника.

Ако страната на успоредника, съседна на височината h (DE), е известна d (AD) и ъгълът A (BAD), противоположен на височината, тогава изчисляването на височината на успоредника трябва да се умножи по дължината на съседния отстрани до синуса на противоположния ъгъл:

например, ако d = 10 cm и ъгълът A = 30 градуса, тогава

H = 10 * sin (30?) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

Ако в условията на задачата са посочени дължината на страната на успоредника, съседна на височината h (DE), и дължината на частта от основата, отрязана от височината (AE), тогава височината на успоредника може може да се намери с помощта на питагоровата теорема:

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, откъдето дефинираме:

h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2),

тези. височината на успоредника е равна на корен квадратен от разликата между квадратите на дължината на съседната страна и частта от основата, отрязана от височината.

Например, ако дължината на съседната страна е 5 см, а дължината на отрязаната част на основата е 3 см, тогава дължината на височината ще бъде:

h =? (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (см).

Ако дължината на диагонала (DВ) на успоредника, съседен на височината, и дължината на частта от основата, отрязана от височината (BE), са известни, тогава височината на успоредника може да се намери и с помощта на Питагоровата теорема :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2, откъдето дефинираме:

h = | ED | =? (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2),

тези. височината на успоредника е равна на корен квадратен от разликата между квадратите на дължината на съседния диагонал и височината на срязване (и диагонала) на частта от основата.

Например, ако дължината на съседната страна е 5 см, а дължината на отрязаната част на основата е 4 см, тогава дължината на височината ще бъде:

h =? (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (см).

Височината на многоъгълника е отсечка от права линия, перпендикулярна на една от страните на фигурата, която го свързва с върха на противоположния ъгъл. В плоска изпъкнала фигура има няколко такива сегмента и техните дължини не са еднакви, ако поне една от страните на многоъгълника има различен размер. Следователно в задачи от курса по геометрия понякога се изисква да се определи дължината на по-голяма височина, например триъгълник или успоредник.

Инструкции

Определете коя от височините на многоъгълника трябва да има най-голяма дължина. В триъгълник това е сегмент, спуснат до най-късата страна, така че ако размерите и на трите страни са дадени в началните условия, тогава няма нужда да гадаете.

Ако в допълнение към дължината на най-късата от страните на триъгълника (a), в условията е дадена площта (S) на фигурата, формулата за изчисляване на най-голямата от височините (H?) ще бъде доста просто. Удвоете площта и разделете получената стойност на дължината на късата страна - това ще бъде желаната височина: H? = 2 * S / a.

Без да знаете площта, но като имате дължините на всички страни на триъгълника (a, b и c), можете да намерите и най-дългата от неговите височини, но ще има много повече математически операции. Започнете с изчисляване на помощна величина - полупериметъра (p). За да направите това, добавете дължините на всички страни и разделете резултата наполовина: p = (a + b + c) / 2.

Умножете полупериметъра три пъти по разликата между него и всяка страна: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). От получената стойност извадете квадратния корен? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) и не се изненадвайте - използвахте формулата на Херон, за да намерите площта на триъгълник. За да определим дължината на най-голямата височина, остава да заменим площта във формулата от втората стъпка с получения израз: H? = 2 *? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Голяма височина на паралелограма (H?) се изчислява още по-лесно, ако са известни площта на тази фигура (S) и дължината на късата й страна (a). Разделете първото на второто и ще получите желания резултат: H? = S / a.

Ако знаете стойността на ъгъла (?) в някой от върховете на успоредника, както и дължините на страните (a и b), образуващи този ъгъл, няма да е много трудно да намерите най-голямата от височините . За да направите това, умножете стойността на дългата страна по синуса на известния ъгъл и разделете резултата на дължината на късата страна: H? = b * sin (?) / a.

При което противоположните страни са успоредни. Ако всички ъгли на паралелограма са прави, тогава такъв успоредник се нарича правоъгълник, а правоъгълник с равни страни се нарича квадрат.

