Произведение на вектор по число. Кой вектор се нарича сбор от два вектора Кой вектор се нарича произведение на дадено

За правилното изобразяване на законите на природата във физиката е необходим подходящ математически инструментариум.

В геометрията и физиката има величини, които се характеризират както с числова стойност, така и с посока.

Препоръчително е да ги изобразите с насочени сегменти или вектори.

Във връзка с

Такива количества имат начало (означено с точка) и край, обозначен със стрелка. Дължината на отсечката се нарича (дължина).

скорост;
ускорение;
пулс;
сила;
момент;
сила;
движещ се;
сила на полето и др.

Координати на равнината

Нека дефинираме отсечка от равнината, насочена от точка A (x1, y1) до точка B (x2, y2). Неговите координати a (a1, a2) са числата a1 = x2-x1, a2 = y2-y1.

Модулът се изчислява според Питагоровата теорема:

Нулевият вектор има началото и края. Координатите и дължината са 0.

Сума от вектори

Съществува няколко правила за изчисляване на сумата

правило за триъгълник;
правило за многоъгълници;
правило на паралелограма.

Правилото за добавяне на вектори може да бъде обяснено върху задачи от динамика и механика. Помислете за събирането на вектори според правилото на триъгълника, като използвате примера на силите, действащи върху точково тяло, и последователните премествания на тялото в пространството.

Да предположим, че тялото се е преместило първо от точка А до точка B, а след това от точка B до точка C. Последният ход е отсечка от начална точка А до крайна точка С.

Резултатът от две движения или тяхната сума s = s1 + s2. Този метод се нарича правило за триъгълник.

Стрелките се подреждат една след друга, като се извършва паралелен трансфер, ако е необходимо. Сумираният сегмент завършва последователността. Началото му съвпада с началото на първия, краят - с края на последния. В чуждестранните учебници този метод се нарича "опашка до глава".

Координатите на резултата c = a + b са равни на сбора от съответните координати на членовете c (a1 + b1, a2 + b2).

Сборът от успоредни (колинеарни) вектори също се определя от правилото за триъгълник.

Ако две първоначални отсечки са перпендикулярни един на друг, тогава резултатът от тяхното добавяне е хипотенузата на изградения върху тях правоъгълен триъгълник. Дължината на сбора се изчислява по Питагоровата теорема.

Примери за:

Скоростта на тялото, хвърлено хоризонтално перпендикулярноускоряване на свободното падане.
При равномерно въртеливо движение линейната скорост на тялото е перпендикулярна на центростремителното ускорение.

Добавяне на три или повече векторапроизведени от правило за многоъгълници, "опашка до глава"

Да предположим, че сили F1 и F2 са приложени към точково тяло.

Опитът доказва, че комбинираният ефект на тези сили е еквивалентен на действието на една сила, насочена по диагонала на изградения върху тях паралелограма. Тази резултантна сила е равна на тяхната сума F = F1 + F 2. Извиква се даденият метод на събиране правило на паралелограма.

Дължината в този случай се изчислява по формулата

Където θ е ъгълът между страните.

Правилата за триъгълник и паралелограма са взаимозаменяеми. Във физиката често се използва правилото на паралелограма, тъй като насочените стойности на силите, скоростите, ускоренията обикновено се прилагат към едно точково тяло. В 3D координатна система се прилага правилото на кутията.

Елементи на алгебрата

Добавянето е двоична операция: в даден момент може да се добави само двойка.
Комутативност: сборът от пермутацията на членовете не променя a + b = b + a. Това става ясно от правилото на паралелограма: диагоналът винаги е един и същ.
Асоциативност: сумата от произволен брой вектори не зависи от реда на тяхното събиране (a + b) + c = a + (b + c).
Сумирането с нулев вектор не променя нито посоката, нито дължината: a + 0 = a.
За всеки вектор има противоположно... Тяхната сума е равна на нула a + (- a) = 0, а дължините са еднакви.

Скаларно умножение

Резултатът от умножението по скалар е вектор.

Координатите на произведението се получават чрез умножаване на съответните координати на оригинала по скалар.

Скаларът е числова стойност със знак плюс или минус, по-голяма или по-малка от единица.

Примери за скалари във физиката:

тегло;
време;
зареждане;
дължина;
квадрат;
сила на звука;
плътност;
температура;
енергия.

Пример:

Работата е точковото произведение на силата и преместването A = Fs.

Матрица m-by-n.

