Задачата. Броят на хитовете на стойностите на случайни променливи X и Y на съответните интервали са показани в таблицата. Според тези данни, намерете селективен коефициент на корелация и селективни уравнения на директни регресионни линии y per x и x на Y.
Решение

Пример. Разпределението на вероятността на двуизмерна произволна променлива (x, y) е настроен на таблица. Намерете законите на разпределението на компонентите на стойностите x, y и коефициента на корелация p (x, y).
Изтеглете Решение

Задачата. Двуизмерно дискретна стойност (X, y) се определя от закона за разпространение. Намерете законите на разпределението на компонентите X и Y, ковариация и коефициент на корелация.

Двуизмерно повикване на случайно количество ( Х., Y.), възможните стойности, от които има двойки числа ( x, U.). Съединение Х. и Y.се счита за едновременно формуляр система Две случайни променливи.

Двуизмерната стойност може да бъде геометрично интерпретирана като случайна точка. М.(Х.; Y.) на повърхността xoy. или като произволен вектор Om..

Отделен Наречена двуизмерна стойност, която е дискретна.

Непрекъснато Наречена двуизмерна стойност на които са непрекъснати.

Закон за дистрибуцията Вероятностите на двуизмерната случайна променлива се наричат \u200b\u200bкореспонденцията между възможните стойности и техните вероятности.

Разпределението на двумерната дискретна случайна променлива може да бъде дефинирана: а) в таблица с двоен вход, включващ възможните стойности и техните вероятности; б) аналитично, например под формата на разпределителна функция.

Функция за разпространение Вероятностите на двуизмерната произволна променлива извиквайте функцията F (x, y)Определяне за всяка двойка числа (x, y) вероятността Х. ще отнеме стойност по-малка от x и в същото време Y. ще отнеме стойност по-малко y.:

F (x, y) \u003d p (x< x, Y < y).

Геометрично, това равенство може да се тълкува както следва: F (x, y) Има възможност за случайност ( X, Y.) Ще попадне в безкраен квадрант с връх ( x, y)Намира се наляво и под този връх.

Понякога вместо терминът "разпределителна функция" използвайте термина "интегрална функция".

Функцията за разпространение има следните свойства:

Имот 1.. Стойностите на функциите за разпространение отговарят на двойното неравенство

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Имот 2.. Функцията за разпространение е без прекъсваща функция за всеки аргумент:

F (x 2, y) ≥ f (x 1, y), ако x 2\u003e x 1,

F (x, y2) ≥ f (x, y 1), ако y2\u003e y 1.

Имот 3.. Екстремни съотношения се извършват:

1) F (-∞, Y) \u003d 0,

3) F (-∞, -∞) \u003d 0,

2) F (x, -∞) \u003d 0,

4) F (∞, ∞) \u003d 1.

Имот 4.. но) Под=∞ функцията за разпределение на системата става функция за разпределение на X:

F (x, ∞) \u003d F 1 (x).

б) С X. = ∞ функцията за разпределение на системата става функция за разпространение на y:

F (∞, y) \u003d f 2 (y).

Използвайки функцията за разпространение, можете да намерите вероятността от произволен точка в правоъгълник. x 1.< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Плътността на съвместното разпределение на вероятността (двуизмерна плътност на вероятността) Непрекъснатите двуизмерни случайни променливи се наричат \u200b\u200bвторо смесено производно от функцията за разпространение:

Понякога вместо термина "двуизмерна вероятностна плътност" се използва терминът "функция за диференциална система".

Плътността на съвместно разпределение може да се разглежда като граница на вероятното съотношение на входящата случайна точка в правоъгълник с страните d х. и D. y. до площада на този правоъгълник, когато и двете страни се стремят към нула; геометрично може да се тълкува като повърхност, наречена разпределение на повърхността.

Знаейки плътността на разпространението, можете да намерите функцията за разпространение по формулата

Вероятността за входяща случайност (x, y) към региона D се определя от равенството

Двуизмерна вероятностна плътност има следните свойства:

Имот 1.. Двуизмерната плътност на вероятността не е отрицателна:

f (x, y) ≥ 0.

Имот 2.. Двоен имунитет интеграл с безкрайни граници от двуизмерна плътност на вероятността равно на единство :

По-специално, ако всички възможни стойности (x, y) принадлежат към крайния регион d, тогава

226. Разпределението на вероятността на дискретната двуизмерна случайна променлива е зададена:

Намерете законите за разпространение на компоненти.

