В геометрията често се разглежда понятието „връх на триъгълник“. Това е пресечната точка на двете страни на дадена фигура. Тази концепция се появява в почти всеки проблем, така че има смисъл да я разгледаме по-подробно.

Определяне на върха на триъгълник

В триъгълника има три точки, където страните се пресичат, образувайки три ъгъла. Те се наричат ​​върхове, а страните, на които се опират, се наричат ​​страни на триъгълника.

Ориз. 1. Връх в триъгълник.

Върховете в триъгълниците са отбелязани с главни букви. Затова най-често в математиката страните се означават с две главни латински букви, след имената на върховете, които влизат в страните. Например страната AB е страната на триъгълник, свързващ върховете A и B.

Ориз. 2. Обозначаване на върхове в триъгълник.

Характеристики на понятието

Ако вземем триъгълник, произволно ориентиран в равнина, тогава на практика е много удобно да изразим неговите геометрични характеристики чрез координатите на върховете на тази фигура. По този начин връх A на триъгълник може да бъде изразен като точка с определени числени параметри A(x; y).

Познавайки координатите на върховете на триъгълника, можете да намерите пресечните точки на медианите, дължината на височината, спусната до една от страните на фигурата, и площта на триъгълника.

За целта се използват свойствата на векторите, изобразени в декартовата координатна система, тъй като дължината на страната на триъгълника се определя чрез дължината на вектора с точките, в които са разположени съответните върхове на тази фигура.

Използване на върха на триъгълник

За всеки връх на триъгълник можете да намерите ъгъл, който ще бъде съседен на вътрешния ъгъл на въпросната фигура. За да направите това, ще трябва да разширите една от страните на триъгълника. Тъй като във всеки връх има две страни, във всеки връх има два външни ъгъла. Външен ъгъл е равен на сумата от два вътрешни ъгъла на триъгълник, които не са съседни на него.

Ориз. 3. Свойство на външния ъгъл на триъгълник.

Ако построите два външни ъгъла на един връх, те ще бъдат равни, като вертикалните.

Какво научихме?

Една от важните геометрични концепции, когато разглеждаме различни видове триъгълници, е върхът. Това е точката, в която се пресичат двете страни на ъгъла на дадена геометрична фигура. Обозначава се с една от главните букви на латинската азбука. Върхът на триъгълник може да бъде изразен чрез координати x и y, това помага да се определи дължината на страната на триъгълника като дължина на вектор.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.2. Общо получени оценки: 153.

Как да се научим да решаваме задачи по аналитична геометрия?
Типична задача с триъгълник на равнина

Този урок е създаден върху подхода към екватора между геометрията на равнината и геометрията на пространството. В момента има нужда от систематизиране на натрупаната информация и отговор на един много важен въпрос: как да се научите да решавате задачи в аналитичната геометрия?Трудността е, че можете да измислите безкраен брой задачи по геометрия и нито един учебник няма да съдържа цялото множество и разнообразие от примери. Не е производна на функцияс пет правила за разграничаване, таблица и няколко техники...

Има решение! Няма да говоря на висок глас за факта, че съм разработил някаква грандиозна техника, но според мен има ефективен подход към разглеждания проблем, който позволява дори на пълен манекен да постигне добри и отлични резултати. Поне общият алгоритъм за решаване на геометрични задачи се оформи много ясно в главата ми.

КАКВО ТРЯБВА ДА ЗНАЕТЕ И МОЖЕТЕ
за успешно решаване на геометрични задачи?

От това няма спасение - за да не бъркате безразборно в бутоните с носа си, трябва да овладеете основите на аналитичната геометрия. Ето защо, ако току-що сте започнали да изучавате геометрия или напълно сте я забравили, моля, започнете с урока Вектори за манекени. В допълнение към векторите и действията с тях, трябва да знаете основните понятия на равнинната геометрия, по-специално, уравнение на права в равнинаИ . Геометрията на пространството е представена в статии Уравнение на равнината, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права и равнина и някои други уроци. Извитите линии и пространствените повърхности от втори ред стоят малко отделно и няма толкова много специфични проблеми с тях.

Да приемем, че студентът вече има основни знания и умения за решаване на най-простите задачи на аналитичната геометрия. Но това се случва така: четете формулировката на проблема и... искате да затворите цялото нещо, да го хвърлите в далечния ъгъл и да го забравите, като лош сън. Освен това това принципно не зависи от нивото на вашата квалификация; от време на време самият аз се натъквам на задачи, чието решение не е очевидно. Какво да правим в такива случаи? Няма нужда да се страхувате от задача, която не разбирате!

