Геометрията е една от науките, с чието приложение на практика човек се сблъсква почти всеки ден. Сред разнообразието от геометрични форми, трапецът също заслужава специално внимание. Представлява изпъкнала фигура с четири страни, две от които са успоредни една на друга. Последните се наричат ​​основи, а останалите две се наричат ​​страни. Сегментът, перпендикулярен на основите и определящ размера на пролуката между тях, ще бъде височината на трапеца. Как можете да изчислите дължината му?

Намерете височината на произволен трапец

Въз основа на първоначалните данни определянето на височината на фигурата е възможно по няколко начина.

Известен район

Ако дължината на успоредните страни е известна и площта на фигурата също е посочена, тогава може да се използва следното отношение за определяне на желания перпендикуляр:

S = h * (a + b) / 2,
h - необходимата стойност (височина),
S е площта на фигурата,
a и b са страни, успоредни една на друга.
От горната формула следва, че h = 2S / (a ​​+ b).

Стойността на средната линия е известна

Ако сред първоначалните данни, освен площта на трапеца (S), е известна и дължината на неговата средна линия (l), тогава друга формула ще бъде полезна за изчисления. Първо, струва си да изясним каква е средната линия за този тип четириъгълник. Терминът определя частта от правата линия, свързваща средните точки на страните на фигурата.

Въз основа на свойството на трапец l = (a + b) / 2,
l - средна линия,
a, b - страни-основа на четириъгълника.
Следователно h = 2S / (a ​​+ b) = S / l.

Известни са 4 страни на фигурата

В този случай теоремата на Питагор ще помогне. Свеждайки перпендикулярите надолу към по-голямата основна страна, използвайте го за двата получени правоъгълни триъгълника. Крайният израз ще изглежда така:

h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2,

c и d са 2 други страни.

Ъгли в основата

Ако имате данни за основния ъгъл, използвайте тригонометричните функции.

h = c * sinα = d * sinβ,

α и β - ъгли в основата на четириъгълника,
c и d са неговите страни.

Оформят се диагоналите на фигурата и ъглите, които се пресичат

Диагонална дължина - дължината на отсечката, свързваща противоположните върхове на фигурата. Нека означим тези величини със символите d1 и d2 и ъглите между тях γ и φ. Тогава:

h = (d1 * d2) / (a ​​+ b) sin γ = (d1 * d2) / (a ​​+ b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2l sin γ = (d1 * d2) / 2l sinφ,

a и b - странична основа на фигурата,
d1 и d2 са диагоналите на трапеца,
γ и φ са ъглите между диагоналите.

Височината на фигурата и радиуса на окръжността, която е вписана в нея

Както следва от определението за този вид кръг, той докосва всяка основа в 1 точка, които са част от една права линия. Следователно разстоянието между тях - диаметърът - е желаната височина на фигурата. И тъй като диаметърът е два пъти по-голям от радиуса, тогава:

h = 2 * r,
r е радиусът на окръжността, която е вписана в този трапец.

Намерете височината на равнобедрен трапец

• Както следва от формулировката, отличителна характеристика на равнобедрен трапец е равенството на страничните му страни. Следователно, за да намерите височината на фигурата, използвайте формулата, за да определите тази стойност в случай, че страните на трапеца са известни.

И така, ако c = d, тогава h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 = √c 2 - (a-b) 2/4,
a, b - страни-основа на четириъгълника,
c = d - неговите страни.

• При наличието на големината на ъглите, образувани от две страни (основна и странична), височината на трапеца се определя от следното съотношение:

h = c * sinα,
h = c * tgα * cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α - ъгъл в основата на фигурата,
а, б (а< b) – основания фигуры,
c = d - неговите страни.

• Ако са дадени стойностите на диагоналите на фигурата, тогава изразът за намиране на височината на фигурата ще се промени, тъй като d1 = d2:

h = d1 2 / (a ​​+ b) * sinγ = d1 2 / (a ​​+ b) * sinφ,

h = d1 2/2 * l * sinγ = d1 2/2 * l * sinφ.

С такава форма като трапец се срещаме в живота доста често. Например всеки мост, изработен от бетонни блокове, е отличен пример. По-визуална опция може да се счита за управление на всяко превозно средство и т.н. Свойствата на фигурата са били известни още в Древна Гърция., който Аристотел описва по-подробно в своя научен труд „Начала“. А знанията, получени преди хиляди години, са актуални и днес. Затова нека се запознаем с тях по-подробно.

Във връзка с

Основни понятия

Фигура 1. Класическата форма на трапец.

По същество трапецът е четириъгълник, съставен от две успоредни отсечки и две други, които не са успоредни. Когато говорите за тази фигура, винаги трябва да помните за такива понятия като: основа, височина и средна линия. Две отсечки от четириъгълник, които се наричат ​​бази помежду си (отсечки AD и BC). Височина се нарича отсечката, перпендикулярна на всяка от основите (EH), т.е. се пресичат под ъгъл от 90 ° (както е показано на фигура 1).

Ако съберем всички вътрешни градусни мерки, тогава сумата от ъглите на трапеца ще бъде равна на 2π (360 °), като всеки четириъгълник. Сегментът, чиито краища са средните точки на страничните стени (IF) наречена средна линия.Дължината на този сегмент е сумата от основите BC и AD, разделена на 2.

Има три вида геометрични фигури: прави, правилни и равнобедрени. Ако поне един ъгъл във върховете на основата е прав (например, ако ABD = 90 °), тогава такъв четириъгълник се нарича прав трапец. Ако страничните сегменти са равни (AB и CD), то се нарича равнобедрен (съответно ъглите при основите са равни).

Как да намерите района

За, за намиране на площта на четириъгълник ABCD използва следната формула:

Фигура 2. Решаване на задачата за намиране на площ

За по-илюстративен пример, нека решим лесен проблем. Например, нека горната и долната основа са съответно 16 и 44 см, а страните 17 и 25 см. Нека построим перпендикулярен сегмент от върха D, така че DE II BC (както е показано на фигура 2). Следователно получаваме това

Нека DF стартира. От ΔADE (който ще бъде равнобедрен) получаваме следното:

Тоест, с прости думи, първо намерихме височината ΔADE, която също е височината на трапеца. От тук изчисляваме площта на четириъгълника ABCD, използвайки вече известната формула, с вече известната стойност на височината DF.

Следователно необходимата площ ABCD е 450 cm³. Тоест, можем да кажем с увереност, че за да за да изчислите площта на трапеца, имате нужда само от сбора на основите и дължината на височината.

Важно!При решаването на задачата не е необходимо да се намира стойността на дължините поотделно, напълно приемливо е да се приложат други параметри на фигурата, които при подходящо доказателство ще бъдат равни на сбора от основите.

Видове трапеци

В зависимост от това кои страни има фигурата, кои ъгли се образуват при основите, се разграничават три вида четириъгълник: правоъгълен, неправилен и равнобедрен.

Универсален

Има две форми: остър и тъп... ABCD е остър ъгъл само когато основните ъгли (AD) са остри и дължините на страните са различни. Ако стойността на един ъгъл е Pi / 2 повече (степенната мярка е повече от 90 °), тогава получаваме тъп.

Ако страничните стени са равни по дължина

Фигура 3. Изглед на равнобедрен трапец

Ако неуспоредните страни са равни по дължина, тогава ABCD се нарича равнобедрен (правилен). Освен това за такъв четириъгълник градусната мярка на ъглите в основата е една и съща, техният ъгъл винаги ще бъде по-малък от десния. Поради тази причина равнобедрените никога не се делят на остроъгълни и тъпоъгълни. Четириъгълник с тази форма има свои специфични разлики, които включват:

1. Сегментите, свързващи противоположните върхове, са равни.
2. Острите ъгли с по-голяма основа са 45 ° (илюстративен пример на фигура 3).
3. Ако съберете градусните мерки на противоположните ъгли, тогава те се събират до 180 °.
4. Всеки правилен трапец може да бъде построен наоколо.
5. Ако съберете градусната мярка на противоположните ъгли, тогава тя е равна на π.

Освен това, поради геометричното им разположение на точките, съществуват Основни свойства на равнобедрен трапец:

Стойност на ъгъла в основата 90 °

Перпендикулярността на страната на основата е обширна характеристика на концепцията за "правоъгълен трапец". Не може да има две странични страни с ъгли в основата,защото иначе вече ще е правоъгълник. При този тип четириъгълник втората странична страна винаги ще образува остър ъгъл с голяма основа и тъп ъгъл с по-малка. В този случай перпендикулярната страна също ще бъде височината.

Сегментът между средните точки на страничните стени

Ако свържете средните точки на страните и полученият сегмент ще бъде успореден на основите и е равен по дължина на половината от тяхната сума, тогава образуваната права линия ще бъде средната линия.Стойността на това разстояние се изчислява по формулата:

За по-илюстративен пример, разгледайте проблема с използването на средната линия.

Задача. Средната линия на трапеца е 7 см, известно е, че едната страна е с 4 см по-голяма от другата (фиг. 4). Намерете дължините на основите.

Фигура 4. Решаване на задачата за намиране на дължини на основата

Решение. Нека по-малката основа DC е равна на x cm, тогава по-голямата основа ще бъде равна съответно на (x + 4) cm. Оттук, използвайки формулата за средната линия на трапеца, получаваме:

Оказва се, че по-малката DC база е 5 cm, а по-голямата е 9 cm.

Важно!Концепцията за централната линия е ключова при решаването на много проблеми в геометрията. Въз основа на неговата дефиниция се изграждат много доказателства за други фигури. Използвайки концепцията на практика, е възможно по-рационално решение и търсене на необходимата стойност.

Определяне на височината и как да я намерите

Както беше отбелязано по-рано, височината е сегмент, който пресича основите под ъгъл от 2Pi / 4 и е най-краткото разстояние между тях. Преди да намерите височината на трапеца,е необходимо да се реши какви входни стойности са дадени. За по-добро разбиране разгледайте проблема. Намерете височината на трапеца, при условие че основите са 8 и 28 см, страните са съответно 12 и 16 см.

Фигура 5. Решаване на задачата за намиране на височината на трапеца

Начертайте отсечки DF и CH под прав ъгъл спрямо основата на AD. По дефиниция всеки от тях ще бъде височината на даден трапец (фиг. 5). В този случай, като знаем дължината на всяка странична стена, използвайки теоремата на Питагор, намираме на какво е равна височината в триъгълниците AFD и BHC.

Сумата от отсечките AF и HB е равна на разликата между основите, т.е.:

Нека дължината на AF е равна на x cm, тогава дължината на отсечката HB = (20 - x) cm. Както е установено, DF = CH, следователно.

Тогава получаваме следното уравнение:

Оказва се, че отсечката AF в триъгълника AFD е 7,2 cm, от тук изчисляваме височината на трапеца DF по същата питагорова теорема:

Тези. височината на трапеца ADCB ще бъде 9,6 см. Както можете да видите, изчисляването на височината е по-механичен процес и се основава на изчисляването на страните и ъглите на триъгълниците. Но в редица задачи в геометрията могат да се знаят само градусите на ъглите, като в този случай изчисленията ще бъдат направени чрез пропорциите на вътрешните триъгълници.

Важно!По същество трапецът често се смята за два триъгълника или като комбинация от правоъгълник и триъгълник. За решаване на 90% от всички проблеми, срещани в училищните учебници, свойствата и характеристиките на тези фигури. Повечето от формулите за този HMT са получени въз основа на "механизмите" за тези два типа фигури.

Как бързо да изчислим дължината на основата

Преди да намерите основата на трапеца, е необходимо да определите кои параметри вече са дадени и как да ги използвате рационално. Практически подход е да се извлече дължината на неизвестната основа от формулата на централната линия. За по-ясно възприемане на картината ще покажем, използвайки примера на задача, как може да се направи това. Нека се знае, че средната линия на трапеца е 7 см, а една от основите е 10 см. Намерете дължината на втората основа.

Решение: Като се знае, че средната линия е равна на половината от сбора на основите, може да се твърди, че тяхната сума е 14 cm.

(14 см = 7 см × 2). От условието на задачата знаем, че един от тях е 10 cm, следователно по-малката страна на трапеца ще бъде 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Освен това, за по-удобно решение на проблеми от този вид, препоръчваме ви да научите добре такива формули от областта на трапеца като:

• средна линия;
• квадрат;
• височина;
• диагонали.

Познавайки същността (точно същността) на тези изчисления, можете лесно да разберете желаната стойност.

Видео: трапец и неговите свойства

Видео: трапецовидни характеристики

Изход

От разгледаните примери за задачи може да се направи просто заключение, че трапецът, по отношение на изчислителните задачи, е една от най-простите форми в геометрията. За успешно решаване на проблеми, на първо място, не си струва да решавате каква информация е известна за описания обект, в кои формули могат да бъдат приложени и да решавате какво трябва да се намери. С този прост алгоритъм няма проблем с тази геометрична форма без усилие.

Трапецът е релефен четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две не са успоредни. Ако всички противоположни страни на четириъгълника са успоредни по двойки, тогава това е успоредник.

Ще имаш нужда

• - всички страни на трапеца (AB, BC, CD, DA).

Инструкции

1. Непаралелни партии трапецсе наричат ​​странични страни, а успоредните се наричат ​​основи. Линията между основите, перпендикулярна на тях - височина трапец... Ако отстрани партии трапецса равни, тогава се нарича равнобедрен. Първо, помислете за решението за трапецкойто не е равнобедрен.

2. Начертайте отсечка BE от точка B до долната основа AD успоредно на страната трапец CD. От факта, че BE и CD са успоредни и се държат между успоредни бази трапец BC и DA, тогава BCDE е паралелограм и неговата противоположност партии BE и CD са равни. BE = CD.

3. Да разгледаме триъгълника ABE. Изчислете страната на AE. AE = AD-ED. Основи трапец BC и AD са известни, а в паралелограма BCDE е обратното партии ED и BC са равни. ED = BC, така че AE = AD-BC.

4. Сега намерете площта на триъгълник ABE, като използвате формулата на Херон, като изчислите полупериметъра. S = корен (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). В тази формула p е полупериметърът на триъгълник ABE. p = 1/2 * (AB + BE + AE). За да изчислите площта, знаете всички необходими данни: AB, BE = CD, AE = AD-BC.

6. Изразете от тази формула височината на триъгълника, която е и височината трапец... BH = 2 * S / AE. Изчислете го.

7. Ако трапецът е равнобедрен, решението може да бъде изпълнено по различен начин. Помислете за триъгълник ABH. Той е правоъгълен, защото един от ъглите, BHA, е прав.

8. Начертайте височината CF от върха C.

9. Разгледайте фигурата на HBCF. HBCF правоъгълник, от факта, че две от него партии- височини, а другите две са основи трапец, тоест ъглите са прави, а обратното партииса успоредни. Това означава, че BC = HF.

10. Вижте правоъгълните триъгълници ABH и FCD. Ъглите при височини BHA и CFD са прави, а ъглите при страничните партии x BAH и CDF са равни, тъй като трапецът ABCD е равнобедрен, което означава, че триъгълниците са подобни. Тъй като височините BH и CF са равни на всяка страна партииравнобедрен трапец AB и CD са равни, тогава подобни триъгълници са равни. Следователно, техните партии AH и FD също са равни.

11. Открийте AH. AH + FD = AD-HF. Тъй като от паралелограма HF = BC и от триъгълниците AH = FD, тогава AH = (AD-BC) * 1/2.

Трапецът е геометрична фигура, която представлява четириъгълник, в който две страни, които се наричат ​​основи, са успоредни, а другите две не са успоредни. Те се наричат ​​страни трапец... Отсечката, изтеглена през средните точки на страните, се нарича средна линия. трапец... Трапецът може да има различни дължини на страните или еднакви, като в този случай се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основата, тогава трапецът ще бъде правоъгълен. Но е много по-практично да знаете как да откриете квадрат трапец .

Ще имаш нужда

• Линийка с милиметрови деления

Инструкции

1. Измерете всички страни трапец: AB, BC, CD и DA. Запишете резултатите от вашите измервания.

2. На линия AB изметнете средната точка - точка K. На сегмент DA изместете точка L, която също е в средата на сегмент AD. Комбинирайте точки K и L, полученият сегмент KL ще бъде средната линия трапец ABCD. Измерете отсечката KL.

3. От върха трапец- копнеж C, спуснете перпендикуляра на основата му AD върху отсечката CE. Той ще бъде височината трапец ABCD. Измерете сегмента CE.

4. Тогава отсечката KL наричаме буквата m, а отсечката CE буквата h квадратС трапецИзчислете ABCD по формулата: S = m * h, където m е средната линия трапец ABCD, h - височина трапец ABCD.

5. Има и друга формула, която ви позволява да изчислите квадрат трапец ABCD. Долна основа трапец- AD ще се нарича буквата b, а горната основа на BC ще се нарича a. Площта се определя по формулата S = 1/2 * (a + b) * h, където a и b са основите трапец, h - височина трапец .

Подобни видеа

Съвет 3: Как да намерите височината на трапец, ако площта е известна

Трапец означава четириъгълник, в който две от четирите му страни са успоредни една на друга. Успоредните страни са в основата на това трапец, другите две са страничните страни на това трапец... Открийте височината трапец, ако знаем неговата площ, ще бъде много лесно.

Инструкции

1. Трябва да разберете как е позволено да се изчисли площта на първоначалното трапец... Има няколко формули за това, в зависимост от изходните данни: S = ((a + b) * h) / 2, където a и b са дължините на основите трапец, а h е неговата височина (височина трапец- перпендикуляр, изпуснат от една основа трапецкъм друг); S = m * h, където m е средната линия трапец(Средната линия е сегмент, успореден на основите трапеци свързваща средата на страничните му страни).

2. Сега, знаейки формулите за изчисляване на площта трапец, от тях е позволено да се изведат нови, да се намери височината трапец: h = (2 * S) / (a ​​+ b); h = S / m.

3. За да стане по-ясно как да се решат подобни проблеми, е позволено да се видят примери: Пример 1: Даден трапец, чиято площ е 68 cm ?, чиято средна линия е 8 cm, трябва да намерите височинатададено трапец... За да разрешите този проблем, трябва да използвате изведената по-рано формула: h = 68/8 = 8,5 cm Отговор: височината на това трапеце 8,5 см. Пример 2: Нека трапецплощта е 120 см ?, дължината на основите на това трапецса равни на 8 см и 12 см, съответно, се изисква да се открие височинататова трапец... За да направите това, трябва да приложите една от получените формули: h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm Отговор: височината на дадената трапецравно на 12 см

Подобни видеа

Забележка!
Всеки трапец има редица свойства: - средната линия на трапеца е равна на полусумата от неговите основи; - отсечката, която свързва диагоналите на трапеца, е равна на половината от разликата в основите му; - ако правата линия е начертана през средните точки на основите, тя ще пресече точката на пресичане на диагоналите на трапеца; - позволено е да се впише окръжност в трапец, ако сумата от основите на този трапец е равна на сумата от страничните му страни. Използвайте тези свойства при решаване на задачи.

Съвет 4: Как да намерите височината на триъгълник, ако са дадени координатите на точките

Височината в триъгълник е отсечка от права линия, свързваща горната част на фигурата с противоположната страна. Този сегмент със сигурност трябва да бъде перпендикулярен на страната, следователно от всеки връх е позволено да се начертае само един височината... Поради факта, че на тази фигура има три върха, височините в нея са еднакви. Ако триъгълникът е даден от координатите на неговите върхове, е възможно да се изчисли дължината на която и да е от височините, да речем, като се използва формулата за намиране на площта и изчисляване на дължините на страните.

Инструкции

1. Изчислете, че площта триъгълникравно на половината от произведението на дължината на всяка от неговите страни на дължината на височината, спусната от тази страна. От това определение следва, че за да намерите височината, трябва да знаете площта на фигурата и дължината на страната.

2. Започнете с изчисляване на дължините на страните триъгълник... Маркирайте координатите на върховете на фигурата, както следва: A (X?, Y?, Z?), B (X?, Y?, Z?) И C (X?, Y?, Z?). След това можете да изчислите дължината на страната AB, като използвате формулата AB =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). За другите 2 страни тези формули ще изглеждат така: BC =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) И ​​AC =? (( X ? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). Да кажем за триъгълникс координати A (3,5,7), B (16,14,19) и C (1,2,13), дължината на страната AB ще бъде? ((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) =? (- 13? + (-9?) + (-12?)) =? (169 + 81 + 144) =? 394? 19,85. Дължините на страните BC и AC, изчислени по същия метод, ще бъдат равни на? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 и? (2? + 3? + (-6?)) =? 49 = 7.

3. Умения за дължините на 3 страни, получени в предишната стъпка, са достатъчни за изчисляване на площта триъгълник(S) според формулата на Херон: S =? *? ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC) * (AB + BC-CA)). Да кажем, по-късно заместване на стойностите, получени от координатите триъгълникпример от предишната стъпка, тази формула ще даде тази стойност: S =? *? ((19.85 + 20.12 + 7) * (20.12 + 7-19.85) * (19.85 + 7-20 , 12) * (19.85 + 20.12- 7)) =? *? (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97)? ? *? 75768,55? ? * 275,26 = 68,815.

4. Идвайки от района триъгълникизчислени в предишната стъпка, а дължините на страните, получени във втората стъпка, изчислете височините за всяка от страните. Тъй като площта е равна на половината от произведението на височината от дължината на страната, към която е изтеглена, за да намерите височината, разделете удвоената площ на дължината на желаната страна: H = 2 * S / a. За примера, използван по-горе, височината, спусната към страната AB, ще бъде 2 * 68,815 / 16,09? 8.55, височината към страната BC ще бъде 2 * 68.815 / 20.12? 6,84, а за страната на AU тази стойност ще бъде 2 * 68,815 / 7? 19.66.

Трапецът е такъв четириъгълник, чиито две страни са успоредни (това са основите на трапеца, посочени на фигури a и b), а другите две не са (на фигурата HELL и CB). Височината на трапеца е отсечката h, начертана перпендикулярно на основите.

Как да намерите височината на трапеца с известни стойности на площта на трапеца и дължините на основите?

За да изчислим площта S на трапеца ABCD, използваме формулата:

S = ((a + b) × h) / 2.

Тук отсечките a и b са основите на трапеца, h е височината на трапеца.

Преобразувайки тази формула, можем да напишем:

Използвайки тази формула, получаваме стойността на h, ако площта S и дължините на основите a и b са известни.

Пример

Ако е известно, че площта на трапеца S е 50 cm², дължината на основата a е 4 cm, дължината на основата b е 6 cm, тогава за намиране на височината h използваме формулата:

Заменяме известни стойности във формулата.

h = (2 × 50) / (4 + 6) = 100/10 = 10 cm

Отговор: Височината на трапеца е 10 см.

Как да намерите височината на трапеца, ако са дадени стойностите на площта на трапеца и дължината на средната линия?

Нека използваме формулата за изчисляване на площта на трапец:

Тук m е средната линия, h е височината на трапеца.

Ако възникне въпросът, как да намерите височината на трапеца, формулата:

h = S / m ще бъде отговорът.

По този начин можем да намерим стойността на височината на трапеца h, като има известни стойности на площта S и отсечката на средната линия m.

Пример

Знаем дължината на средната линия на трапеца m, която е 20 cm, и площта S, която е 200 cm². Нека намерим стойността на височината на трапеца h.

Замествайки стойностите на S и m, получаваме:

h = 200/20 = 10 см

Отговор: Височината на трапеца е 10 см

Как да намерим височината на правоъгълен трапец?

Ако трапецът е четириъгълник, с две успоредни страни (основи) на трапеца. Този диагонал е сегмент, който свързва два противоположни върха на ъглите на трапеца (сегмент AC на фигурата). Ако трапецът е правоъгълен, използвайки диагонала, намираме височината на трапеца h.

Правоъгълният трапец е трапец, където една от страничните страни е перпендикулярна на основите. В този случай дължината му (BP) съвпада с височината h.

И така, помислете за правоъгълен трапец ABCD, където AD е височината, DC е основата, AC е диагоналът. Нека използваме питагоровата теорема. Квадратът на хипотенузата AC на правоъгълен триъгълник ADC е равен на сумата от квадратите на неговите катети AB и BC.

Тогава можете да напишете:

AC² = AD² + DC².

AD е катета на триъгълника, страната на трапеца и в същото време неговата височина. В крайна сметка сегментът от кръвното налягане е перпендикулярен на основите. Дължината му ще бъде:

AD = √ (AC² - DC²)

И така, имаме формула за изчисляване на височината на трапеца h = AD

Пример

Ако дължината на основата на правоъгълен трапец (DC) е 14 cm, а диагоналът (AC) е 15 cm, използваме теоремата на Питагор, за да получим стойността на височината (AD-страна).

Тогава нека x е неизвестният крак на правоъгълен триъгълник (AD).

AC² = AD² + DC² може да се запише

15² = 14² + x²,

x = √ (15²-14²) = √ (225-196) = √29 cm

Отговор: Височината на правоъгълния трапец (AB) ще бъде √29 cm, което е приблизително 5,385 cm

Как да намерим височината на равнобедрен трапец?

Равнобедрен трапец се нарича трапец, в който дължините на страните са равни една на друга. Права линия, проведена през средните точки на основите на такъв трапец, ще бъде оста на симетрия. Специален случай е трапец, диагоналите на който са перпендикулярни един на друг, тогава височината h ще бъде равна на полусумата от основите.

Помислете за случая, ако диагоналите не са перпендикулярни един на друг. В равнобедрен (равнобедрен) трапец ъглите при основите са равни и дължините на диагоналите са равни. Известно е също, че всички върхове на равнобедрен трапец докосват линията на окръжност, начертана около този трапец.

Помислете за чертежа. ABCD е равнобедрен трапец. Известно е, че основите на трапеца са успоредни, което означава, че BC = b успоредно на AD = a, страна AB = CD = c, което означава, че ъглите при основите са съответно равни, можете да напишете ъгъла BAQ = CDS = α, а ъгълът ABC = BCD = β. По този начин заключаваме, че триъгълникът ABQ е равен на триъгълник SCD, което означава, че сегментът

AQ = SD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.

Като имаме, според условието на задачата, стойностите на основите a и b и дължината на страничната страна c, намираме височината на трапеца h, равна на отсечката BQ.

Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABQ. BO - височината на трапеца, перпендикулярна на основата AD, оттук и отсечката AQ. Намираме страната AQ на триъгълник ABQ, използвайки формулата, която изведохме по-рано:

Имайки стойностите на два крака на правоъгълен триъгълник, намираме хипотенузата BQ = h. Използваме теоремата на Питагор.

AB² = AQ² + BQ²

Нека заменим тези задачи:

c² = AQ² + h².

Получаваме формулата за намиране на височината на равнобедрен трапец:

h = √ (c²-AQ²).

Пример

Даден е равнобедрен трапец ABCD, където основа AD = a = 10 cm, основа BC = b = 4 cm и страна AB = c = 12 cm. При такива условия нека разгледаме, например, как да намерим височината на трапеца, равнобедрен трапец AVSD.

Намерете страната AQ на триъгълник ABQ, като замените известните данни:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3 cm.

Сега нека заменим стойностите на страните на триъгълника във формулата на Питагоровата теорема.

h = √ (c²- AQ²) = √ (12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Отговор. Височината h на равнобедрения трапец ABCD е 11,6 cm.