Всички паралелограми имат следните свойства:

противоположните страни са равни:
AB = CDи пр.н.е = DA
противоположните ъгли са равни:
∠ABC = ∠CDAи ∠ DAB = ∠BCD
сумата от ъглите, съседни на едната страна, е 180 °:
∠ABC + ∠BCD= 180°
∠BCD + ∠CDA= 180°
∠CDA + ∠DAB= 180°
∠DAB + ∠ABC= 180°
в точката на пресичане диагоналите се разполовяват:
АО = OCи BO = OD
всеки диагонал разделя успоредника на два равни триъгълника:
Δ ABC = Δ CDAи Δ ABD = Δ BCD
пресечната точка на диагоналите е центърът на симетрия на паралелограма:
Точка Ое центърът на симетрията.

Височина

Долната страна на паралелограма се нарича това основа, а перпендикулярът, спуснат към основата от всяка точка от противоположната страна, е височина.

АДе основата на паралелограма, з- височина.

Височината изразява разстоянието между противоположните страни, така че дефиницията за височина може да бъде формулирана както следва: височина на паралелограмае перпендикуляр, изпуснат от всяка точка от едната страна на противоположната страна.

Квадрат

За да измерите площта на паралелограма, можете да го представите като правоъгълник. Помислете за паралелограм ABCD:

Изградени височини БЪДАи CFобразуват правоъгълник EBCFи два триъгълника: Δ ABEи Δ DCF... Паралелограм ABCDсе състои от четириъгълник EBCDи триъгълник ABE, правоъгълник EBCFсе състои от един и същ четириъгълник и триъгълник DCF... Триъгълници ABEи DCFса равни (според четвъртия критерий за равенство на правоъгълните триъгълници), което означава, че площите на правоъгълник с успоредник са равни, тъй като са съставени от равни части.

Така че паралелограм може да бъде представен като правоъгълник със същата основа и височина. И тъй като дължините на основата и височината се умножават, за да се намери площта на правоъгълника, това означава, че за да намерите площта на паралелограма, трябва да направите същото:

квадрат ABCD = АД · БЪДА

От този пример можем да заключим, че площта на успоредника е равна на произведението на основата му на неговата височина... Обща формула:

С = ах

където Се площта на паралелограма, а- база, з- височина.

Намерете диагонала на успоредника, изтеглен от върха на тъпия ъгъл, и ъглите, които прави със страните на успоредника. Използвайки косинусовата теорема, можете да намерите ъглополовящите на успоредник през страните. Ако знаете стойността на ъгъла (α) в някой от върховете на успоредника, както и дължините на страните (a и b), образуващи този ъгъл, няма да е много трудно да намерите най-големия от височините.

Ако в допълнение към дължината на най-късата от страните на триъгълника (a), условията дават площта (S) на фигурата, формулата за изчисляване на по-голямата от височините (Hₐ) ще бъде доста проста. Без да знаете площта, но като имате дължините на всички страни на триъгълника (a, b и c), можете да намерите и най-дългата от неговите височини, но ще има много повече математически операции. Започнете с изчисляване на допълнителна величина - полупериметъра (p). За да направите това, добавете дължините на всички страни и разделете резултата наполовина: p = (a + b + c) / 2.

От получената стойност извлечете квадратния корен √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) и не се изненадвайте - използвахте формулата на Херон, за да намерите площта на триъгълник. За да определите дължината на най-голямата височина, остава да замените площта във формулата от втората стъпка с получения израз: Hₐ = 2 * √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Забележка. Това е част от урока с геометрични задачи (паралелограм на сечение). Вижте също: Свойства и площ на паралелограма. След това, знаейки един от ъглите, в зависимост от това каква височина е дадена, ние го изваждаме от 180 градуса, за да намерим втория. Използвайки същата косинусова теорема, можете да намерите ъгъла между диагоналите в един от четирите триъгълника, образувани от тях, където страните са половината от диагоналите и една от страните на паралелограма.

Тук имаме много хора, които да ви помогнат. Освен това последният ми въпрос беше разрешен за по-малко от 10 минути: D Както и да е, можете просто да влезете и да опитате да добавите своя въпрос. Паралелограмът е вид четириъгълник, а височината е перпендикулярът от върха към противоположната страна.

