Пример за това е вероятността за определено събитие. Вероятност за събитие

Вероятностсъбитие е съотношението на броя на елементарните резултати, благоприятни за дадено събитие, към броя на всички еднакво възможни резултати от преживяването, в което това събитие може да се появи. Вероятността за събитие A се обозначава с P (A) (тук P е първата буква на френската дума probabilite - вероятност). Според определението
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятни за събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от експеримента, образуващи пълна група от събития.
Тази дефиниция на вероятността се нарича класическа. Възникна в началния етап от развитието на теорията на вероятностите.

Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица. Нека обозначим валидно събитие с буква. За надеждно събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Нека обозначим невъзможно събитие с буква. За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Вероятността за случайно събитие се изразява като положително число, по-малко от едно. Тъй като за случайно събитие неравенствата са изпълнени, или, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношенията (1.2.2) - (1.2.4).

Пример 1.Урната съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 червени и 6 сини. една топка се изважда от урната. Каква е вероятността отстранената топка да се окаже синя?

Решение... Събитието "извадената топка се оказа синя" ще се обозначава с буквата A. Този тест има 10 еднакво възможни елементарни резултата, от които 6 благоприятстват събитието A. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 2.Всички естествени числа от 1 до 30 се записват на еднакви карти и се поставят в урната. След щателно смесване на картите, едната карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на взетата карта да бъде кратно на 5?

Решение.Нека означим с А събитието "числото на взетата карта е кратно на 5". В този тест има 30 еднакво възможни елементарни резултата, от които събитие А се предпочита от 6 резултата (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). следователно,

Пример 3.Хвърлят се два зара, като се изчислява сумата от точките по горните ръбове. Намерете вероятността за събитие B, което се състои от общо 9 точки от горните страни на кубчетата.

Решение.В този тест има само 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата. Събитие Б е благоприятствано от 4 резултата: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), следователно

Пример 4... Избрано е на случаен принцип естествено число, което не надвишава 10. Каква е вероятността това число да е просто?

Решение.Нека обозначим с буквата C събитието "избраното число е просто". В този случай n = 10, m = 4 (прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно, необходимата вероятност

Пример 5.Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността горните страни на двете монети да имат числа?

Решение.Нека обозначим с буквата D събитието "имаше число от горната страна на всяка монета". В този тест има 4 еднакво възможни елементарни резултата: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Записът (G, C) означава, че първата монета има герб, втората има номер). Събитие D е благоприятствано от един елементарен резултат (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава

Пример 6.Каква е вероятността в произволно избрано двуцифрено число цифрите да са еднакви?

Решение.Двуцифрените числа са числа от 10 до 99; има общо такива числа 90. Същите числа имат 9 числа (това са числата 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава
,
където A е събитието "число със същите цифри".

Пример 7.От буквите на думата диференциаледна буква се избира на случаен принцип. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна, б) съгласна, в) буква з?

Решение... Думата диференциал има 12 букви, от които 5 гласни и 7 съгласни. писма зв тази дума не. Нека обозначим събития: A - "гласна буква", B - "съгласна буква", C - "буква з". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n = 12, тогава
, и .

Пример 8.Хвърлят се два зара, като се отбелязва броят на точките в горната част на всеки зар. Намерете вероятността и двата зара да имат еднакъв брой точки.

Решение.Нека обозначим това събитие с буквата А. Събития А благоприятстват 6 елементарни резултата: (1;]), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6) ). Общо еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n = 6 2 = 36. Следователно, необходимата вероятност

Пример 9.Книгата има 300 страници. Каква е вероятността една произволно отворена страница да има пореден номер, кратен на 5?

Решение.От условието на задачата следва, че всички еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, ще бъдат n = 300. От тях m = 60 благоприятстват началото на определеното събитие. Действително, кратното на 5 има формата 5k, където k е естествено число и откъдето ... следователно,
, където A - събитието "страница" има пореден номер, кратен на 5".

Пример 10... Хвърлят се два зара, като се изчислява сумата от точките по горните ръбове. Кое е по-вероятно да получи общо 7 или 8?

Решение... Нека да обозначим събития: A - "7 точки отпаднаха", B - "8 точки отпаднаха". Събитие А е благоприятствано от 6 елементарни резултата: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) и събитие B - 5 резултати: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всички еднакво възможни елементарни резултати n = 6 2 = 36. Следователно, и .

И така, P (A)> P (B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие, отколкото получаването на общо 8 точки.

Задачи

1. Избрано е на случаен принцип естествено число, което не надвишава 30. Каква е вероятността това число да е кратно на 3?
2. В урната ачервено и бсини топки със същия размер и тегло. Каква е вероятността топка, извадена на случаен принцип от тази урна, да се окаже синя?
3. На случаен принцип · избрано число, което не надвишава 30. Каква е вероятността това число да е делител на zo?
4. В урната асиньо и бчервени топчета със същия размер и тегло. Една топка се изважда от тази урна и се оставя настрана. Тази топка се оказа червена. След това от урната се изважда още една топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. Избира се произволно число, което не надвишава 50. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара, изчислява се сборът от точките по горните ръбове. Кое е по-вероятно да получи общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара, изчислява се сборът от падналите точки. Кое е по-вероятно да получи общо 11 (събитие А) или 12 точки (събитие Б)?

Отговори

1. 1/3. 2 . б/(а+б). 3 . 0,2. 4 . (б-1)/(а+б-1). 5 .0,3.6 ... p 1 = 25/216 - вероятността да получите общо 9 точки; p 2 = 27/216 - вероятността да получите общо 10 точки; p 2> p 1 7 ... P (A) = 27/216, P (B) = 25/216, P (A) > P (B).

Въпроси

1. Какво се нарича вероятност за събитие?
2. Каква е вероятността за определено събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността за случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Кое определение на вероятността се нарича класическо?

Ясно е, че всяко събитие има определена степен на възможност за неговото възникване (реализиране). За да се съпоставят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-възможно е събитието. Това число се нарича вероятност за събитие.

Вероятност за събитие- има числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на това събитие.

Помислете за стохастичен експеримент и случайно събитие А, наблюдавано в този експеримент. Нека повторим този експеримент n пъти и нека m (A) е броят на експериментите, в които се е случило събитие A.

Съотношение (1,1)

Наречен относителна честотасъбития А в поредицата от проведени експерименти.

Лесно е да се провери валидността на свойствата:

ако A и B са несъвместими (AB =), тогава ν (A + B) = ν (A) + ν (B) (1.2)

Относителната честота се определя само след серия от експерименти и най-общо казано може да се променя от серия в серия. Опитът обаче показва, че в много случаи с увеличаване на броя на експериментите относителната честота се доближава до определен брой. Този факт за стабилността на относителната честота е многократно проверен и може да се счита за експериментално установен.

Пример 1.19.... Ако хвърлите една монета, никой не може да предвиди от коя страна ще падне. Но ако хвърлите два тона монети, тогава всеки ще каже, че около един тон ще падне нагоре с герба, тоест относителната честота на появата на герба е приблизително 0,5.

Ако с увеличаване на броя на експериментите относителната честота на събитието ν (A) клони към определено фиксирано число, тогава те казват, че събитие А е статистически стабилно, и това число се нарича вероятност за събитие А.

Вероятност за събитието Асе нарича определено фиксирано число P (A), към което относителната честота ν (A) на това събитие клони с увеличаване на броя на експериментите, т.е.

Това определение се нарича статистическа дефиниция на вероятността .

Нека разгледаме някакъв стохастичен експеримент и нека пространството на неговите елементарни събития се състои от краен или безкраен (но изброим) набор от елементарни събития ω 1, ω 2,…, ω i,…. Да предположим, че на всяко елементарно събитие ω i е присвоен определен номер - p i, който характеризира степента на възможност за възникване на това елементарно събитие и удовлетворява следните свойства:

Такова число p i се нарича вероятността за елементарно събитиеω i.

Сега нека A е случайно събитие, наблюдавано в този експеримент, и определено множество му съответства

В такава обстановка вероятност за събитие А е сумата от вероятностите за елементарни събития, благоприятни за A(включени в съответния комплект А):

Вероятността, въведена по този начин, има същите свойства като относителната честота, а именно:

И ако AB = (A и B са несъвместими),

тогава P (A + B) = P (A) + P (B)

Наистина, според (1.4)

В последната връзка се възползвахме от факта, че никое елементарно събитие не може едновременно да благоприятства две несъвместими събития.

Специално отбелязваме, че теорията на вероятностите не посочва начини за определяне на p i, те трябва да се търсят от практически съображения или да се получат от подходящ статистически експеримент.

Като пример, разгледайте класическата схема на теорията на вероятностите. За да направите това, разгледайте стохастичен експеримент, чието пространство от елементарни събития се състои от краен (n) брой елементи. Да предположим допълнително, че всички тези елементарни събития са еднакво възможни, тоест вероятностите за елементарни събития са p (ω i) = p i = p. Оттук следва, че

Пример 1.20... Когато се хвърли симетрична монета, емблемата и опашките са еднакво възможни, техните вероятности са равни на 0,5.

Пример 1.21... При хвърляне на симетричен зар всички лица са еднакво възможни, тяхната вероятност е равна на 1/6.

Сега нека събитие А бъде предпочитано от m елементарни събития, те обикновено се наричат резултати, благоприятни за събитие А... Тогава

Има класическо определение на вероятността: вероятността P (A) за събитие A е равна на съотношението на броя на благоприятните резултати за събитие A към общия брой резултати

Пример 1.22... Урната съдържа m бели топки и n черни. Каква е вероятността да изтеглите бялата топка?

Решение... Общо има m + n елементарни събития. Всички те са еднакво вероятни. Благоприятно събитие И от тях m. Следователно, .

Следните свойства следват от дефиницията на вероятността:

Свойство 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Всъщност, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста благоприятства събитието. В такъв случай m = n,следователно,

P (A) = m / n = n / n = 1.(1.6)

Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Всъщност, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В такъв случай T= 0, следователно P (A) = m / n = 0 / n = 0. (1.7)

Свойство 3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Всъщност само част от общия брой на елементарните резултати от теста благоприятства случайно събитие. Тоест 0≤m≤n, което означава 0≤m / n≤1, следователно, вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство 0≤ P (A) ≤1. (1.8)

Сравнявайки дефинициите за вероятност (1.5) и относителна честота (1.1), заключаваме: дефиницията на вероятността не изисква провеждане на тестовев действителност; дефиницията на относителната честота предполага, че действително бяха проведени тестове... С други думи, вероятността се изчислява преди експеримента, а относителната честота - след експеримента.

Изчисляването на вероятността обаче изисква предварителна информация за броя или вероятностите от елементарни резултати, благоприятни за дадено събитие. При липса на такава предварителна информация, за да се определи вероятността, те прибягват до емпирични данни, тоест относителната честота на събитието се определя от резултатите от стохастичен експеримент.

Пример 1.23... Отдел за технически контрол намерено 3персонализирани части в партида от 80 произволно избрани части. Относителната честота на поява на нестандартни части r (A)= 3/80.

Пример 1.24... По цел.Произведено 24 изстрел и са записани 19 попадения. Относителната честота на попадение в целта. r (A)=19/24.

Дългосрочните наблюдения показват, че ако експериментите се провеждат при едни и същи условия, при всяко от които броят на тестовете е достатъчно голям, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност. Този имот е че при различните експерименти относителната честота се променя малко (колкото по-малко, толкова повече тестове се извършват), като се колебае около определено постоянно число.Оказа се, че това постоянно число може да се приеме като приблизителна стойност на вероятността.

Връзката между относителната честота и вероятността ще бъде описана по-подробно и по-точно по-долу. Сега нека илюстрираме свойството на стабилност с примери.

