Доказателство за пропорционални отсечки в триъгълник. Урок "Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник"

Признак за подобие на правоъгълни триъгълници

Нека първо въведем знака за подобие на правоъгълни триъгълници.

Теорема 1

Признак за подобие на правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат по един равен остър ъгъл (фиг. 1).

Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници

Доказателство.

Нека ни е дадено, че $\angle B=\angle B_1$. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Следователно те са подобни според първия признак на подобието на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Теорема за височината в правоъгълен триъгълник

Теорема 2

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник.

Доказателство.

Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Начертайте височината $CD$ (фиг. 2).

Фигура 2. Илюстрация на теорема 2

Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.

Тъй като $\angle ADC=(90)^0$, триъгълникът $ACD$ е правоъгълен. Триъгълниците $ACD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $A$, следователно по Теорема 1 триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни.

Тъй като $\angle BDC=(90)^0$, триъгълникът $BCD$ е правоъгълен. Триъгълниците $BCD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $B$, следователно по Теорема 1 триъгълниците $BCD$ и $ABC$ са подобни.

Помислете сега за триъгълниците $ACD$ и $BCD$

\[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]

Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.

Теоремата е доказана.

Средно пропорционално

Теорема 3

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална стойност за сегментите, на които височината разделя хипотенузата на този триъгълник.

Доказателство.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни, следователно

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и сегмента от хипотенузата, ограден между катета и височината, изтеглена от върха на ъгъла.

Доказателство.

В доказателството на теоремата ще използваме нотацията от Фигура 2.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни, следователно

Теоремата е доказана.

Урок 40 C. b. а. ч. В. пр.н.е. H. ac. А. В. Височината на правоъгълен триъгълник, изведена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на 2 подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на даден триъгълник. Признак за подобие на правоъгълни триъгълници. Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако всеки има еднакъв остър ъгъл. Отсечката XY се нарича средна пропорционална (средна геометрична) за отсечките AB и CD, ако свойство 1. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална между проекциите на катетите върху хипотенузата. Свойство 2. Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата.

Слайд 28от презентацията "Геометрия "Подобни триъгълници"". Размерът на архива с презентацията е 232 KB.

Геометрия 8 клас

резюме на други презентации

"Решение на задачи по Питагоровата теорема" - Триъгълник ABC равнобедрен. Практическо приложение на Питагоровата теорема. ABCD е четириъгълник. Квадратна площ. Намери слънце. Доказателство. Основи на равнобедрен трапец. Помислете за Питагоровата теорема. Площ на четириъгълник. Правоъгълни триъгълници. Питагорова теорема. Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

"Намиране на площта на успоредник" - Основа. Височина. Определяне на височината на успоредник. Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници. Площта на успоредник. Намерете площта на триъгълника. Имоти на площта. устни упражнения. Намерете площта на успоредника. Височини на успоредник. Намерете периметъра на квадрата. Площ на триъгълник. Намерете площта на квадрата. Намерете площта на правоъгълника. Квадратна площ.

“Квадрат 8 клас” - Черен квадрат. Задачи за устна работа около периметъра на квадрата. Квадратна площ. Квадратни знаци. Площадът е сред нас. Квадратът е правоъгълник с равни страни. Квадрат. Чанта с квадратна основа. устни задачи. Колко квадрата са показани на снимката. Квадратни имоти. Богат търговец. Задачи за устна работа върху площта на квадрата. Периметърът на квадрат.

"Дефиниция на аксиална симетрия" - Точки, лежащи на един и същи перпендикуляр. Начертайте две линии. Строителство. Парцел точки. Улика. Фигури, които нямат аксиална симетрия. Линеен сегмент. Липсващи координати. Фигура. Форми, които имат повече от две оси на симетрия. Симетрия. Симетрия в поезията. Изградете триъгълници. Оси на симетрия. Изграждане на сегмент. Изграждане на точка. Фигури с две оси на симетрия. Народи. Триъгълници. Пропорционалност.

„Определяне на подобни триъгълници“ – Многоъгълници. пропорционални съкращения. Съотношението на площите на подобни триъгълници. Два триъгълника се наричат подобни. Условия. Построете триъгълник с два ъгъла и ъглополовяща във върха. Да предположим, че трябва да определим разстоянието до полюса. Третият знак за сходството на триъгълниците. Нека построим триъгълник. ABC. Триъгълниците ABC и ABC имат три равни страни. Определяне на височината на обект.

"Решение на Питагоровата теорема" - Части от прозорци. Най-простото доказателство. Хамурапи. Диагонал. Пълно доказателство. Доказателство чрез изваждане. Питагорейци. Доказателство чрез метод на разлагане. История на теоремата. Диаметър. Доказателство по метода на допълнението. Доказателството на Епщайн. Кантор. Триъгълници. последователи. Приложения на Питагоровата теорема. Питагорова теорема. Изложение на теоремата. Доказателство за Perigal. Приложение на теоремата.

Цели на урока:

въведе понятието средна пропорционална (средна геометрична) на две отсечки;
разгледайте проблема с пропорционалните сегменти в правоъгълен триъгълник: свойство на височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл;
да формират уменията на учениците да използват изучаваната тема в процеса на решаване на проблеми.

Тип урок:уроци изучаване на нов материал.

план:

Организационен момент.
Актуализация на знанията.
Изучаване на свойството на височината на правоъгълен триъгълник, изтеглен от върха на прав ъгъл:
- подготвителен етап;
- Въведение;
- асимилация.
Въвеждане на понятието средна пропорционална на две отсечки.
Усвояване на концепцията за средната пропорционална част на две отсечки.
Доказателство за последствията:
- височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална стойност между сегментите, на които е разделена хипотенузата от тази височина;
- катет на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, оградена между катета и височината.
Разрешаване на проблем.
Обобщаване.
Поставяне на домашна работа.

По време на часовете

I. ОРГАНИЗАЦИЯ

Здравейте момчета, седнете. Всички готови ли са за урока?

Започваме работа.

II. АКТУАЛИЗИРАНЕ НА ЗНАНИЯТА

Каква важна математическа концепция научихте в предишните уроци? ( с концепцията за подобие на триъгълник)

- Да си припомним кои два триъгълника се наричат подобни? (два триъгълника се наричат подобни, ако ъглите им са съответно равни и страните на единия триъгълник са пропорционални на подобните страни на другия триъгълник)

Какво използваме, за да докажем сходството на два триъгълника? (

- Избройте тези знаци. (формулирайте три признака на подобие на триъгълници)

III. ИЗСЛЕДВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ВИСОЧИНАТА НА ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК, ИЗВЪРШЕН ОТ ВЪРХА НА ПРАВ ЪГЪЛ

а) подготвителен етап

- Момчета, моля, вижте първия слайд. ( Приложение) Ето два правоъгълни триъгълника - и . и са височините и, съответно. .

Задача 1. а)Определете дали и са подобни.

Какво използваме, за да докажем сходството на триъгълници? ( признаци на подобие на триъгълници)

(първият знак, тъй като нищо не се знае за страните на триъгълниците в задачата)

. (Две двойки: 1. ∟B= ∟B1 (прави линии), 2. ∟A= ∟A 1)

- Направете заключение. ( по първия признак на подобие на триъгълници ~)

Задача 1. б)Определете дали и са подобни.

Какъв критерий за сходство ще използваме и защо? (първият знак, защото в задачата не се знае нищо за страните на триъгълниците)

Колко двойки равни ъгли трябва да намерим? Намерете тези двойки (тъй като триъгълниците са правоъгълни, една двойка равни ъгли е достатъчна: ∟A= ∟A 1)

- Направете заключение. (по първия знак за подобие на триъгълниците заключаваме, че тези триъгълници са подобни).

