Останете, че ще намерим възлите. Алгоритъм Евклида - намиране на най-голям общ разделител

Най-големият общ делител (Node) Две числа се наричат \u200b\u200bнай-голям брой, за които и двата номера ще бъдат разделени без остатък.

Обозначаване: Възел (a; c).

Пример. Ние намираме възлите на числа 4 и 6.

• Номер 4 без остатък се разделя на: 1, 2 и 4.
• Номер 6 без остатък е разделен на: 1, 2, 3 и 6.
• Най-големият общ разделител на числа 4 и 6 ще бъде номер 2.
• Възел (4; 6) \u003d 2

Това е прост пример. А какво ще кажете за големите числа, за които е необходимо да се намерят възли?

В такива случаи номерата се отхвърлят към прости фактори, след което се отбелязват същите мулти и в двата разширения - продуктът на маркираните прости множители и ще бъде кимване.

Пример. Ще намерим възлите на числа 81 и 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 възел (81; 45) \u003d 3 · 3 = 9

В случаите, когато две числа нямат идентични прости мултипликатори, единственият естествен брой, който ще бъде разделен на такива числа, ще бъде 1. кимване на такива числа \u003d 1. Например: възел (7; 15) \u003d 1.

Какво е NOK.

Номерът А се нарича многократни Номерът в, ако е разделен на без остатък (насочени). Например, 10 е разделена на 5, следователно, 10 пъти 5; 11 не е разделен на фокус на 5, следователно 11 не е многократно 5.

Най-малката обща боя (NOC) на два естествени числа се наричат \u200b\u200bнай-малкия брой, няколко тези две числа.

Обозначаване: Nok (a; b).

Правило за намиране на NOK:

• разлагат двата номера на прости фактори, отбелязват същите прости множители в двата декомпозиции, ако има такива;
• продуктът на всички прости множители на един от числата (всъщност броят на) и всички немаркирани мултипликатори ще направят NOC.

Пример. Ние откриваме NOC Numbers 81 и 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 NOC (81; 45) \u003d 81 · 5 \u003d 405

405 е най-малкото многократно за числа 81 и 45: 405/81 \u003d 5; 405/45 \u003d 9.

Ако две числа нямат идентични прости множители, тогава NOC за такива числа ще бъде равен на продукта на тези числа.

14 \u003d 2 · 7 15 \u003d 3,5 NOC (14; 15) \u003d 14 · 15 \u003d 210

Най-големият общ делител и най-малките общи многобройни са ключови аритметични концепции, които позволяват без усилие да работят с обикновени фракции. NOC и най-често се използва за търсене на общ знаменател на няколко фракции.

Основни понятия

Целният делител X е друг цяло число y, което x е разделен без остатък. Например, разделител 4 е 2 и 36 - 4, 6, 9. Няколко от цялото X е такъв номер y, който е разделен на X без остатък. Например, 3 пъти 15 и 6 - 12.

За всяка двойка числа можем да намерим техните общи разделители и множествени. Например, за 6 и 9, общото множество е 18 и общ делител - 3. Очевидно е, че разделителите и множествените двойки могат да бъдат донякъде, следователно, по време на изчисленията, най-големият делител на възел и най-малкият множество NOK се използват .

Най-малкият разделител няма смисъл, тъй като за всеки номер винаги е единица. Най-голямото множество също е безсмислено, тъй като последователността на множествата се втурват в безкрайност.

Намиране на възел

За да търсите най-големия общ делител, има много методи, най-известните от които:

• последователен бюст на разделителите, избора на общ за двойката и търсенето на най-големите от тях;
• разлагане на числа за неделими фактори;
• алгоритъм Евклида;
• двоичен алгоритъм.

Днес в образователните институции са най-популярните методи за разлагане на прости мултипликатори и алгоритъм на евклидо. Последното на свой ред се използва при решаване на диофантинови уравнения: търсенето на възел е необходимо да се тества уравнението на способността за разрешаване в цели числа.

Nok.

Най-малкото общо множествено множество се определя и чрез последователна оживена или разлагане на неделими множители. Освен това е лесно да се намери NOC, ако най-големият разделител вече е дефиниран. За номера X и Y, NOC и NOD са свързани със следното съотношение:

NOK (x, y) \u003d x × Y / възел (x, y).

Например, ако NOD (15.18) \u003d 3, тогава NOK (15.18) \u003d 15 × 18/3 \u003d 90. Най-очевидният пример за използването на NOC е търсенето на общ знаменател, който е най-малката често срещана многократна. дадените фракции.

Взаимно прости номера

Ако чифт числа нямат общи делители, тогава такова двойка се нарича взаимно проста. Възелът за такива двойки винаги е равен на един и се основава на връзката на разделителите и множественото, NOCS за взаимно прост е равен на тяхната работа. Например, числата 25 и 28 са взаимно прости, защото те нямат общи делители и NOK (25, 28) \u003d 700, което съответства на тяхната работа. Две всички неделими числа винаги ще бъдат взаимно прости.

Калкулатор на общия делител и многократно

С нашия калкулатор можете да изчислите кимването и NIC за произволен брой цифри, от които да избирате. Задачите за изчисляване на общи делители и множество се намират в аритметика 5, степен 6, но NOD и NOC са ключовите понятия на математиката и се използват в теорията на номерата, планината и комуникативната алгебра.

Примери от реалния живот

Общи фракции на знаменателите

Най-малкото общо се използва при търсене на общ знаменател на няколко фракции. Да предположим, че в аритметичната задача трябва да обобщите 5 фракции:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да се добавят фракции, изразът трябва да бъде доведен до общ знаменател, който се свежда до задачата за намиране на НОК. За да направите това, изберете 5 номера в калкулатора и въведете стойностите на знаменателите към съответните клетки. Програмата ще изчисли NOC (8, 9, 12, 15, 18) \u003d 360. Сега е необходимо да се изчислят допълнителни мултипликатори за всяка фракция, които се определят като съотношение на NOC към знаменателя. Така ще изглеждат допълнителни мултипликатори:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

След това умножаваме всички фракции на съответния допълнителен фактор и получаваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Лесно можем да обобщим такива фракции и да получим резултата под формата на 159/360. Ние намаляваме частта от 3 и виждаме окончателния отговор - 53/120.

Решение на линейни двустранни уравнения

Линейните диофантови уравнения са изрази на Axe + чрез \u003d D. Ако съотношението D / възел (A, B) е цяло число, уравнението е разрешено в цели числа. Нека проверим чифт уравнения за цяло число. Първо, проверете уравнението 150x + 8Y \u003d 37. С помощта на калкулатора ние намираме възел (150.8) \u003d 2. Delim 37/2 \u003d 18.5. Това не е цяло число, следователно уравнението няма целочислени корени.

Проверяваме уравнението 1320x + 1760y \u003d 10120. Ние използваме калкулатор, за да намерим възел (1320, 1760) \u003d 440. Разделяме 10120/440 \u003d 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно, диофантовото уравнение е разрешено в цели коефициенти.

Заключение

Възлите и NOCS играят голяма роля в теорията на номерата и самите концепции са широко използвани в различни области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делители и най-малкото множество от произволен брой числа.

Най-голямото общо деление

Определение 2.

Ако естественият номер А е разделен на естественото число от $ b $, тогава $ b $ се нарича номер за броя на $ a $, а номер $ a $ се нарича няколко от $ b $.

Нека $ a $ и $ b $ -nutral номера. Номерът $ c $ се нарича общ разделител и за $ a $ и за $ b $.

Много общи разделители от $ a $ и $ b $ са, разбира се, тъй като никой от тези делители не може да бъде повече от $ a $. Това означава, че има най-големият сред тези делители, който се нарича най-голям общ делител от $ $ и $ b $ и пишат записи за нейното наименование:

$ Node (a; b) или d \\ t (a; b) $

За да намерите най-големия общ делител на две, необходимостта от цифри:

1. Намерете продукт на номерата, намерени в стъпка 2. Полученият номер ще бъде най-големият най-голям общ делител.

Пример 1.

Намерете възли 121 $ и $ 132. $

$ 242 \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11

$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $

Изберете номера, които са включени в разлагането на тези номера

$ 242 \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11

$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $

Намерете продукта на номерата, намерени в стъпка 2. Броят е получен и ще бъде известният най-голям общ делител.

$ Node \u003d 2 cdot 11 \u003d 22 $

Пример 2.

Намерете възел на Homorals $ 63 $ и $ 81 $.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Разпространява номерата на прости мултипликатори

$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7

$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3

Изберете номерата, които са включени в разграждането на тези номера

$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7

$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3

Ще намерим продукт на номерата, намерени в стъпка 2. Полученият номер и ще бъде най-големият най-голям общ делител.

$ Node \u003d 3 cdot 3 \u003d 9 $

Възможно е да се намери възел от два числа по различен начин, като се използват многобройни разделители.

Пример 3.

Намерете номер 48 и $ 60 $.

Решение:

Ние намираме много делители на числото $ 48 $: $ \\ t (RM 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ t

Сега откриваме много делители на числото $ 60 $: $ \\ t (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ t

Ще намерим пресечната точка на тези комплекти: $ old ((1,2,3,4,6,12) надясно) $ - този комплект ще определи набор от общи делители от $ 48 и $ 60 $. Най-големият елемент в този комплект ще бъде броят от $ 12 $. Така че най-големият общ делител от $ 48 $ и $ 60 $ ще бъде $ 12 $.

Nok.

Определение 3.

Общи множество естествени числа $ a $ и $ b $ се нарича естествен номер, който е многократно и $ a $ и $ b $.

Общите множество номера се наричат \u200b\u200bномера, които са разделени на източник без остатък. Например, формира $ 25 и $ 50 $ 50 по често срещани многократни номера $ 50,100,150,200 $ и т.н.

Най-малката от общото множество ще бъде наречена най-малко обща многократна и е обозначена от NOC $ (A; B) $ или K $ (A; B). $

За да намерите NOC от две числа, имате нужда:

1. Диспечерски номера за прости фактори
2. Да запишете множителите в първия номер и да добавите множители с тях, които са част от втората и не отиват на първия

Пример 4.

Намиране на номера на NOC $ 99 $ и $ 77 $.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Диспечерски номера за прости фактори

$ 99 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 11

Да запишете множителите в първия

добавете мултипликатори с тях, които са част от втората и не отиват на първия

Намерете продукт на номера, намерен в стъпка 2. Номерът е получен и ще бъде желаният най-малък общ

$ Nok \u003d 3 cdot 3 cdot 11 cdot 7 \u003d $ 693

Изготвянето на списъци с разделители на числа често е много трудна професия. Има начин да се намери възел, наречен алгоритъм на евклидея.

Изявленията, на които е създаден алгоритъмът на EUCLID:

Ако $ a $ и $ b $ - представлява, и $ a vdots b $, след това $ d (a; b) \u003d b $

Ако $ a $ и $ b $ - представлява, така че $ b

Използване на $ d (a; b) \u003d d (a-b; b) $, човек може последователно да намали броя, докато не направим на такъв чифт числа, които един от тях е разделен на друг. Тогава по-малките от тези числа ще бъдат най-големият общ делител за номера $ a $ и $ b $.

Имоти Nod и Nok

1. Всички често срещани многократни номера $ и $ b $ е разделен на k $ (a; b) $
2. Ако $ a vdots b $, след това до $ (a; b) \u003d $

Ако до $ (a; b) \u003d k $ и $ m $--natural номер, след това до $ (am; bm) \u003d km $

Ако $ d $ - документален делител за $ a $ и $ b $, след това до ($ \\ t (A) (d); frac (b) (d) $) \u003d $ \\ t frac (k) (D ) $.

Ако $ a vdots c $ и $ b vdots c $, тогава $ frac (ab) (c) $ - общо няколко номера $ a $ и $ b $

За всички естествени числа се изпълняват $ и $ b $ равенство

$ D (a; b) ccot към (a; b) \u003d ab $

Всеки общ разделител на числа $ a $ и $ b $ е разделител на числото $ d (a; b) $

Най-голямото общо деление

Определение 2.

Ако естественият номер А е разделен на естественото число от $ b $, тогава $ b $ се нарича номер за броя на $ a $, а номер $ a $ се нарича няколко от $ b $.

Нека $ a $ и $ b $ -nutral номера. Номерът $ c $ се нарича общ разделител и за $ a $ и за $ b $.

Много общи разделители от $ a $ и $ b $ са, разбира се, тъй като никой от тези делители не може да бъде повече от $ a $. Това означава, че има най-големият сред тези делители, който се нарича най-голям общ делител от $ $ и $ b $ и пишат записи за нейното наименование:

$ Node (a; b) или d \\ t (a; b) $

За да намерите най-големия общ делител на две, необходимостта от цифри:

1. Намерете продукт на номерата, намерени в стъпка 2. Полученият номер ще бъде най-големият най-голям общ делител.

Пример 1.

Намерете възли 121 $ и $ 132. $

$ 242 \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11

$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $

Изберете номера, които са включени в разлагането на тези номера

$ 242 \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11

$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $

Намерете продукта на номерата, намерени в стъпка 2. Броят е получен и ще бъде известният най-голям общ делител.

$ Node \u003d 2 cdot 11 \u003d 22 $

Пример 2.

Намерете възел на Homorals $ 63 $ и $ 81 $.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Разпространява номерата на прости мултипликатори

$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7

$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3

Изберете номерата, които са включени в разграждането на тези номера

$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7

$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3

Ще намерим продукт на номерата, намерени в стъпка 2. Полученият номер и ще бъде най-големият най-голям общ делител.

$ Node \u003d 3 cdot 3 \u003d 9 $

Възможно е да се намери възел от два числа по различен начин, като се използват многобройни разделители.

Пример 3.

Намерете номер 48 и $ 60 $.

Решение:

Ние намираме много делители на числото $ 48 $: $ \\ t (RM 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ t

Сега откриваме много делители на числото $ 60 $: $ \\ t (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ t

Ще намерим пресечната точка на тези комплекти: $ old ((1,2,3,4,6,12) надясно) $ - този комплект ще определи набор от общи делители от $ 48 и $ 60 $. Най-големият елемент в този комплект ще бъде броят от $ 12 $. Така че най-големият общ делител от $ 48 $ и $ 60 $ ще бъде $ 12 $.

Nok.

Определение 3.

Общи множество естествени числа $ a $ и $ b $ се нарича естествен номер, който е многократно и $ a $ и $ b $.

Общите множество номера се наричат \u200b\u200bномера, които са разделени на източник без остатък. Например, формира $ 25 и $ 50 $ 50 по често срещани многократни номера $ 50,100,150,200 $ и т.н.

Най-малката от общото множество ще бъде наречена най-малко обща многократна и е обозначена от NOC $ (A; B) $ или K $ (A; B). $

За да намерите NOC от две числа, имате нужда:

1. Диспечерски номера за прости фактори
2. Да запишете множителите в първия номер и да добавите множители с тях, които са част от втората и не отиват на първия

Пример 4.

Намиране на номера на NOC $ 99 $ и $ 77 $.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Диспечерски номера за прости фактори

$ 99 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 11

Да запишете множителите в първия

добавете мултипликатори с тях, които са част от втората и не отиват на първия

Намерете продукт на номера, намерен в стъпка 2. Номерът е получен и ще бъде желаният най-малък общ

$ Nok \u003d 3 cdot 3 cdot 11 cdot 7 \u003d $ 693

Изготвянето на списъци с разделители на числа често е много трудна професия. Има начин да се намери възел, наречен алгоритъм на евклидея.

Изявленията, на които е създаден алгоритъмът на EUCLID:

Ако $ a $ и $ b $ - представлява, и $ a vdots b $, след това $ d (a; b) \u003d b $

Ако $ a $ и $ b $ - представлява, така че $ b

Използване на $ d (a; b) \u003d d (a-b; b) $, човек може последователно да намали броя, докато не направим на такъв чифт числа, които един от тях е разделен на друг. Тогава по-малките от тези числа ще бъдат най-големият общ делител за номера $ a $ и $ b $.

Имоти Nod и Nok

1. Всички често срещани многократни номера $ и $ b $ е разделен на k $ (a; b) $
2. Ако $ a vdots b $, след това до $ (a; b) \u003d $

Ако до $ (a; b) \u003d k $ и $ m $--natural номер, след това до $ (am; bm) \u003d km $

Ако $ d $ - документален делител за $ a $ и $ b $, след това до ($ \\ t (A) (d); frac (b) (d) $) \u003d $ \\ t frac (k) (D ) $.

Ако $ a vdots c $ и $ b vdots c $, тогава $ frac (ab) (c) $ - общо няколко номера $ a $ и $ b $

За всички естествени числа се изпълняват $ и $ b $ равенство

$ D (a; b) ccot към (a; b) \u003d ab $

Всеки общ разделител на числа $ a $ и $ b $ е разделител на числото $ d (a; b) $

Да намеря най-малката обща болка (NOC) и най-голямото общо деление (NOD) Две числа използват нашия онлайн калкулатор:

Въведете номера: и
NOK:
Възел:

Определи

Просто въведете цифри и вземете резултата.

Как да намерим две номера на NOK

Най-малката сума (NOK) Две или повече номера са най-малкият брой, които могат да бъдат разделени във всеки от тези числа без остатък.

За да намерите най-малкото общо множествено (NOC) две числа, можете да използвате следния алгоритъм (степен 5):

1. И двата номера (първо най-голямото число).
2. Сравнете множество номера с по-малко мултипликатори. Ние подчертаваме всички мултипликатори с по-малък брой, които не са повече.
3. Добавете специалните мултипликатори с по-малък брой на множество грешки.
4. Ще намеря НОК, преместване на редица мултипликатори, получени в параграф 3.

Пример

Например, ние определяме номера на НОК 8 и 22 .

1) Отключване на прости фактори:

2) Разпределят всички множители от 8, които не са 22:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Добавете избраните множители от 8 до множители на 22-та:

NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2

4) Изчислете NOC:

NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2 \u003d 88

Как да намерим два номера

Най-големият общ разделител (възел) Две или повече числа са най-голямото естествено цяло число, на което тези цифри могат да бъдат разделени без остатък.

За да намерите най-големия общ делител (възел) на двата номера, първо трябва да ги разграждате на прости мултипликатори. След това трябва да разпределите общи фактори, които също са достъпни на първия номер и втората. Преместването им - това ще бъде възел. За да разберете по-добре алгоритъма, помислете за пример:

Пример

Например, ние определяме възлите 20 и 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

Възел (20.30) = 2⋅5 = 10