Директен паралелепипед с основите на които се наричат \u200b\u200bправоъгълни. Геометрични фигури

В този урок всеки ще може да изследва темата "правоъгълна паралелепипед". В началото на урока ще повторим какъв са произволни и директни паралепипеда, помнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това помислете какво е правоъгълна паралелепипед и обсъдете неговите основни свойства.

Тема: перпендикулярност на прави и самолети

Урок: правоъгълен паралелепипед

Повърхността, съставена от два равни паралелара на ASFD и 1 в 1 С1 d1 и четири паралелаграми на ABV 1 А1, ASC 1 в 1, CDD 1 C1, DAA 1 D1, наречен паралелепипед (Фиг. 1).

Фиг. 1 паралелепипед

Това означава: имаме две равни паралелара на ASFD и 1 в 1 С 1 d1 (основа), те лежат в паралелни самолети, така че страничните ребра АА 1, BB 1, DD 1, SS 1 са успоредни. Така се нарича, съставена от паралелеограма на повърхността паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, от които са съставени паралелепипедът.

1. Обратните лица на паралелепипеда са успоредни и равни.

(Цифрите са равни, т.е. те могат да бъдат комбинирани с налагане)

Например:

AVD \u003d A 1 в 1 С 1 d1 (равен паралелограми по дефиниция), \\ t

AA 1 в 1 V \u003d dd 1 С1С (като АА 1 в 1 V и DD 1 с 1С - противоположните лица на паралелепипеда),

AA 1 d 1 d \u003d BB 1 C ° С (тъй като АА 1 d 1 d и BB 1 С1S е противоположната повърхност на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и са разделени по тази точка наполовина.

Диагоналът на паралелепипед АС 1, в 1 d и 1 С, d1 в интерфекцията в една точка О и всеки диагонал е разделен на тази точка на половина (фиг. 2).

Фиг. 2 диагонала на паралелепипед пресичат и разделят точката на пресичане наполовина.

3. Има три четири равни и паралелни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, a 1 в 1, d1 С1, DC, 2 - AD, A 1 d1, B 1S 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича директно, ако страничните му ребра са перпендикулярни на основата.

Оставете страничния ръб на AA 1 перпендикулярно на основата (фиг. 3). Това означава, че направото AA 1 е перпендикулярно на директната реклама и AB, които лежат в основната равнина. И това означава, че правоъгълниците лежат встрани на страничните линии. И в основите са произволни паралелари. Означава от ∠bad \u003d φ, ъгълът φ може да бъде всеки.

Фиг. 3 направо паралелепипед

Така че, Direct Paraleralepiped е паралелепипед, в който страничните ребра са перпендикулярни на основите на паралелепипените.

Определение. Паралелепипед се нарича правоъгълна, Ако страничните му ребра са перпендикулярни на основата. Басейните са правоъгълници.

Паралелепипед AVDA 1 в 1 С1 d1 - правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ AVD (страничен ръб, перпендикулярно на равнината на фундамента, т.е., paralypeped direct).

2. ∠VD \u003d 90 °, т.е. в основата е правоъгълник.

Фиг. 4 Правоъгълна паралелепипед

Правоъгълният паралеленпип има всички свойства на произволно паралелепипед. Но има допълнителни свойства, които са получени от определението за правоъгълна паралелепипед.

Така, правоъгълен паралелепипед - Това е паралелепид, чиито странични ребра са перпендикулярни на основата. Основата на правоъгълната паралелапипеда е правоъгълник.

1. При правоъгълна паралелепипед всичките шест лица на правоъгълници.

ABSD и 1 в 1 c 1 d 1 - правоъгълници по дефиниция.

2. Странични ръбове, перпендикулярни на основата. Така че всички странични лица на правоъгълните паралелепипове са правоъгълници.

3. Всички двойни ъгли на правоъгълния паралелепипед директно.

Помислете, например, диедричен ъгъл на правоъгълна паралелепипед с ръба на AV, т.е. диедричен ъгъл между AVB 1 и ABS самолетите.

AV - EDGE, точка А 1 лежи в една и съща равнина - в равнината на ABV 1, и точка D в друга - в равнината А 1 в 1 s 1 d1. След това ъгъла на диедралата все още може да бъде посочен, както следва: ∠ 1 AVD.