В резултат на разговора слайд 1 изглежда така:

б) откриване на теоремата

Задача 2.

Определете дали и , и са подобни. В резултат на разговора се изграждат отговори, които се отразяват на слайда.

- Фигурата показва, че . Използвахме ли тази градусна мярка, когато отговаряхме на въпросите на задачите? ( Не, не се използва)

- Момчета, направете заключение: на кои триъгълници височината, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя правоъгълния триъгълник? (направете заключение)

- Възниква въпросът дали тези два правоъгълни триъгълника, на които височината разделя правоъгълния триъгълник, ще бъдат подобни един на друг? Нека се опитаме да намерим двойки равни ъгли.

В резултат на разговора се изгражда запис:

- А сега нека направим пълно заключение. ( ЗАКЛЮЧЕНИЕ: височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобен

- Че. формулирахме и доказахме теорема за свойството на височината на правоъгълен триъгълник.

Нека да установим структурата на теоремата и да направим чертеж. Какво е дадено в теоремата и какво трябва да се докаже? Учениците пишат в тетрадките си:

Нека докажем първата точка от теоремата за новия чертеж. Какъв критерий за сходство ще използваме и защо? (Първо, тъй като нищо не се знае за страните на триъгълниците в теоремата)

Колко двойки равни ъгли трябва да намерим? Намерете тези двойки. (В този случай една двойка е достатъчна: ∟A-общо)

- Направете заключение. Триъгълниците са подобни. В резултат на това е показан пример за формулиране на теоремата

- Напишете втората и третата точка у дома сами.

в) усвояване на теоремата

- И така, формулирайте теоремата отново (Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобенправоъгълни триъгълници, всеки от които е подобен на този)

- Колко двойки подобни триъгълници в конструкцията "в правоъгълен триъгълник височината от върха на прав ъгъл" могат да бъдат намерени по тази теорема? ( Три двойки)

Студентите получават следната задача:

IV. ВЪВЕДЕНИЕ НА КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СРЕДНАТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ НА ДВЕ ПРАВИ

Сега ще научим нова концепция.

внимание!

Определение.Линеен сегмент XYНаречен средно пропорционално (средно геометрично)между сегментите ABи CD, ако

(запишете в тетрадката).

V. АСОЦИАЦИЯ НА КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СРЕДНАТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ НА ДВЕ ЛИНИИ

Сега да преминем към следващия слайд.

Упражнение 1.Намерете дължината на средните пропорционални отсечки MN и KP, ако MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Какво е дадено в задачата? ( Две отсечки и техните дължини: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Какво трябва да намерите? ( Дължината на средната пропорционална част на тези сегменти)

- Каква е формулата за средната пропорционална стойност и как я намираме?

(Ние заместваме данните във формулата и намираме дължината на средната опора.)

Задача номер 2.Намерете дължината на отсечката AB, ако средната пропорционална част на отсечките AB и CD е 90 cm и CD = 100 cm

- Какво е дадено в задачата? (дължината на отсечката CD = 100 cm, а средната пропорционална част на отсечките AB и CD е 90 cm)

Какво трябва да се намери в проблема? ( Дължина на сегмент AB)

- Как ще решим проблема? (Нека да запишем формулата за средните пропорционални отсечки AB и CD, да изразим дължината на AB от нея и да заместим данните от задачата.)

VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Браво момчета. А сега да се върнем към подобието на триъгълниците, доказано от нас в теоремата. Повторете теоремата. ( Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобенправоъгълни триъгълници, всеки от които е подобен на даден)

- Нека първо използваме подобието на триъгълници и . Какво следва от това? ( По дефиниция за подобие, страните са пропорционални на подобни страни)

- Какво равенство ще се получи при използване на основното свойство на пропорцията? ()

– Express CD и направете заключение (;.

Заключение: височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална стойност между сегментите, на които е разделена хипотенузата от тази височина)

- А сега докажете сами, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална част между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между катета и височината.Намираме от - ... отсечките, на които е разделена хипотенузата от тази височина )

Кракът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между ... (- ... хипотенузата и отсечката от хипотенузата, оградена между този катет и височината )

– Къде прилагаме научените твърдения? ( При решаване на проблеми)

IX. ПОСТАВЯНЕ НА ДОМАШНА РАБОТА

d/z:№ 571, № 572 (а, д), самостоятелна работа в тетрадка, теория.

Днес вашето внимание е поканено на още една презентация на една невероятна и мистериозна тема – геометрията. В тази презентация ще ви запознаем с ново свойство на геометричните фигури, по-специално концепцията за пропорционални сегменти в правоъгълни триъгълници.

Първо трябва да запомните какво е триъгълник? Това е най-простият многоъгълник, състоящ се от три върха, свързани с три сегмента. Правоъгълен триъгълник е триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса. Вече сте се запознали с тях по-подробно в предишните ни учебни материали, представени на вашето внимание.

И така, връщайки се към днешната ни тема, ние означаваме, че височината на правоъгълен триъгълник, начертан от ъгъл от 90 градуса, го разделя на два триъгълника, които са подобни един на друг и на оригиналния. Всички чертежи и графики, които ви интересуват, са дадени в предложената презентация и ви препоръчваме да ги разгледате, придружавайки описаното обяснение.

Графичен пример на горната теза може да се види на втория слайд. Триъгълниците са подобни, защото имат два еднакви ъгъла. Ако посочите по-подробно, тогава височината, спусната до хипотенузата, образува прав ъгъл с нея, тоест вече има еднакви ъгли и всеки от образуваните ъгли също има един общ ъгъл като началния. Резултатът е два равни ъгъла. Тоест триъгълниците са подобни.

Нека също да посочим какво означава понятието „средно пропорционално“ или „средно геометрично“? Това е определен XY сегмент за сегменти AB и CD, когато е равен на корен квадратен от произведението на техните дължини.

От което също следва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната геометрична стойност между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата, тоест другия катет.

Друго свойство на правоъгълния триъгълник е, че неговата височина, изчертана от ъгъл 90 o, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата. Ако се обърнете към представената на вашето внимание презентация и други материали, ще видите, че има доказателство за тази теза в много проста и достъпна форма. По-рано вече доказахме, че получените триъгълници са подобни един на друг и на оригиналния триъгълник. След това, използвайки съотношението на катетите на тези геометрични фигури, стигаме до извода, че височината на правоъгълен триъгълник е право пропорционална на квадратния корен от произведението на сегментите, образувани в резултат на намаляване на височината от прав ъгъл на оригиналния триъгълник.

Последното в презентацията е, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната геометрична стойност за хипотенузата и нейната отсечка, разположена между катета и височината, прекарана от ъгъл, равен на 90 градуса. Този случай трябва да се разглежда от страна, че тези триъгълници са подобни един на друг, а кракът на единия от тях се получава от хипотенузата на другия. Но ще се запознаете с това по-подробно, като проучите предложените материали.

Признак за подобие на правоъгълни триъгълници

Нека първо въведем знака за подобие на правоъгълни триъгълници.

Теорема 1

Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници

Доказателство.

Теоремата е доказана.

Теорема за височината в правоъгълен триъгълник

Теорема 2

Доказателство.

Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Начертайте височината $CD$ (фиг. 2).

Фигура 2. Илюстрация на теорема 2

Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.

Помислете сега за триъгълниците $ACD$ и $BCD$

\[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]

Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.

Теоремата е доказана.

Средно пропорционално

Теорема 3

Доказателство.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни, следователно

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Доказателство.

В доказателството на теоремата ще използваме нотацията от Фигура 2.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни, следователно

Теоремата е доказана.