Изтеглете от депозити.

Лекции 5-6.

Тема2. Множество интеграли.

Двоен интеграл.

Контролни въпроси.

1. двоен интеграл, геометричен и физически смисъл

2. Двойни интегрални свойства.

3. Изчисляване на двойния интеграл в картозвените координати.

4. Подмяна на променливи в двоен интеграл. Изчисляване на двойния интеграл в полярните координати.

Нека функцията z. = е. (х. , y. ) дефинирани в ограничена затворена област Д. Самолет. Разглобяване на района Д. Арбитратен начин н. Елементарни затворени региони  1 , … , н. с площ   1 , …,   н. и диаметри д. 1 , …, д. н. съответно. Обозначаваме д. Най-големият от диаметрите на регионите  1 , … ,  н. . Във всяка област.  к. Изберете произволна точка Пс. к. (х. к. , y. к.) И възлиза на интегрална сума Функции е.(x, Y.)

С. =
(1)

Определение. Двоен интеграл Функции е.(x, Y.) По област Д. наречена граница на интегрираната сума

, (2)

ако съществува.

Коментар. Интегрална сума С. зависи от метода за разделяне на региона Д. и подбор на точки Пс. к. (к.=1, …, н. ). Въпреки това, лимитът
Ако съществува, не зависи от начина на разделяне на района Д. и подбор на точки Пс. к. .

Достатъчно условие за съществуването на двоен интеграл. Двоен интеграл (1) съществува, ако функцията е.(x, Y.) непрекъснато Б. Д.с изключение на крайния брой плавни криви и се ограничава до Д.. В бъдеще приемаме, че всички събрани двойни интеграли съществуват.

Геометричен смисъл на двоен интеграл.

Ако е.(x, Y.) ≥0 в региона Д., след това двойният интеграл (1) е равен на обема на "цилиндричното" тяло, показано на снимката:

В. =
(3)

Цилиндричното тяло е ограничено до долната област. Д. , топ  част от повърхността z. = е. (х. , y. ), от страни  вертикални участъци от директни свързващи граници на тази повърхност и регион Д.

Физическото значение на двойния интеграл. Маса от плоска плоча.

Нека да се даде плоска плоча Д. с известна функция на плътност γ ( х,w. ), след това счупване на плочата d към части d i. и избиране на произволни точки
, получаваме за масата на чинията
или, сравняване с формула (2):

(4)

4. Някои свойства на двоен интеграл.

Линейност. Ако От - Тогава - постоянен номер

Добавка. Ако районът Д. "Счупени" в региона Д. 1 и Д. 2, Т.

3) Ограничена площ Д.равен

(5)

Изчисляване на двойния интеграл в декартови координати.

Нека районът е поставен

Снимка 1.

D \u003d. { (х. , y. ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (х. ) ≤ y ≤ φ. 2 (х. ) } (6)

Регион Д. затворени в лентата между права х. = а. , y. = б. , дъното и горната част са ограничени съответно криви y. = φ 1 (х. ) и y. = φ 2 (х. ) .

Двоен интеграл (1) в региона Д.(4) се изчислява от прехода към реинтеграл: \\ t

(7)

Този реинтегрант се изчислява, както следва. Първо изчислява вътрешния интеграл

по променлива y. , където х. Поведение. В резултат на това ще бъде функция от променливата х. и след това изчислява "външен" интеграл от тази функция чрез променлива х. .

Коментар. Процесът на преход към реинтеграцията съгласно формула (7) често се нарича подреждане на границите на интеграция в двоен интеграл. Когато поставяте ограниченията на интеграцията, трябва да запомните две точки. Първо, долната граница на интеграцията не трябва да надвишава върха, второ, външните интегрални граници трябва да бъдат константи, а вътрешните трябва да зависят от интегрирането на външната променлива интеграция.

Нека бъде сега Д.има външен вид

D \u003d. { (х. , y. ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y. ) ≤ x ≤ ψ 2 (y. ) } . (8)

Тогава

. (9)

Да предположим района Д.може да бъде представена във формата (6) и (8) едновременно. Тогава има равенство

(10)

Преминаването на един повторно интеграл в друг в равенство (10) се нарича чрез промяна на реда на интеграция Двоен интеграл.

Примери.

1) промяна на реда на интеграция в интеграла

Решение. Според вида на повтарящия се интегрален интеграл намираме района

D \u003d. { (х. , y. ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤. 2 } .

Показване на района Д.. В чертежа виждаме, че тази област е разположена в хоризонталната лента между права y. =0, y. \u003d 2 и между линиите х. =0 и Х. \u003d D.

Понякога да се опростят изчисленията да правят заместители:

,
(11)

Ако функциите (11) са непрекъснато диференцируеми и определени (jacobian) се различават от нула в разглеждания регион: \\ t

(12)

Def. . Нека бъде,
,

.

Комплектът се нарича затворена междина или затворен дървен материал .

Много наречени отворен интервал

или отворена лента в .

Def. . Мярка на Паронов и наречена стойност:

(По-точно
).

Def. . Ако
такова
тогава празнина наречен дегенерат I.
.

Свойства на мярката на пропастта:

но). Поза:
, и
тогава и само когато - дегенерирани.

б). Положителна хомогенност :.

в). Добавка:

* за
такова
;

* за
и

.

д). Монотонност на мярката :.

Def. . Диаметърът на лентата (GAP) се нарича стойност:

Забележи, че
и
- Това не е едно и също нещо. Например, ако - дегенерират тогава
, А.
(най-общо казано).

Където: *;

* ;*
.

Def. . Обща сума
подредени пропуски наречена разбивка на пропастта , ако: *;

*
; *
; *
; *
.

Стойност
наречен параметър на дял Пс.(където
).

Def. . Сплит нарече шлайфането на дяла Ако всички разделителни елементи получени чрез разделяне на елементите на дяла .

Обозначава:
. Четене: по-малък или по-голям .

За връзката "по-малка - по-малка" справедливо:

* транзитивност -; *
;

*.


; *.

|
.

§. Определение за множество интегрални

Нека бъде
- бар (интервал) в ,
- нарушаване на пропастта I.. На всеки от дяловете обърнете внимание на точката
.

Получаване
разделени точки за маркирани точки за
.

Стойност
наречена интегрална сума на Riemann за функцията е. (х.) На интервала I. чрез разделяне с маркирани точки
.

Def. :
=
=
.

Обозначение - много функции, които се включват в бар I. ние пишем:

Def. : ε > 0 δ>0<.

Ако за функция е.(х.) на I.и разделяне
- обозначава
- най-голямата и най-малка стойност на функцията е.(х.) на I. к. Тогава стойности
=
и
=
наречени долни и горни количества Darbu.

§. Критерият на Darboux за съществуването на множество интеграл.

T. 0 . Да функционира
е интегриран на бар (тези.
) Необходимо е и достатъчно

. Δ▲.

Определя се интегрирането на функцията в бушето в евклидовото пространство. Но как да интегрирате функцията в арбитър ограничен набор от евклидово пространство?

Ние определяме интеграла от функцията е. по набор
.

Def. : Нека бъде
и
- ограничено, т.е.
. Функция
ние наричаме характеристичната функция на комплекта М..

Тогава:
≡
.

Дефиницията на интеграла на комплекта не зависи от това коя RAM съдържа М.избран, т.е.

.

Това означава, че определението за интеграла е правилно.