Матрица с размер m по n е съвкупност от mn реални числа или елементи от друга структура (полиноми, функции и т.н.), записани под формата на правоъгълна таблица, която се състои от m реда и n колони и взети в скоби или правоъгълна или в двойни прави скоби. В този случай самите числа се наричат елементи на матрицата, а на всеки елемент се приписват две числа - номер на реда и номер на колона.Матрица с размери n по n се нарича квадрат матрица от n-ти ред, т.е. броят на редовете е равен на броя на колоните. Триъгълна - квадратна матрица, в която всички елементи под или над главния диагонал са равни на нула. Квадратната матрица се нарича диагонал ако всичките му извъндиагонални елементи са равни на нула. Скаларна матрица - диагонална матрица, елементите на главния диагонал на която са равни. Специален случай на скаларна матрица е идентичната матрица. Диагонализвиква се матрица, в която всички диагонални елементи са равни на 1 единиченматрица и се обозначава със символа I или E. Матрицата, всички елементи на която са равни на нула, се нарича нула матрица и се обозначава със символа O.

Умножение на матрица А по число λ (символ: λ А) е да се построи матрицата Б, чиито елементи се получават чрез умножаване на всеки елемент от матрицата Ас това число, тоест всеки елемент от матрицата Бе равно на

Свойства за умножение на матрици

1,1 * А = А; 2. (Λβ) A = Λ (βA) 3. (Λ + β) A = ΛA + βA

4. Λ (A + B) = ΛA + ΛB

Добавяне на матрица А + Б е операцията за намиране на матрицата ° С, чиито всички елементи са равни на двойната сума на всички съответни елементи на матриците Аи Б, тоест всеки елемент от матрицата ° Се равно на

Свойства за добавяне на матрица

5.комутативност) a + b = b + a

6.асоциативност.

7.събиране с нулева матрица;

8.съществуване на противоположна матрица (същата, но навсякъде минуси преди всяко число)

Матрично умножение - има операция за изчисляване на матрица ° С, чиито елементи са равни на сбора от произведенията на елементите в съответния ред на първия фактор и колоната на втория.

Брой колони в матрица Атрябва да съвпада с броя на редовете в матрицата Б... Ако матрицата Аима измерение, Б-, след това размерът на техния продукт AB = ° Сима .

Свойства за умножение на матрици

1.асоциативност; (виж по-горе)

2. произведението не е комутативно;

3. произведението е комутативно в случай на умножение с еднаква матрица;

4. справедливост на закона за разпределението; A * (B + C) = A * B + A * C.

5. (ΛA) B = Λ (AB) = A (ΛB);

2. Определител на квадратна матрица от първи и n-ти ред

Детерминантата на матрица е полином в елементите на квадратна матрица (тоест единица с броя на редовете и колоните, равен на

Определяне чрез разлагане на първи ред

За матрица от първи ред детерминантсамо по себе си е единственият елемент на тази матрица:

За матрица детерминантите се дефинират като

За матрица детерминантът се посочва рекурсивно:

, където е допълнителен минор към елемента а 1j... Тази формула се нарича разлагане на низове.

По-специално, формулата за изчисляване на детерминанта на матрица е, както следва:

= а 11 а 22 а 33 − а 11 а 23 а 32 − а 12 а 21 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32 − а 13 а 22 а 31

Определящи свойства

Когато към който и да е ред (колона) се добави линейна комбинация от други редове (колони), детерминантата няма да се промени.

§ Ако два реда (колони) от една матрица съвпадат, тогава нейният детерминант е нула.

§ Ако два (или няколко) реда (колони) от матрица са линейно зависими, тогава нейният детерминант е нула.

§ Ако пренаредим два реда (колони) от матрица, тогава нейният детерминант се умножава по (-1).

§ Общият множител на елементите на всеки ред от детерминантата може да бъде изведен отвъд знака на детерминантата.

§ Ако поне един ред (колона) от матрицата е нула, тогава детерминантата е нула.

§ Сборът от произведенията на всички елементи от всеки ред по техните алгебрични допълнения е равен на детерминанта.

§ Сборът от произведенията на всички елементи от произволен ред от алгебричните допълнения на съответните елементи от паралелен ред е равен на нула.

§ Детерминантата на произведението на квадратни матрици от същия порядък е равно на произведението на техните детерминанти (виж също формулата на Бине-Коши).

