Задачата е да начертаете кръг с пергел. Видео урок „Кръг
§ 1 кръг. Основни понятия
В математиката има изречения, които обясняват значението на определено име или израз. Такива изречения се наричат определения.
Нека дефинираме понятието кръг. Кръгът е геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнина, разположени на дадено разстояние от дадена точка.
Тази точка, нека я наречем точка О, се нарича център на окръжността.
Отсечката, свързваща центъра с произволна точка от окръжността, се нарича радиус на окръжността. Има много такива сегменти, например OA, OB, OS. Всички те ще имат еднаква дължина.
Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда. MN е хордата на окръжността.
Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър. AB е диаметърът на окръжността. Диаметърът се състои от два радиуса, което означава, че дължината на диаметъра е два пъти радиуса. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжността я разделят на две части. Тези части се наричат дъги на окръжност.
ANB и AMB са кръгови дъги.
Частта от равнината, която е ограничена от окръжност, се нарича окръжност.
Компасът се използва за изобразяване на кръг в чертеж. Кръгът може да бъде начертан и на земята. За да направите това, просто използвайте въжето. Прикрепете единия край на въжето към колче, забито в земята, а с другия край опишете кръг.
§ 2 Конструкции с пергел и линийка
В геометрията много конструкции могат да се извършат само с пергел и линийка без мащабни деления.
С помощта само на линийка можете да начертаете произволна права, както и произволна права, минаваща през дадена точка, или права, минаваща през две дадени точки.
Компасът ви позволява да начертаете окръжност с произволен радиус, също окръжност с център в дадена точка и радиус, равен на даден сегмент.
Отделно всеки от тези инструменти дава възможност да се правят най-простите конструкции, но с помощта на тези два инструмента вече можете да извършвате по-сложни операции, напр.
решаване на строителни проблеми като напр
Постройте ъгъл, равен на даден,
Постройте триъгълник с дадени страни,
Разделете сегмента наполовина
През дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права и т.н.
Нека разгледаме проблема.
Задача: Върху даден лъч от началото му да се отдели отсечка, равна на дадената.
Дадени са лъч OS и отсечка AB. Необходимо е да се построи отсечка OD, равна на отсечката AB.
С помощта на компас построяваме окръжност с радиус, равен на дължината на отсечката AB, с център точка O. Тази окръжност ще пресече дадения лъч OS в точка D. Отсечката OD е търсената отсечка.
Списък на използваната литература:
- Геометрия. 7-9 клас: учебник. за общо образование организации / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М .: Образование, 2013. - 383 с.: ил.
- Гаврилова Н.Ф. Pourochnye развитие по геометрия 7 клас. - М.: "WAKO", 2004. - 288s. - (В помощ на училищния учител).
- Белицкая О.В. Геометрия. 7 клас. Част 1. Тестове. - Саратов: Лицей, 2014. - 64 с.
Окръжността е затворена крива линия, всяка точка от която е разположена на еднакво разстояние от една точка O, наречена център.
Наричат се прави линии, свързващи всяка точка от окръжност с нейния център радиусиР.
Нарича се права AB, свързваща две точки от окръжност и минаваща през нейния център O диаметърД.
Частите на окръжностите се наричат дъги.
Нарича се права CD, свързваща две точки от окръжност акорд.
Права MN, която има само една обща точка с окръжност, се нарича допирателна.
Частта от окръжност, ограничена от хорда CD и дъга, се нарича сегмент.
Частта от окръжност, ограничена от два радиуса и дъга, се нарича сектор.
Две взаимно перпендикулярни хоризонтална и вертикална права, пресичащи се в центъра на окръжност, се наричат кръгови оси.
Ъгълът, образуван от два радиуса на KOA, се нарича централен ъгъл.
две взаимно перпендикулярен радиуснаправете ъгъл от 90 0 и ограничете 1/4 от кръга.
Начертаваме кръг с хоризонтални и вертикални оси, които го разделят на 4 равни части. Начертани с пергел или квадрат на 45 0 две взаимно перпендикулярни линии разделят кръга на 8 равни части.
Разделяне на кръг на 3 и 6 равни части (кратни на 3 по три)
За да разделим окръжността на 3, 6 и кратни на тях, начертаваме окръжност с даден радиус и съответните оси. Делението може да започне от точката на пресичане на хоризонталната или вертикалната ос с кръга. Посоченият радиус на окръжността се отлага последователно 6 пъти. След това получените точки на окръжността се свързват последователно с прави линии и образуват правилен вписан шестоъгълник. Свързването на точки през една дава равностранен триъгълник и разделянето на кръга на три равни части.
Изграждането на правилен петоъгълник се извършва по следния начин. Начертаваме две взаимно перпендикулярни оси на кръга, равни на диаметъра на кръга. Разделете дясната половина на хоризонталния диаметър наполовина, като използвате дъгата R1. От получената точка "а" в средата на тази отсечка с радиус R2 начертаваме дъга от окръжност до пресичането й с хоризонталния диаметър в точка "b". Радиус R3 от точка "1" начертайте дъга от окръжност до пресечната точка с даден кръг (точка 5) и вземете страната на правилен петоъгълник. Разстоянието "b-O" дава страната на правилен десетоъгълник.
Разделяне на кръг на N-ти брой еднакви части (построяване на правилен многоъгълник с N страни)
Изпълнява се по следния начин. Начертаваме хоризонтални и вертикални взаимно перпендикулярни оси на кръга. От горната точка "1" на кръга начертаваме права линия под произволен ъгъл спрямо вертикалната ос. На него отделяме равни сегменти с произволна дължина, чийто брой е равен на броя на частите, на които разделяме дадения кръг, например 9. Свързваме края на последния сегмент с долната точка на вертикалния диаметър . Начертаваме линии, успоредни на получената от краищата на сегментите до пресечната точка с вертикалния диаметър, като по този начин разделяме вертикалния диаметър на дадения кръг на определен брой части. С радиус, равен на диаметъра на окръжността, от долната точка на вертикалната ос изчертаваме дъга MN до пресичането й с продължението на хоризонталната ос на окръжността. От точки M и N изчертаваме лъчи през четни (или нечетни) точки на разделяне на вертикалния диаметър, докато се пресекат с окръжността. Получените сегменти от кръга ще бъдат желаните, защото точки 1, 2, ... 9 разделете кръга на 9 (N) равни части.
Цели:
да консолидира понятията „кръг“, „кръг“ сред учениците; да се изведе понятието "радиус на окръжност"; научете се да изграждате окръжности с даден радиус; развиват способността да разсъждават, анализират.
Личен UUD:
да формират положително отношение към часовете по математика;
интерес към предметно-изследователска дейност;
Метапредметни задачи
Регулаторен UUD:
приемане и запазване на учебната задача;
намерете няколко решения в сътрудничество с учителя и класа;
Когнитивно UUD:
задаване и решаване на проблеми:
самостоятелно идентифициране и формулиране на проблема;
общо образование:
намерете необходимата информация в учебника;
изградете окръжност с даден радиус с помощта на пергел;
главоблъсканица:
да формира понятието "радиус";
класифицирам, сравнявам;
направете си собствени заключения;
Комуникативен UUD:
участват активно в екипна работа, използвайки речеви средства;
аргументирайте своята гледна точка;
Умения за предмети:
идентифицират съществените характеристики на понятията "радиус на окръжност";
изграждат кръгове с различни радиуси;
разпознават радиуси в чертеж.
По време на часовете
Мотивация за учебна дейност
- Да проверим дали всички са готови за урока?
„Емоционално влизане в урока“:
Усмихвай се като слънце.
Мръщи се като облаци
Плачи като дъжд
Изненадан, сякаш си видял дъга
Сега повтаряй след мен
Игра "Приятелско ехо"
2.Актуализиране на знанията
Устно броене
а) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13
Разгадайте шаблона. Продължете реда.
Отговор: 20, 48,30,46,40,44 50.42
б) Решете проблема:
1. През първия ден магазинът е продал 42 кг плодове, а през втория ден с 2 кг повече. Колко килограма са продадени през втория ден?
Какво трябва да се промени, така че задачата да се реши в 2 стъпки.
Топки - 16 бр.
Въжета за скачане - 28 бр.
Намерете решение на този проблем.
28-16 28+16
Променете въпроса така, че задачата да може да се реши чрез изваждане.
3. Постановка на учебната задача
1. Назовете геометричните фигури
Кръг обиколка овална топка
Коя фигура липсва?
Какво е общото между фигурите? (Кръг, обиколка, топка имат еднаква форма)
Каква е разликата?
2. В
Какви точки има на окръжността? Какви са точките извън кръга?
Какво означава точка О? (кръг център)
Какво е името на отсечката OB?
Колко радиуса могат да бъдат начертани в кръг?
Коя отсечка не е радиус? Защо?
Какъв може да бъде изводът?
Заключение: всички радиуси имат еднаква дължина .
3. Колко кръга има на снимката?
Как се различават кръговете? (размер)
Какво определя размера на кръга?
Какъв може да бъде изводът?
Извод: колкото по-голям е кръгът, толкова по-голям е неговият радиус.
Определете темата на урока.
Тема: Построяване на окръжност с даден радиус с помощта на пергел.
Какви задачи можем да си поставим за този урок?
4. Работа по темата
а) Построяване на кръг.
Какво трябва да знаете, за да начертаете кръг с даден размер?
Начертайте кръг с радиус 3 см.
б) Подготовка за дейности по проекта
1) Разгледайте чертежа 
От какви форми се състои пеперудата? Кръгове с еднакъв радиус?
2) Работа по двойки.
Възстановете реда на етапите над проекта.
Представяне или демонстрация на проекта
Намерение (да се направи скица)
Изградете фигури за изпълнение на плана
Помислете какъв радиус трябва да имат формите
в) Работа по проекта.
Работете по групи по съставения алгоритъм
При производството или обработката на дървени части в някои случаи се изисква да се определи къде се намира техният геометричен център. Ако частта има квадратна или правоъгълна форма, тогава това не е трудно да се направи. Достатъчно е да свържем противоположните ъгли с диагонали, които в същото време се пресичат точно в центъра на нашата фигура.
За продукти, които имат формата на кръг, това решение няма да работи, тъй като те нямат ъгли и следователно диагонали. В този случай е необходим друг подход, основан на други принципи.
И те съществуват, и то в много вариации. Някои от тях са доста сложни и изискват няколко инструмента, други са лесни за изпълнение и не изискват цял набор от устройства за изпълнението им.
Сега ще разгледаме един от най-лесните начини за намиране на центъра на кръг само с обикновена линийка и молив.
Последователността на намиране на центъра на кръга:
1. Първо, трябва да запомним, че хордата е права линия, свързваща две точки от окръжност, а не минаваща през центъра на окръжността. Изобщо не е трудно да го възпроизведете: просто трябва да поставите линийка върху кръг навсякъде, така че да пресича кръга на две места, и да начертаете права линия с молив. Сегмент вътре в кръг ще бъде хорда.По принцип може да се откаже от един акорд, но за да се увеличи точността на установяване на центъра на кръга, ще начертаем поне чифт или дори по-добре - 3, 4 или 5 акорда с различна дължина. Това ще ни позволи да изравним грешките на нашите конструкции и по-точно да се справим със задачата.
2. След това, използвайки същата линийка, намираме средните точки на акордите, които възпроизведохме. Например, ако общата дължина на една хорда е 28 см, тогава нейният център ще бъде в точка, която е на 14 см по права линия от пресечната точка на хордата с кръга.
След като определихме центровете на всички акорди по този начин, изчертаваме перпендикулярни линии през тях, използвайки например правоъгълен триъгълник.
3. Ако сега продължим тези линии перпендикулярно на хордите в посока към центъра на кръга, тогава те ще се пресичат приблизително в една точка, която ще бъде желаният център на кръга.
4. След като установим местоположението на центъра на нашия конкретен кръг, можем да използваме този факт за различни цели. Така че, ако поставите крака на дърводелския компас в тази точка, тогава можете да начертаете идеален кръг и след това да изрежете кръг, като използвате подходящия режещ инструмент и точката на центъра на кръга, която сме определили.
Нарича се изречение, което обяснява значението на определен израз или име определение. Вече се срещнахме с дефиниции, например с дефиницията на ъгъл, съседни ъгли, равнобедрен триъгълник и т.н. Нека дадем дефиниция на друга геометрична фигура - кръг.
Определение
Тази точка се нарича кръг център, а сегментът, свързващ центъра с произволна точка от окръжността, е радиус на кръга(фиг. 77). От определението за окръжност следва, че всички радиуси имат еднаква дължина.
Ориз. 77
Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича нейна хорда. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича нейна диаметър.
На фигура 78 отсечките AB и EF са хордите на окръжността, а отсечката CD е диаметърът на окръжността. Очевидно диаметърът на окръжност е два пъти неговия радиус. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Ориз. 78
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. На фигура 79 ALB и AMB са дъги, ограничени от точки A и B.
Ориз. 79
За да изобразите кръг в чертеж, използвайте компас(фиг. 80).
Ориз. 80
За да начертаете кръг на земята, можете да използвате въже (фиг. 81).
Ориз. 81
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича окръжност (фиг. 82).
Ориз. 82
Конструкции с пергел и линийка
Вече се занимавахме с геометрични конструкции: начертахме прави линии, отделихме отсечки, равни на дадени, начертахме ъгли, триъгълници и други фигури. В същото време използвахме мащабна линийка, пергел, транспортир, чертожен квадрат.
Оказва се, че много конструкции могат да се правят само с пергел и линейка без мащабни деления. Ето защо в геометрията се отделят специално онези задачи за конструиране, които се решават само с тези два инструмента.
Какво може да се направи с тях? Ясно е, че линийката позволява да се начертае произволна права, както и да се построи права, минаваща през две дадени точки. С помощта на компас можете да начертаете окръжност с произволен радиус, както и окръжност с център в дадена точка и радиус, равен на даден сегмент. Извършвайки тези прости операции, можем да решим много интересни строителни проблеми:
построяват ъгъл, равен на даден;
през дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права;
разделете този сегмент наполовина и други задачи.
Нека започнем с проста задача.
Задача
На даден лъч от началото му отделете отсечка, равна на дадената.
Решение
Нека изобразим фигурите, дадени в условието на проблема: лъча OS и сегмента AB (фиг. 83, а). След това с компас изграждаме окръжност с радиус AB с център O (фиг. 83, b). Тази окръжност ще пресече лъча OS в точка D. Отсечката OD е търсената.
Ориз. 83
Примери за изграждане на задачи
Построяване на ъгъл, равен на даден
Задача
Отделете от дадения лъч ъгъл, равен на дадения.
Решение
Този ъгъл с върха A и лъча OM са показани на фигура 84. Необходимо е да се построи ъгъл, равен на ъгъл A, така че едната му страна да съвпада с лъча OM.
Ориз. 84
Нека начертаем окръжност с произволен радиус с център във върха A на дадения ъгъл. Тази окръжност пресича страните на ъгъла в точки B и C (фиг. 85, а). След това начертаваме окръжност със същия радиус с център в началото на дадения лъч OM. Той пресича лъча в точка D (фиг. 85, b). След това построяваме окръжност с център D, чийто радиус е равен на BC. Окръжности с центрове O и D се пресичат в две точки. Нека означим една от тези точки с буквата E. Нека докажем, че ъгълът MOE е търсеният.
Ориз. 85
Да разгледаме триъгълниците ABC и ODE. Сегментите AB и AC са радиусите на окръжност с център A, а сегментите OD и OE са радиусите на окръжност с център O (виж фиг. 85, b). Тъй като по конструкция тези окръжности имат равни радиуси, то AB = OD, AC = OE. Също така, по конструкция, BC = DE.
Следователно Δ ABC = Δ ODE от трите страни. Следователно ∠DOE = ∠BAC, т.е. построеният ъгъл MOE е равен на дадения ъгъл A.
Същата конструкция може да се извърши и на земята, ако вместо компас използваме въже.
Построяване на ъглополовяща
Задача
Построете ъглополовящата на дадения ъгъл.
Решение
Този ъгъл BAC е показан на фигура 86. Нека начертаем окръжност с произволен радиус с център във върха A. Той ще пресича страните на ъгъла в точки B и C.
Ориз. 86
След това начертаваме две окръжности с еднакъв радиус BC с центрове в точки B и C (на фигурата са показани само части от тези окръжности). Те се пресичат в две точки, поне една от които лежи в ъгъла. Означаваме го с буквата E. Нека докажем, че лъчът AE е ъглополовяща на дадения ъгъл BAC.
Да разгледаме триъгълниците ACE и ABE. Те са равни от три страни. Всъщност AE е общата страна; AC и AB са равни като радиуси на една и съща окръжност; CE = BE по конструкция.
От равенството на триъгълниците ACE и ABE следва, че ∠CAE = ∠BAE, т.е. лъчът AE е ъглополовяща на дадения ъгъл BAC.
Коментирайте
Може ли даден ъгъл да бъде разделен на два равни ъгъла с помощта на пергел и линейка? Ясно е, че е възможно - за това трябва да начертаете ъглополовяща на този ъгъл.
Този ъгъл също може да бъде разделен на четири равни ъгъла. За да направите това, трябва да го разделите наполовина и след това да разделите всяка половина отново наполовина.
Възможно ли е да се раздели даден ъгъл на три равни ъгъла с помощта на пергел и линейка? Тази задача, т.нар проблеми с ъгловата трисекция, привлича вниманието на математиците в продължение на много векове. Едва през 19 век е доказано, че такава конструкция е невъзможна за произволен ъгъл.
Построяване на перпендикулярни линии
Задача
Дадени са права и точка върху нея. Построете права, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права.
Решение
Дадената права a и дадената точка M, принадлежащи на тази права, са показани на фигура 87.
Ориз. 87
На лъчите на правата линия a, излизаща от точката M, отделяме равни сегменти MA и MB. След това построяваме две окръжности с центрове A и B с радиус AB. Те се пресичат в две точки: P и Q.
Нека начертаем права през точката M и една от тези точки, например правата MP (виж фиг. 87), и докажем, че тази права е желаната, т.е. че е перпендикулярна на дадената права a .
Наистина, тъй като медианата PM на равнобедрен триъгълник PAB също е надморската височина, тогава PM ⊥ a.
Изграждане на средата на сегмента
Задача
Постройте средата на тази отсечка.
Решение
Нека AB е дадената отсечка. Построяваме две окръжности с центрове A и B с радиус AB. Те се пресичат в точки P и Q. Начертайте права PQ. Точката O на пресечната точка на тази права с отсечката AB е желаната среда на отсечката AB.
Действително, триъгълниците APQ и BPQ са равни по три страни, така че ∠1 = ∠2 (фиг. 89).
Ориз. 89
Следователно сегментът RO е ъглополовящата на равнобедрения триъгълник ARV, а оттам и медианата, т.е. точката O е средата на сегмента AB.
Задачи
143. Кои от сегментите, показани на фигура 90, са: а) хорди на окръжност; б) диаметрите на окръжността; в) радиусите на окръжност?
Ориз. 90
144. Отсечките AB и CD са диаметри на окръжност. Докажете, че: а) хордите BD и AC са равни; б) хордите AD и BC са равни; в) ∠ЛОШ = ∠BCD.
145. Отсечката MK е диаметър на окръжност с център O, а MR и RK са равни хорди на тази окръжност. Намерете ∠POM.
146. Отсечките AB и CD са диаметрите на окръжност с център O. Намерете обиколката на триъгълника AOD, ако е известно, че CB = 13 cm, AB = 16 cm.
147. На окръжност с център O са отбелязани точки A и B, така че ъгълът AOB да е прав. Отсечката BC е диаметърът на окръжността. Докажете, че хордите AB и AC са равни.
148. На права линия са дадени две точки A и B. В продължението на лъча BA отделете отсечката BC, така че BC \u003d 2AB.
149. Дадени са права a, точка B, която не лежи на нея, и отсечка PQ. Постройте точка M на правата a така, че BM = PQ. Проблемът винаги ли има решение?
150. Дадени са окръжност, точка A, която не лежи върху нея, и отсечка PQ. Построете точка M върху окръжността така, че AM = PQ. Проблемът винаги ли има решение?
151. Дадени са остър ъгъл BAC и лъч XY. Построете ъгъл YXZ така, че ∠YXZ = 2∠BAC.
152. Даден е тъп ъгъл AOB. Построете лъча OX така, че ъглите XOA и XOB да са равни тъпи ъгли.
153. Дадени са права a и точка M, която не лежи на нея. Построете права, минаваща през точка M и перпендикулярна на права a.
Решение
Да построим окръжност с център в дадена точка M, пресичаща дадена права a в две точки, които означаваме с буквите A и B (фиг. 91). След това построяваме две окръжности с центрове A и B, минаващи през точка M. Тези окръжности се пресичат в точка M и още една точка, която означаваме с буквата N. Нека начертаем правата MN и докажем, че тази права е желаната едно, т.е. тя е перпендикулярна на права линия a.
Ориз. 91
Наистина триъгълниците AMN и BMN са равни по три страни, така че ∠1 = ∠2. От това следва, че отсечката MC (C е пресечната точка на правите a и MN) е ъглополовяща на равнобедрения триъгълник AMB, а оттам и височината. Така MN ⊥ AB, т.е. MN ⊥ a.
154. Даден е триъгълник ABC. Построете: а) ъглополовящата AK; б) VM медиана; в) височината CH на триъгълника. 155. С помощта на пергел и линийка начертайте ъгъл, равен на: а) 45°; б) 22°30".
Отговори на задачи
152. Инструкция. Първо построете ъглополовящата на ъгъл AOB.
Зареждане...