Първо, трябва да се инсталира - Това „плосък“ или пространствен проблем ли е?Например, ако условието включва вектори с две координати, тогава, разбира се, това е геометрията на равнина. И ако учителят зареди благодарния слушател с пирамида, тогава очевидно има геометрия на пространството. Резултатите от първата стъпка вече са доста добри, защото успяхме да отсечем огромно количество ненужна за тази задача информация!

Второ. Състоянието обикновено ще ви занимава с някаква геометрична фигура. Наистина, разходете се по коридорите на родния си университет и ще видите много угрижени лица.

В „плоските“ задачи, да не говорим за очевидните точки и линии, най-популярната фигура е триъгълник. Ще го анализираме много подробно. Следва успоредникът, а много по-рядко се срещат правоъгълник, квадрат, ромб, кръг и други форми.

В пространствени задачи могат да летят едни и същи плоски фигури + самите самолети и обикновени триъгълни пирамиди с паралелепипеди.

Въпрос втори - Знаете ли всичко за тази фигура?Да предположим, че условието говори за равнобедрен триъгълник и вие много смътно си спомняте какъв вид триъгълник е това. Отваряме учебник и четем за равнобедрен триъгълник. Какво да правя... докторът каза ромб, значи ромб. Аналитичната геометрия си е аналитична геометрия, но проблемът ще се реши от геометричните свойства на самите фигури, познати ни от училищната програма. Ако не знаете каква е сумата от ъглите на триъгълник, можете да страдате дълго време.

трето. ВИНАГИ се опитвайте да следвате чертежа(на чернова/финално копие/мислено), дори ако това не се изисква от условието. В „плоските“ проблеми самият Евклид нареди да вземе линийка и молив - и не само за да разбере условието, но и за целите на самопроверката. В този случай най-удобният мащаб е 1 единица = 1 см (2 клетки от тетрадка). Да не говорим за невнимателни студенти и математици, които се въртят в гробовете си - в такива задачи е почти невъзможно да се сгреши. За пространствени задачи изпълняваме схематичен чертеж, който също ще помогне за анализ на състоянието.

Чертеж или схематичен чертеж често ви позволяват незабавно да видите начина за решаване на проблем. Разбира се, за това трябва да знаете основите на геометрията и да разбирате свойствата на геометричните фигури (вижте предишния параграф).

Четвърто. Разработване на алгоритъм за решение. Много геометрични задачи са многоетапни, така че решението и неговият дизайн са много удобни за разбиване на точки. Често алгоритъмът веднага идва на ум, след като прочетете условието или завършите чертежа. При затруднения започваме с ВЪПРОСА на задачата. Например, според условието „трябва да построите права линия...“. Тук най-логичният въпрос е: „Какво е достатъчно да знаете, за да построите тази права линия?“ Да предположим, че „знаем точката, трябва да знаем вектора на посоката.“ Задаваме следния въпрос: „Как да намерим този вектор на посоката? Където?" и т.н.

Понякога има „бъг“ - проблемът не е решен и това е всичко. Причините за спирането могат да бъдат следните:

– Сериозен пропуск в основните познания. С други думи, вие не знаете и/или не виждате някакво много просто нещо.

– Непознаване на свойствата на геометричните фигури.

– Задачата беше трудна. Да, случва се. Няма смисъл да париш с часове и да събираш сълзи в носна кърпа. Потърсете съвет от вашия учител, състуденти или задайте въпрос във форума. Освен това е по-добре да направите изявлението си конкретно - за тази част от решението, която не разбирате. Вик под формата на "Как да реша проблема?" не изглежда много добре... и преди всичко за собствената ви репутация.

Етап пети. Решаваме-проверяваме, решаваме-проверяваме, решаваме-проверяваме-даваме отговор. Полезно е да проверите всяка точка от задачата веднага след завършването му. Това ще ви помогне незабавно да забележите грешката. Естествено, никой не забранява бързото решаване на целия проблем, но съществува риск от пренаписване на всичко отново (често няколко страници).

Това са може би всички основни съображения, които трябва да се следват при решаването на проблеми.

Практическата част на урока е представена в равнинна геометрия. Ще има само два примера, но няма да изглежда достатъчно =)

Нека да преминем през нишката на алгоритъма, който току-що разгледах в моята малка научна работа:

Пример 1

Дадени са три върха на успоредник. Намерете върха.

Нека започнем да разбираме:

Първа стъпка: Очевидно е, че говорим за „плосък“ проблем.

Стъпка втора: Задачата се занимава с успоредник. Всички ли си спомнят тази фигура успоредник? Няма нужда да се усмихвате, много хора получават образованието си на 30-40-50 и повече години, така че дори простите факти могат да бъдат изтрити от паметта. Дефиницията на успоредник се намира в пример № 3 от урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите.

Стъпка трета: Нека направим чертеж, на който маркираме три известни върха. Странно е, че не е трудно веднага да се изгради желаната точка:

Конструирането му, разбира се, е добро, но решението трябва да бъде формулирано аналитично.

Стъпка четвърта: Разработване на алгоритъм за решение. Първото нещо, което идва на ум е, че точка може да се намери като пресечна точка на прави. Ние не знаем техните уравнения, така че ще трябва да се справим с този проблем:

1) Противоположните страни са успоредни. По точки Нека намерим насочващия вектор на тези страни. Това е най-простият проблем, който беше обсъждан в клас. Вектори за манекени.

Забележка: по-правилно е да се каже „уравнението на права, съдържаща страна“, но тук и по-нататък за краткост ще използвам изразите „уравнение на страна“, „насочващ вектор на страна“ и т.н.

3) Противоположните страни са успоредни. Използвайки точките, намираме вектора на посоката на тези страни.

4) Нека създадем уравнение на права линия с помощта на точка и насочващ вектор

В параграфи 1-2 и 3-4 всъщност решихме една и съща задача два пъти; между другото, тя беше обсъдена в пример № 3 от урока Най-прости задачи с права на равнина. Възможно е да се поеме по-дълъг маршрут - първо да се намерят уравненията на линиите и едва след това да се „извадят“ векторите на посоката от тях.

5) Сега уравненията на линиите са известни. Остава само да се състави и реши съответната система от линейни уравнения (виж примери № 4, 5 от същия урок Най-прости задачи с права на равнина).

Точката е намерена.

Задачата е съвсем проста и решението й е очевидно, но има по-кратък път!

Второ решение:

Диагоналите на успоредник се делят на две от пресечната си точка. Отбелязах точката, но за да не претрупам чертежа, не начертах самите диагонали.

Нека създадем уравнение за страната точка по точка:

За да проверите, трябва мислено или на чернова да замените координатите на всяка точка в полученото уравнение. Сега нека намерим наклона. За да направим това, пренаписваме общото уравнение под формата на уравнение с коефициент на наклон:

Така наклонът е:

По същия начин намираме уравненията на страните. Не виждам много смисъл да описвам едно и също нещо, така че веднага ще дам крайния резултат:

2) Намерете дължината на страната. Това е най-простият проблем, разгледан в класа. Вектори за манекени. За точки използваме формулата:

С помощта на същата формула е лесно да се намерят дължините на другите страни. Проверката може да се направи много бързо с обикновена линийка.

Използваме формулата .

Нека намерим векторите:

По този начин:

Между другото, по пътя намерихме дължините на страните.

Като резултат:

Е, изглежда е вярно, за да сте убедителни, можете да прикрепите транспортир към ъгъла.

внимание! Не бъркайте ъгъла на триъгълник с ъгъла между прави линии. Ъгълът на триъгълника може да бъде тъп, но ъгълът между прави линии не може (вижте последния параграф на статията Най-прости задачи с права на равнина). Въпреки това, за да намерите ъгъла на триъгълник, можете също да използвате формулите от горния урок, но грубостта е, че тези формули винаги дават остър ъгъл. С тяхна помощ реших този проблем в чернова и получих резултата. И на окончателното копие ще трябва да напиша допълнителни извинения, че .

4) Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата.

Типова задача, разгледана подробно в пример No2 от урока Най-прости задачи с права на равнина. От общото уравнение на правата Нека извадим водещия вектор. Нека създадем уравнение на права линия, използвайки точка и вектор на посоката:

Как да намерим височината на триъгълник?

5) Нека съставим уравнение за височината и да намерим нейната дължина.

Няма бягство от строгите дефиниции, така че ще трябва да крадете от училищен учебник:

Височина на триъгълник се нарича перпендикулярът, прекаран от върха на триъгълника към правата, съдържаща срещуположната страна.

Тоест, необходимо е да се създаде уравнение за перпендикуляр, изтеглен от върха към страната. Тази задача е разгледана в примери № 6, 7 от урока Най-прости задачи с права на равнина. От ур. премахнете нормалния вектор. Нека съставим уравнението на височината, като използваме точка и вектор на посоката:

Моля, обърнете внимание, че не знаем координатите на точката.

Понякога уравнението на височината се намира от съотношението на ъгловите коефициенти на перпендикулярни линии: . В този случай тогава: . Нека съставим уравнението на височината с помощта на точка и ъглов коефициент (вижте началото на урока Уравнение на права на равнина):

Дължината на височината може да се намери по два начина.