§ Използвайки индексна нотация, детерминантата на матрица 3 × 3 може да бъде определена с помощта на символа Levi-Civita от отношението:

Обратна матрица.

Обратна матрица - такава матрица A −1, когато се умножи по което оригиналната матрица Аводи до матрицата на идентичността Е:

КОНВ. съществуване:

Квадратната матрица е обратима, ако и само ако е неизродена, тоест детерминантата й не е нула. За неквадратни матрици и изродени матрици обратни матрици не съществуват.

Формула за намиране

Ако матрицата е обратима, тогава можете да използвате един от следните методи, за да намерите обратното на матрицата:

а) Използване на матрицата на алгебричните допълнения

C T- транспонирана матрица на алгебричните допълнения;

Получената матрица А−1 и ще бъде обратен. Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминанта O det и е равна на O (n²) · O det.

С други думи, обратната матрица е равна на една разделена на детерминанта на оригиналната матрица и умножена по транспонираната матрица на алгебричните допълнения (минорът се умножава по (-1) в степента на мястото, което заема) от елементите на оригиналната матрица.

4. Система от линейни уравнения. Системно решение. Съвместимост и несъвместимост на системата. матричен метод за решаване на система от n линейни уравнения с n променливи. Теорема на Крамер.

Система млинейни уравнения с ннеизвестен(или, линейна система) в линейната алгебра е система от уравнения от вида

(1)

Тук х 1 , х 2 , …, x n- неизвестни предстои да бъдат определени. а 11 , а 12 , …, мн- системни коефициенти - и б 1 , б 2 , … б м- свободни членове - трябва да са известни. Индекси на коефициенти ( a ij) на системата означават числата на уравнението ( и) и неизвестно ( j), при което е този коефициент, респ.

Извиква се система (1). хомогеннаако всичките му свободни членове са равни на нула ( б 1 = б 2 = … = б м= 0), в противен случай - хетерогенен.

Извиква се система (1). квадратако номерът муравнения е равно на числото ннеизвестни.

Решениесистема (1) - комплект нчисла ° С 1 , ° С 2 , …, c nтака че заместването на всеки c iвместо x iв система (1) преобразува всичките й уравнения в тъждества.

Извиква се система (1). ставаако има поне едно решение и непоследователноако тя няма решения.

Ставна система от вида (1) може да има едно или повече решения.

Решения ° С 1 (1) , ° С 2 (1) , …, c n(1) и ° С 1 (2) , ° С 2 (2) , …, c n(2) се нарича последователна система от вида (1). различниако е нарушено поне едно от равенствата:

° С 1 (1) = ° С 1 (2) , ° С 2 (1) = ° С 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Матрична форма

Системата от линейни уравнения може да бъде представена в матрична форма като:

Ах = Б.

Ако колона със свободни термини е присвоена на матрицата A отдясно, тогава получената матрица се нарича разширена.

Директни методи

Метод на Крамър (правилото на Крамър)- метод за решаване на квадратни системи от линейни алгебрични уравнения с ненулева детерминанта на основната матрица (освен това за такива уравнения решението съществува и е единствено). Наречен на Габриел Крамър (1704-1752), който е изобретил метода.

Описание на метода

За системата нлинейни уравнения с ннеизвестен (над произволно поле)

с ненулева детерминанта на системната матрица Δ, решението се записва във вида

(I-тата колона на системната матрица се заменя с колоната със свободни членове).
В друга форма правилото на Крамер е формулирано, както следва: за всякакви коефициенти c 1, c 2, ..., c n е вярно следното равенство:

В тази форма формулата на Крамер е валидна без допускането, че Δ е различно от нула, дори не е необходимо коефициентите на системата да са елементи от интегрален пръстен (детерминантата на системата може дори да бъде делител на нула в пръстен от коефициенти). Може също да се предположи, че или множествата б 1 ,б 2 ,...,б ни х 1 ,х 2 ,...,x n, или комплекта ° С 1 ,° С 2 ,...,c nне се състоят от елементи от коефициентния пръстен на системата, а от някакъв модул над този пръстен.

5. Малолетна от k-ти ред. Рангът на матрицата. Елементарни матрични трансформации. Теоремата на Кронекер-Капели за условията на съвместимост за система от линейни уравнения. Метод на елиминиране на променлива (Гаус) за система от линейни уравнения.

Незначителен матрици А- определител на квадратна матрица на порядъка к(който се нарича още ред на този минор), чиито елементи са в матрицата Ана пресечната точка на номерирани редове и номерирани колони.

