Формулата за логаритмичната производна. Производна на функцията

Производната на естествения логаритъм на x е равна на единица, разделена на x:
(1) (lnx)′ =.

Производната на логаритъма спрямо основата a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по естествения логаритъм на a:
(2) (log x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Помислете за функция, която зависи от променливата x, която е основен логаритъм:
.
Тази функция се дефинира с . Нека намерим нейната производна по отношение на x . По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го сведем до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а)Свойства на логаритъма. Нуждаем се от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойство на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето някаква функция, която има ограничение и тази граница е положителна.
V)Значението на второто прекрасно ограничение:
(8) .

Ние прилагаме тези факти до нашия лимит. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За да направим това, прилагаме свойства (4) и (5).

.

Използваме свойство (7) и второто забележително ограничение (8):
.

И накрая, приложете свойство (6):
.
основен логаритъм дНаречен естествен логаритъм. Той е маркиран така:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на естествения логаритъм

Още веднъж изписваме формулата за производната на логаритъма по база a:
.
Тази формула има най-простата форма за естествения логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота, естественият логаритъм се използва много широко в смятането и други области на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други бази могат да бъдат изразени чрез естествения логаритъм, използвайки свойство (6):
.

Основната производна на логаритъма може да се намери от формула (1), ако константата се извади от знака на диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъма

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на степента:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на естествения логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратен на степента.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратното на естествения логаритъм е степента:
.
Производната му се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с всяка буква. Във формула (9) заменяме променливата x с y:
.
Защото тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на естествения логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложна функция. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Диференцирайте това уравнение по отношение на променливата x :
(10) .
Производната на х е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместете в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на в 2x, В 3хи ln nx.

Решение

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производни на В 2хи В 3х .

И така, търсим производната на функцията
y = log nx .
Нека представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Променливи зависими функции : ;
2) Променливи зависими функции : .
Тогава оригиналната функция се състои от функциите и:
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производната на комплексна функция.
.
Тук сме заменили.

Така че открихме:
(11) .
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако трансформираме оригиналната функция с помощта на формулата на логаритъма на произведението:
.
- е константа. Производната му е нула. Тогава, според правилото за диференциране на сумата, имаме:
.

Отговор

; ; .

Производна на логаритъм по модул x

Нека намерим производната на друга много важна функция - естествения логаритъм на x модула:
(12) .

Нека разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Производната му се определя по формула (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията изглежда така:
,
където .
Но също така открихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно за логаритъма към основата а имаме:
.

Производни от по-висок порядък на естествения логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме производната му от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от третия ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Вижда се, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава за n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k . Нека докажем, че от това следва, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на x :

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . По този начин, от допускането, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно, формула (14), за производна от n-ти ред, е валидна за всяко n .

Производни от по-висок порядък на логаритъма по основа a

За да намерите n-то производно на основния логаритъм a , трябва да го изразите чрез естествения логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-то производно:
.

Мислите ли, че има още много време до изпита? Месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. В Единния държавен изпит има много трудни задачи, които пречат на ученик и бъдещ кандидат към най-високите резултати. Тези препятствия трябва да се научат да преодоляват, освен това не е трудно да се направи това. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с новите.

Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но при по-внимателен анализ ситуацията става много по-проста. Ако искате да издържите изпита с най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, която предлагаме да направите в тази статия.

Първо, нека разделим тези определения. Какво е логаритъм (логаритм)? Това е индикатор за мощността, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи посоченият номер. Ако не е ясно, ще анализираме елементарен пример.

В този случай основата по-долу трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.

Сега нека се заемем с втората концепция. Производната на функция във всякаква форма се нарича понятие, което характеризира промяната на функция в дадена точка. Това обаче е училищна програма и ако имате проблеми с тези понятия поотделно, си струва да повторите темата.

Производна на логаритъма

В задачите на USE по тази тема могат да се посочат няколко задачи като пример. Нека започнем с най-простата логаритмична производна. Трябва да намерим производната на следната функция.

Трябва да намерим следващата производна

Има специална формула.

В този случай x=u, log3x=v. Заменете стойностите от нашата функция във формулата.

Производната на x ще бъде равна на единица. Логаритъмът е малко по-труден. Но ще разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната lg x е производна на десетичния логаритъм, а производната ln x е производната на естествения логаритъм (по основата e).

Сега просто заменете получените стойности във формулата. Опитайте сами, след това проверете отговора.

Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието естествен логаритъм. Нека поговорим за това и в същото време да разберем как да разрешим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете принципа на неговото действие. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (особено във висшите учебни заведения).

Производна на естествения логаритъм

В основата си това е производната на логаритъма по основата e (това е ирационално число, равно на приблизително 2,7). Всъщност ln е много просто, поради което често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да се помни, че производната на естествения логаритъм по основата e ще бъде равна на единица, разделена на x. Решението на следващия пример ще бъде най-показателно.

Представете си я като сложна функция, състояща се от две прости.

достатъчно за трансформиране

Търсим производната на u спрямо x

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Позволявам
(1)
е диференцируема функция на x . Първо, ще го разгледаме върху набора от x стойности, за които y приема положителни стойности: . По-нататък ще покажем, че всички получени резултати са приложими и за отрицателни стойности на .

В някои случаи, за да се намери производната на функцията (1), е удобно предварително да се вземе логаритъм
,
и след това изчислете производната. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сложна функция,
.
Оттук
(2) .

Производната на логаритъма на функция се нарича логаритмична производна:
.

Логаритмичната производна на функцията y = f(x) е производната на естествения логаритъм на тази функция: (log f(x))′.

Случаят на отрицателни стойности на y

Сега разгледайте случая, когато променливата може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. В този случай вземете логаритъма на модула и намерете неговата производна:
.
Оттук
(3) .
Тоест, в общия случай трябва да намерите производната на логаритъма на модула на функцията.

Сравнявайки (2) и (3) имаме:
.
Тоест, формалният резултат от изчисляването на логаритмичната производна не зависи от това дали сме взели по модул или не. Следователно, когато изчисляваме логаритмичната производна, не е нужно да се притесняваме какъв знак има функцията.

Тази ситуация може да се изясни с помощта на комплексни числа. Нека за някои стойности на x е отрицателно: . Ако разглеждаме само реални числа, тогава функцията не е дефинирана. Ако обаче въведем комплексни числа под внимание, получаваме следното:
.
Тоест функциите и се различават по сложна константа:
.
Тъй като производната на константа е нула, тогава
.

Свойство на логаритмичната производна

От такова разглеждане следва, че логаритмичната производна не се променя, ако функцията се умножи по произволна константа :
.
Наистина, кандидатстване логаритмни свойства, формули производна сумаи производна на константа, ние имаме:

.

Приложение на логаритмичната производна

Удобно е да се използва логаритмичната производна в случаите, когато първоначалната функция се състои от произведение на степенна или експоненциална функция. В този случай логаритъмната операция превръща произведението на функциите в тяхната сума. Това опростява изчисляването на производната.

Пример 1

Намерете производната на функция:
.

Решение

Вземаме логаритъма на оригиналната функция:
.

Диференцирайте по отношение на x .
В таблицата на производните намираме:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция.
;
;
;
;
(P1.1) .
Нека умножим по:

.

И така, намерихме логаритмичната производна:
.
От тук намираме производната на оригиналната функция:
.

Забележка

Ако искаме да използваме само реални числа, тогава трябва да вземем логаритъма на модула на оригиналната функция:
.
Тогава
;
.
И получихме формулата (A1.1). Следователно резултатът не се е променил.

Отговор

Пример 2

Използвайки логаритмичната производна, намерете производната на функция
.

Решение

логаритъм:
(P2.1) .
Диференцирайте по отношение на x :
;
;

;
;
;
.

Нека умножим по:
.
От тук получаваме логаритмичната производна:
.

Производна на оригиналната функция:
.

Забележка

Тук оригиналната функция е неотрицателна: . Дефинирано е при . Ако не приемем, че логаритъмът може да бъде определен за отрицателни стойности на аргумента, тогава формулата (A2.1) трябва да бъде написана, както следва:
.
Дотолкова доколкото

и
,
това няма да повлияе на крайния резултат.

Отговор

Пример 3

Намерете производната
.

Решение

Диференцирането се извършва с помощта на логаритмичната производна. Логаритъм, като се има предвид, че:
(P3.1) .

Чрез диференциране получаваме логаритмичната производна.
;
;
;
(P3.2) .

Защото тогава

.

Забележка

Нека направим изчисленията, без да предполагаме, че логаритъмът може да бъде дефиниран за отрицателни стойности на аргумента. За да направите това, вземете логаритъма на модула на оригиналната функция:
.
Тогава вместо (A3.1) имаме:
;

.
Сравнявайки с (A3.2) виждаме, че резултатът не се е променил.