Има заобиколен път:

а) намери – пресечната точка на височина и страна;
б) намерете дължината на отсечката, като използвате две известни точки.

Но в час Най-прости задачи с права на равнинабеше разгледана удобна формула за разстоянието от точка до права. Точката е известна: , уравнението на правата също е известно: , По този начин:

6) Изчислете площта на триъгълника. В космоса площта на триъгълника традиционно се изчислява с помощта векторно произведение на вектори, но тук ни е даден триъгълник на равнина. Използваме училищната формула:
– Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата основа и неговата височина.

В такъв случай:

Как да намерим медианата на триъгълник?

7) Нека създадем уравнение за медианата.

Медиана на триъгълник нарича сегмент, свързващ върха на триъгълник със средата на противоположната страна.

а) Намерете точката – средата на страната. Ние използваме формули за координатите на средата на отсечка. Координатите на краищата на сегмента са известни: , след това координатите на средата:

По този начин:

Нека съставим уравнението на медианата точка по точка :

За да проверите уравнението, трябва да замените координатите на точките в него.

8) Намерете пресечната точка на височината и медианата. Мисля, че всички вече са се научили как да изпълняват този елемент от фигурното пързаляне, без да падат:

ГлаваV. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ НА РАВНОСТТА

И В КОСМОСА

Разделът включва задачи, които се разглеждат в темата „Аналитична геометрия в равнината и в пространството“: съставяне на различни уравнения на прави в равнината и в пространството; определяне взаимното разположение на прави в равнина, прави, права и равнина, равнини в пространството; изображение на криви от втори ред. Трябва да се отбележи, че този раздел представя задачи с икономическо съдържание, чието решаване използва информация от аналитичната геометрия на равнина.

При решаване на задачи по аналитична геометрия е препоръчително да се използват учебници от следните автори: D.V. Клетника, Н. Ш. Кремер, Д.Т. Написано от V.I. Малихина, защото Тази литература обхваща по-широк кръг от задачи, които могат да се използват за самостоятелно обучение по тази тема. Приложението на аналитичната геометрия за решаване на икономически проблеми е представено в образователни публикации от M.S. Крас и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Дадени са координатите на върховете на триъгълникаABC . Необходимо

а) напишете уравненията на страните на триъгълника;

б) напишете уравнението на височината на триъгълник, изтеглен от върхаСЪС от странатаAB и намерете дължината му;

в) напишете уравнението на медианата на триъгълник, изтеглена от върхаIN от странатаAC ;

г) намерете ъглите на триъгълника и установете вида му (правоъгълен, остроъгълен, тъп);

д) намерете дължините на страните на триъгълника и определете вида му (мащабен, равнобедрен, равностранен);

д) намерете координатите на центъра на тежестта (точката на пресичане на медианите) на триъгълникаABC ;

ж) намерете координатите на ортоцентъра (точката на пресичане на височините) на триъгълникаABC .

За всяка от точките а) – в) от решението направете чертежи в координатна система. На снимките отбележете линиите и точките, съответстващи на точките от задачата.

Пример 5.1

Дадени са координатите на върховете на триъгълникаABC : . Необходимо е а) да се напишат уравненията на страните на триъгълника; б) напишете уравнението на височината на триъгълник, изтеглен от върха СЪС от странатаAB и намерете дължината му; в) напишете уравнението на медианата на триъгълник, изтеглена от върхаIN от странатаAC ; г) намерете дължините на страните на триъгълника и определете вида му (мащабен, равнобедрен, равностранен); д) намерете ъглите на триъгълника и установете вида му (правоъгълен, остър, тъп); д) намерете координатите на центъра на тежестта (точката на пресичане на медианите) на триъгълника ABC ; ж) намерете координатите на ортоцентъра (точката на пресичане на височините) на триъгълникаABC .

Решение

а)За всяка страна на триъгълника са известни координатите на две точки, които лежат на търсените прави, което означава, че уравненията на страните на триъгълника са уравненията на прави, минаващи през две дадени точки

,

Където
И
съответните координати на точките.

Така, замествайки координатите на точките, съответстващи на правите във формула (5.1), получаваме

,
,
,

откъдето след трансформации записваме уравненията на страните

На фиг. 7 изобразяваме съответните страни на триъгълника
прав.

Отговор:

б)Позволявам
– височина, изтеглена от върха от страната
. Тъй като
минава през точка перпендикулярен на вектора
, тогава ще съставим уравнението на правата линия, използвайки следната формула

Където
– координати на вектора, перпендикулярен на желаната линия,
– координати на точка, принадлежаща на тази права. Намерете координатите на вектора, перпендикулярен на правата
, и заместете във формула (5.2)

,
,

.

Намерете дължината на височината CHкато разстояние от точката към права линия

,

Където
– уравнение на права линия
,
– координати на точки .

В предишния параграф беше намерено

Замествайки данните във формула (5.3), получаваме

,

На фиг. 8 начертайте триъгълник и намерената височина CH.

Отговор: .

Р е. 8

V)Медиана
триъгълник
разделя страната
на две равни части, т.е. точка е средата на сегмента
. Въз основа на това можете да намерите координатите
точки

, ,

Където
И
И , замествайки които във формули (5.4), получаваме

;
.

Медианно уравнение
триъгълник
Нека го запишем като уравнение на права, минаваща през точките
И
по формула (5.1)

,

.

Отговор:(фиг. 9).

Р е. 9

G)Намираме дължините на страните на триъгълника като дължини на съответните вектори, т.е.

,
,
.

Партита
И
триъгълник
са равни, което означава, че триъгълникът е равнобедрен с основата
.

Отговор:триъгълник
равнобедрен с основа
;

,
.

д)Ъгли на триъгълник
нека намерим ъглите между векторите, излизащи от съответните върхове на даден триъгълник, т.е.

,
,
.

Тъй като триъгълникът е равнобедрен с основа
, Че

,

Изчисляваме ъглите между векторите с помощта на формула (4.4), която изисква скаларни произведения на вектори
,
.

Нека намерим координатите и величините на векторите, необходими за изчисляване на ъглите

,
;

,
,
.

Замествайки намерените данни във формула (4.4), получаваме

,

Тъй като косинусите на всички намерени ъгли са положителни, тогава триъгълникът
е остроъгълен.

Отговор:триъгълник
остроъгълен;

,
,
.

д)Позволявам

, след това координатите
точки
може да се намери с помощта на формули (5.5)

, ,

Където
,
И
– координати на точките респ , И , следователно,

,
.

Отговор:
– център на тежестта на триъгълника
.

и)Позволявам – ортоцентър на триъгълника
. Намерете координатите на точката като координати на пресечната точка на височините на триъгълника. Уравнение на височината
е намерено при б). Нека намерим уравнението на височината
:

,
,

.

Тъй като
, тогава решението на системата

е координатите на точката , където намираме
.

Отговор:
– ортоцентър на триъгълника
.

Задача 5.2. Фиксираните разходи в предприятието при производството на някои продукти саЕ V 0 търкайте. за единица продукция, като приходите са в размер наР 0 търкайте. за единица произведен продукт. Създайте функция за печалбаП (р ) (р

Данни за състоянието на проблема, съответстващи на опциите:

Пример 5.2

Фиксираните разходи в предприятието при производството на някои продукти са
търкайте. на месец, променливи разходи –
търкайте. за единица продукция, като приходите са в размер на
търкайте. за единица произведен продукт. Създайте функция за печалбаП (р ) (р – количество произведена продукция); изградете неговата графика и определете точката на рентабилност.

Решение

Нека изчислим общите производствени разходи при пускането рединици от някои продукти

Ако се продаде рединици продукция, тогава общият доход ще бъде

Въз основа на получените функции на общия приход и общите разходи намираме функцията на печалбата

,

.

Точка на рентабилност – точката, в която печалбата е нула или точката, в която общите разходи са равни на общите приходи

,

,

от къде го намираме?

- на нулата.

За да начертаем графика (фиг. 10) на функцията на печалбата, ще намерим още една точка

Отговор:функция на печалбата
, на нулата
.

Задача 5.3. Законите на търсенето и предлагането на определен продукт се определят съответно от уравнениятастр = стр д (р ), стр = стр С (р ), Къдетостр – цена на продукта,р - количество стоки. Приема се, че търсенето се определя само от цената на продукта на пазарастр СЪС , като офертата е само на ценастр С получени от доставчиците. Необходимо

а) определя точката на пазарно равновесие;

б) точката на равновесие след въвеждането на данък, равен наT . Определете увеличението на цената и намаляването на равновесния обем на продажбите;

в) намиране на субсидияс , което ще доведе до увеличаване на продажбите ср 0 единици спрямо оригинала (дефиниран в параграф а));

г) намиране на нова точка на равновесие и държавен доход при въвеждане на данък, пропорционален на цената и равенн %;

д) определи колко пари правителството ще похарчи за изкупуване на излишъка при определяне на минимална цена, равна на стр 0 .

За всяка точка на решение направете чертеж в координатната система. На фигурата маркирайте линиите и точките, съответстващи на задачата.

Данни за състоянието на проблема, съответстващи на опциите: