Математическо очакване X Y. Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Всяка, отделно взета стойност се определя изцяло чрез нейната разпределителна функция. Също така, за решаване на практически задачи, има достатъчно, за да знаете няколко цифрови характеристики, благодарение на която способността да представят основните характеристики случайна величина накратко.

Тези стойности се отнасят предимно. очаквана стойност и дисперсия .

Очаквана стойност - средната стойност на случайното отклонение в теорията на вероятността. Обозначава как.

Най-много. прост начин Математическо очакване за случайна променлива X (w), намерете като интегралLebesgue. Във връзка с вероятността R. източник вероятност

Все още намеря математическото очакване на количеството integral Lebesgue. от х. Чрез разпределение на вероятностите R h. Стойности Х.:

където - набор от всички възможни стойности Х..

Математическо очакване на функции от произволна променлива Х. Заключена през разпределението R h.. например, ако Х. - Случайна стойност със стойности в и f (x) - недвусмислени борелевскаяфункция Х. , тогава:

Ако F (x) - Функция за разпространение Х.тогава е представено математическо очакване интегралLebesga - Stilletes (или Riemann - Stilly):

в този случай, интегриране Х. от гледна точка на ( * ) съответства на интеграла на крайниците

В конкретни случаи, ако Х. има дискретно разпространение с вероятни стойности x K., k \u003d 1, 2. и вероятности, тогава

ако Х. Той има абсолютно непрекъснато разпространение с плътност на вероятността p (x)T.

в същото време съществуване математическо очакване Тя е еквивалентна на абсолютната конвергенция на съответната серия или интегрална.

Свойствата на математическото очакване на случайна променлива.

• Математическите очаквания за постоянна стойност са равни на тази величина:

° С.- постоянен;

• M \u003d c.m [x]

• Математическите очаквания за количеството на случаен принципните стойности е равно на сумата на техните математически очаквания:

• Математическите очаквания за работата на независими произволно взети количества \u003d продуктът на техните математически очаквания:

M \u003d m [x] + m [y]

ако Х. и Y. Независим.

ако номер се сгъва:

Алгоритъм за изчисляване на математическите очаквания.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат повредени естествени числаШпакловка Всяка стойност за приравняване на вероятността, различна от нула.

1. От своя страна завъртете двойката: x I. на pLE..

2. Сгъваме продукта на всяка двойка x i p i.

Бившза н. = 4 :

Дискретна функция за случайност Стъпка, тя се увеличава с скок в тези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическо очакване по формулата.

Законът за разпределение напълно характеризира случайна сума. Въпреки това, законът на разпределението е неизвестен и трябва да бъде ограничен до по-малко информация. Понякога е още по-изгодно да се използват номера, които описват обща стойност на случайна стойност, тези номера се наричат числени характеристики случайна величина. Важна цифрова характеристика включва математическо очакване.

Математическо очакване, както ще бъде показано допълнително, приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За да разрешите много задачи, е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване за броя на счупените точки на първата стрелка е по-голямо от второто, първите стрелки средно чукаха повече точки от втората, и следователно тя стреля по-добре.

Определение4.1: Математическо очакване Дискретно случайно отклонение нарича количеството на всички възможни стойности за техните вероятности.

Нека случайност Х. може да отнеме само стойности x 1, x 2, ... x nчиито вероятности са съответно равни p 1, p 2, ... p n.Тогава математическо очакване M (x.) Случайна величина Х. Определени от равенството

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p2 + ... + x n p n.

Esley дискретна случайност Х. след това отнема броя на възможните стойности

,

освен това математическите очаквания съществуват, ако редът от дясната страна на равенството се сблъсква абсолютно.

Пример.Намерете математическо очакване за броя на събитията А.в един тест, ако вероятността за събитие А. равен пс..

Решение: Случайна стойност Х. - броя на събитията А. има разпределението на Бернули, така

По този начин, математическото очакване на броя на събитията в един тест е равно на вероятността от това събитие..

Вероятност на математическите очаквания

Нека произведени н. Тестове, при които произволна стойност Х. Приет m 1. Веднъж стойност x 1., m 2. Веднъж стойност x 2. ,…, m K. Веднъж стойност x K., и m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. След това сумата на всички приети ценности Х., равно x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

Средната аритметична стойност на всички ценности, приета от случайна променлива, ще бъде

Поведение m i / n- относителна честота W I. Стойности x I.приблизително равна на вероятността от събития pLE.където , така

Вероятността на получения резултат е: математическо очакване приблизително равни (по-точно, толкова по-голям е броят на тестовете) средни аритметични наблюдавани случайни стойности.

Свойства на математическите очаквания

Property1:Математическото очакване за постоянна стойност е равно на най-постоянното

Property2:Постоянният множител може да бъде направен за знак за математическо очакване.

Дефиниция4.2: Две случайни променливи Наречен независимАко законът за разпределението на един от тях не зависи от възможните стойности на другата получена стойност. В противен случай случайни променливи са зависими.

Дефиниция4.3: Няколко случайни променливи Обади се взаимно независимАко законите на разпространението на произволен брой от тях не зависят от възможните стойности са останалите стойности.

Property3:Математическите очаквания за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта от техните математически очаквания.

Следствие: Математическите очаквания за работата на няколко взаимно независими случайни променливи е равна на продукта на техните математически очаквания.

Property4:Математическите очаквания за сумата от две случайни променливи е равна на сумата на техните математически очаквания.

Следствие: Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равна на сумата на техните математически очаквания.

Пример.Изчислете математическото очакване на биномната произволна променлива Х -брой на събитието А. в н. експерименти.

Решение: Общ брой Х. Изяви на събития А. В тези тестове тя се състои от брой събития в отделни тестове. Въвеждаме случайни променливи X I. - броя на събитията в i.- изпитани тестове, които са бленлителни случайни стойности с математически очаквания, където . От собствеността на математическите очаквания, които имаме

По този начин, очаквана стойност биномиално разпределение с n и p параметри, равни на продукта np.

Пример.Вероятността да се удари целта при стрелба от пистолет p \u003d 0.6.Намерете математическото очакване на общия брой хитове, ако се произвеждат 10 изстрела.

Решение: Всеки изстрел не зависи от резултатите от други изстрели, така че разглежданите събития са независими и следователно желаните математически очаквания

Може да се опише и случайни променливи в допълнение към законите за разпространение числени характеристики .

Математическо очакване M (x) на случайна променлива се нарича средна стойност.

Математическите очаквания за дискретна произволна променлива се изчислява по формулата

където – Случайни стойности, p I -изплашен.

Помислете за свойствата на математическите очаквания:

1. Математическото очакване на постоянното е равно на постоянното

2. Ако случайна променлива се умножи по номер k, тогава математическото очакване умножава същия номер

M (kx) \u003d km (x)

3. Математическите очаквания за количеството на случайни променливи е равно на сумата на техните математически очаквания

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d m (x 1) + m (x 2) + ... + m (x n)

4. m (x 1 - x 2) \u003d m (x 1) - m (x 2)

5. За независими случайни променливи X 1, X 2, ... X N Математическите очаквания за работата са равни на продукта на техните математически очаквания

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d m (x 1) m (x 2) ... m (x n)

6. m (x - m (x)) \u003d m (x) - m (m (x)) \u003d m (x) - m (x) \u003d 0

Изчисляваме математическото очакване за случайна променлива от пример 11.

M (x) \u003d \u003d \u003d .

Пример 12. Нека произволни променливи X 1, X 2 са дадени съответно на законите за разпределение:

x 1 Таблица 2

x 2 Таблица 3

Изчислете m (x 1) и m (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0,4 + 0.01 · 0.2 + 0.1 · 0.1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 · 0.2 + 10 · 0.1 + 20 · 0.3 \u003d 0

Математическите очаквания на двете случайни променливи са еднакви - те са нула. Въпреки това, естеството на тяхното разпределение е различно. Ако стойностите X 1 се различават малко от техните математически очаквания, стойностите на Х 2 са до голяма степен различни от техните математически очаквания, а вероятностите на такива отклонения не са малки. Тези примери показват, че със средната стойност е невъзможно да се определи кои отклонения от нея се случват както за по-малки, така и в най-голяма степен. Така че със същата средна стойност на падане в две области на валежите за една година, е невъзможно да се каже, че тези области са еднакво благоприятни за селскостопанска работа. По същия начин, по отношение на средните заплати, не е възможно да се прецени специфичната тежест на високо и нископлатените работници. Следователно се въвежда цифровата характеристика - дисперсия D (x) , което характеризира степента на отклонение на случайна променлива от средната стойност:

D (x) \u003d m (x - m (x)) 2. (2)

Дисперсията е математическото очакване на квадратното отклонение на случайната променлива от математическото очакване. За дискретна случайна променлива дисперсията се изчислява по формулата:

D (x) \u003d = (3)

От дефиницията на дисперсията следва, че d (x) 0.

Свойства на дисперсията:

1. Дисперсионната константа е нула

2. Ако случайната променлива се умножи по номер k, тогава дисперсията ще се размножава на площада на този номер

D (kx) \u003d k 2 d (x)

3. D (x) \u003d m (x 2) - m 2 (x)

4. За двойки независими случайни променливи X 1, X 2, ... x N, дисперсията на количеството е равна на размера на дисперсията.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)

Изчислете дисперсията за случайна променлива от пример 11.

Математическо очакване m (x) \u003d 1. Следователно с формула (3) имаме:

D (x) \u003d (0 - 1) 2 · 1/4 + (1 - 1) 2 · 1/2 + (2 - 1) 2 · 1/4 \u003d 1 · 1/4 + 1 · 1/4 \u003d 1/2.

Имайте предвид, че дисперсията е по-лесна за изчисляване, ако използвате свойството 3:

D (x) \u003d m (x 2) - m 2 (x).

Изчислете дисперсията за случайни променливи X 1, X 2 от пример 12 за тази формула. Математическите очаквания на двете случайни променливи са нула.

D (x 1) \u003d 0.01 · 0,1 + 0.0001 · 0.2 + 0.0001 · 0.2 + 0.01 · 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 \u003d 0.00204.

D (x 2) \u003d (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0.1 + 10 2 · 0.1 + 20 2 · 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Колкото по-близо до стойността на дисперсия до нула, толкова по-малък е разпръскването на случайната променлива по отношение на средната стойност.

Стойността се нарича развитие отклонение. Модна произволна променлива Х. дискретен тип MD. Тя се нарича стойност на случайна променлива, която съответства на най-голяма вероятност.

Модна произволна променлива Х. непрекъснато MD тип, Той се нарича валиден номер, както е дефиниран като максимална плътност на вероятностното разпределение F (x).

Средна случайна променлива Х. непрекъснат тип mn.наречен валиден брой, отговарящ на уравнението

Теорията на вероятността е специална част от математиката, която се учи само от студенти от висши учебни заведения. Харесвате ли изчисления и формули? Вие не сте уплашени от перспективите за запознаване с нормалното разпространение, ентропията на ансамбъла, математическото очакване и дисперсията на дискретна произволна променлива? Тогава тази тема ще бъде много интересна. Нека се запознаем с няколко съществени основни концепции на този раздел на науката.

Спомнете си основите

Дори ако си спомняте най-простите понятия за теорията на вероятността, не пренебрегвайте първите параграфи от статията. Факт е, че без ясно разбиране на основите няма да можете да работите с формулите, които се считат по-долу.

Така че има някои случайно събитие, Някои експеримент. В резултат на действията можем да получим няколко резултата - някои от тях са по-често, други - по-рядко. Вероятността на събитието е съотношението на броя на действително получените резултати от същия тип спрямо общия брой на възможните. Само знаете класическата дефиниция на тази концепция, можете да пристъпите към изучаването на математическо очакване и разпръскване на непрекъснати случайни променливи.

Средно аритметично

Все още в училище в уроците по математика, започнахте да работите със средна аритметика. Тази концепция се използва широко в теорията на вероятността и затова е невъзможно да се заобиколи страната. Основното нещо за нас в момента е, че ще се сблъскаме с него във формулите на математическото очакване и дисперсията на случайна променлива.

Имаме последователност от цифри и искаме да намерим средноаритметичната средна стойност. Всичко, което се изисква от нас, е да обобщим всичко налично и разделено на броя на елементите в последователността. Нека имаме номера от 1 до 9. Размерът на елементите ще бъде равен на 45 и тази стойност, която разделяме до 9. Отговор: - 5.

Дисперсия

Говорейки с научен език, дисперсията е средният квадрат на отклоненията на получените признаци на функцията от средната аритметика. Той е обозначен с едно латино писмо D. Какво трябва да го изчислите? За всеки елемент от последователността изчисляваме разликата между съществуващия брой и средната аритметика и издигната в квадрата. Стойностите ще се окажат точно толкова, колкото и събитията, разглеждани от нас, могат да бъдат. След това обобщаваме всичко, получено и разделено на броя на елементите в последователността. Ако имаме пет резултата, ние разделяме пет.

Дисперсията има свойствата, които трябва да бъдат запомнени да се прилагат при решаване на задачи. Например, с увеличаване на произволната променлива в X пъти, дисперсията се увеличава в x в квадратните пъти (т.е. x * x). Тя никога не се случва по-малко от нула и не зависи от преминаването на стойностите еднаква стойност в голяма или по-малка страна. В допълнение, за независими тестове, дисперсията на сумата е равна на размера на дисперсията.

Сега трябва да разгледаме примери за разпръскване на дискретни случайни отклонения и математически очаквания.

Да предположим, че прекарахме 21 експеримента и получихме 7 различни резултата. Всяка от тях наблюдавахме съответно 1,2,2,3,4,4 и 5 пъти. Какво ще бъде направената дисперсия?

Първо, помислете за средноаритметичната стойност: сумата на елементите, разбира се, е равна на 21. Разделяме го на 7, давайки 3. Сега от всеки брой от началната последователност ще бъде извадена 3, всяка стойност се издига в квадрат и резултатите ще добавят заедно заедно. Оказва се 12. Сега трябва да разделим номера на броя на елементите и изглежда, всичко. Но има snag! Нека го обсъдим.

Зависимост от броя на експериментите

Оказва се, че при изчисляването на дисперсията в знаменателя може да бъде един от двата номера: или N или N-1. Тук n е броят на експериментите или броя на елементите в последователността (което е по същество същото). За какво зависи това?

Ако броят на тестовете се измерва със стотици, тогава трябва да поставим в N. знаменателя, ако единици, тогава N-1. Границите решиха да задържат съвсем символично: днес тя преминава според фигура 30. Ако прекараме по-малко от 30 експеримента, ще разделим сумата на N-1 и ако повече - тогава на N.

Задача

Нека се върнем към нашия пример решаване на проблема с дисперсията и математическите очаквания. Получихме междинен номер 12, който беше необходимо да се разделят на N или N-1. Тъй като експериментите, които проведохме 21, което е по-малко от 30, избират втория вариант. Така че, отговорът: дисперсията е 12/2 \u003d 2.

Очаквана стойност

Нека се обърнем към втората концепция, която трябва да разгледаме тази статия. Математическото очакване е резултат от добавянето на всички възможни резултати, умножени по съответните вероятности. Важно е да се разбере, че получената стойност, както и резултатът от изчислението на дисперсията, се получава само веднъж цяла задачаКолко резултати не се разглежда в нея.

Формулата на математическото очакване е съвсем проста: ние приемаме резултата, умножаваме своята вероятност, добавяме същото за втория, третия резултат и т.н. Всичко, свързано с тази концепция, се изчислява лесно. Например, количеството на сватовците е равно на сумата от сумата. За работата е подходяща същото. Такива прости операции позволяват да се извършва далеч от всяка стойност в теорията на вероятността. Нека да вземем задачата и да обмислим значението на концепциите, които изучавахме веднага. Освен това бяхме разсеяни от теорията - време е да практикуваме.

Още един пример

Прекарахме 50 теста и получихме 10 вида резултати - номера от 0 до 9 - се появяват в различни проценти. Това, съответно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Припомнете, че за да се получат вероятности, е необходимо да се разделят стойностите в проценти на 100. Така получаваме 0.02; 0.1 и др. Представете си за разпръскване на случайно отклонение и математическо очакване пример за решение на проблема.