Умножете полупериметъра три пъти по разликата между него и всяка страна: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). За да направите това, умножете стойността на дългата страна по синуса на известния ъгъл и разделете резултата на дължината на късата страна: Hₐ = b * sin (α) / a. Резултатите от USE зависят не само от знанията и уменията на завършилия: важно е също така да попълните правилно ...

Безплатна помощ с домашните

Ако трябва да решите геометричен проблем, който не е тук, пишете за него във форума. Трябва да се научите как правилно и НАПЪЛНО да формулирате въпроса. Необходимо е да се напише напълно условието на проблема. Триъгълникът се счита за равнобедрен, тъй като от свойствата на ъглополовящата и сумата от ъглите в триъгълника следва, че ъглите в основата на такъв триъгълник са равни. Моля, помогнете ми да реша един проблем.

Следователно в задачи от курса по геометрия понякога се изисква да се определи дължината на по-голяма височина, например триъгълник или успоредник. Периметърът на успоредник, като се знаят страните, изглежда като тяхната удвоена сума, а площта е произведението на височината и страната, с която е спуснат.

Паралелограмът е четириъгълник с противоположни и по двойки успоредни страни една на друга.

Височината на успоредника е права, която е перпендикулярна на едната страна на успоредника и свързва тази страна с противоположния ъгъл.

За да разберем как да намерим дължината на височината на паралелограма, нека се обърнем към формулите. Височината най-често се обозначава с буквата h.

Методът за намиране на височината зависи от стойностите, познати ни в задачата. Нека разгледаме различни методи с конкретни примери.

Пример 1

Дадени са площта (S) и дължината на основата (a).

Формула: h = S / a

Пример: Площта на успоредник е 100 см 2, основата, на която е начертана височината е 20 см. Намерете височината.

h = 100/20 = 5
Отговор: 5 см

Пример 2

Дадени са дължината на страната на успоредника, съседна на височината (b), и ъгълът, противоположен на самата височина (a).

Формула: h = b * sin a

Пример: Да обозначим нашия успоредник с букви ABCD, височината BE преминава от ъгъл ABC към страна AD. Дължината на страната AB е 20 см, ъгълът BAD е 30 градуса. Намерете височината.

h = 20 * sin 30 ° = 20 * 0,5 = 10

Отговор: 10 см

Пример 3

Дадени са дължината на страната на паралелограма, съседна на височината (n), и дължината на страната, отрязана от основата (m).

h = корен от (n 2 - m 2)

Пример: в успоредник ABCD височината BE минава от ъгъл ABC до страна AD. Дължината AB е 5 см, дължината AE е 3 см. Намерете височината.

h = корен от (AD 2 - AB 2)
h = корен от (5 2 -3 2) = 4
Отговор: 4 см

Пример 4

Дадени са дължината на диагонала, простиращ се от същия ъгъл като височината (d), и дължината на страната, отрязана от основата (m).

h = корен от (d 2 - m 2)

Пример: в успоредник ABCD височината BE минава от ъгъл ABC до страна AD. Диагоналът BD е 5 cm, дължината ED = 4 cm.

h = корен от (BD 2 - ED 2)
h = корен от (5 2 - 4 2) = 3
Отговор: 3 см

Ако в задачата се изисква да се намери голяма височина на паралелограма, тогава е необходимо да се изчислят дължините на двете височини и да се избере най-голямата стойност.

Ще имаш нужда

калкулатор

Инструкции

1. В задачи по геометрия, или по-скоро в планиметрия и тригонометрия, понякога е необходимо да се намери височината на паралелограма въз основа на дадените стойности на страните, ъглите, диагоналите и т.н. Площта на успоредника, както е известно, е равна на произведението на височината от дължината на основата: S = a * h, където: S е площта на успоредника, a е дължината на основата на успоредника, h е дължината на височината, спусната до страна а (или нейното продължение), че височината на успоредника ще бъде равна на площта, разделена на дължината на основата: h = S / a За даден пример: площта на успоредника е 50 квадратни cm, основата е 10 cm; намерете: височината на успоредника h = 50/10 = 5 (cm ).