Пример 1.25... Според шведската статистика относителната честота на ражданията на момичета за 1935 г. по месеци се характеризира със следните числа (числата са подредени по месеци, като се започне от януари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относителната честота се колебае около числото 0,481, което може да се приеме като приблизителна стойност на вероятността да има момичета.

Имайте предвид, че статистическите данни от различни страни дават приблизително еднаква стойност за относителната честота.

Пример 1.26.Много пъти са правени експерименти с хвърляне на монета, в които се брои броят на външния вид на "герба". Резултатите от няколко експеримента са показани в таблицата.

Теорията на вероятностите е доста обширен независим клон на математиката. В училищния курс теорията на вероятността се разглежда много повърхностно, но в изпита и GIA има проблеми по тази тема. Решаването на задачите на училищния курс обаче не е толкова трудно (поне що се отнася до аритметичните операции) - тук не е нужно да броите производни, да вземате интеграли и да решавате сложни тригонометрични трансформации - основното е да можете да боравят с прости числа и дроби.

Теория на вероятностите - основни термини

Основните термини на теорията на вероятностите са опит, резултат и случайно събитие. Тестът в теорията на вероятностите се нарича експеримент - хвърляне на монета, теглене на карта, теглене на жребий - всичко това са тестове. Резултатът от теста, както се досещате, се нарича резултат.

Но каква е случайността на едно събитие? В теорията на вероятността се приема, че тестът се провежда повече от веднъж и има много резултати. Много резултати от едно изпитание се наричат случайно събитие. Например, ако хвърлите монета, могат да възникнат две случайни събития - глави или опашки.

Не бъркайте понятията за резултат и случайно събитие. Резултатът е един резултат от едно изпитание. Случайно събитие е набор от възможни резултати. Между другото, има такъв термин като невъзможно събитие. Например събитието "номер 8" на стандартен зар за игра не е възможно.

Как намирате вероятността?

Всички ние грубо разбираме какво е вероятност и доста често използваме тази дума в речника си. Освен това можем дори да направим някои заключения относно вероятността от конкретно събитие, например, ако има сняг извън прозореца, най-вероятно можем да кажем, че сега не е лято. Как обаче това предположение може да бъде изразено числово?

За да въведем формула за намиране на вероятността, въвеждаме още едно понятие - благоприятен изход, тоест резултат, който е благоприятен за определено събитие. Определението е доста двусмислено, разбира се, но според състоянието на проблема винаги е ясно кой от изходите е благоприятен.

Например: В класа има 25 човека, трима от тях са Катя. Учителят назначава Оля на дежурство и тя се нуждае от партньор. Каква е вероятността Катя да стане партньор?

В този пример благоприятен изход е партньорката Катя. Ще решим този проблем малко по-късно. Но първо, с помощта на допълнителна дефиниция, въвеждаме формула за намиране на вероятността.

P = A / N, където P е вероятността, A е броят на благоприятните резултати, N е общият брой на резултатите.

Всички училищни проблеми се въртят около тази една формула и основната трудност обикновено се крие в намирането на резултатите. Понякога е лесно да ги намерите, понякога не е много добре.

Как да решим вероятностите?

Проблем 1

Така че сега нека решим проблема, поставен по-горе.

Броят на благоприятните резултати (учителят ще избере Катя) е три, тъй като в класа има три Катя и общо 24 резултата (25-1, защото Оля вече е избрана). Тогава вероятността е: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Така вероятността Катя да бъде партньор на Оля е 12,5%. Не е трудно, нали? Нека разгледаме нещо малко по-сложно.

Задача 2

Монетата е хвърлена два пъти, каква е вероятността за комбинацията: една глава и една опашка?

Така че, помислете за общите резултати. Как могат да падат монети - глави / глави, опашки / опашки, глави / опашки, опашки / глави? Това означава, че общият брой на резултатите е 4. Колко благоприятни резултата? Две - глави / опашки и опашки / глави. По този начин вероятността за получаване на комбинация от глави/опашки е:

P = 2/4 = 0,5 или 50 процента.

Сега нека разгледаме следния проблем. Маша има 6 монети в джоба си: две - 5 рубли и четири - 10 рубли. Маша сложи 3 монети в друг джоб. Каква е вероятността монетите от 5 рубли да попаднат в различни джобове?

За простота, нека обозначим монети с числа - 1,2 - монети от пет рубли, 3,4,5,6 - монети от десет рубли. И така, как монетите могат да бъдат в джоба ви? Има общо 20 комбинации:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На пръв поглед може да изглежда, че някои комбинации са изчезнали, например 231, но в нашия случай комбинациите 123, 231 и 321 са еквивалентни.

Сега смятаме колко благоприятни резултати имаме. За тях вземаме онези комбинации, в които има или числото 1, или числото 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Така те са 12. Така те са 12. , вероятността е:

P = 12/20 = 0,6 или 60%.

Проблемите в теорията на вероятностите, представени тук, са доста прости, но не мислете, че теорията на вероятностите е прост клон на математиката. Ако решите да продължите образованието си в университет (с изключение на хуманитарните специалности), определено ще имате двойки по висша математика, където ще се запознаете с по-сложни термини от тази теория, а проблемите там ще бъдат много по-трудни .

В задачите на USE по математика има и по-сложни проблеми с вероятностите (отколкото разгледахме в част 1), където трябва да приложите правилото за събиране, умножение на вероятностите и да правите разлика между съвместни и несъвместими събития.

Така че теорията.

Съвместни и несъвместими събития

Събитията се наричат непоследователни, ако възникването на едно от тях изключва появата на други. Тоест може да се случи само едно конкретно събитие или друго.

Например, чрез хвърляне на зар могат да се разграничат събития като четен брой точки и нечетен брой точки. Тези събития са непоследователни.

Събитията се наричат съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва възникването на другото.

Например, чрез хвърляне на зар могат да се разграничат събития като нечетен брой точки и кратно на три точки. При три хвърляния се случват и двете събития.

Сума от събития

Сборът (или комбинацията) от няколко събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.

При което сбор от две несъвместими събития е сумата от вероятностите за тези събития:

Например, вероятността да получите 5 или 6 точки на зар с едно хвърляне ще бъде, тъй като и двете събития (хвърляне 5, хвърляне 6) са несъвместими и вероятността да се случи едно или второ събитие се изчислява по следния начин:

Вероятността сборът от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се отчита съвместното им настъпване:

Например в търговски център две еднакви вендинг машини продават кафе. Вероятността машината да остане без кафе до края на деня е 0,3. Вероятността да остане без кафе и в двете машини е 0,12. Нека намерим вероятността до края на деня кафето да свърши поне в една от машините (тоест или в едната, или в другата, или и в двете наведнъж).

Вероятността за първото събитие „кафето свърши в първата машина“, както и вероятността за второ събитие „кафето свърши във втората машина“ е равна на 0,3 според условието. Събитията са съвместни.

Вероятността за съвместна реализация на първите две събития по условие е 0,12.

Това означава, че има вероятност до края на деня поне една от машините да остане без кафе

Зависими и независими събития

Две случайни събития A и B се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. В противен случай събития А и В се наричат зависими.

Например, ако два зара се хвърлят едновременно, изпадането на един от тях, да речем 1, и на втория 5, са независими събития.

Произведение на вероятностите

Продуктът (или пресечната точка) на няколко събития е събитие, състоящо се в съвместната поява на всички тези събития.

Ако се случат две независими събития A и B с вероятности, съответно, P (A) и P (B), тогава вероятността за настъпване на събития A и B е едновременно равна на произведението на вероятностите:

Например, ние се интересуваме от изпадането на шестици на заровете два пъти подред. И двете събития са независими и вероятността за реализиране на всяко от тях поотделно е. Вероятността и двете събития да се случат ще се изчисли по горната формула:.

Вижте селекция от задачи за разработване на темата.