Основна информация за рационалните изрази и техните трансформации. Преобразуване на рационални изрази Примери за дробни рационални изрази с решения

На първо място, за да научите как да работите с рационални дроби без грешки, трябва да научите съкратените формули за умножение. И не е лесно да се научи – те трябва да се разпознават дори когато синусите, логаритмите и корените действат като термини.

Основният инструмент обаче остава факторизацията на числителя и знаменателя на рационална дроб. Това може да се постигне по три различни начина:

Всъщност, според формулата за съкратено умножение: те ви позволяват да сгънете полином в един или повече фактори;
Използване на факторизация на квадратен трином по отношение на дискриминанта. Същият метод ни позволява да се уверим, че всеки тричлен изобщо не се разлага на фактори;
Методът на групиране е най-трудният инструмент, но това е единственият метод, който работи, ако предишните два не работят.

Както вероятно сте се досетили от заглавието на това видео, отново ще говорим за рационалните дроби. Само преди няколко минути завърших урок с един десетокласник и там анализирахме точно тези изрази. Ето защо този урок ще бъде предназначен специално за ученици от гимназията.

Със сигурност мнозина ще имат въпрос: „Защо учениците от 10-11 клас трябва да учат такива прости неща като рационалните дроби, защото това се прави в 8 клас?“ Но проблемът е, че повечето хора просто "минават" тази тема. В 10-11 клас те вече не помнят как се прави умножение, деление, изваждане и събиране на рационални дроби от 8 клас, но именно върху това просто знание се изграждат по-нататъшни, по-сложни конструкции, като например решението на логаритмични , тригонометрични уравнения и много други сложни изрази, така че на практика няма какво да се прави в гимназията без рационални дроби.

Формули за решаване на проблеми

Да се залавяме за работа. На първо място ни трябват два факта - два набора от формули. На първо място, трябва да знаете съкратените формули за умножение:

$ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ ляво (a-b \ дясно) \ ляво (a + b \ дясно) $ - разлика на квадратите;
$ ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)) $ - квадратът на сбора или разлика;
$ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ ляво (a + b \ дясно) \ ляво (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ ( 2)) \ вдясно) $ - сумата от кубчета;
$ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ ляво (ab \ дясно) \ ляво (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2 ) ) \ вдясно) $ - разлика от кубчета.

В чист вид те не се срещат в никакви примери и в истински сериозни изрази. Следователно нашата задача е да се научим да виждаме много по-сложни конструкции под буквите $ a $ и $ b $, например логаритми, корени, синуси и т.н. Можете да се научите да виждате това само чрез постоянна практика. Ето защо решаването на рационални дроби е абсолютно необходимо.

Втората, напълно очевидна формула е факторизацията на квадратен трином:

$ ((x) _ (1)) $; $ ((x) _ (2)) $ - корени.

Ние се справихме с теоретичната част. Но как да се решат реални рационални дроби, които се разглеждат в 8 клас? Сега ще тренираме.

Проблем номер 1

\ [\ frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) (((b) ^ (3)) - 4): \ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \]

Нека се опитаме да приложим горните формули към решаването на рационални дроби. Преди всичко искам да обясня защо въобще е необходим факторинг. Факт е, че на пръв поглед в първата част на задачата искате да намалите куб с квадрат, но това е абсолютно невъзможно, защото те са членове в числителя и в знаменателя, но в никакъв случай не са фактори .

Като цяло, какво е намаление? Съкращението е общо правило за работа с подобни изрази. Основното свойство на дроб е, че можем да умножим числителя и знаменателя по едно и също число, различно от нула. В този случай, когато намаляваме, тогава, напротив, разделяме на същото число, различно от "нула". Трябва обаче да разделим всички членове в знаменателя на едно и също число. Не можете да направите това. И имаме право да отменим числителя със знаменателя само когато и двете са разложени на множители. Хайде да го направим.

Сега трябва да видите колко термина има в един или друг елемент, в съответствие с това, разберете коя формула трябва да се използва.

Нека преобразуваме всеки израз в точен куб:

Нека пренапишем числителя:

\ [((\ ляво (3a \ дясно)) ^ (3)) - ((\ ляво (4b \ дясно)) ^ (3)) = \ ляво (3a-4b \ дясно) \ ляво (((\ ляво (3a \ вдясно)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ вляво (4b \ вдясно)) ^ (2)) \ вдясно) \]

Нека да разгледаме знаменателя. Нека го разширим според формулата на разликата на квадратите:

\ [((b) ^ (2)) - 4 = ((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ ляво (b-2 \ дясно) \ ляво (b + 2 \ вдясно) \]

Сега нека разгледаме втората част на израза:

Числител:

Остава да разберем знаменателя:

\ [((b) ^ (2)) + 2 \ cdot 2b + ((2) ^ (2)) = ((\ вляво (b + 2 \ вдясно)) ^ (2)) \]

Нека пренапишем цялата конструкция, като вземем предвид горните факти:

\ [\ frac (\ ляво (3a-4b \ дясно) \ ляво ((\ ляво (3a \ дясно)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ ляво (4b \ дясно)) ^ ( 2 )) \ дясно)) (\ ляво (b-2 \ дясно) \ ляво (b + 2 \ дясно)) \ cdot \ frac (((\ ляво (b + 2 \ дясно)) ^ (2))) ( ((\ ляво (3a \ дясно)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ ляво (4b \ дясно)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (\ ляво (3a-4b \ дясно) \ ляво (b + 2 \ дясно)) (\ ляво (b-2 \ дясно)) \]

Нюанси на умножаване на рационални дроби

Основният извод от тези конструкции е както следва:

Не всеки полином е разложен на множители.
Дори и да се разгърне, е необходимо внимателно да се разгледа коя точно формула за съкратено умножение.

За да направите това, първо, трябва да прецените колко сбора има (ако има две от тях, тогава всичко, което можем да направим, е да ги разширим или със сумата от разликата на квадратите, или със сумата или разликата на кубовете; и ако има три от тях, тогава това е, недвусмислено, или квадратът на сбора, или квадратът на разликата). Често се случва или числителят, или знаменателят изобщо да не изискват разлагане на множители, може да бъде линеен или неговият дискриминант да е отрицателен.

Проблем номер 2

\ [\ frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \ cdot \ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \ cdot \ frac (8 - ((x) ^ (3))) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \]

Като цяло схемата за решаване на този проблем не се различава от предишната - просто ще има повече действия и те ще станат по-разнообразни.

Нека започнем с първата дроб: нека разгледаме нейния числител и направим възможни трансформации:

Сега нека погледнем знаменателя:

С втората дроб: нищо не може да се направи в числителя, защото това е линеен израз и не можете да извадите от него никакъв фактор. Нека погледнем знаменателя:

\ [((x) ^ (2)) - 4x + 4 = ((x) ^ (2)) - 2 \ cdot 2x + ((2) ^ (2)) = ((\ вляво (x-2 \ вдясно )) ^ (2)) \]

Преминаваме към третата фракция. Числител:

Нека се справим със знаменателя на последната дроб:

Нека пренапишем израза, като вземем предвид горните факти:

\ [\ frac (3 \ наляво (1-2x \ вдясно)) (2 \ вляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) \ cdot \ frac (2x + 1) ((( \ вляво (x-2 \ вдясно)) ^ (2))) \ cdot \ frac (\ left (2-x \ right) \ left (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ ( 2)) \ дясно)) (\ ляво (2x-1 \ дясно) \ ляво (2x + 1 \ дясно)) = \]

\ [= \ frac (-3) (2 \ ляво (2-x \ дясно)) = - \ frac (3) (2 \ ляво (2-x \ дясно)) = \ frac (3) (2 \ ляво (x-2 \ вдясно)) \]

Нюанси на решението

Както можете да видите, не всичко и не винаги почива на съкратените формули за умножение - понякога е достатъчно просто да изключите константа или променлива от скобите. Има обаче и обратната ситуация, когато има толкова много термини или те са изградени по такъв начин, че формулите за съкратено умножение към тях по принцип са невъзможни. В този случай на помощ ни идва универсален инструмент, а именно методът на групиране. Това е, което сега ще приложим в следващата задача.

Проблем номер 3

\ [\ frac (((a) ^ (2)) + ab) (5a - ((a) ^ (2)) + ((b) ^ (2)) - 5b) \ cdot \ frac (((a) ) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Нека да разгледаме първата част:

\ [((a) ^ (2)) + ab = a \ вляво (a + b \ вдясно) \]

\ [= 5 \ ляво (ab \ дясно) - \ ляво (ab \ дясно) \ ляво (a + b \ дясно) = \ ляво (ab \ дясно) \ ляво (5-1 \ ляво (a + b \ дясно) ) \ вдясно) = \]

\ [= \ ляво (a-b \ дясно) \ ляво (5-a-b \ дясно) \]

Нека пренапишем оригиналния израз:

\ [\ frac (a \ left (a + b \ right)) (\ left (ab \ right) \ left (5-ab \ right)) \ cdot \ frac (((a) ^ (2)) - ( (b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Сега нека се заемем с втората скоба:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a = ((a) ^ (2)) - 10a + 25 - ((b) ^ (2)) = \ вляво (((a) ^ (2)) - 2 \ cdot 5a + ((5) ^ (2)) \ вдясно) - ((b) ^ (2)) = \]

\ [= ((\ ляво (a-5 \ дясно)) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ ляво (a-5-b \ дясно) \ ляво (a-5 + b \ вдясно) \]

Тъй като двата елемента не могат да бъдат групирани, ние групирахме три. Остава само да разберем знаменателя на последната дроб:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ ляво (a-b \ дясно) \ ляво (a + b \ дясно) \]

Сега нека пренапишем цялата си конструкция:

\ [\ frac (a \ left (a + b \ right)) (\ left (ab \ right) \ left (5-ab \ right)) \ cdot \ frac (\ left (a-5-b \ right) \ ляво (a-5 + b \ дясно)) (\ ляво (ab \ дясно) \ ляво (a + b \ дясно)) = \ frac (a \ ляво (ba + 5 \ дясно)) ((( \ left (ab \ вдясно)) ^ (2))) \]

Проблемът е решен и тук нищо повече не може да бъде опростено.

Нюанси на решението

Разбрахме групирането и получихме друг много мощен инструмент, който разширява възможностите за факторинг. Но проблемът е, че в реалния живот никой няма да ни даде толкова изискани примери, където има няколко дроби, в които трябва само да разбиете числителя и знаменателя на множител и след това да ги намалите, ако е възможно. Реалните изрази ще бъдат много по-сложни.

Най-вероятно в допълнение към умножението и деленето ще има изваждане и добавяне, всякакви скоби - като цяло ще трябва да се вземе предвид редът на действията. Но най-лошото е, че при изваждане и събиране на дроби с различни знаменатели, те ще трябва да бъдат сведени до един общ. За да направите това, всеки от тях ще трябва да бъде разложен на множители и след това тези дроби ще трябва да бъдат трансформирани: да се донесат подобни и много повече. Как да го направите правилно, бързо и в същото време да получите недвусмислено правилен отговор? За това ще говорим сега с примера на следната конструкция.

Проблем номер 4

\ [\ вляво (((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) \ вдясно) \ cdot \ left (\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) ((( x) ^ (2)) - 3x + 9) \ вдясно) \]

Нека напишем първата дроб и се опитаме да се справим с нея отделно:

\ [((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (2))) (1) + \ frac (27) (x) = \ frac ( ((x) ^ (3))) (x) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + 27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + ((3) ^ (3))) (x) = \]

\ [= \ frac (\ вляво (x + 3 \ надясно) \ вляво (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ вдясно)) (x) \]

Да преминем към втория. Нека веднага изчислим дискриминанта на знаменателя:

Не може да бъде разложено на множители, затова пишем следното:

\ [\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) (((x) ^ (2)) - 3x + 9) = \ frac (((x) ^ (2)) - 3x + 9 + x + 3) (\ ляво (x + 3 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ дясно)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (\ вляво (x + 3 \ надясно) \ вляво (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ вдясно)) \]

Нека напишем числителя отделно:

\ [((x) ^ (2)) - 2x + 12 = 0 \]

Следователно този полином не може да бъде разложен на множители.

Максимумът, който можехме да направим и разширим, вече сме направили.

И така, пренаписваме нашата оригинална конструкция и получаваме:

\ [\ frac (\ left (x + 3 \ right) \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ right)) (x) \ cdot \ frac (((x) ^ (2) ) -2x + 12) (\ ляво (x + 3 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ надясно)) = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (x) \]

Това е всичко, проблемът е решен.

Честно казано, това не беше толкова трудна задача: всичко беше лесно разложено на фактори, такива термини бяха бързо дадени и всичко беше съкратено красиво. Така че сега нека се опитаме да решим по-сериозен проблем.

Проблем номер 5

\ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ вдясно) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ вдясно) \]

Първо, нека се справим с първата скоба. От самото начало разложете поотделно знаменателя на втората дроб:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно) \]

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ вляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) - \ frac (1) (x-2) = \]

\ [= \ frac (x \ вляво (x-2 \ вдясно) + ((x) ^ (2)) + 8- \ вляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) ( \ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ дясно)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ вляво (x- 2 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ дясно)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ вляво (x-2 \ надясно) \ вляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) = \ frac (((\ ляво (x-2 \ дясно)) ^ (2))) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ надясно )) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Сега нека работим с втората дроб:

\ [\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2) ))) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ ляво (x-2 \ дясно)) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) \]

Върнете се към нашата оригинална конструкция и напишете:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ вдясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Ключови точки

Още веднъж ключовите факти от днешния видео урок:

Необходимо е да знаете "наизуст" формулите за съкратено умножение - и не просто да знаете, а да можете да видите в тези изрази, които ще срещнете в реални проблеми. В това може да ни помогне едно прекрасно правило: ако има два члена, то това е или разликата на квадратите, или разликата, или сумата на кубовете; ако три, това може да бъде само квадратът на сбора или разликата.
Ако някаква конструкция не може да бъде разложена с помощта на съкратени формули за умножение, тогава на помощ ни идва или стандартната формула за разлагане на тричлени във множители, или методът на групиране.
Ако нещо не се получи, разгледайте отблизо оригиналния израз - и дали изобщо са необходими преобразувания с него. Може би ще бъде достатъчно просто да поставим фактора извън скоби, а това много често е просто константа.
В сложни изрази, където трябва да извършите няколко действия подред, не забравяйте да доведете до общ знаменател и едва след това, когато всички дроби са намалени до него, не забравяйте да донесете нещо подобно в нов числител, и след това отново размножаваме новия числител - възможно е -това да намалее.

Това е всичко, което исках да ви кажа днес за рационалните дроби. Ако нещо не е ясно, в сайта има още куп видео уроци, както и куп задачи за самостоятелно решаване. Затова останете с нас!

В предишния урок понятието за рационално изразяване вече беше въведено, в днешния урок продължаваме да работим с рационални изрази и се фокусираме върху трансформирането им. Използвайки конкретни примери, ще разгледаме методи за решаване на задачи за преобразуване на рационални изрази и доказване на свързаните идентичности.

тема:Алгебрични дроби. Аритметични операции върху алгебрични дроби

Урок:Преобразуване на рационални изрази

Нека първо си припомним определението за рационален израз.

Определение.Рационалноизразяване- алгебричен израз, който не съдържа корени и включва само действията на събиране, изваждане, умножение и деление (повдигане на степен).

Под понятието "трансформиране на рационален израз" имаме предвид преди всичко неговото опростяване. И това се извършва в познатия ни ред на действията: първо действията в скоби, след това произведение на числата(възвеждане в степен), деление на числата и след това действия за събиране / изваждане.

Основната цел на днешния урок ще бъде да се натрупа опит в решаването на по-сложни задачи за опростяване на рационалните изрази.

Пример 1.

Решение.Първоначално може да изглежда, че посочените дроби могат да бъдат отменени, тъй като изразите в числителите на дробите са много подобни на формулите за перфектните квадрати на съответните им знаменатели. В този случай е важно да не бързате, а отделно да проверите дали това е така.

Нека проверим числителя на първата дроб:. Сега числителят е вторият:.

Както можете да видите, нашите очаквания не се оправдаха, а изразите в числителите не са перфектни квадрати, тъй като нямат удвояване на произведението. Такива изрази, ако си припомним курса на 7-ми клас, се наричат непълни квадрати. В такива случаи трябва да бъдете много внимателни, тъй като бъркането на формулата на пълен квадрат с непълен квадрат е много често срещана грешка и подобни примери проверяват вниманието на ученика.

Тъй като анулирането е невъзможно, нека съберем дробите. Знаменателите нямат общи множители, така че те просто се умножават, за да се получи най-малкият общ знаменател, а допълващият фактор за всяка дроб е знаменателят на другата дроб.

Разбира се, по-нататък можете да отворите скобите и след това да дадете подобни термини, но в този случай можете да се справите с по-малко усилия и да забележите, че в числителя първият член е формулата за сумата от кубчета, а вторият е разликата между кубчетата. За удобство нека си припомним тези формули в общ вид:

В нашия случай изразите в числителя се свиват, както следва:

, вторият израз е същият. Ние имаме:

Отговор..

Пример 2.Опростете рационалното изразяване .

Решение.Този пример е подобен на предишния, но тук веднага можете да видите, че в числителите на дробите има непълни квадрати, така че намаляването в началния етап на решението е невъзможно. Подобно на предишния пример, добавете дробите:

Тук, подобно на посочения по-горе метод, забелязахме и свихме изразите по формулите за сумата и разликата на кубовете.

Отговор..

Пример 3.Опростете рационалното изразяване.

Решение.Можете да видите, че знаменателят на втората дроб се разлага на множители, като се използва формулата за сбора от кубчета. Както вече знаем, разлагането на знаменателите е полезно за по-нататъшно намиране на най-малкия общ знаменател на дробите.

Посочваме най-малкия общ знаменател на дробите, той е равен на:, тъй като е разделен на знаменателя на третата дроб, а първият израз обикновено е цяло число и всеки знаменател е подходящ за него. След като посочихме очевидните допълнителни фактори, пишем:

Отговор.

Нека разгледаме по-сложен пример с дроби на „много нива“.

Пример 4.Докажете идентичността за всички допустими стойности на променливата.

Доказателство.За да докажем посочената идентичност, ще се опитаме да опростим нейната лява част (комплекс) до простата форма, която се изисква от нас. За да направите това, ще извършим всички действия с дроби в числителя и знаменателя, след което ще разделим дробите и ще опростим резултата.

Доказано за всички допустими стойности на променливата.

Доказано.

В следващия урок ще разгледаме по-сложни примери за трансформиране на рационални изрази.

Библиография

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 клас. - М .: Образование, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-то изд. - М .: Образование, 2010.

3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 клас. Учебник за учебни заведения. - М .: Образование, 2006.

2. Разработване на уроци, презентации, бележки за клас ().

Домашна работа

1. бр.96-101. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-то изд. - М .: Образование, 2010.

2. Опростете израза .

3. Опростете израза.

4. Докажете самоличността.

Урок и презентация на тема: "Преобразуване на рационални изрази. Примери за решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания. Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Интеграл за 8 клас
Ръководство за учебника Муравин Г.К. Ръководство за учебника Макаричев Ю.Н.

Концепцията за рационално изразяване

Понятието "рационално изразяване" е подобно на понятието "рационална дроб". Изразът също е представен като дроб. Само в числителите имаме - не числа, а различни видове изрази. Най-често това са полиноми. Алгебричната дроб е дробен израз, състоящ се от числа и променливи.

При решаване на много задачи в началните класове, след извършване на аритметични операции, получавахме конкретни числови стойности, най-често дроби. Сега, след извършване на операциите, ще получим алгебрични дроби. Момчета, запомнете: за да получите правилния отговор, трябва да опростите израза, с който работите, колкото е възможно повече. Човек трябва да получи възможно най-малката степен; същите изрази в числителите и знаменателите трябва да бъдат намалени; с изрази, които могат да бъдат свити, трябва да го направите. Тоест, след извършване на поредица от действия, трябва да получим най-простата алгебрична дроб.

Процедура за рационално изразяване

Процедурата за извършване на операции с рационални изрази е същата като при аритметичните операции. Първо се извършват действията в скоби, след това умножение и деление, повишаване на степен и накрая събиране и изваждане.

Да се докаже идентичност означава да се покаже, че за всички стойности на променливите дясната и лявата страна са равни. Има много примери за доказателство за самоличност.

Основните методи за решаване на идентичности са.

Преобразувайте лявата страна в еднаква дясна страна.
Преобразувайте дясната страна в еднаква лява страна.
Трансформирайте лявата и дясната страна поотделно, докато получите същия израз.
Извадете дясната от лявата страна и в резултат трябва да получите нула.

Преобразувайте рационални изрази. Примери за решаване на проблеми

Пример 1.
Докажете самоличността:

$ (\ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1)): (\ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a)) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = a-1 $.

Решение.
Очевидно трябва да трансформираме лявата страна.
Първо, нека изпълним действията в скоби:

1) $ \ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1) = \ frac ((a + 5) (a + 1) + (a + 5) (5a -1)) ((a + 1) (5a-1)) = $
$ = \ frac ((a + 5) (a + 1 + 5a-1)) ((a + 1) (5a-1)) = \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1 ) (5a-1)) $

Трябва да се опитате да извадите максимално общите фактори.
2) Преобразуваме израза, с който делим:

$ \ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a) = \ frac (a (a + 5)) ((1-5a) = \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1) ) $

.
3) Нека извършим операцията на разделяне:

$ \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)): \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1)) = \ frac ((a +5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)) * \ frac (- (5a-1)) (a (a + 5)) = \ frac (-6) (a + 1) $.

4) Нека извършим операцията по добавяне:

$ \ frac (-6) (a + 1) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = \ frac (a ^ 2-1) (a + 1) = \ frac ((a-1) ) (a + 1)) (a +)) = a-1 $.

Дясната и лявата страна са съвпаднали. Следователно идентичността е доказана.
Момчета, когато решавахме този пример, имахме нужда от познания за много формули и операции. Виждаме, че след трансформацията големият израз се превърна в много малък. При решаване на почти всички проблеми трансформациите обикновено водят до прости изрази.

Пример 2.
Опростете израза:

$ (\ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2)): (\ frac (a) (a + b) - \ frac ( a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2)) $.

Решение.
Нека започнем с първите скоби.

1. $ \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (a + b) -a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = $
$ = \ frac (a ^ 3 + a ^ 2 b-a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2) $.

2. Нека трансформираме вторите скоби.

$ \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) = \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) ((ab ) (a + b)) = \ frac (a (ab) -a ^ 2) ((ab) (a + b)) = $
$ = \ frac (a ^ 2-ab-a ^ 2) ((a-b) (a + b)) = \ frac (-ab) ((a-b) (a + b)) $.

3. Нека направим делението.

$ \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2): \ frac (-ab) ((ab) (a + b)) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2 ) * \ frac ((ab) (a + b)) ((- ab)) = $
$ = - \ frac (a (a-b)) (a + b) $

Отговор: $ - \ frac (a (a-b)) (a + b) $.

Пример 3.
Следвай стъпките:

$ \ frac (k-4) (k-2): (\ frac (80k) ((k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16) ) (2-k)) - \ frac (6k + 4) ((4-k) ^ 2) $.

Решение.
Както винаги, трябва да започнете със скоби.

1. $ \ frac (80k) (k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16) (2-k) = \ frac (80k) ( (k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) + \ frac (k-16) (k-2) = $

$ = \ frac (80k + 2k (k-2) + (k-16) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (80k + 2k ^ 2-4k + k ^ 3 + 2k ^ 2 + 4k-16k ^ 2-32k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = $

$ = \ frac (k ^ 3-12k ^ 2 + 48k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2 ) (k ^ 2 + 2k + 4)) $.

2. Сега нека направим деленето.

$ \ frac (k-4) (k-2): \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (k-4) ( k-2) * \ frac ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 3) = \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k- 4) ^ 2) $.

3. Нека използваме свойството: $ (4-k) ^ 2 = (k-4) ^ 2 $.
4. Нека извършим операцията изваждане.

$ \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 2) - \ frac (6k + 4) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k ^ 2-4k) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k (k-4)) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k) (k-4) $.

Както казахме по-рано, трябва да опростите дроба колкото е възможно повече.
Отговор: $ \ frac (k) (k-4) $.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Докажете самоличността:

$ \ frac (b ^ 2-14) (b-4) - (\ frac (3-b) (7b-4) + \ frac (b-3) (b-4)) * \ frac (4-7b) ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

2. Опростете израза:

$ \ frac (4 (z + 4) ^ 2) (z-2) * (\ frac (z) (2z-4) - \ frac (z ^ 2 + 4) (2z ^ 2-8) - \ frac (2) (z ^ 2 + 2z)) $.

3. Следвайте стъпките:

$ (\ frac (ab) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) - \ frac (2a) ((ab) (a + b)) + \ frac (ab) ((ab) ^ 2)) * \ frac (a ^ 4-b ^ 4) (8ab ^ 2) + \ frac (2b ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) $.

Аритметичното действие, което се извършва последно при изчисляване на стойността на израза, е „основното“.

Тоест, ако замените всякакви (всякакви) числа вместо букви и се опитате да изчислите стойността на израза, тогава ако последното действие е умножение, тогава имаме продукт (изразът е разложен на множители).

Ако последното действие е събиране или изваждане, това означава, че изразът не е факторизиран (и следователно не може да бъде отменен).

За да коригирате решението сами, вземете няколко примера:

Примери:

Решения:

1. Надявам се, че не сте побързали да режете и? Все още не беше достатъчно да се "нарязват" единици като това:

Първата стъпка е да факторизирате:

4. Събиране и изваждане на дроби. Привеждане на дроби до общ знаменател.

Добавянето и изваждането на обикновени дроби е много позната операция: търсим общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и добавяме/изваждаме числителите.

Да си припомним:

Отговори:

1. Знаменателите и са взаимно прости, тоест нямат общи множители. Следователно LCM на тези числа е равен на тяхното произведение. Това ще бъде общият знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Тук първо превръщаме смесените фракции в неправилни, а след това - по обичайната схема:

Съвсем друг е въпросът, ако дробите съдържат букви, например:

Нека започнем просто:

а) Знаменателите не съдържат букви

Тук всичко е същото като при обикновените числови дроби: намерете общия знаменател, умножете всяка дроб по липсващия фактор и добавете / извадете числителите:

сега в числителя можете да донесете подобни, ако има такива, и да разложите на фактори:

Опитайте го сами:

Отговори:

б) Знаменателите съдържат букви

Нека си спомним принципа за намиране на общ знаменател без букви:

· На първо място определяме общите фактори;

· След това напишете всички общи фактори наведнъж;

· И ги умножете по всички други фактори, които не са често срещани.

За да определим общите множители на знаменателите, първо ги разлагаме на прости множители:

Нека подчертаем общите фактори:

Сега нека напишем общите фактори веднъж и да добавим към тях всички необичайни (неподчертани) фактори:

Това е общият знаменател.

Да се върнем към буквите. Знаменателите са показани по абсолютно същия начин:

· Разлагаме знаменателите на фактори;

· Определяме общи (идентични) фактори;

· Изпишете всички общи фактори веднъж;

· Ние ги умножаваме по всички други фактори, не по общи.

И така, по ред:

1) разлагаме знаменателите на фактори:

2) определяме общите (идентични) фактори:

3) изписваме всички общи множители еднократно и ги умножаваме по всички останали (ненапрегнати) фактори:

Така че общият знаменател е тук. Първата дроб трябва да се умножи по, а втората по:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме едни и същи фактори в знаменателите, само че всички с различни показатели. Общият знаменател ще бъде:

до степента

в степен.

Нека усложним задачата:

Как правите дробите с един и същ знаменател?

Нека си спомним основното свойство на дроб:

Никъде не е казано, че едно и също число може да се извади (или добави) от числителя и знаменателя на дроб. Защото това не е вярно!

Вижте сами: вземете произволна дроб, например, и добавете някакво число към числителя и знаменателя, например. Какво се научи?

И така, още едно непоклатимо правило:

Когато привеждате дроби до общ знаменател, използвайте само умножение!

Но по какво трябва да се умножи, за да се получи?

Ето и умножете. И умножете по:

Изразите, които не могат да бъдат разложени на множители, ще бъдат наречени „елементарни фактори“.

Например, е елементарен фактор. - също. Но - не: тя е факторизирана.

Какво мислите за изразяването? Елементарно ли е?

Не, тъй като може да бъде разложено на множители:

(вече сте чели за факторизацията в темата "").

И така, елементарните множители, в които разширявате израза с букви, са аналогични на простите множители, в които разширявате числата. И ние ще се справим с тях по същия начин.

Виждаме, че и в двата знаменателя има фактор. Ще отиде до общия знаменател във властта (помните ли защо?).

Факторът е елементарен и не е обичаен за тях, което означава, че първата дроб просто ще трябва да се умножи по него:

Друг пример:

Решение:

Преди да умножите тези знаменатели в паника, трябва да помислите как да ги разложите? И двамата представляват:

Глоба! Тогава:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, разложете знаменателите на множители. В първия знаменател просто го поставяме извън скобите; във втория - разликата на квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако се вгледате внимателно, тогава те са толкова сходни ... И истината:

Така че ще напишем:

Тоест, се оказа така: вътре в скобите сменихме термините и в същото време знакът пред дробта се промени на обратното. Обърнете внимание, ще трябва да правите това често.

Сега стигаме до общ знаменател:

Схванах го? Нека го проверим сега.

Задачи за самостоятелно решение:

Отговори:

Тук трябва да запомним още едно - разликата между кубчетата:

Обърнете внимание, че знаменателят на втората дроб не е формулата за "квадрат на сумата"! Квадратът на сбора ще изглежда така:.

A е така нареченият непълен квадрат на сбора: вторият член в него е произведението на първия и последния, а не техния удвоен продукт. Непълният квадрат на сбора е един от факторите при разлагането на разликата на кубчетата:

Ами ако вече има три дроби?

Едно и също нещо! На първо място, ще направим така, че максималният брой фактори в знаменателите да е същият:

Обърнете внимание: ако промените знаците в една скоба, знакът пред дроба се променя на противоположния. Когато сменим знаците във втората скоба, знакът пред дроба отново се обръща. В резултат на това той (знакът пред дроба) не се е променил.

В общия знаменател изпишете първия знаменател изцяло и след това добавете към него всички фактори, които все още не са записани, от втория, а след това от третия (и така нататък, ако има повече дроби). Тоест, излиза така:

Хм... С дробите е ясно какво да се прави. Но какво да кажем за двойката?

Просто е: можете да събирате дроби, нали? Това означава, че трябва да накараме двойката да стане дроб! Запомнете: дробът е операция на деление (числителят се дели на знаменателя, в случай че изведнъж сте забравили). И няма нищо по-лесно от разделянето на число на. В този случай самото число няма да се промени, но ще се превърне в дроб:

Точно това, което е необходимо!

5. Умножение и деление на дроби.

Е, най-трудната част вече свърши. И пред нас е най-простото, но в същото време най-важното:

Процедура

Каква е процедурата за изчисляване на числов израз? Запомнете, като преброите значението на такъв израз:

Преброихте ли го?

Би трябвало да работи.

Така че, нека ви напомня.

Първата стъпка е да се изчисли степента.

Второто е умножение и деление. Ако има няколко умножения и деления едновременно, можете да ги направите в произволен ред.

И накрая, правим събиране и изваждане. Отново в произволен ред.

Но: изразът в скоби се оценява неправилно!

Ако няколко скоби се умножат или разделят помежду си, първо изчисляваме израза във всяка от скобите и след това ги умножаваме или разделяме.

Ами ако има повече скоби вътре в скобите? Е, нека помислим: в скобите е изписан някакъв израз. И когато оценявате израз, какво е първото нещо, което трябва да направите? Точно така, изчислете скобите. Е, разбрахме го: първо изчисляваме вътрешните скоби, след това всичко останало.

И така, процедурата за израза по-горе е както следва (текущото действие е подчертано в червено, тоест действието, което изпълнявам в момента):

Добре, всичко е просто.

Но това не е ли същото като израз с букви?

Не, същото е! Само вместо аритметични операции трябва да правите алгебрични, тоест действията, описани в предишния раздел: донасяне на подобни, събиране на дроби, намаляване на дроби и т.н. Единствената разлика е ефектът от разлагането на полиноми (често го използваме при работа с дроби). Най-често за разлагане на множители трябва да използвате i или просто да поставите общия множител извън скоби.

Обикновено нашата цел е да представим израз под формата на произведение или част.

Например:

Нека опростим израза.

1) Първият е да се опрости изразът в скоби. Там имаме разликата на дробите и нашата цел е да я представим като продукт или частно. И така, привеждаме дробите към общ знаменател и добавяме:

Невъзможно е повече да се опрости този израз, всички фактори тук са елементарни (помните ли още какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножение на дроби: какво може да бъде по-лесно.

3) Сега можете да съкратите:

Така че това е всичко. Нищо сложно, нали?

Друг пример:

Опростете израза.

Първо се опитайте да го решите сами и едва тогава вижте решението.

Решение:

Първо, нека дефинираме реда на действията.

Първо добавяме дробите в скоби, получаваме една вместо две дроби.

След това ще разделим дробите. Е, добавете резултата с последната дроб.

Ще номерирам схематично стъпките:

Сега ще покажа целия процес, оцветявайки текущото действие в червено:

1. Ако има подобни, трябва да се донесат незабавно. В който и момент да имаме подобни, препоръчително е да ги донесем веднага.

2. Същото важи и за намаляването на фракциите: веднага щом има възможност за намаляване, тя трябва да се използва. Изключение правят дробите, които събирате или изваждате: ако сега имат същите знаменатели, намалението трябва да се остави за по-късно.

Ето някои задачи, които да решите сами:

И обеща в самото начало:

Отговори:

Решения (кратко):

Ако сте се справили поне с първите три примера, значи сте усвоили темата.

Сега напред към ученето!

ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ИЗРАЗИТЕ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Основни операции за опростяване:

Донасяне на подобни: за да добавите (донесете) такива термини, трябва да добавите техните коефициенти и да зададете буквената част.
Факторизация:отчитане на общия фактор, приложение и т.н.
Намаляване на фракцията: числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също число, различно от нула, което не променя стойността на дроба.
1) числител и знаменател фактор
2) ако има общи множители в числителя и знаменателя, те могат да бъдат зачертани.
ВАЖНО: само множителите могат да бъдат намалени!
Събиране и изваждане на дроби:
;
Умножение и деление на дроби:
;