Средната аритметична средна се изчислява с формулата, която си спомням от по-младото училище: 50/10 \u003d 5.

Сега ще прехвърлим вероятността за броя на резултатите "на парчета", така че да е по-удобно да се броят. Получаваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. От всяка получена стойност средната аритметика се изважда, след което всеки от получените резултати, издигнат в квадрата. Вижте как да направите това, при примера на първия елемент: 1 - 5 \u003d (-4). Следваща: (-4) * (-4) \u003d 16. За останалите стойности правят тези операции сами. Ако сте направили всичко правилно, след това, след като получите 90.

Продължете да изчислявате дисперсията и математическото очакване, разделяйки 90 на N. Защо избираме N, а не N-1? Точно така, защото броят на извършените експерименти надвишава 30. Така: 90/10 \u003d 9. Дисперсията, която получихме. Ако имате друг номер, не се отчайвайте. Най-вероятно сте направили банална грешка при изчисляване. Проверете писмено и със сигурност всичко ще падне на място.

И накрая, не забравяйте формулата на очакванията. Ние няма да дадем всички изчисления, да пишем само отговора, който можете да се справите, като попълните всички необходими процедури. Материализацията ще бъде равна на 5.48. Спомнете си само как да извършвате операции, при примера на първите елементи: 0 * 0.02 + 1 * 0,1 ... и така нататък. Както виждате, ние просто умножаваме стойността на резултата от вероятността му.

Отклонение

Друга концепция, тясно свързана с дисперсията и математическите очаквания - средното квадратично отклонение. Той е обозначен с латински SD букви или гръцка малка "сигма". Тази концепция Показва как средните стойности се отклоняват от централния знак. За да намерите своя смисъл, трябва да изчислите корен квадратен От дисперсия.

Ако изградите график нормална дистрибуция И искате да видите директно върху него от квадратично отклонение, това може да се направи на няколко етапа. Вземете половината от изображението наляво или надясно на режима (централната стойност), извършете перпендикулярно на хоризонталната ос, така че площта на цифрите да е равна. Размерът на сегмента между средата на разпределението и получената проекция на хоризонталната ос ще бъде вторично квадратично отклонение.

Софтуер

Както може да се види от описанията на формулите и представените примери, изчисленията на дисперсията и математическите очаквания не са най-простата процедура от аритметична гледна точка. За да не прекарват времето си, има смисъл да се използва програмата, използвана в най-високата образователни институции - нарича се "R". Той има функции, които ви позволяват да изчислите стойностите за много понятия от статистиката и теорията за вероятност.

Например, вие посочвате векторните стойности. Това се прави, както следва: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Накрая

Дисперсията и математическите очаквания са без които е трудно да се изчисли нещо друго. В основната година на лекции в университетите те вече се разглеждат в първите месеци на обучение по темата. Това е поради недоразумението на тези най-прости понятия и невъзможност да ги изчислим, много студенти започват да изостават от програмата и по-късно получават лоши оценки въз основа на резултатите от сесията, които ги лишават от стипендии.

Практикувайте най-малко една седмица половин час на ден, решаване на задачи, подобни на тези, представени в тази статия. След това, на всеки контрол върху теорията за вероятност, ще се справите с примери без чужди съвети и ясли.

- броя на момчетата сред 10 новородени.

Много е ясно, че тази сума не е известна предварително, а в следващите десетки деца, родени, тя може да бъде:

Или момчета - единствен От изброените опции.

И за да запази формата, малко физическо възпитание:

- дълго разстояние (в някои единици).

Тя не може да предскаже дори магистър по спорт :)

Въпреки това, вашите хипотези?

2) непрекъсната случайност - отнема всичко Цифрови стойности от някаква крайна или безкрайна мед.

Забележка : В образователната литература съкращенията на DSV и NSV

Първо ще анализираме дискретната случайност - непрекъснато.

Дискретна случайна променлива

- това е съответствие между възможните стойности на тази величина и техните вероятности. Най-често законът се записва от таблицата:

Често срещан термин ред ДистрибуцииНо в някои ситуации той звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".

И сега много важен момент: От случайна стойност преди Вик едно от значенията Тогава съответните събития пълна група И сумата на вероятностите на тяхното възникване е равна на едно:

или, ако го записвате, се оказва:

Например законът за разпределението на вероятностите на точките, попадащи върху куба, е както следва:

Без коментари.

Може би имате впечатлението, че дискретната случайност може да отнеме само "добри" целочислени стойности. Нека илюзията - те могат да бъдат:

Пример 1.

Някои игра има следното законодателство за дистрибуция:

... Вероятно отдавна сте мечтали за такива задачи :) Ще ви разкрия тайната - аз също. Особено след завършена работа теория на полето.

Решение: Тъй като случайна стойност може да отнеме само една от трите стойности, тогава съответните събития пълна групаТака че сумата от вероятностите им е равна на едно:

Обясняване на "Партизан":

- Така вероятността за печеливши условни единици е 0.4.

Контрол: Какво е необходимо да се уверите.

Отговор:

Не е необичайно, когато законът за разпределение трябва да бъде независимо. За тази употреба класическа дефиниция на вероятностите, теореми за умножение / допълнения на събития И други чипове terver.:

Пример 2.

Има 50 лотарийни билета в кутията, сред които са 12 печеливши, а 2 от тях спечелиха 1000 рубли, а останалите са 100 рубли. Направете закона за разпространението на случайна променлива - размера на печалбите, ако един билет се извлича от случаен принцип.

Решение: Както забелязахте, стойностите на случаенната променлива са обичайни, за да бъдат поставени ред за тяхното увеличение. Затова започваме с най-малките печалби и е рубли.

Общо плочи 50 - 12 \u003d 38, и класическа дефиниция:
- вероятността изкуплението да получи научен билет, който ще бъде малко.

С останалата част от случая, всичко е просто. Вероятността за спечелване на рубли е:

Проверка: - И това е особено приятен момент от тези задачи!

Отговор: Второто законодателство за дистрибуция:

Следната задача за саморешения:

Пример 3.

Вероятността стрелецът да удари целта е равен на. Направете закона за разпределението на случайна променлива - броя на ударите след 2 изстрела.

... Знаех, че сте го пропуснали :) Спомням си умножение и допълнение теореми. Решение и отговор в края на урока.

Законът за разпространение напълно описва случайна сума, обаче, тя е полезна на практика (а понякога по-полезна) да знае само част от нея числени характеристики .

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

На прост език, той е средно цената С множество повторения на тестовете. Нека произволната стойност взема ценности с вероятности съответно. След това математическото очакване на тази случайна променлива е равна размер на строителството Всичките му стойности на съответните вероятности:

или в усуканата форма:

Изчислете, например, математическото очакване на случайна променлива - броя на точките, попадащи върху възпроизвеждане на кабина:

Сега нека си спомним нашата хипотетична игра:

Въпросът възниква: е изгодно да играете тази игра? ... които имат някакви впечатления? Така че в края на краищата "achdka" и не можете да кажете! Но този въпрос може лесно да бъде отговорен, изчисляването на математическите очаквания всъщност - тежест В вероятности, печалби:

По този начин, математическото очакване на тази игра губещ.

Не вярвайте в впечатленията - камион!

Да, тук можете да спечелите 10 и дори 20-30 пъти подред, но на дълги разстояния очакваме неизбежно разрушение. И аз не бих ви посъветвал да играете такива игри :) добре, може би само за развлечение.

От гореизложеното следва, че математическото очакване вече не е случайна стойност.

Творческа задача за самообучение:

Пример 4.

Г-н X играе европейска рулетка на следната система: постоянно поставя 100 рубли до "червено". Направете право на разпределение на случайна променлива - печалбите му. Изчислете математическото изчакване на печалбите и го заобикалете до Копейки. колко средно аритметично Губи играч с всяка доставена стотици?

справка : Европейската рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор (нула). В случай на "червен" играч се изплаща два пъти, в противен случай тя влиза в приходите от казино

Има много други системи за игра на рулетка, за които можете да компенсирате вероятностите. Но това е така, когато не се нуждаем от никакви закони на разпространение и таблица, защото се изчислява, че математическото очакване на играча ще бъде точно същото. От системата до системата се променя само