По ранг ред (колона) матрични системи Ас млинии и нколони е максималният брой различни от нула редове (колони).

Няколко реда (колони) се наричат линейно независими, ако нито един от тях не може да бъде изразен линейно по отношение на останалите. Рангът на системата от редове винаги е равен на ранга на системата от колони и това число се нарича ранг на матрицата.

Теоремата на Кронекер - Капели (критерий за съвместимост за система от линейни алгебрични уравнения) -

система от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на нейната главна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица (със свободни термини) и системата има уникално решение, ако рангът е равен на числото от неизвестни и безкраен набор от решения, ако рангът е по-малък от броя на неизвестните.

Метод на Гаус - класическият метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне от последната (от номер) променливи.

6. Насочваща линия и вектор. Първоначални понятия на векторната алгебра. Сборът от вектори и произведението на вектор по число. Условието за координиране на векторите. Свойства на линейните операции върху вектори.

Операции върху вектори

Добавяне

Операцията по добавяне на геометрични вектори може да бъде дефинирана по различни начини, в зависимост от ситуацията и вида на разглежданите вектори:

Два вектора u, vи вектора на тяхната сума

Правило за триъгълник... За да добавите два вектора и според правилото на триъгълника, и двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото на единия от тях да съвпада с края на другия. Тогава векторът на сумата се определя от третата страна на получения триъгълник и неговото начало съвпада с началото на първия вектор, а краят - с края на втория вектор.

Правило на паралелограма... За да се съберат два вектора и според правилото на паралелограма, и двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото им да съвпада. Тогава векторът на сбора е даден от диагонала на изградения върху тях успоредник, започвайки от общия им произход.

И модулът (дължината) на вектора на сумата определя се от косинусовата теорема, където е ъгълът между векторите, когато началото на единия съвпада с края на другия. Сега се използва и формулата - ъгълът между векторите, произхождащи от една точка.

Векторен продукт

Векторен продуктвектор по вектор е вектор, който отговаря на следните изисквания:

Свойства на вектор C

§ дължината на вектора е равна на произведението от дължините на векторите и синуса на ъгъла φ между тях

§ векторът е ортогонален на всеки от векторите и

§ посоката на вектора C се определя от правилото на Gouge

Свойства на векторния продукт:

1. При пренареждане на факторите векторното произведение сменя знака (антикомутативност), т.е.

2. Векторното произведение притежава комбинативното свойство по отношение на скаларния фактор, т.е

3. Векторният продукт има свойството на разпределение:

Основа и координатна система в равнината и в пространството. Разлагане на вектор в базис. Ортонормирана основа и правоъгълна декартова координатна система в равнината и в пространството. Координати на вектор и точка в равнината и в пространството. Векторни проекции върху координатната ос.

Основа (старогръцки βασις, основа) е набор от вектори във векторно пространство, така че всеки вектор от това пространство може да бъде еднозначно представен като линейна комбинация от вектори от това множество - базисни вектори.

Често е удобно да се избере дължината (нормата) на всеки един от единичните базисни вектори, такава база се нарича нормализиран.

Представяне на някакъв специфичен (всякакъв) вектор на пространството под формата на линейна комбинация от базисни вектори (сумата от базисни вектори чрез числови коефициенти), напр.

или, използвайки знака за сбор Σ:

Наречен разширяване на този вектор в тази основа.

Координати на вектор и точка в равнината и в пространството.

Координатата на точка А по оста x е число, равно по абсолютна стойност на дължината на отсечката OAx: положителна, ако точка A лежи на положителната полуос x, и отрицателна, ако лежи на отрицателната полуос.

Единичен вектор или единичен вектор е вектор, чиято дължина е равна на единица и който е насочен по някаква координатна ос.

Тогава векторна проекция AB по оста l е разликата x1 - x2 между координатите на проекциите на края и началото на вектора върху тази ос.

8.Дължината и косинусите на посоката на вектор, връзката между косинусите на посоката. Орт вектор. Координатите са сбор от вектори, произведение на вектор по число.

Дължината на вектора се определя от формулата

Посоката на вектора се определя от образуваните от него ъгли α, β, γ с осите на координатите Ox, Oy, Oz. Косинусите на тези ъгли (т.нар косинус на посоката на вектор ) се изчисляват по формулите:

Единичен векторили орт (единичен вектор на нормирано векторно пространство) е вектор, чиято норма (дължина) е равна на единица.

Единичен вектор колинеарен с даден (нормализиран вектор) се определя по формулата

Единичните вектори често се избират като базисни, тъй като това опростява изчисленията. Такива бази се наричат нормализиран... В случай, че тези вектори също са ортогонални, такава база се нарича ортонормирана.

Координати колинеарна

Координати равни

Координати векторна сумадва вектора удовлетворяват отношенията:

Координати колинеарнавекторите удовлетворяват съотношението:

Координати равнивекторите удовлетворяват отношенията:

Сума вектордва вектора:

Сума от няколко вектора:

Произведение на вектор по число:

Векторно произведение на вектори. Геометрични приложения на векторен продукт. Условие за колинеарност за вектори. Алгебрични свойства на смесен продукт. Изразяване на кръстосаното произведение по отношение на координатите на факторите.

Векторен продукт на вектори вектор b се нарича вектор c, който:

1. Перпендикулярно на вектори a и b, т.е. c ^ a и c ^ b;

2. Има дължина, числено равна на площта на успоредник, построен върху вектори a и b като на страните (виж фиг. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c образуват десен триплет.

Геометрични приложения:

Установяване на колинеарни вектори

Намиране на площта на успоредник и триъгълник

Според определението на векторното произведение на векторите аи б | a xb | =| а | * | b | sing, тоест S двойки = | a x b |. И следователно DS = 1/2 | a x b |.

Определяне на момента на сила спрямо точка

От физиката е известно, че момент на сила Fспрямо точката Осе нарича вектор М,който минава през точката Ои:

1) перпендикулярно на равнината, минаваща през точките О, А, В;

2) числено равно на произведението на силата на рамо

3) образува десен триплет с вектори OA и A B.

Следователно M = OA x F.

Намиране на линейната скорост на въртене

Скоростта v на точка M на твърдо тяло, въртящо се с ъглова скорост w около фиксирана ос, се определя от формулата на Ойлер v = w хr, където r = ОМ, където О е някаква неподвижна точка на оста (виж фиг. 21 ).

Условие за колинеарност за вектори - необходимо и достатъчно условие за колинеарност на ненулев вектор и вектор е наличието на число, което удовлетворява равенството.

Алгебрични свойства на смесен продукт

Смесеното произведение на векторите не се променя, когато факторите са кръгово пермутирани и променя знака на противоположния, когато двата фактора са пермутирани, като същевременно запазва своя модул.

Знакът "" на векторното умножение в рамките на смесен продукт може да бъде поставен между всеки от неговите фактори.

Смесеният продукт е разпределителен по отношение на всеки от неговите фактори: (например) ако, тогава

Изразяване на кръстосаното произведение в координати

координатна система вдясно

лява координатна система

12.Смесен продукт на вектори. Геометричното значение на смесеното произведение, условието за компланарност на векторите. Алгебрични свойства на смесен продукт. Изразяване на смесеното произведение чрез координатите на факторите.

Смесенипроизведението на подредена тройка вектори (a, b, c) е скаларното произведение на първия вектор от кръстосаното произведение на втория вектор към третия.

Алгебрични свойства на векторно произведение

Антикомутативност

Асоциативност по отношение на умножението по скалар

Разпределения чрез събиране

Самоличността на Якоби. Изпълнено в R3 и разбито в R7

Векторни произведения на базисни вектори се намират по дефиниция

Изход

където са координатите както на вектора на посоката на правата линия, така и на координатите на точката, принадлежаща на правата линия.

Нормален вектор на права линия върху равнина. Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор. Общо уравнение на правата линия. Уравнения на права линия с наклон. Относителното положение на две прави линии в равнина

Нормалнолинейният вектор е всеки ненулев вектор, перпендикулярен на тази права.

- уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор

Ax + Wu + C = 0- общо уравнение на правата.

Уравнение на права линия от вида y = kx + b

Наречен уравнение на права линия с наклон, а коефициентът k се нарича наклон на тази права линия.

Теорема... В уравнението на права линия с наклон y = kx + b

наклонът k е равен на тангенса на ъгъла на наклон на правата към оста на абсцисата:

Взаимна договореност:

- общи уравнения на две прави в координатната равнина Oxy. Тогава

1) ако, тогава прави и съвпадат;

2) ако, тогава прави и успоредни;

3) ако, тогава линиите се пресичат.

Доказателство ... Условието е еквивалентно на колинеарност на нормалните вектори на дадените линии:

Следователно, ако, тогава правите линии пресичат се.

Ако , тогава, и уравнението на правата линия приема формата:

Или , т.е. прав съвпада... Имайте предвид, че коефициентът на пропорционалност, в противен случай всички коефициенти на общото уравнение биха били равни на нула, което е невъзможно.

Ако правите не съвпадат и не се пресичат, тогава случаят остава, т.е. прав успоредно.

Уравнение на права линия в сегменти

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vu + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на –C, получаваме: или, където

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата линия с оста Ox, и б- координатата на пресечната точка на правата линия с оста Oy.

Нормално уравнение на права линия

Ако двете страни на уравнението Ax + Vy + C = 0 се разделят на число, наречено нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ? С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата линия, а φ е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

Трябва да се отбележи, че не всяка права може да бъде представена с уравнение на сегменти, например линии, успоредни на оси или минаващи през началото.

17. Елипса. Канонично уравнение на елипса. Геометрични свойства и изграждане на елипса. Специални условия.

Елипса - местоположение на точките МЕвклидова равнина, за която сумата от разстоянията до две дадени точки Ф 1 и Ф 2 (наречени фокуси) е постоянна и по-голяма от разстоянието между фокусите, тоест | Ф 1 М | + | Ф 2 М | = 2а, и | Ф 1 Ф 2 | < 2а.

Канонично уравнение

За всяка елипса можете да намерите декартова координатна система, така че елипсата да се описва с уравнението (каноничното уравнение на елипсата):

Той описва елипса, центрирана в началото, чиито оси съвпадат с координатните оси.

Сграда: 1) Използване на компас

2) Два трика и стегната нишка

3) Елипограф (Елипсографът се състои от два плъзгача, които могат да се движат по два перпендикулярни канала или водачи. Плъзгачите са прикрепени към пръта с помощта на панти и са на фиксирано разстояние един от друг по протежение на пръта. Плъзгачите се движат напред и назад - всеки по своя жлеб, - и краят на пръта описва елипса върху равнина. Полуосите на елипсата a и b са разстоянията от края на пръта до пантите на плъзгачите. Обикновено разстоянията a и b могат да се променят и по този начин да променят формата и размера на описаната елипса)

Ексцентриситетът характеризира удължението на елипсата. Колкото по-близо е ексцентриситетът до нула, толкова повече елипсата прилича на окръжност и обратно, колкото по-близо е ексцентриситетът до единица, толкова по-удължена е тя.

Фокален параметър

Канонично уравнение

18.Хипербола. Канонични уравнения на хиперболи. Геометрични свойства и изграждане на хипербола. Специални условия

Хипербола(старогръцки ὑπερβολή, от старогръцки βαλειν – „хвърлям“, ὑπερ – „над“) – геометричното място на точките МЕвклидова равнина, за която абсолютната стойност на разликата в разстоянието от Мдо две избрани точки Ф 1 и Ф 2 (наречени фокуси) постоянно. По-точно,

Освен това | Ф 1 Ф 2 | > 2а > 0.

Съотношения

За характеристиките на хиперболите, дефинирани по-горе, те се подчиняват на следните отношения

2. Хиперболните директиви са обозначени с линии с двойна дебелина и са обозначени с д 1 и д 2. Ексцентричност ε е равно на съотношението на разстоянията на точката Пвърху хиперболата за фокусиране и към съответната директриса (показана в зелено). Върховете на хиперболата се означават с ± а... Параметрите на хипербола означават следното:

а- разстояние от центъра ° Скъм всеки от върховете
б- дължината на перпендикуляра, спусната от всеки от върховете чрез асимптоти
° С- разстояние от центъра ° Сна някой от триковете, Ф 1 и Ф 2 ,
θ е ъгълът, образуван от всяка от асимптотите и оста, начертана между върховете.

Имоти

§ За всяка точка, лежаща върху хиперболата, съотношението на разстоянията от тази точка до фокуса към разстоянието от същата точка до директрисата е постоянна стойност.

§ Хиперболата има огледална симетрия спрямо реалната и въображаемата ос, както и ротационна симетрия при завъртане на 180° около центъра на хиперболата.

§ Всяка хипербола има конюгирана хипербола, за което реалната и въображаемата ос са обърнати, но асимптотите остават същите. Това съответства на подмяната аи бедин върху друг във формулата, описваща хиперболата. Конюгираната хипербола не е резултат от завъртане на 90° на първоначалната хипербола; и двете хиперболи се различават по форма.

19. Парабола. Канонично уравнение на парабола. Геометрични свойства и изграждане на парабола. Специални условия.

парабола - място на точки, еднакво отдалечени от дадена права линия (наречена директриса на параболата) и дадена точка (наречена фокус на параболата).

Каноничното уравнение на парабола в правоъгълна координатна система:

(или, ако смените осите).

Имоти

§ 1 Параболата е крива от втори ред.

§ 2 Има ос на симетрия, наречена параболна ос... Оста минава през фокуса и е перпендикулярна на директрисата.

§ 3 Оптично свойство.В фокуса му се събира лъч лъчи, успоредни на оста на параболата, отразени в параболата. Обратно, светлината от източник на фокус се отразява от парабола в лъч лъчи, успоредни на оста му.

§ 4 За парабола фокусът е в точката (0,25; 0).

За парабола фокусът е в точката (0; f).

§ 5 Ако фокусът на параболата е отразен спрямо допирателната, тогава нейното изображение ще лежи върху директрисата.

§ 6 Параболата е антиподата на правата линия.

§ Всички параболи са подобни. Разстоянието между фокуса и директрисата определя мащаба.

§ 7 Когато параболата се върти около оста на симетрия, се получава елиптичен параболоид.

Директорка на Парабола

Фокусен радиус

20.Нормален вектор на равнината. Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор. Общо уравнение на равнината, частен случай на общото уравнение на равнината. Векторно уравнение на равнината. Относителното положение на двете равнини.

Самолет- едно от основните понятия на геометрията. При систематично представяне на геометрията понятието за равнина обикновено се приема като едно от оригиналните понятия, което само косвено се определя от аксиомите на геометрията.

Уравнение на равнина по точка и нормален вектор
Във векторна форма

В координати

Ъгъл между равнините

Частни случаи на общото уравнение на равнината.

При изучаване на различни клонове на физиката, механиката и техническите науки има величини, които се определят напълно чрез уточняване на техните числени стойности. Такива количества се наричат скаларенили, накратко, скалари.

Скаларните величини са дължина, площ, обем, маса, телесна температура и т. н. Освен скаларни величини, в различни задачи има величини, за определянето на които освен числената стойност е необходимо да се знае и тяхната посока . Такива количества се наричат вектор... Физически примери за векторни величини са преместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея.

Векторните количества са изобразени с помощта на вектори.

Векторна дефиниция... Векторът е насочен сегмент от права линия, който има определена дължина.

Векторът се характеризира с две точки. Едната точка е началната точка на вектора, другата точка е крайната точка на вектора. Ако обозначим началото на вектора с точка А , и края на вектора по точка V , тогава самият вектор се обозначава. Векторът може да бъде обозначен и с една малка латинска буква с линия над нея (например).

Графично векторът се обозначава с сегмент от линия със стрелка в края.

Началото на вектора се нарича точката на неговото приложение.Ако точка Ае началото на вектора , тогава ще кажем, че векторът е приложен в точката А.

Векторът се характеризира с две измерения: дължина и посока.

Дължина на вектора – разстоянието между началните точки A и крайните точки B. Друго име за дължината на вектор е модулът на вектор и се обозначава със символа . Модулът на вектора е обозначен вектор , чиято дължина е 1 се нарича единичен вектор. Тоест условието за единичния вектор

Вектор с нулева дължина се нарича нулев вектор (означава се). Очевидно нулевият вектор има еднакви начална и крайна точки. Нулевият вектор няма конкретна посока.

Определяне на колинеарни вектори... Вектори и разположени на една права линия или на успоредни прави се наричат колинеарни .

Имайте предвид, че колинеарните вектори могат да имат различни дължини и различни посоки.

Определяне на равни вектори.Два вектора и се наричат равни, ако са колинеарни, имат еднаква дължина и една и съща посока.

В този случай те пишат:

Коментирайте... От определението за равенство на векторите следва, че векторът може да бъде прехвърлен паралелно, като се постави началото му във всяка точка от пространството (по-специално в равнина).

Всички нулеви вектори се считат за равни.

Определяне на противоположни вектори.Два вектора и се наричат противоположни, ако са колинеарни, имат еднаква дължина, но противоположна посока.

В този случай те пишат:

С други думи, векторът, противоположен на вектора, се означава като.