228. Функцията за разпределение на двуизмерна случайна променлива е зададена.

Намерете вероятността да влезете в случаен принцип ( X, Y. х. = 0, х. \u003d p / 4, y. \u003d p / 6, y. \u003d P / 3.

229. Намерете вероятността за входяща случайност ( X, Y.) в правоъгълник, ограничен до право х. = 1, х. = 2, y. = 3, y. \u003d 5, ако функцията за разпространение е известна

230. е зададена функция на разпределение на двуизмерна случайна променлива.

Намерете плътност на вероятността за двуизмерна система.

231. В кръга x 2 + Y 2 ≤ R2 двуизмерна вероятностна плътност; извън кръга f (x, y) \u003d0. Намерете: а) постоянен ° С.Шпакловка б) вероятността за входяща случайност ( X, Y.) в диапазона на радиус r. \u003d 1, центрирано в началото на координатите, ако R. = 2.

232. Първият квадрант е дадена функция на разпределението на система от две случайни променливи. F (x, y) \u003d 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y. Намерете: а) двуизмерна плътност на вероятността на системата; б) вероятността за входяща случайност ( X, Y.) в триъгълник с върхове А.(1; 3), Б.(3; 3), ° С.(2; 8).

8.2. Условни закони за разпределение на компонентите на вероятностите
Дискретно двуизмерна случайна променлива

Нека компонентите Х. и Y. Дискретни и съответно са следните възможни стойности: x 1, x 2, ..., x n; Y 1, Y 2, ..., y m.

Условно разпределение на компонента X за Y \u003d y j (J запазва същата стойност за всички възможни стойности x) се нарича набор от условни вероятности

p (x 1 | j), p (x 2 | y j), ..., p (x n | j).

По същия начин, условното разпределение на Y.

Условните вероятности на компонентите X и Y се изчисляват съгласно формулите

За да контролирате изчисленията, препоръчително е да се уверите, че сумата от вероятностите на условното разпределение е равна на една.

233. Дискретно двуизмерна случайна променлива ( X, Y.):

Намерете: а) Право на условно разпределение Х. при условие че Y.\u003d 10; б) Право на условно разпределение Y. при условие че Х.=6.

8.3. Въвеждане на плътности и условни закони за разпределение
представляващи непрекъснати двуизмерни случайни променливи

Плътността на разпределението на един от компонентите е равна несъвместим интеграл При безкрайни граници от плътността на съвместното разпределение на системата, променливата за интегриране съответства на другия компонент:

Тук се приема, че възможните стойности на всеки от компонентите принадлежат към цялата цифрова ос; Ако е възможно, стойностите принадлежат към крайния интервал, тогава съответните ограничени номера се приемат като граници на интеграция.

Условната плътност на разпределението на компонента x За дадено значение Y \u003d y. Обадете се на съотношението на системата за съвместно разпределение на компонента за плътност на разпределението Y.:

По същия начин се определя условната плътност на разпределението на компонента Y.:

Ако гъстота на разпределение на случайни променливи Х. и Y. равна на безусловната им плътност, тогава такива стойности са независими.

Униформа Обадете се на разпределението на двуизмерна непрекъсната случайна променлива ( X, Y.) Ако в областта притежавате всички възможни стойности ( x, U.), плътността на съвместно разпределение на вероятността спестява постоянна стойност.

235. Намира се плътността на съвместното разпределение на непрекъсната двуизмерна произволна променлива (X, Y).

Намерете: а) разпределение на компонентите на плътността; б) условни плътности на разпределението, съставляващо.

236. Плътността на съвместното разпределение на непрекъсната двуизмерна случайна променлива ( X, Y.)

Намерете: а) постоянен мултипликатор ° С.Шпакловка б) плътността на разпределението на компонентите; в) Разпределение на компонентите за условно плътност.

237. Непрекъснато двуизмерна случайна променлива ( X, U.) Раздава се равномерно вътре в правоъгълника със симетрия в началото на координатите и партиите 2А и 2б, успоредно на координатните оси. Намерете: а) двуизмерна плътност на вероятността на системата; б) плътността на разпределението на компонентите.

238. Непрекъснато двуизмерна случайна стойност ( X, U.) равномерно разпределени вътре правоъгълен триъгълник С върхове О.(0; 0), НО(0; 8), В(8; 0). Намерете: а) двуизмерна плътност на вероятността на системата; б) разпределение на плътността и условно плътността на компонентите.

8.4. Числови характеристики на непрекъснатата система
Две случайни променливи

Знаейки, че разпределението на плътността на компонентите X и Y са непрекъснато двуизмерна случайна променлива (x, y), можете да намерите техните очаквания и вариации:

Понякога е удобно да се използват формули, съдържащи двуизмерна вероятност плътност ( двойни интеграли Те са взети в областта на възможните стойности на системата):

Начален, въртящ момент n k, s поръчка к + С. Системи ( X, Y.) Наричайте математическото очакване на работата X k y s:

n k, s \u003d m.

В частност,

n 1.0 \u003d m (x), n 0.1 \u003d m (y).

Централен момент m k, s поръчка к + С. Системи ( X, Y.) Наричат \u200b\u200bсъответно математическото очакване за работата на отклоненията к.- I. с.- и степени:

m k, s \u003d m (k ∙ s).

В частност,

m 1.0 \u003d m \u003d 0, m 0.1 \u003d m \u003d 0;

m 2.0 \u003d m 2 \u003d d (x), m 0.2 \u003d m2 \u003d d (y);

Корелационен въртящ момент m xu Системи ( X, Y.) Обадете се на централния момент m 1,1. Около 1 + 1:

m xu \u003d m (∙).

Коефициент на корелация Стойностите X и Y се наричат \u200b\u200bсъотношение на съотношението момент на продукта от средните квадратични отклонения на тези количества:

r xy \u003d m xy / (s x s y).

Коефициент на корелация - безразмерна стойност и | r xy.| ≤ 1. Коефициентът на корелация се използва за оценка на близостта линейна връзка между тях Х. и Y.: Колкото по-близо е абсолютната стойност на коефициента на корелация към един, връзката е по-силна; Колкото по-близо до абсолютната стойност на коефициента на корелация до нула, връзката е по-слаба.

Корелирани Нарича се две случайни променливи, ако тяхната корелация е различна от нула.

Некорелиран Две случайни променливи се наричат, ако корелацията им е нула.

Два корелирани стойности също са зависими; Ако две стойности са зависими, те могат да бъдат едновременно корелирани и некорелирани. От независимостта на двете стойности е тяхното некорелирано, несвързано, но все още не може да направи заключение за независимостта на тези променливи (за нормално разпределени променливи са несвързани от тези стойности предполагат, че те са независими).

За непрекъснати стойности на x и y, моментът на корелация може да бъде намерен чрез формули:

239. Плътността на съвместното разпределение на непрекъсната двуизмерна случайна променлива (x, y) е зададена:

Намерете: а) математически очаквания; б) дисперсии на компонентите X и Y.

240. Ко-разпределителната плътност на непрекъсната двуизмерна случайна променлива (X, Y) е зададена:

Намерете математически очаквания и компоненти на дисперсията.

241. Задаване на съвместно разпределение на непрекъсната двуизмерна случайна променлива ( X, y): f (x, y) \u003d 2 cosx уютен квадрат 0 ≤ х. ≤p / 4, 0 ≤ y. ≤P / 4; Извън площада f (x, y) \u003d 0. Намерете математическите очаквания на компонентите.

242. Докажете, че ако двуизмерната плътност на вероятността на системата от случайни променливи ( X, Y.) могат да бъдат представени като продукт от две функции, единият от които зависи само от х.а другият - само от y., след това стойности Х. и Y. Независим.

243. Докажете, че ако Х. и Y. Линейната зависимост е свързана Y. = брадва. + б.Абсолютната стойност на коефициента на корелация е равна на една.

Решение. За определяне на коефициента на корелация,

r xy \u003d m xy / (s x s y).

m xu \u003d m (∙). (*)

Ние намираме математически очаквания Y.:

M (y) \u003d m \u003d am (x) + b. (**)

Замествайки (**) в (*), след начални трансформации, които получаваме

m xu \u003d am 2 \u003d ad (x) \u003d като 2 x.

Като се има предвид това

Y - M (Y) \u003d (AX + B) - (am (x) + b) \u003d a,

намерете дисперсия Y.:

D (Y) \u003d m 2 \u003d A 2 m2 \u003d А2S2 х.

Оттук s y \u003d | a | s x. Следователно коефициентът на корелация

Ако а. \u003e 0, тогава r xy. \u003d 1; ако а. < 0, то r xy. = –1.

Така, | r xy.| \u003d 1, което се изискваше да докаже.

Определение.Ако две случайни променливи са определени на едно и също пространство на елементарни събития Х. и Y,казват какво се иска двуизмерно произволно количество (x, y) .