2. Тъй като височината на успоредника, част от основата и страната, съседна на основата, образуват правоъгълен триъгълник, е позволено да се използват някои аспектни съотношения и ъгли на правоъгълни триъгълници, за да се намери височината на успоредника. A ( BAD), след което изчислявайки височината на паралелограма, трябва да умножите дължината на съседната страна по синуса на противоположния ъгъл: h = d * sinA, да речем, ако d = 10 cm и ъгълът A = 30 градуса , тогава H = 10 * sin (30?) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

3. Ако в условията на задачата са дадени дължината на страната на успоредника, съседна на височината h (DE), и дължината на частта от основата, отрязана от височината (AE), тогава височината на успоредника може може да се намери с помощта на питагоровата теорема: | AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, откъдето дефинираме: h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2), т.е височината на успоредника е равна на корен квадратен от разликата между квадратите на дължината на съседната страна и височината на срязване на частта от основата. Да кажем, ако дължината на съседната страна е 5 cm, и дължината на отрязаната част на основата е 3 см, тогава дължината на височината ще бъде: h =? (5 ^ 2- 3 ^ 2) = 4 (см).

4. Ако дължината на диагонала (DB) на успоредника, съседен на височината, и дължината на частта от основата (BE), отрязана от височината, са известни, тогава височината на успоредника може да се намери и с помощта на Питагоровата теорема : | BE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | BD | ^ 2, откъдето дефинираме: h = | ED | =? (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2), т.е. височината на успоредника е равна на корен квадратен от разликата между квадратите на дължината на съседния диагонал и височината на срязване (и диагонала) на частта от основата. Да кажем, ако дължината на допира страната е 5 см, а дължината на отрязаната част на основата е 4 см, тогава дължината на височината ще бъде: h =? ( 5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (см).

Височината на многоъгълника е отсечка от права линия, перпендикулярна на една от страните на фигурата, тази, която го свързва с върха на противоположния ъгъл. В плоска изпъкнала фигура има няколко такива сегмента и техните дължини не са еднакви, ако поне една от страните на многоъгълника има добър размер в сравнение с останалите. Следователно при задачи от курса по геометрия понякога се изисква да се определи дължината на по-голяма височина, да речем, триъгълник или успоредник.

Инструкции

1. Определете коя от височините на многоъгълника трябва да има най-голяма дължина. В триъгълник това е сегмент, спуснат до най-късата страна, така че ако първоначалните условия дават размерите на всичките 3 страни, тогава не е нужно да гадаете.

2. Ако в допълнение към дължината на най-късата от страните на триъгълника (a), условията дават площта (S) на фигурата, формулата за изчисляване на по-голямата от височините (H?) ще бъде доста примитивна. Удвоете площта и разделете получената стойност на дължината на късата страна - това ще бъде желаната височина: H? = 2 * S / a.

3. Без да се знае площта, но имайки дължините на всички страни на триъгълника (a, b и c), също така е позволено да се намери най-дългата от неговите височини, но математическите операции ще бъдат много по-огромни. Започнете с изчисляване на помощна величина - полупериметъра (p). За да направите това, добавете дължините на всички страни и разделете общата сума наполовина: p = (a + b + c) / 2.

4. Умножете полупериметъра три пъти по разликата между него и някоя от страните: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). От получената стойност извадете квадратния корен? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) и не се учудвайте - използвахте формулата на Херон, за да намерите площта на триъгълник. За да определим дължината на най-голямата височина, остава да заменим площта във формулата от втората стъпка с получения израз: H? = 2 *? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

5. Огромната височина на паралелограма (H?) е още по-лесно да се изчисли, ако са известни площта на тази фигура (S) и дължината на късата й страна (a). Разделете първото на второто и получете необходимата сума: H? = S / a.

6. Ако знаем стойността на ъгъла (?) в някой от върховете на успоредника, както и дължините на страните (a и b), образуващи този ъгъл, няма да е трудно да намерим и най-голямата от височините . За да направите това, умножете стойността на дългата страна по синуса на известния ъгъл и разделете общата сума на дължината на късата страна: H? = b * sin (?) / a.

Подобни видеа