Необходимо състояние на интегриране.Да функционира е.(х.) на М.беше годен за е.(х.) е ограничено до М.. Δ▲.

§. Свойства на множество интеграли.

1  . Линейност: Комплект R. М. Функции, които се включват в комплекта M -линеен

пространство, А.
- линейна функционалност.

2  . Състояние на прекратяването:
. Друга форма на записване
всъщност тя определя мярката на произволен от евклидовото пространство.

3  . Ако интегралът на набор от водеща мярка е нула, съществува, тогава той

равен на нула.

Забележка:Много М.наречена множество мерки за лезия нула,

ако

такова
и
.

4  . но.;б.;

в.ако
и - отделени от нула до М.T.

5  .
и е.=г.p.V. (почти навсякъде) на М.T.
.

6  . Добавка: ако
и
че

,

Общо взето:
.

Δ. Следва от равенството: ▲

7  . Монотон:
и
че
.

8  . Интегриране на неравенствата: ако
ITO.

.

9  . Нека бъде


. За да
е необходимо и достатъчно да съществува във вътрешната точка на комплекта М., където е. (х.)\u003e 0 и непрекъснато.

10  . Интегрирудемост на модула на интегралната функция:
.

11  . Средна теорема:
,
на М.запазва знака I.
T.

.

Ако наборът М.- Svyazno I. е.(х.) - непрекъснато включване
че
такова
.

12  . За да бъде интегралната от негативна функция да бъде 0

необходимо е и достатъчно е.(х.) \u003d 0 почти навсякъде М..

13  . Фубини теорема.За двоен интеграл:

Нека районът
- правоъгълник :. След това, подлежащи на съществуването на вътрешни единични интеграли, за да намерите двоен интеграл, можете да превключите към реинтеграция (виж фиг. А):

, или

Д.

ако зоната на интеграция не е правоъгълник, теоремата Fubini все още е валидна и има формата (виж фиг. Б):
. (*)

Забележка: Ограниченията на външната интеграция трябва да бъдат константи, границите на вътрешната интеграция могат да зависят от променливата, на която все още трябва да бъде интеграцията.

Формула (*) може да бъде получена, като се използва характеристичната функция на комплекта Д..

За множество интегрални:

Нека пристъпите на приема на евтини пространства и . Определят декартовата работа на тези комплекта, което е подмножество на евклидовото пространство
:.

Тогава теоремата на FUBINI за
той има формата:
.

Теоремата е валидна за и за брус Х.и Y.и за по-сложни конфигурации.

Примери:

1 0 . Изчисли
Ако границата
задаване от уравнения:

. Намирането на точките на пресичане на кривите, определящи границата на региона, ние получаваме две точки:
и
. Тогава възможното поставяне на ограниченията на интеграцията по време на прехода към повтарящи се интеграли дава:

но).
;

2

0 . Промяна на реда на интеграция в реинтеграцията:
.

–

.

Рецепта:Когато се подреждат границите на интеграция в двоен интеграл, се препоръчва да започнете с границите на външната интеграция.

3

0 . Изчисли:
, ако

Преходът към реинтеграция дава:
.

В същото време, в троен интеграл, границите трябва да бъдат започнати с вътрешните граници на интеграцията. След това място за зъбно колело В.на самолета xoy.

поставяне на границите в района Д.- лежи в самолета xoy..

4 0 . Промяна на реда на интеграция в реинтеграцията:
.

Нека се преживяваме с повече подробности за творбите на Оструоградски в множество интеграли.

Остриградска формула за превръщане на троен интеграл в двойно, който пишем обикновено под формата на

където Div a е дивергенцията на полето на вектора А,

А е скаларен продукт на вектора А на един вектор на външния нормален N на граничната повърхност, в математическа литература често се свързва с имената на Гаус и зелено.

Всъщност, в работата на Гаус върху привличането на сфероиди, е възможно да се видят само много специални случаи с формула (1), например при p \u003d x, q \u003d r \u003d 0 и т.н., както за J. Green след това в работата си върху теорията на електричеството и магнетизма на формула (1) изобщо не е; Той съдържа друга връзка между тройните и двойните интеграли, именно зелената формула за оператора Лаплас, която може да бъде написана като

Разбира се, можете да изтеглите формулата (1) и от (2), вярвайки

и по същия начин можете да получите формула (2) от формула (1), но зелено не мисля да го направите.

когато лявото е интегрално в обем, и на правилния интеграл на граничната повърхност и същността на ръководството на косми от външното нормално.

Парижки ръкописи на Остроградски свидетелстват, с пълна не-отговорност, че притежава и откритието и първото послание на интегралната теорема (1). За първи път тя е била изразена и доказана, точно както в "доказателство за една интегрална теорема", представлявана от Парижката академия на науките на 13 февруари 1826 г., след което отново е формулиран в тази част на. \\ T MEMOIR на разпространението на топлина вътре в твърдите вещества ", която Остриградски представи на 6 август 1827 г.," Memoir "бе даден на обратната връзка на Фурие и Поасон и последната от нея, със сигурност чета, както се потвърждава от записа на първите страници от двете части на ръкописа. Разбира се, Поасон и не дойде да се припише на теоремата, с която се е срещал в състава на Остроградски две години преди представянето на работата си върху теорията на еластичността.

Що се отнася до връзката между работата на множество интегрални интеграли на Остроградски и зелени, ние припомняме, че в "бележката на теорията на топлината" формулата принадлежи, прегръща собствената си формула на зеления, като много специален случай. Необичайната символика, използвана от Ostregradsky в "бележка", доскоро се скрива от изследователите това е важно откритие. Разбира се, Гиргин остава почитане на откриването и първата публикация през 1828 г., името на формулата за операторите на Лаплас.

Откриването на конверсионната формула на тройния интеграл в двойно помогна на Остроградски решаване на проблема с вариацията на P-Multial Integral, именно е да се приведе общата формула за трансформация на интеграла от изразяването на вида на дивергенцията съгласно P-размерът и интегралът, за да го ограничат от Supercrossurface S с уравнението l (x, y, z, ...) \u003d 0. Ако се придържате към предишните обозначения, формулата има формата

Въпреки това, Остроградски не е приложил геометрични образи и термини, които използваме: геометрията на многоизмерните пространства по това време все още не съществува.

В "мемоара за изчисляване на множество интеграли" бяха разгледани още два важни въпроса за теорията на такива интеграли. Първо, Остроградски показва формулата за замяна на променливи в многоизмерен интеграл; Второ, за първи път дава пълно и точно описание на получаването на изчисляването на множествен интеграл, използвайки N последователни интеграции за всяка от променливите, както е подходящо. И накрая, от формулите, съдържащи се в този мемоар, правилото за обща диференциация се показва лесно в съответствие с многоизмерния интегрален параметър, когато не само интегрираната функция, но и границата на интеграционната зона зависи от този параметър. Посоченото правило следва от пари в мемоарите, толкова естествено, че по-късно математиците дори го идентифицираха с една от формулите на този мемоар.

Подмяната на променливите в множество интеграли Ostregradsky Специална работа. За двоен интеграл съответното правило донесе на Ойлер, използвайки официални трансформации за тройно - лагранж. Въпреки това, въпреки че резултатът от Лагранж е верен, мотивите му не са били точни: той сякаш идва от факта, че елементите на обемите в стари и нови променливи - координати - между тях са равни. Подобна грешка се извършва първо в току-що споменатите правила за изхода за замяна на променливи на Ostrobodsky. Статията "относно трансформацията на променливите в множество интеграла" Остоградски разкрива грешката на лаграндъра, както и първо, очертавайки този визуален геометричен метод за преобразуване на променливи в двоен интеграл, който в леко по-строг дизайн е представен в нашите ръководства. При смяна на променливите в интеграла според формулите, площта на интеграция се разделя на координатните линии на две системи U \u003d const, v \u003d const на безкрайно малки кривилър четириъгълници. След това интегралът може да бъде получен чрез сгъване при първите елементи, които съответстват на безкрайно тясна кривилска лента и след това продължават да обобщават елементите от лентите, докато те бъдат изтощени. Простото изчисление дава за дадена област, която с точност на малкия горен ред може да се счита за паралелари, израз, където е избрана така, че зоната да е положителна. В резултат на това тя оказва известна формула

Препис.

1 Федерална агенция за образователна институция за образование на висшето професионално образование "Самара държавен космически университет, наречен след академичната СП кралица" множество интеграли на задачата и упражненията, се одобряват от редакционния съвет на университета като методологически инструкции с AM и R и SGA Издателство

2 UDC 7 7 Компилатор Ohm Carrilova Рецензент Canda Tehn Науки Асоциирани интеграли Задачи и упражнения: Метод на инструкциите / Sosta Om Carpilova Samara: Издателска къща Samar Aerocosm университет Съдържа примерни решения на типични задачи по тема: двойни интегрални тройни интегрални приложения на множество Интеграфите във всяка тема, типичните задачи се разглеждат подробно на методите за тяхното и се предлагат задачи за независима работа в приложението. Опциите са дадени опции за индивидуална домашна работа Всички задачи се съставят в съответствие с програмата по математика за ученици от технически университети , Методически инструкции, изготвени в департамента за общо инженерно обучение и са предназначени за студенти от Института по енергетика и транспорт на Самара Държавен космически университет UDC 7 7 Самара Държавен космически университет

3 Изчисляване на двойните интеграли в картозърските координати за изчисляване на двойния интеграл на него са представени като повтарящ се двукратен интеграл f f решаване на примерите примерни от BAF към реинтеграл и да се постави границите на интеграция, ако площта е ограничена към линии: a 6; Б; в; r верига триъгълник abc където a; Б; 6 ° С ;; D решение: и ние ще изградим регион: директна паралелна ос; Директна паралелна ос; 6 директно преминаване през точки; 6 и 6; Регионът е триъгълник ABC ориз за намиране на координатите на точката С трябва да бъдат решени от системата на уравнения Фигура 6 от тук с; Ето защо, в региона, за да разберете как той променя директната паралелна ос O и кръстовището, това директно влиза в зоната по линия А, тя се оказва по линия 6 или 6, следователно, така е, че площта може да бъде настроена В системата на неравенствата: 6 Сега е лесно да се поставят границите в двукратен интеграл: F 6 F.

4 B Ние се изгради: Парабола директен паралел ос О ориз Ние ще намерим координатите на точките А и в продължение на това, ние ще решим системата ± ще прекарат директен паралел ос О и пресичат района Тази линия е включена в parabole района и оказва се по права линия Така региона е настроен на неравенство FF Ние конструиране областта на ориз:.. Парабола симетрично спрямо оста О с връх в началото на координатите; Положителният клон на парабола в симетричен спрямо осите O с върха в началото на координатната риба намират кръстовищата точки на тези линии: отстраняване на двете части на уравнението на квадрата, откъдето сме тук, така че линиите и се пресичат в точки за; и А; След като е прекарал прав паралел O и пресичате региона, вижте, че входната линия е изходната линия

5 Така, затова, FF гр ние построи триъгълник ориз от чертежа Ясно е, че във вътрешността на района, директен паралел O и зоната на преминаване влиза в триъгълника на страната на КС и той идва от страна на. AV уравнение, директен пас преминаващ през две точки М и М има appety на тази формула да пиша уравнения на страните AB и като: AB: от къде тези; 6 AU: От мястото, където по този начин: следователно, f f d конструиране на региона за това превръщане на граничното уравнение: да се подчертае пълния квадрат по отношение на променливата: полученото уравнение поставя кръга с радиус с центъра в точката; ориз ориз ориз за подреждане на границите на интеграция. Необходимо е да се записват уравненията на горната и долната половина на обиколката на входната линия към зоната и излизане от региона, като се позволи на първоначалното уравнение спрямо: ±

6 Очевидно е, че горната половина на съответства кръг долната уравнението по този начин: следователно, F и Пример промяна реда на интеграция: B 6; f f; И в решението на FF: и зоната на интеграция е определена от системата за неравенство: ние изграждаме зоната RIS6: горната половина на параболата е долната половина на парабола с промяна в реда на интеграцията на интеграла, която ще вземе формата CF Фигура 6. Намерете координатите на точките на пресичане на Parabola и директно: ± SO; В; Ще прекараме директна паралелна ос O преминаваща входяща линия в зоната на параболите, която изходната линия може да бъде настроена и системата на неравенствата: тогава F F 6

В този случай зоната за интеграция е определена от системата за неравенство: 6 изграждаме тази област от ориз7: 6 хипербола. Ще намерим координатите на точките А и С в точката и следователно в момента в последица. В; С промяна в реда на интеграция, интеграл ще приеме формата f фигура 7 ° С след това c; Ще прекараме прав паралелен ос O и кръстосана линия 6 на входа на хипербола, откъдето изходната линия е директно от мястото, където регионът е настроен на неравенствата: 6 накрая получават 6 6 FF в конструиращите зони: и: границата на региона: и: границата на региона се определя от уравнението ± разработва както част от уравнението в квадрата получавате уравнението Парабола - Roy е на мястото. И на оста на симетрия е ос О ориз на границата на района се определя от следните уравнения: директен, преминаваща през началото и горната клон на параболи по такъв начин на интеграция.

8 За да подредите границите на интеграция, за да намерите координатите на точките за граничните линии на пресичане за това чрез решаване на системата уравнения; Следователно по този начин; В; С промяна в реда на интеграция, външния интеграл ще бъде взето в съответствие с вътрешния променлива, така че ние ще осъществява пряк площ пресичане и паралелно оста ох, той влиза в областта над линията и върви по линията, така че чрез промяна . порядъка на интеграцията Get FFF Тук промяната на процедура интеграция опростява изчисленията, тъй като ще се изчисли само един пример Изчисли; Шпакловка където област е ограничена до линии Solution изгради област Фигура 9: Директен паралелна ос О и директни координати пасове за изчисляване на интеграл, като преминаха от двойно неразделна част от повторение като район може да се зададе в системата на неравенството: тогава Фигура 9 Изчислете първо вътрешния неразделна броят като постоянна величина в посока интеграция на приет от променлива: сега остава да се изчисли като получената външна интеграл:

9 Така, например изчисляване на разтвора за конструиране на региона: оста о права паралелно ос о директно преминаване през началото на координатите на ориз и се пресичат в точка А; Обръщайки се към двукратно интеграл и изчисляване, ние получаваме, ако сме ограничени до линии, използвайки твърдите формули 9

10 задачи за самостоятелна решение да постави границите на интеграция в повтарящи интеграли, към която F е намалена, ако зоната се ограничава до линии: а; Б; в; R; d Триъгълник ABC където; В; От; Промяна на реда на интеграция: a f; b f; в f; g f изчисляват двойните интеграли, преброяващи, че площта е ограничена до посочените линии: a; 7; Б; Шпакловка в; Шпакловка g e; 6 отговаря на a f; b f; в r f; D a f; b f f; в f; g f a; 7 б; в; F 6 g e e f;

11 двойни интегрални в полярните координати, ако декартайската и полярната координатна система също са определени в равнината, а полюсът съвпада с началото на координатите и полярната ос е подравнена с оста, за прехода към полярните координати, формулите са Използваните в този случай, ако областта е ограничено до лъчи алфа β и криви F β α F разтвор Пример Пример Изчисли\u003e решение Ние изграждане на площ ориз. Радиус кръга директно преминаване през началото на координатите Тъй областта е част от Кръгът удобно преминава към полярните координати в същото време, полюсът е съвместим с точката o; и полярната ос ще бъде разрешена по оста, където площта е ограничена до оризовите линии сега е необходимо да се опише зоната в ъгъла на полярната координатна система в региона, която се променя от CM ориз прав K ориз наклонена към оста

12 под ъгъла на допирателната, от която е К следователно Tg; TG от тук; Така в областта на лъча, уравнението от полюса O и преминаването излиза от региона от уравнението, на което в полярните координати е така, площта е описана от системата за неравенство: сега е лесно да се постави ограничения в повтори неразделна и изчисли пример изчисляват E където пръстен е ограничено от областта 9 и 9 ориз е удобно да отиде в полярните координати: Тогава граници уравнения ще разгледаме; 9 Фиг. За да зададете лимити за интеграция в повторно неразделна. Имайте предвид, че в рамките на ъгъла на площ отнема всички стойности от да извърши от началото на координатната зоната на преминаване, той влиза в областта над линията и върви по по този начин: тогава

13 9 9 9 Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Е Eequality. Тъй като горната половина на окръжния ориз се премества в полярните координати: ориз уравнението на границата в полярните координати ще бъде под формата на вярване, в която регионът е напълно разположен през първото тримесечие, така че в полярните координати площта е дадена неравенство. Сега Можете да изчислите двойния интеграл

14 Задачи за саморешения Изчислете преминаването към полярни координати: когато горната половина на кръга 6, където регионът отговаря на неравенствата, където площта е ограничена до линии 9 6, където ограничените линии 6, където площта е ограничена до отговорите, ограничени от кривите Шпакловка Шпакловка Шпакловка Шпакловка Приложения на двойни интегрални двойна интеграл, приложени при изчисляване: и площ от фигура с ограничена площ: S; В обемът на цилиндричното тяло, ограничено от над непрекъснатата повърхност F под равнината и страна на правия цилиндрична повърхност, нарязана на площ o област:

15 F; В повърхностната площ на дадено уравнение f чрез проекцията на която до равнината o е областта: σ в допълнение, двойните интеграли се използват в механика за изчисляване: и масата на плоска плоча, заемаща равнината O и имаща равнина променлива плътност на повърхността γ: m γ; B Статистически моменти на плочата спрямо осите на О и О:; M γ; M γ в координатите на центъра на тежестта на плочите: γ m c; M γ разтвор на примери См γ y 6 Пример Намерете областта на решението на ограничените линии, които изграждаме уравнение на площ, определя директно преминаване на рабола чрез произхода на координатите на фиг. За да намерите точките на пресичане на тези линии чрез решаване Системата на уравненията: от тук, след това директно пресича парабола в точките. и А; Според формулата S, пример е пример за намиране на област от фигури ограничени линии извън първия кръг;

16 Решение Уравнението поставя радиус кръг с Центъра в началото на координатното уравнение, задава кръга на радиуса с центъра в точката;: Необходимо е да се намери площта на амбавна фигура Фиг. 6 тук е удобно да се преместят в полярните координати. След това първото уравнение ще бъде под формата на второ уравнение: 6, за да се определят координатите на точките А и в решаването на системата на уравнения ± така; НО; В района на Амн можете да посочите неравенствата по формула 6, като пример за намиране на обема на тялото, ограничен от координати самолети и решаването на равнината, изградим тялото 7 и неговата проекция в самолета O Фиг. 6

17. По формула Фигура 7 Рига в примера, регионът е триъгълникът на OAV, показан в ориза, и повърхността се определя от уравнението на равнината, откъдето пример за намиране на обема на тялото, ограничен чрез координати на равнините и повърхността разтвор тялото е изобразено на фиг. 9 равнината преминава успоредно на оста на; парабролоид, чийто връх е в точка; Проекцията на тялото на равнината o е триъгълникът AVO ориз AV линия пресичаща равнина със самолет следователно уравнение директно AB: където 7

18 съгласно формула Фигура 9 ориз цилиндър 6 Пример Виж обема на тялото ограничено от параболоид и самолети и разтворът Тялото е изобразено на ориз за удобство на разположение на границите на интеграция се изгради проекция на тялото на самолета О ориз от Формулен ориз

19 7 6 Пример 6 Виж обема на тялото, ограничена от повърхности 7 разтвор Този орган се ограничава до два paraboloids ориз линия на paraboloids се определя от система от уравнения от първото уравнение на линията на пресичане се окръжността с радиус лежи в равнина: проекцията на тази линия на равнината, о също е кръг, така че е удобно да отиде в полярните координати на фиг обемът на тялото може да бъде изчислена като разлика в обема на две цилиндрични тел. Пример 7 Виж повърхността на сферата вътре в цилиндър 9 разтвор съкращения на цилиндъра на повърхността на сферата на две части, симетричните спрямо равнината о ориз поради симетрия е достатъчно, за да се изчисли площта само върха "шапка" и резултат за удвояване на повърхността. девет

20 за изчисляване, използваме формулата, тъй като тя включва частни деривати за изчисляване и следователно от уравнението на сферата след това ориз по този начин според формулата σ повърхностната проекция на равнината O Circle е удобно да се преместят в полярната координати в полярната координатна система Circle Уравнение Вижте Така че в полярни координати сигма 9 Следователно, 9 ще вземе, тъй като ние се счита площта само на горните "капачки", след това цялата площ на повърхността е Σ Σ н пример за намиране на центъра на тежестта на хомогенна ABC плоча, ако A; - B; ° С; ; - решение за изчисляване на координатите на центъра на тежестта, ние ще използваме формулите 6, когато плочата е еднаква, след това плътността на повърхността γ е постоянна, следователно формулите ще приемат тип С; ° С.

От фигурата може да се види, че плочата има формата на трапеца и симетрична по отношение на ос o, затова пишем уравнението на директна БК и използване на формулата, която определя уравнението, което директно преминава през две зададени точки: C БЦ:; О: Райс се изчислява сега поотделно числителят и знаменателят на фракцията на определящата координатна координатна координация: С9 в знаменателя е неразделна част от площта на областта на областта ABC. Възможно е да се изчисли този AB C интеграл и директно така c; С е Пример 9 Намерете масата на горната половина на елипсата, ако плътността на всяка точка е равна на реда на точката BA плътност на разтвора във всяка точка е равна на тези y съгласно формулата m γ за горната половина на Елипсата Фиг. 6 Б. Затова смокиня

22 m a a b a b a a b a a a b a a b Задача за саморешения AB Намерете фигурата на фигурата ограничени линии: a; Б; в; g a a; D Намерете обема на тялото, ограничено до повърхности: а; Б; в; g Намерете областта на посочената повърхност: и части от равнината 6 затворник в първия октант; b части от равнината, нарязани с цилиндър А; в парамол вътре в цилиндъра; Парабролоид, нарязан от параболичен цилиндър и самолет, за да се намери центърът на тежестта на ABC трапецоид, където А; Б; ° С; Шпакловка Ако плътността на всяка точка е равна на абсцисата на този етап да се намери центъра на тежестта на хомогенна фигура ограничено парабола и насочи 6 Намерете масата на кръгла чиния с радиус, ако плътността на повърхността на всяка точка е пропорционално на разстоянието от центъра на кръга отговаря на А; Б; в; g a a; d 6 и 6; Б; в; g a a.

23 А; b a; в; GCCCC 6 6 K Изчисляване на тройни интеграли в декартови координати за изчисляване на тройния интеграл под формата на трикратен интеграл: решения пример примерни от fbaff до три пъти и да се разпорежда с интеграционни граници, ако площта е ограничена: и равнина и координирани самолети; b конус и равнина Н; В топката, решението и изграждането на зоната и проекцията на тази област на равнината O Фиг. 7 Reight AV е линията на пресичане на равнината със самолет, затова е уравнение, така че е OHAW фигура 7 фигура лесно виждаме, че като прекарат директен паралел ос О и пресичане триъгълник OEAW Rho известие, че Той е включен в линията и върви по тези

24 За да разберете границите на промяната, ще извършат директна паралелна ос O и просечната зона от фигура 7, тя влиза в зоната над повърхността и се оказва извън повърхността по този начин, площта може да бъде описана от система неравенство 6 Следователно FF 6 в, за да се поставят ограничения в неразделна три пъти за конструиране площ и проекция на линия равнина о Фигура 9 уравнение линия на зоната ограничаващи се получава чрез решаването на системата от уравнения HH Ориз 9, който е кръгът с радиуса H с центъра в началото на координатите чрез провеждане на директни паралелни O и o преминаване и получаване на това, което е описано от HHHHF INQUASE системата, така HHHHFF

25 Можете да избирате в трикратно интеграл. След това естествено се променя друга интеграция и границите на интеграция. Например, представете си оригиналния интеграл под формата на CF да се разпорежда с границите на интеграция, ние проектираме самолета O и изпълняваме насочва паралелно О и О и пресичащи се, съответно и ориз в този случай са дефинирани в неравенства. HFF ориз в конструкт областта и проекцията на равнината о ориз ориз от чертеж показва, че

26 F F F F Пример Изчислете дали тялото е ограничено до координиране на самолети със самолет и конусен разтвор, който изграждаме тялото и нейната проекция на равнината O ориз от чертежа е видим, както е описано от неравенствата: Фиг.

27 Задачи за саморешения преминават от F до трикратно интегрално и да се разпореждат с лимити за интеграция, ако тялото е ограничено: елипсоид; 9 б параболоид и самолет; В координати и самолети 6, изчислете дали тялото е ограничено до самолети и сферата, за да се изчисли дали тялото е ограничено до самолети за изчисляване и конусовите отговори 9, ако тялото е ограничено до самолети и F; b f; В F 6, замяна на променливи в тройния интеграл на цилиндрични и сферични координати на формулата за прехода към цилиндрични координати PIC:; Шпакловка Шпакловка Формули за прехода към сферични координати θ R Rica: R θ; R θ; R θ; R θrθ тук; θ; R 7.

28 разтвор Примери Пример Изчисли Фигура ориз Ако конус се ограничават до конус и равнина. Тялото е изобразен на ориза на пресечната точка на конуса и равнината има уравнението. По този начин, проекция на тялото на самолета о Кръг RICE6 Фигура 6 се премества в цилиндрични координати:; Шпакловка Шпакловка При тези координати уравнението на кръга, изобразено на фиг. 6 уравнението на конуса и тялото е определено в неравенствата; Шпакловка така

29 V Пример Изчислете дали тялото е ограничено до повърхностни решения за изграждане на област; Равнина, за да се конструира уравнение на конвертирането на повърхността: това уравнение определя кръговия цилиндър в основата на която се намира границите на радиуса с центъра в точката; Така областта на интеграцията е цилиндър ориз 7 Поради това е удобно да се използва цилиндричните координати в тези координати. Уравнението на цилиндричната повърхност ограничава областта на интеграция ще бъде под формата, която е от където може да бъде описан от системата на неравенство; Шпакловка Фигура 7 9.

30 И така, пример за това е да се изчисли, където тялото е в горната половина на разтвора на топка като областта на интеграцията и е част от топката удобно се премести в сферични координати: rrrrrrrrrrrrrr θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ повърхностите изчисли, където се ограничава до повърхности

31 Изчислете изчисляването, ако е ограничено до повърхности, ако топката отговаря на приложението с тройно интегрално приложение, приложено при изчисляване на обема на тялото ω:; 7 Ω b телесно тегло, заемащо област ω с променлива обемна плътност γ: m γ; Ω в координатите на центъра на тежестта на тялото ω: c γ m ω c γ 9 m ω c γ m ω където m телесното тегло, ако тялото е равномерно, в формули 9 може да бъде поставено γ; M Пример Пример Намерете капацитета на тялото, ограничен от цилиндър и самолета разтвор тялото и неговата проекция на равнината o са изобразени в ориз на фиг. За да намерите координатите на точките А и в решаването на системата на уравненията:

32 ± А; Б; По този начин, регионът е описан от системата за неравенство; Шпакловка Според со формула 7, пример за намиране на масата на тялото, ограничена от равнини Ако плътността при всяка точка γ е изграждането на тялото со и проекцията на равнината о Фиг. 9 Фигура 9 пресича равнина с равнината на пряка определяйки системата за получаване на координатите на точката А; По този начин, тялото ω е описано от системата за неравенство; Шпакловка Съгласно формулата на тялото m ω, пример за изчисляване на телесното тегло, ограничено от равнини 9 и параболичен цилиндър, ако плътността във всяка точка е пропорционална на абсцисата и на разстояние от равнината на равнината o е равно

33 разтвор Плътността е пропорционална на абсцисата; Следователно, K y на единица разстояние от равнината o плътността е еднаква; Следователно, при γ, след това k k така γ конструират тялото ω и неговата проекция в равнината o ориз ориз да открият координатите на точката А, решават системата на уравнения; 9 А така, регионът може да бъде определен от системата на неравенствата ω ω 9: в съответствие с формулата на телесната маса, равна на ω m пример, намерете координатите на центъра на тежестта на тялото на ограничена долна половина сфера и a парабролоид, ако плътността на всяка точка е пропорционална на квадрата на разстоянието от оста на

34 Решението изгради върха на тялото на парараболоидната точка; Шпакловка Уравнението е в едно може да се обърне към вида, че той определя сферата на радиуса с центъра в точката; Шпакловка Така тялото има изглед представени в ориз от проекцията на този орган на равнината о е обиколката на уравнение му може да се получи чрез решаване на системата от уравнения в равнината уравнението на пресечната линия има форма уравнението на проекцията на тяло Ω на равнината има същия тип Ω ориз, тъй като кръгът е удобно при изчисляване отидете в цилиндрични координати; Шпакловка При тези координати уравнението на границата ω има формата; и отговаря на ъгъла на състоянието на параболоид уравнението в цилиндрични координати от където уравнението на областта: ± за долната половина на променлива плътност от състоянието на проблема е пропорционална на квадрата на разстоянието от оста о γ к в цилиндричните координатите на γ к като тялото е симетрично спрямо оста о, то е очевидно, че центърът на тежестта се намира на тази ос тези с; C За изчисляване на С, ние използваме формула 9: c γ m ω изчисляване на първото телесно тегло m [формула]:

35 6 K K K K K K K K M y ω ω ω сега се изчислява ω ω ω γ k k k k Kk K K K K K в формула Kc, така че центърът на тежестта на разглеждания орган има координати; Шпакловка 7.

36 Задачи за саморазрешаване 6 Намерете обема на организирането на тялото: и самолети; b paraboloid и самолет; В повърхности и 6, намерете много телесна маса: и сфери, ако плътността γ k; b повърхности, ако плътността γ k; В конус и равнина b, ако плътността е пропорционална на реда на точката, и на разстояние от разстоянието от равнината o е равно на γ 6, намерете координатите на центъра на тежестта на хомогенно тяло, ограничено от равнини Отговори 6 а; Б; при 6 9 K γB 6 A K; Б; при 6 6 ° С ;; 6.

37 Опция Приложение Опции за индивидуална домашна работа Намерете центъра на тежестта плоска форма ограничени линии Намерете повърхността на цилиндър затворник вътре в цилиндъра Намерете обема на тялото, ограничено до повърхностите на намиране на тяло на тялото, ограничено до сферата и параболоид ако плътността при всяка точка е равна на applicat на този вариант точка за намиране на центъра на тежестта плосък фигура ограничава линия и една втора вълна хармоници намерят повърхността на конуса е закрепено с равнини, да се намери на обема на Тялото е ограничено до повърхностите, за да се намери телесно тегло, ограничена част от радиусалната купа в първия октана, ако плътността във всяка точка е равна на разстоянието от точката до самолета o опцията за намиране на центъра на гравитационната плоска форма ограничени линии Виж повърхността на конуса вътре в цилиндъра 9 намери обема на тялото, ограничена от повърхности 9 9 да се намери телесно тегло, ограничен от сферичен слой между повърхности 9 и 6 Ако плътността при всяка точка е обратно пропорционална на разстояние от точката до началото LA координати Опция Намерете центъра на гравитацията плоска форма ограничени линии 6\u003e Намерете повърхността площ, разположена вътре в цилиндъра 6 Намерете обема на тялото, ограничени повърхности 7

38 Намерете телесна маса, ограничена от директна височина на цилиндъра, ако плътността във всяка точка е равна на квадрата на разстоянието от точката до оста на симетрия на опцията на цилиндъра, за да се намери центърът на тежестта на плоската фигура с a ограничен окръжност с център в началото на координатната с радиуса и две лъчи разположени симетрично спрямо оста О и образуват ъгъл на Виж повърхността на конуса намира вътре в цилиндъра Виж обема на тялото ограничава до повърхности за намиране на телесна маса, ограничена от координатни равнини и равнина 6, ако плътността във всяка точка е равна на абсцисата на тази точка, да открие центъра на тежестта на плоска фигура, ограничена ос O и върха на елипсата BA Намерете повърхност на цилиндъра, записани с равнини Виж обема на тялото ограничава повърхности 6 Виж телесно тегло ограничава до повърхности 6 Ако плътността при всяка точка е равна на Applicate на тази точка Вариант 7 Виж центъра на тежестта плоска форма ограничено Cardioid 7 Намерете повърхността и конус издълбани посочване цилиндър Отидете на полярни координати Намерете обема на тялото ограничени повърхности да се намери телесно тегло ограничен от повърхности\u003e Ако плътността е равен на реда на мястото на опцията Намерете центъра на тежестта плоска форма ограничено линии P

39 Намерете повърхността на параболото вътре в цилиндъра Намерете обема на тялото на ограничените повърхности 6 Намерете много телесни повърхности, ако плътността на всяка точка е вариант 9 Открийте центъра на тежестта на плоска фигура, ограничени линии 9 9 \u003e Виж повърхността на тялото ограничено до областта и параболоид Виж обема на тялото ограничава до 6 повърхности 9 извън цилиндъра Виж маса на тялото, ограничен от сферичен слой между повърхности 6 Ако плътността е обратно пропорционална на разстоянието от произхода на координатната опция за намиране на центъра на тежестта на ограничената линия на плоската фигура и директната OA преминава през произхода и точка А; Намерете повърхността на сферата нарязана към цилиндъра, за да намерите обема на тялото, ограничено от повърхности; Вътре в цилиндрите, намерете телесна маса, ограничена от топка с радиус, ако плътността е пропорционална на куба на разстоянието от центъра на топката и на разстояние, единицата е равна на γ; Вариант Намерете центъра на тежестта плоска форма ограничени линии 6 Намерете площта на повърхността на цилиндъра между самолетите да се намери обема на тялото на оградена повърхности да се намери на телесна маса на оградена цилиндрична повърхност и самолети Ако плътността е равна на ординирана точка 9.

40 опция Намерете центъра на тежестта плоска форма Limited Cardioid Намерете повърхността на топката, сключена вътре в цилиндъра, намерете обема на тялото, ограничено до повърхностите, за да намерите масата на тялото, ограничена до октантната топка с координатни равнини и. \\ T самолет, ако плътността на всяка точка е равна на апликацията на тази опция точка, за да се намери центъра на тежестта плоска форма ограничени линии Намери района повърхността на параболоид затворника между цилиндъра и равнината на CAB за намиране на телесното тегло ограничен от Paraboloid и самолет, ако плътността е равна на сумата на квадратите на координатна точка на опцията, намерете центъра на тежестта на фиксираната фигура, намираща се повърхността на повърхността на цилиндъра между равнината O и повърхността от намирането на тялото ограничени повърхности 6 Ако плътността е пропорционална на квадрата на разстоянието от точката на оста на опцията цилиндър да се намери центъра на тежестта на плоски фигурата ограничени линии а α TG TG Намерете площта на Местоположението на конуса Вътре в цилиндъра намират обема на тялото на ограничените повърхности

41 Намерете телесна маса, ограничена от повърхности\u003e Ако плътността е равна на ординатата 6 Намерете центъра на тежестта на плоската фигура, ограничени линии 6 Намерете повърхността на балона 6 вътре в цилиндрите Намерете обема на тялото Ограничено до повърхностите на BAAB Намерете много повърхностни повърхности, ако плътността е равна на приложението на приложението 7 Намерете центъра на тежестта естен правоъгълен триъгълник с катед, ако плътността във всяка точка е пропорционална на квадрата на разстоянието от Vertex на директния ъгъл, за да открие повърхността на конуса, издълбана от индикацията на цилиндъра, отидете на полярните координати, за да намерите обема на тялото, ограничени повърхности 9 Намерете маса от радиусната топка, ако плътността е пропорционална на куба разстояние от центъра на топката и на разстояние, равно на опцията y, за да намерите центъра на гравитационната плоска форма ограничени линии намират повърхността на параболите затворник в първия Octante Paraboloid е ограничен до равнина 6 Намерете силата на звука на тялото, ограничени повърхности 6 намират маса от ча Sti на радиус купа в първия октант, ако плътността на всяка точка е равна на разстоянието от самолета o опция 9 Намерете центъра на тежестта на плоска фигура, ограничени линии намират повърхността на тялото с ограничена сфера и параболоид

42 Намерете обема на тялото с ограничени повърхности, за да намерите телесна маса, ограничена от директна цилиндър радиус височина, ако плътността е равна на квадратното разстояние от центъра на основата на опцията на цилиндъра, намерете центъра на гравитацията плоска фигура Limited Linters\u003e Намери Повърхностна повърхност 9 нарязания цилиндър намиране на тяло ограничени повърхности Намерете тялото на радиуса, ако плътността е пропорционална на куба на разстоянието от центъра и на разстояние от разстоянието, равно на опцията y, за да намерите центъра на тежестта на плоска фигура, ограничена Линии ± TG 6 Намерете повърхността на цилиндъра вътре в цилиндъра Намерете обема на тялото, ограничено до повърхностите вътре в цилиндъра Намерете телесното тегло, ограничено до общата част от две топки, ако плътността е пропорционална на разстоянието от Дисфремът сочи към самолета O опция Търсене в центъра на гравитацията плоска форма ограничена сърдечна сърдеи, намерете повърхността на конуса нарязани равнини Намерете обема на тялото, ограничени повърхности извън цилиндър 6 Намерете много части от топка от радиус Отстъпвайки в първия октан, ако плътността на всяка точка е равна на разстоянието до равнината o

43 Опция Намерете центъра на гравитационната плоска форма ограничени линии Намерете повърхността на Paraboloid 6 затворник между цилиндъра и равнината намиране на обема на тялото, ограничено до повърхностите, за да намерите телесно тегло, ограничено от сферичен слой между повърхности 6 Ако плътността е обратно пропорционална на разстоянието от началото на координатната опцията да се намери центъра на тежестта плоска форма ограничени линии 9 Намерете площта намира вътре в цилиндъра Намерете обема на тялото ограничава до повърхности, за да се намери на телесна маса ограничено чрез парараболоид и равнина, ако плътността е равна на сумата на опцията за координатни точки, за да се намери центърът на тежестта на фиксираната фигура, ограничените линии намират повърхността на конуса в цилиндъра да намерите тялото ограничени повърхности намиране на телесна маса ограничава общата част Две топки Ако плътността е пропорционална на разстоянието от точка до равнина о

44 Съдържание Изчисляване на двойни интеграли в декартови координати Двойна неразделна в полярни координати Приложения на двоен интеграл Изчисляване на тройни интеграли в декартови координати Подмяна променливи в Triple неразделна цилиндрични и сферични координати 7 6 Приложения на тройни интеграли приложения Опции за индивидуално домашното 7 издание Образователна Многократни интеграли Задачи и методически упражнява инструкции Съставител Karpilova Олга Михайловна Редактор Ю N L и T и N за в и Pustavka Ю N L и T и Н О в подписан в Printing Формат 6x / 6 хартия за офсетов печат, офсетни, Сил Всъщност 7 Тираж Тираж чл 9 / Самара-членка Авиационен университет 6 Самара Московска магистрала Издателство на Самара Държавен космически университет 6 Самара Москва магистрала

Cos, sin, j dd dd d d 5 изчисли zdd zddz ddz, където външната страна на повърхността z, която се отрязва от равнината z Re N и e, повърхността е парабролоид, даден чрез изрично от уравнението z

Държавна институция по висше професионално образование "Беларуски-руски университет" отдел "Висша математика" Висша математика. Математика. Математика (специална глава). Математически анализ

Методически насоки за задания за сетълмент в размер на по-висша математика "обикновени диференциални уравнения на серия от множество интегрални" част III тема на множество интегрални таблица на съдържанието Изчисляване на двойно и тройно

Министерство на транспорта на федералната федерация Федерална държавна бюджетна образователна учреждение на висшето образование "Руски университет по транспорт (Миит)" отдел "ITTSS" по-висок и изчислителен

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция по висше професионално образование "Сибирски държавен индустриален университет"

Практически урок 9 Изчисляване на двоен интеграл в полярните координати на двойното интегрално приложение разглеждане на специфичния случай на замяна на променливи, често се използва при изчисляване на двоен интеграл

Двойни интегрални примери за решаване на проблеми 1. За да се намали двойният интеграл f (x, y) dx dy, да се повтарят по два начина (съгласно формула (1) и с формула (2)), ако G регион, ограничен от криви X \u003d 1 , y \u003d x 2, y \u003d.

Изразът на телесното тегло през тройния интеграл в цилиндричните координати на дефиницията и формула за решаване на проблеми определянето на цилиндрична бар-ориентирана върху ориза OSI O OSIO се нарича тяло G Limited

Министерство на образованието на Република Беларус Беларуски Национален Технически университет по катедра "Инженерна математика" Н.А. Kondratieva o.g. Vishnevskaya n.k. Prikhach Математика Методическо ръководство

Ръководството е предназначено за ученици от ръководителите на втората година на ученето. Ползите в кратка и достъпна форма се считат за теми: множество интеграли, криволинейни интеграли, редове, теория на вероятностите.

Министерство на науката и образованието на Руската федерация Московски държавен университет по геодезия и картография AV ARISTARKHOVA, NG BABAYEV Индивидуални задачи по по-висока математика Множество интегрални

Банкови задачи по темата "Integral Calculus" * Промяна на реда на интеграция + DD * Намерете областта на плоска площ, ограничена от линии \u003d, \u003d, \u003d * изчисли (d) + acctg d, където) +, + 9 , \u003d (D),

Министерство на културата на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция по висше професионално образование, Сейнт Петербургския държавен университет по кино и

Част. Примерни изпитни задачи в математиката А. Най-простите задачи за три точки. Изчислете интегралите arcsin d) II семестър ICIA и 9 c. и) 6 N К) 5 6 5 g) 6 g) cos z) z z arcsin z. Изчислете производителя

Министерство на транспорта на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция на висшето образование "Руски университет по транспорт (MIIT)" Институт по транспортна технология

3 регион (d) в нашия случай, n е нормален нормален към равнината на Xoy, тези nk () \u003d φ, φ, след това \u003d \u003d, и n () cos γ \u003d, + + (φ) (φ) (φ) (φ) DQ \u003d + + DD Забележка Ако повърхността (Q) е правилна в посоката

TASCNIK по математика (математически факултети, семестър) 7 интеграла намират интегралите dd sin + d + + d + d + d 7 (+) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 dd + d 9 + D + 7 tg d 8 cosd cos sin 9 d

Лекция n 45 множество интеграли в полярни, цилиндрични и сферични координати на прилагането на множество интеграли на двойния интеграл в полярните координати на тройния интеграл в цилиндрични и сферични \\ t

Глава. Многобройни интеграли .. Професия ... Намаляването на двойния интеграл за повторно при изчисляване на двойните интеграли трябва да се разграничава по два случая. () Първият случай. Интегралната зона е ограничена до лявата

Върховна колеж Комуникация Колекция от типични изчисления на дисциплината "Висша математика" част II за студенти от специалността T000 Пощенска комуникация Minsk 00, съставена от Ryabenkova La Edition, одобрена на срещата

Лекцията на втория ред на хиперболата като пример ще намери уравненията на определящия кръг, парабола, елипса и кръга на кръга се нарича набор от равнинни точки, които са равносилни от посочените

Троен интеграл Volchenko YUM. Лекция на съдържанието Концепцията за троен интеграл. Условията за неговото съществуване. Средна теорема. Изчисляване на тройния интеграл в декартови и криволинейни координати. Тройно

Лекция N. Изчисляване на множество интеграли. Активен двоен интеграл в правоъгълни декартови координати ..... изчисление на двойна интегрална (произволна площ) ..... троен интеграл ..... изчисление

Въведение Методични инструкции съдържат 26 опции за индивидуална домашна работа по темите "Директ на равнината и в пространството", "равнина", "криви и повърхности на втора употреба". Под индивидуалност

Съдържание Въвеждане на множество, криволинейни и повърхностни интеграли Елементи на теорията на полето за одит Кратка информация от задачите на теорията за задачите за задачите

Практически урок 6 Повърхностни интегрални 6 Определение Изчисляване и приложение на повърхността интеграл-род 6 Определяне на имота и изчисляване на повърхността интеграл вид род 6 дефиниция

Б. М. Маврин, г - н E. I. Balaev Изображение на тела на ротационната работилница Самара 2005 Федерална агенция за образователна институция на висшето професионално образование "Самара

Двойни интеграли на задачи и упражнения за самостоятелност 1. Създайте двоен интеграл f (x, y) dx dy да се повтаря по два начина, ако: g а) g триъгълник с върхове (1, 1), (4, 1) (4, четири); б)

Федерална железопътна агенция Урал Държавен университет по железопътни комуникации "Висша математика" и Н Пирогова Аналитична геометрия в примери и задачи Екатеринбург

Класове 1-2. Известен интеграл и приложение I. Използване на формулата на Нютон, изчислете специфичен интеграл: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4.) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Посспелов 7.324-7.352, \\ t 7.380- 7.385,

Лекция 7 инвалидни интеграла в несъвместими интеграли се наричат \u200b\u200bопределени интеграли, за които поне едно от условията за съществуване на определен (собствен) интеграл :) или

14-то място. Тройни интегрални мат. Анализ, лепило. Мат., 3-ти семестър повторете A1 в следващия интеграл, за да отидете на полярните координати и поставете границите на интеграция в другия ред:

Министерство на образованието на Руската федерация Ярославс държавен университет. Стр. Демидов отдел "Дискретен анализ" и директно в пространството на задачата Yaroslavl компилатор на адвокача.

Москва Автомобилна и пътна държава Технически университет (MADI) Интегриран опит за преживяване на CAMPULUS TASKNIK Moscow Automotive-Road Testing Technical

Федерална железопътна агенция за железопътна транспортна агенция Урал Държавен университет по железопътни комуникации "Висша и приложна математика" P и Gnilken Приложения на множество и криволинейни интеграли

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерално състояние Автономно образователно изграждане на висше образование "Самара Държавен аерокосмически университет Име

Допълнение 5 Министерство на земеделието на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция на висшето образование "Саратов Държавен аграрен университет

Елементи на аналитичната геометрия в равнината. Права линия 1. Изчислете периметъра на триъгълника, чиито върхове служат като (6; 7), b (3; 3), С (1; 5). 2. Намерете точка на точките А (7;

Министерство на образованието и науката за Руската федерация Ярославс държавен университет. P. G. DEMIDOV Отдел по алгебра и математически логически криви на втора поряда Част I Методически инструкции

Съдържание на множество интегрални концепция за множество интегрални интегрални интеграли. Области в самолета ................. повтарящи се интегрални ................ 3.3 Изчисляване на двойния интеграл в декартовите координати .. ... ..................

Практически урок 14 Тема: Parabola План 1. Определение и канонично Parabola уравнение .. геометрични свойства на парабола. Взаимно местоположение на парабола и директно преминаване през центъра. Поддръжка

1 най-простите задачи на аналитичната геометрия на равнината 11 разстоянието между две точки смятат правоъгълна координатна система (Cartesova, Фигура 1 от всяка точка m съответства на координатите на OA X

Министерство на транспорта на Руската федерация Федерална държавна образователна институция по висше професионално образование Уляновска Висша авиационна школа за гражданска авиация (Институт)

Глава 5. Тройна интегрална. 5.1. Определяне на троен интеграл. След въвеждането в предишната глава, понятието за двоен интеграл естествено би било по-нататъшно обобщаване на триизмерното пространство

Алгебрични линии на самолета. Първата линия на поръчката (направо на равнината ... основните видове уравнения на прави линии върху равнината на ненулев вектор n перпендикулярно определен директно се нарича нормален

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Руския държавен университет по петрол и газ, кръстен на Имгубкин Т.с Филипов Антфилипов Методически инструкции за изследване на тема "Множество и криволинейни

Педагогическия университет на Penza, наречен на Vgbelinsky Felnikina функции на няколко променливи интегрирани изчисление Ръководството за обучение Penza се отпечатва с решението на редакционното издателство

Тематичните елементи на аналитичната геометрия в равнината и в пространството лекция. Право на самолета p l и n. Координатен метод върху равнината. Директни в декартови координати .. Състояние на паралелизма и перпендикулярност

à à à à à à ⠀ ž à à à à ã à à à à à â,¬Â moscow "на име n.e. Баумански факултет на отдел "Математическо моделиране" А. Страница, à.ï. Окупиране

Глава 5 Повърхностни цели - тип (продължение) 5 задачи в класа задача 5 (4349) Изчислете интеграла, където част от повърхността на конуса ZD, x \u003d ρ cos φ sin α, y \u003d ρ sin φ sin α, z \u003d ρ cos α ((ρ h

Федерална агенция за образование Уралското държавно горско стопанство на катедра "Устойчивост на материали и теоретична механика V. A. Kaletiev V. M. Kalinin L. T. Raevskaya N. I. Chashchen

Елементи на аналитичната геометрия заемат равнина в триизмерното пространство напишете векторно уравнение на равнината и обясняват значението на стойностите, включени в това уравнение, за да напишете общо уравнение на равнината

3 Примерни рекордни изрази за статични моменти на плосък домейн на материал (D) въз основа на формули (3), като се вземат предвид фигурата (φ), имаме: ρ, dd, ρ, dd базирана на механичното значение на статичния момент ,

Задача 1 Намерете координатите на центъра на тежестта на полукръг Y \u003d R2 x 2. Задача 5 Област на повърхността Z \u003d 1 4 XY, разположен вътре в повърхността x 2 + y 2 \u003d 16. Задача 2 Промяна на Ред на интеграция

Министерство на образованието и науката на Украйна Национална Металургична академия на Украйна Методически инструкции за решаване на проблеми на дисциплината Най-висока математика и опции за тестове Практически

Практически занятия на най-високия курс по математика (III семестър) въз основа на ръководството за обучение "Събиране на индивидуални задачи по висша математика", том 3, Ед. Ryabushko A.p. За ден от учениците

Московски държавен технически университет, наречен на Н.Е. Баумански факултет на отдел "Основни науки" "Компютърни математика и математическа физика" A.I. Левин няколко интеграла електронни

Интегрално изчисляване на функцията на няколко променливи на интегралите на двойната тройна криволинейна по дължина на повърхността на дъгата (първа) по повърхността (първи вид), оставете функцията f () дефинирана

1.3. Урок 3 1.3.1. Изчисляването на тройните интеграли в картозьовите координати нека пространствената зона, D нейната проекция върху оксия равнина. Районът се нарича -вил, ако има някаква вертикална права линия

Министерство на образованието на Република Беларус Беларуски Национален технически университетски университет по инженерно математика Висша математика Ръководство за решаване на проблеми за ученици от механични и технологични

Практически урок 1 Тема: Хиперболе план 1 дефиниция и канонично уравнение хиперболи геометрични свойства на хиперболите взаимно подреждане на хиперболи и директно преминаване през центъра асимптоти