Пример. Машини печати стоманени плочки. Дължината се контролира Х. и ширина Y.. - двуизмерно Св.

Св. Х. и Y. Имат свои собствени функции за разпространение и други характеристики.

Определение. Функцията на разпределението на двуизмерна произволна променлива (x, y) Функцията се нарича.

Определение. Законът за разпространение на дискретната двуизмерна случайна променлива (x, \\ t Y) наречена маса

За двуизмерно дискретно SV.

Имоти:

2) ако тогава Шпакловка Ако тогава ;

4) - Функция за разпространение Х.;

- Функция за разпространение Y.

Вероятността да се получат стойностите на двуизмерното св. В правоъгълник:

Определение. Двуизмерна случайна сума (X, y) Наречен непрекъснато Ако функцията за разпространение непрекъснато и има навсякъде (с изключение на, може би ограничен брой криви) непрекъснато смесено частно производно на втория ред .

Определение. Плътността на съвместното разпределение на вероятностите на двуизмерно непрекъснато Функцията се нарича.

Тогава, очевидно, .

Пример 1. Двуизмерна непрекъсната свързана разпределителна функция

Тогава гъстотата на разпределение е

Пример 2. Двуизмерна непрекъсната свързана гъстота на разпределение

Ние намираме функцията за разпространение:

Имоти:

3) за всяка област.

Нека бъде известна плътността на съвместното разпределение. След това гъстотата на разпределение на всеки от компонентите на двуизмерния SV е както следва:

Пример 2 (продължение).

Разпределение на плътността на двуизмерното призоваване на някои автори маргиналенпроменции на вероятностно разпространение .

Условни закони за разпространение на компоненти на дискретен SV.

Условната вероятност, когато.

Право на условно разпределение Х. С:

Подобно на това къде.

Направете условно законодателство за дистрибуция Х. за Y \u003d.2.

Тогава законът за условно разпределение

Определение. Условната плътност на разпределението на компонента x за дадено значение Y \u003d y. Наречен.

По същия начин:.

Определение. Условно математически Очакване за дискретно св. След това се нарича къде - виж по-горе.

Следователно.

За непрекъснатоСв. Y. .

Очевидно това е функция на аргумента х.. Тази функция се нарича регресионната функция y на x .

Подобно определено функция за регресия X на Y : .

Теорема 5. (на разпределителната функция на независима SV)

Св. Х.и Y.

Следствие. Непрекъснат Х.и Y. са независими, ако и само когато.

В пример 1 в. Следователно, св. Х.и Y.независим.

Числени характеристики на компонентите на двуизмерна случайна променлива

За дискретен st.:

За непрекъснато SV :.

Дисперсията и вторичното квадратично отклонение за всички SV се определят от същите формули, известни на нас:

Определение.Точка се нарича дисперсия двуизмерно Св.

Определение. Ковариация (корелационен въртящ момент) SV се нарича

За дискретен SV :.

За непрекъснато SV :.

Формула за изчисляване :.

За независим SV.

Недоточеството на характеристиките е неговото измерение (квадрата на единицата за измерване на компонентите). Този недостатък е безплатна следваща стойност.

Определение. Коефициент на корелация Св. Х. и Y. Наречен

За независим SV.

За всяка двойка SV . Известно е, че тогава и само когато, къде.

Определение. Св. Х. и Y. Наречен некорелиран , ако .

Връзката между корелираната и зависимостта на SV:

- ако е св. Х. и Y. корелира, т.е. , те са зависими; Обратното не е вярно;

- ако е св. Х. и Y. Независим, Т. Шпакловка Обратното не е вярно.

Забележка 1. Ако е св. Х. и Y. разпределени в съответствие с нормалния закон и , след това те са независими.

Бележка 2. Практическа стойност като мярка зависимостта е оправдана само когато съвместното разпределение на двойката е нормално или приблизително нормално. За произволен ул. Х. и Y. Можете да стигнете до погрешна продукция, т.е. може би дори когато Х. и Y. свързани със строга функционална зависимост.

Обърнете внимание3. В математическа статистика Корелацията се нарича вероятностна (статистическа) зависимост между стойности, които нямат, общо казано, строго функционален характер. Корелацията се случва, когато една от стойностите зависи не само от тази секунда, но и на редица случайни фактори, или когато някои от условията, които засягат стойността на една или друга, са общи за двете тези условия.

Пример 4.За св. Х. и Y. От Пример 3 Намери .

Решение.

Пример 5.Плътността на съвместното разпределение на двуизмерно Св.

Определение 2.7. Това е чифт случайни числа (x, Y) или точка на координатната равнина (фиг. 2.11).

Фиг. 2.11.

Двуизмерна случайна стойност е специален случай на многоизмерна произволна променлива или произволен вектор.

Определение 2.8. Небрежен вектор - това е случайна функция(/) С ограничено множество от възможните стойности на аргумента t, стойността, която по всяко значение t. Това е случайна променлива.

Двуизмерна случайна променлива се нарича непрекъснато, ако координатите му са непрекъснати и дискретни, ако координатите му са дискретни.

За да се определи законодателството за разпределение на двуизмерни случайни променливи - това означава да се установи съответствие между възможните стойности и вероятността от тези ценности. Според методите на задачата, случайните променливи се разделят на непрекъснато и дискретно, въпреки че има общи методи Определяне на закона за разпространение на всеки SV.

Дискретно двуизмерна случайна променлива

Дискретната двуизмерна случайна променлива се настройва с помощта на таблицата за разпространение (Таблица 2.1).

Таблица 2.1.

Таблица за разпространение (съвместно разпределение) на SV ( Х., Y)

Елементите на таблицата се определят по формулата

Свойства на таблицата за разпространение:

Разпределение за всяка координатна се нарича едноизмерноили маргинален:

r. 1> \u003d P (x \u003d .g,) - пределно разпределение на Х.;

p ^ 2) = P (y \u003d y,) - пределно разпределение на Св.

Комуникационна съвместно разпределение на Х. и y даде набор от вероятности [P ()), аз = 1,..., n, J. = 1,..., t. (таблица за разпространение) и маргинално разпределение.

Подобно на St. p- 2) \u003d X. r, G.

Задача 2.14. Дадено:

Непрекъснато двуизмерна произволна променлива

/ (х, y) dxdy. - вероятността елемент за двуизмерна случайна променлива (x, y) е вероятността от случайно отклонение (x, y) в правоъгълник със страните cBC, DY. за dx, dy. -* 0:

f (x, y) - плътност на разпределението двуизмерна случайна променлива (x, y). Задача / (x, y) Ние даваме пълна информация за разпределението на двуизмерна случайна променлива.

Маргиналните разпределения се дават както следва: чрез X - плътността на разпределението на SV X /, (X); до Y. - плътността на разпределението на Св. f\u003e (y).

Определяне на закона за разпространение на двуизмерна функция за разпределение на променлива

Универсален начин за определяне на закона за разпространение за дискретна или непрекъснато двуизмерна случайна променлива е функцията за разпространение F (x, y).

Определение 2.9. Функция на разпределението f (x, y) - вероятността за съвместна външен вид на събития (HU), т.е. F (x 0, y n) \u003d \u003d \u003d \u003d P (H. y) изоставени върху координатната равнина, за да влязат в безкраен квадрант с върха в точката m (x 0, \\ t y и) (в сенчеста на фиг. 2.12 област).

Фиг. 2.12. Илюстрация на разпределителната функция f ( x, y)

Функция за свойства F (x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F (-oo, --OO) \u003d. F (x, --OO) \u003d f (-OO, y) \u003d. 0; F (oO, OO) \u003d 1;
• 3) F (x, y) - непоследователни за всеки аргумент;
• 4) F (x, y) - непрекъснато наляво и по-долу;
• 5) Съгласуваност на разпределенията:

F (x, X: f (x, oo) \u003d F, (x); F (y, OO) - пределно разпределение Y f (oO. y) \u003d f 2 (y).Комуникация / (x, y) от F (x, y):

Комбиниране на плътност на ставата с маргинален. Дена f (x, y). Получаваме маргинална плътност на разпределението f (x), f 2 (y). "

Случай на независими координати на двуизмерна случайна променлива

Определение 2.10. Св. Х.и Ynevi-зависими (NZ) Ако всички събития, свързани с всеки от тези SV, са независими. От определението на NZ SV следва:

• 1 ) Pij \u003d p x) pf
• 2 ) F (x, y) \u003d f l (x) f2 (y).

Оказва се, че за независим Х. и Y. Направено I.

3 ) F (x, y) \u003d j (x) F, (Y).

Доказваме това за независим Х. и Y 2) 3). Доказателства, а) Нека 2) да бъде изпълнено), т.е.

в същото време F (x, y) \u003d J. f (u, v) dudv, откъде и следва 3);

б) Нека сега 3), тогава

тези. TRUE 2).

Разгледайте задачите.