Вземете точката А на ръба на AB. AA 1 - перпендикулярно на ръба на AV в равнината на ABV-1, реклама перпендикулярно на ръба на AB в равнината на ABC. Така че, ∠ 1 AD е линейният ъгъл на този диевтрален ъгъл. 1 Ad \u003d 90 °, което означава, че ъгълът на джуджето на ръба на AV е 90 °.

∠ (AVB 1, ABC) \u003d ∠ (AV) \u003d ∠a 1 AVD \u003d ∠a 1 ad \u003d 90 °.

По същия начин се доказва, че всяко изкопано в ъглите на правоъгълния паралелепипед директно.

Квадратният диагонал на правоъгълния паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължината на трите ребра, излъчваща се от един връх на правоъгълните паралелепипед, са измервания на правоъгълна паралелепипед. Понякога се наричат \u200b\u200bдължина, ширина, височина.

Получава се: AVDA 1 в 1 С1 d 1 - правоъгълна паралелепип (фиг. 5).

Докажи:

Фиг. 5 Правоъгълна паралелепипед

Доказателство:

Директен SS 1 перпендикулярно на равнината на ABC, а оттам и на правия говорител. Така че, SS триъгълник 1 А е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:

Помислете за правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но Слънцето и рекламата са противоположни посоки на правоъгълника. Така че, Sun \u003d Ad. Тогава:

Като , но тогава. От SS 1 \u003d AA 1, тогава какво се изискваше да докаже.

Диагоналите на правоъгълния паралелепипед са равни.

Означава от измерванията на паралелепипед ABC като a, b, c (виж фиг. 6), след това au 1 \u003d ca 1 \u003d в 1 d \u003d db 1 \u003d

Тема: перпендикулярност на прави и самолети

Урок: правоъгълен паралелепипед

Фиг. 1 паралелепипед

1. Обратните лица на паралелепипеда са успоредни и равни.

(Цифрите са равни, т.е. те могат да бъдат комбинирани с налагане)

Например:

AVD \u003d A 1 в 1 С 1 d1 (равен паралелограми по дефиниция), \\ t

AA 1 в 1 V \u003d dd 1 С1С (като АА 1 в 1 V и DD 1 с 1С - противоположните лица на паралелепипеда),

AA 1 d 1 d \u003d BB 1 C ° С (тъй като АА 1 d 1 d и BB 1 С1S е противоположната повърхност на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и са разделени по тази точка наполовина.

Фиг. 2 диагонала на паралелепипед пресичат и разделят точката на пресичане наполовина.

3. Има три четири равни и паралелни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, a 1 в 1, d1 С1, DC, 2 - AD, A 1 d1, B 1S 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича директно, ако страничните му ребра са перпендикулярни на основата.

Фиг. 3 направо паралелепипед

Паралелепипед AVDA 1 в 1 С1 d1 - правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ AVD (страничен ръб, перпендикулярно на равнината на фундамента, т.е., paralypeped direct).

2. ∠VD \u003d 90 °, т.е. в основата е правоъгълник.

Фиг. 4 Правоъгълна паралелепипед

1. При правоъгълна паралелепипед всичките шест лица на правоъгълници.

ABSD и 1 в 1 c 1 d 1 - правоъгълници по дефиниция.

3. Всички двойни ъгли на правоъгълния паралелепипед директно.

∠ (AVB 1, ABC) \u003d ∠ (AV) \u003d ∠a 1 AVD \u003d ∠a 1 ad \u003d 90 °.

По същия начин се доказва, че всяко изкопано в ъглите на правоъгълния паралелепипед директно.

Квадратният диагонал на правоъгълния паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му измерения.

Получава се: AVDA 1 в 1 С1 d 1 - правоъгълна паралелепип (фиг. 5).

Докажи:

Фиг. 5 Правоъгълна паралелепипед

Доказателство:

Помислете за правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но Слънцето и рекламата са противоположни посоки на правоъгълника. Така че, Sun \u003d Ad. Тогава:

Като , но тогава. От SS 1 \u003d AA 1, тогава какво се изискваше да докаже.

Диагоналите на правоъгълния паралелепипед са равни.

Означава от измерванията на паралелепипед ABC като a, b, c (виж фиг. 6), след това au 1 \u003d ca 1 \u003d в 1 d \u003d db 1 \u003d

Урок за декодиране на текст:

Разгледайте тези елементи:

Изграждане на тухла, игра на куба, микровълнова печка. Тези елементи съчетават формата.

Повърхността, състояща се от два равни паралелара на AVD и A1B1S1D1

и четири паралелограми AA1V1B и VV 100C1C, CC1D1D, AA1D1D се нарича паралелепипед.

Паралелатите, от които се прави паралелепипедът, се наричат \u200b\u200bръбове. Grand A1B1S1D1. EDGE VS1S1C. EDGE AVD.

В същото време ръчката на ASFD и A1B1C1D1 се нарича бази, а останалите странични линии.

Страната на паралелограмата се нарича ребрата на паралелепипеда. Rib A1B1. EDGE SS1. Край ad.

Ръбът на SS1 не принадлежи на основанията, той се нарича страничен ръб.

Пиковете на паралелограмата се наричат \u200b\u200bвърхове на паралелепипеда.

Топ D1. Vertex V. Топ S.

Версии D1 и в

не принадлежат към едно лице и се наричат \u200b\u200bпротивоположно.

Паралелепипед може да бъде изобразен по различни начини.

Паралелепипедът в основата, който се крие ромбът, с изображенията на лицата са паралелари.

Паралелепипед в основата, която квадратът лежи. Невидима Ribra AA1, AV, AD се изобразява чрез сияващи линии.

Паралелепипед в основата, която квадратът лежи

Паралелепипед в основата, която правоъгълникът е или успоредник

Паралелепипед, който има квадратите на квадратите. По-често се нарича куб.

Всички се считат за паралелепипеди, имат свойства. Ние формулираме и доказваме.

Имот 1. Подобни лица на паралелепипед паралела и равни.

Помислете за паралелепипед AVDA1B1S1D1 и докажете например, паралелизъм и равенство на лицата на VS1S1C и AA1D1D.

По дефиниция на паралелепипеда, абсдиктната страна на паралелара е, това означава, че ръбът на ръба на ръба е паралелограма.

Лицето AVV1A1 също е паралелограма, което означава, че ръбовете на BB1 и AA1 са успоредни.

Това означава, че две пресичащи се прав слънце и BB1 от една равнина са съответно успоредно на две директна реклама и AA1, съответно, друга равнина, което означава, че равнината ABV1A1 и ACC 1D1 са успоредни.

Всички лица на паралелепипед паралелограма, което означава самолета \u003d AD, BB1 \u003d AA1.

В същото време, страната на ъглите на B1V и A1DD са съответно покрити, след това те са равни.

Така, две съседни страни и ъгълът между тях са съответно AVV1A1 паралелограмата, са равни на две съседни страни и ъгъла между тях са паралелара на ACC1D1, което означава, че тези паралела са равни.

Паралелепипедът има друг диагонал. Диагоналът на паралелепипеда се нарича сегмент, свързващ несъседни върхове. Чертежът на пунктираната линия показва диагонала на B1D, BD1, A1C.

Така, имотът 2. Диагоналът на паралелепипеда се пресича в една точка и точка на пресичане е разделена на половина.

За да докажете имотите, помислете за BB1D1D квадрилата. Неговият диагонал B1D, BD1 са диагонали паралелепипед AVDA1B1S1D1.

В първия имот вече открихме, че ръбът на BB1 паралелно и равно на RBRU AA1, но Edge AA1 е успореден и равен на ръба DD1. Следователно ролките на BB1 и DD1 са успоредни и са равни, което доказва четиристранна от BB1D1D паралараграми. И в паралелограмата от свойството на диагоналния B1D, BD1 се пресича в някакъв момент и тази точка е разделена на половина.

VS1D1D1A квадратната вода също е паралелограма и нейната диагонална C1A, пресичаща се в една точка и се разделят на тази точка наполовина. Диагонално паралелограмата C1A, CD1 са диагонали на паралелепипеда, което означава, че формулираният имот е доказан.

За да се консолидират теоретичните знания за паралелепипеда, обмислят задачата за доказване.

На рубърите на паралелепипеда, точки l, m, n, p, така че bl \u003d cm \u003d a1n \u003d d1p е маркиран. Докажете, че AlmDNB1C1P паралелепипед.

Ръбът на BB1A1A паралелограма, което означава ръба на BB1, е равен на ръба на АА1, но чрез състоянието на BL и A1N сегмент, това означава, че LB1 и Na сегментите са равни и паралелни.

3) Следователно квадратната вода в LB1NA въз основа на паралеларните.

4) Тъй като SS1D1D-паралелог, което означава, че ръбът на CC1 е равен на ръба D1D и виж D1P чрез състоянието, това означава, че MS1I DP сегментите са равни и паралелни

Следователно, MC1PD квадратната вода също е паралелограма.

5) ъглите на LB1N и MC1P са равни на ъглите със съответно паралелни и еднакво насочени партии.

6) Получихме, че при паралеламите и MC1PD съответните страни са равни на ъглите между тях са равни на паралеланите са равни.

7) сегментите са равни по състояние, което означава BLMC паралелограми и BC странично успоредно на страната LM, успоредно на страната на В1С1.

8) По същия начин Na1D1P паралелограмата следва, че страната A1D1 е успоредна на страната на NP и успоредно на страничната реклама.

9) Обратните лица на ABB1A1 и DCC1D1 паралелепед от имота са успоредни, а сегментите на паралелните директни затворници между паралелни самолети са равни, това означава, че сегментите на B1C1, LM, AD, NP са равни.

Получава се, че в четириъгълниците на ANPD, NB1C1P, LB1C1M, Almd две страни са успоредни и равни, след това са паралелари. След това нашата повърхност ALMDNB1C1P се състои от шест паралелари, две от които са равни и по дефиниция това е паралелепипед.

В този урок ще дадем дефиницията на паралелепипеда, да обсъдим своята структура и нейните елементи (диагонал на паралелепипеда, страна на паралелепипеда и техните свойства). И също така разгледайте свойствата на лицата и диагоналите на паралелограмата. След това решаваме типична задача за изграждане на раздел в паралелепипед.

Предмет: паралелизъм на прави и самолети

Урок: Паралелепипед. Свойства на лицата и диагонали на паралелепипед

В този урок ще дадем дефиницията за паралелепипед, да обсъдим своята структура, свойства и своите елементи (страни, диагонал).

Паралелепипедът се образува с помощта на два равни паралелара на ASFD и 1 b '° С 1, които са паралелни самолети. Обозначение: AVDA 1 B 1C 1 D1 или AD 1 (фиг. 1.).

2. Фестивал на педагогически идеи "отворен урок" ()

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общи образователни институции (основни и профилни нива) / I. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, коригирано и допълнено - m.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: IL.

Задачи 10, 11, 12 стр. 50

2. Изградете напречно сечение на правоъгълна паралелепипед AVDA1B1C1D1.самолет, преминаващ през точки:

а) a, c, b1

б) b1, d1и средата на реброто AA1.

3. ръбът на куба е равен на a. Изградете кубско напречно сечение със самолет, минаващ през средата на три ребра, излизащи от един връх и изчислете нейния периметър и площ.

4. Какви фигури могат да бъдат в резултат на пресечната точка на равнината на паралелепипеда?

Дефиниция

Polyhedron. Ще наречем затворена повърхност, съставена от полигони и ще ограничим част от пространството.

Секментите, които са страните на тези полигони, се наричат ребрата полиедрон и самите полигони - граждани. Пиковете на полигоните се наричат \u200b\u200bвърхове на полихедрона.

Ще разгледаме само изпъкналата полиедрия (това е такъв полихед, който се намира един от всеки самолет, съдържащ своя ръб).

Полигони, от които се компилират полиедрон, образуват повърхността му. Част от пространството, което ограничава този полихедрон, се нарича вътре.

Определение: Призма

Разгледайте два равни полигони (A_1A_2A_3 ... A_N) и (B_1B_2B_3 ... B_N), разположен в паралелни самолети, така че сегментите (A_1B_1, ..., A_NB_N) Успоредно. Многоъгълник, образуван от полигони (A_1A_2A_3 ... A_N) и (B_1B_2B_3 ... B_N), както и паралелари (A_1B_1B_2A_2, a_2B_2B_3A_3, ... \\ t, наречен (n) - томия) призм.

Полигони (A_1A_2A_3 ... A_N) и (B_1B_2B_3 ... b_n) се наричат \u200b\u200bбази на призмата, паралелограма (A_1B_1B_2A_2, a_2B_2B_3A_3, ... \\ t - странични лица, сегменти (A_1B_1, a_2B_2, ..., a_NB_N) - странични ребра.
По този начин страничът на страничните ребра са успоредни и равни един на друг.

Помислете за пример - призма (A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5), Въз основа, на което има изпъкнал петоъгълник.

Височина Призмите са перпендикулярни, спуснати от всяка точка на една база към равнината на друга база.

Ако страничните ребра не са перпендикулярни на основата, тогава такава призма се нарича наклонена (Фиг. 1), в противен случай - прав. В пряка призма страничните ребра са височини и странични ръбове - равни правоъгълници.

Ако в дъното на директната призма се крие десният многоъгълник, тогава призмата се нарича дясно.

Определение: концепцията за обема

Единица за измерване на обема - единичен куб (куб размери (1 пъти1 пъти1) UF (^ 3), където устройството е някаква мярка).

Може да се каже, че обемът на полихедрон е величината на пространството, което ограничава този полихед. В противен случай, това е стойността, числовата стойност показва колко пъти кубът на единица и нейните части са придружени в този полихедрон.

Обемът има същите свойства като област:

1. Обемите от равни цифри са равни.

2. Ако полихедрът е съставен от няколко не-цикъл полихедра, тогава нейният обем е равен на сумата на обема на тези полихедра.

3. Обем - стойността не се извършва.

4. Обемът се измерва в cm (^ 3) (кубически сантиметри), m \\ t (^ 3) (кубични метри) и др.

Теорема

1. Страничната повърхност на призмата е равна на продукта на периметъра на основата до височината на призмата.
Странична повърхност - сумата на площта на страничните лица на призмата.

2. Обемът на призмата е равен на продукта на базовата зона до височината на призмата: \

Определение: паралелепипед

Паралелепипед - Това е призма, в основата на която е паралелограма.

Всички лица на паралелепипеда (те (6): (4) странични повърхности и (2) бази) са паралеларизации, а противоположните лица (успоредни един на друг) са равни паралелари (фиг. 2) .

Диагонал на паралелепипеда - това е сегмент, свързващ два върха на паралелепипед, без да лежи в едно лице (те (8): (AC_1, a_1c, bd_1, b_1d) и т.н.).

Правоъгълен паралелепипед - Това е пряк паралелепипед, в основата на който лежи правоъгълникът.
Като Това е права паралелепипед, а страничните повърхности са правоъгълници. Така че, като цяло, всички краища на правоъгълните паралелепипове са правоъгълници.

Всички диагонали на правоъгълни паралелепипи са равни (това следва от равенството на триъгълниците (Триъгълник ACC_1 \u003d триъгълник aa_1c \u003d триъгълник bdd_1 \u003d триъгълник bb_1d) и т.н.).

Коментар

Така паралелепипедът има всички свойства на призмата.

Теорема

Страничната повърхност на правоъгълната паралелепипеда е еднаква \

Площта на пълната повърхност на правоъгълния паралелепипед е равна на \

Теорема

Обемът на правоъгълните паралелепипед е равен на продукта от три от ребрата, оставяйки един връх (три размери на правоъгълния паралелепипед): \

Доказателства

Като При правоъгълните паралелепипове, страничните ребра, перпендикулярни на основата, те са неговите височини, т.е. (h \u003d aa_1 \u003d c). Защото Въз основа на правоъгълника, тогава (S _ (текст) \u003d ab cdot ad \u003d ab \\ t. Следователно тази формула.

Теорема

Диагоналът (D) на правоъгълния паралелепипед се търси по формулата (където (a, b, c) - измерванията на паралелепипеда) \\ t

Доказателства

Помислете за фиг. 3. Защото В основата има правоъгълник, тогава (триъгълник ABD) е правоъгълен, следователно, според теоремата Pythagoras (BD ^ 2 \u003d ab ^ 2 + ad ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2).

Като всички странични ребра, перпендикулярни на основата, тогава (BB_1 PERP (ABC) дясно BB_1) Перпендикулярно на всяко пряко в тази равнина, т.е. (Bb_1 perp bd). Така че (триъгълник BB_1D) е правоъгълен. След това, от теоремата Pythagora (B_1d \u003d bb_1 ^ 2 + bd ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2), CATD.

Определение: кубик

Кубик - Това е правоъгълна паралелепипед, чиито лица са равни квадрати.

Така три измерения са равни един на друг: (a \u003d b \u003d c). Това означава, че следното

Теореми

1. Обемът на куба с ръба (a) е равен на (v _ (текст (куб)) \u003d a ^ 3).

2. Куба диагонал се търси по формулата (d \u003d a sqrt3).

3. квадрат на пълната повърхност на Куба (S _ (текст (пълен с куб)) \u003d 6a ^ 2).