Задача 2.15. Разпределението е определено от следната таблица:

Изграждане на маргинални разпределения:

Получаване P (x \u003d 3, W. = 4) = 0,17 * P (x \u003d 3) p (y \u003d 4) \u003d 0.1485 \u003d\u003e \u003d\u003e Х. и са слабо развити.

Функция за разпространение:

Задача 2.16. Разпределението е определено от следната таблица:

Получаване P tl \u003d. 0.2 0.3 \u003d 0.06; P 12 \u003d 0,2? 0.7 \u003d 0.14; P 2L. = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; P 22 - 0.8 0.7 \u003d 0.56 \u003d\u003e SV Х. и Y. NZ.

Задача 2.17. Дана / (x, y) \u003d. 1 / Me Ехр | -0.5 (D "+ 2h +. 5g / 2)]. Да намеря О) и / Au) -

Решение

(Помислете се).

Нека двуизмерната случайна стойност от $ (x, y) $.

Определение 1.

Законът за разпределението на двуизмерната случайна променлива $ (x, y) $ се нарича много възможни двойки числа $ (x_i, y_j) $ (където $ x_i epsilon x, y_j epsilon y $) и техните вероятности $ p_ (ij) $.

Най-често законът за разпределение на двуизмерна случайна променлива се записва като таблица (таблица 1).

Фигура 1. Законът за разпределението на двуизмерна случайна променлива.

Спомнете си сега Теорема за добавяне на вероятности на независими събития.

Теорема 1.

Вероятността на размера на крайния брой независими събития $ (a) _1 $, $ (a) _2 $, ..., $ (a) _n $ се изчислява по формулата:

Използвайки тази формула, можете да получите законите за разпространение за всеки компонент на двуизмерна случайна променлива, която е:

Оттук ще следва, че сумата от всички вероятности на двуизмерната система има следната форма:

Разгледайте подробно (постепенно) проблема, свързан с концепцията за закона за разпределение на двуизмерната произволна променлива.

Пример 1.

Законът за разпределение на двуизмерна случайна променлива е определена, както следва: \\ t

Фигура 2.

Намерете законите на разпространението на случайни променливи $ x, y $, $ x + y $ и проверете във всеки случай изпълнението на равенството на общия размер на единица вероятност.

1. Открийте първоначално разпределението на случайна променлива от $ x $. Случайна стойност от $ x $ може да вземе стойности $ x_1 \u003d 2, $ $ x_2 \u003d $ 3, $ x_3 \u003d $ 5. За да намерите разпространението, ще използваме теорема 1.

Открийте първоначално размера на вероятностите от $ x_1 $, както следва:

Фигура 3.

По същия начин, ние откриваме $ p / led (x_2] $ и $ p] left (x_3] $:

\ \

Фигура 4.

1. Сега намираме разпространението на случайна променлива от $ y $. Случайна стойност $ y $ може да вземе стойности $ x_1 \u003d 1, $ $ x_2 \u003d $ 3, $ x_3 \u003d $ 4. За да намерите разпространението, ще използваме теорема 1.

Намерете в началото на вероятността от $ y_1 $, както следва:

Фигура 5.

По същия начин, ние откриваме $ p / led (y_2] $ и $ p] left (y_3] $:

\ \

Това означава, че размерът на разпределението на стойността на $ x $ има следната форма:

Фигура 6.

Проверете изпълнението на равенството на пълния размер на вероятностите:

1. Остава да се намери правото на разпределението на случайна променлива от $ x + y $.

Обозначи го за удобство чрез $ z $: $ z \u003d x + y $.

Първоначално откриваме какви стойности може да предприеме тази стойност. За да направите това, ние ще поставим двойната стойност на стойностите на стойностите от $ x $ и $ y $. Получаваме следните стойности: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Сега, чрез изхвърляне на съвпаденията, ние получаваме, че случайната стойност от $ x + y $ може да вземе стойностите на $ Z_1 \u003d 3, z_2 \u003d 4, z_3 \u003d 5, z_4 \u003d 6, z_5 \u003d 7, z_6 \u003d 8, z_7 \u003d 9. $

Намерете $ p (z_1) $. Тъй като стойността на $ z_1 $ е една, тогава тя е както следва:

Фигура 7.

По същия начин има вероятности, с изключение на $ p (z_4) $:

Сега ще намерим $ p (z_4) $, както следва:

Фигура 8.

Така че, законът за разпространение на стойността на $ z $ има следната форма:

Фигура 9.

Проверете изпълнението на равенството на пълния размер на вероятностите: