Геометричното значение на понятието производно. Геометричното значение на производната

Производната на функцията f (x) в точката x0 е границата (ако съществува) на съотношението на нарастването на функцията в точка x0 към нарастването на аргумента Δx, ако нарастването на аргумента клони към нула и се означава с f '(x0). Действието по намиране на производната на функция се нарича диференциране.
Производната на функция има следното физическо значение: производната на функция в дадена точка е скоростта на промяна на функция в дадена точка.

Геометричното значение на производната... Производната в точката x0 е равна на наклона на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в тази точка.

Физическото значение на производната.Ако една точка се движи по оста x и нейната координата се променя според закона x (t), тогава моментната скорост на точката е:

Диференциално понятие, неговите свойства. Правила за диференциране. Примери.

Определение.Диференциалът на функция в дадена точка x е основната, линейна част от нарастването на функцията.Диференциалът на функцията y = f (x) е равен на произведението на нейната производна и приращението на независимата променлива x ( аргумент).

Пише се така:

или

Или


Диференциални свойства
Диференциалът има свойства, подобни на тези на производната:





ДА СЕ основни правила за диференциациявключват:
1) изваждане на постоянен фактор от знака на производната
2) производна на сбора, производна на разликата
3) производната на произведението на функциите
4) производната на частното на две функции (производна на дроб)

Примери.
Нека докажем формулата: По дефиницията на производната имаме:

Един произволен фактор може да бъде преместен извън знака на преминаването до границата (това е известно от свойствата на границата), следователно

Например:Намерете производната на функция
Решение:Ще използваме правилото за изваждане на фактора от знака на производната :

Доста често първо трябва да опростите формата на диференцираната функция, за да използвате таблицата на производните и правилата за намиране на производни. Следващите примери ясно потвърждават това.

Формули за диференциация. Диференциално приложение в приблизителни изчисления. Примери.

Използването на диференциала при приблизителни изчисления ви позволява да използвате диференциала за приблизителни изчисления на стойностите на функция.
Примери за.
Използвайки диференциала, изчислете приблизително
За да изчислим тази стойност, прилагаме формулата от теорията
Нека да представим под внимание функцията и да представим дадената стойност във формата
след това Изчислете

Замествайки всичко във формулата, най-накрая получаваме
Отговор:

16. Правилото на L'Hôpital за разкриване на несигурности от вида 0/0 или ∞ / ∞. Примери.
Границата на съотношението на две безкрайно малки или две безкрайно големи количества е равна на границата на съотношението на техните производни.

1)

17. Увеличаване и намаляване на функцията. Функция на екстремум. Алгоритъм за изследване на функция за монотонност и екстремум. Примери.

Функция се увеличавана интервала, ако неравенството важи за всякакви две точки от този интервал, свързани с релацията. Тоест, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията и нейната графика върви „отдолу нагоре“. Демо функцията нараства на интервала

По същия начин функцията намалявана интервала, ако за всякакви две точки от дадения интервал, такива че, неравенството е вярно. Тоест, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията и нейната графика върви „отгоре надолу“. Нашият намалява на интервали намалява на интервали .

КрайностиТочка се нарича максимална точка на функцията y = f (x), ако неравенството важи за всички x от нейната околност. Извиква се стойността на функцията в максималната точка максимална функцияи обозначават.
Точка се нарича минимална точка на функцията y = f (x), ако неравенството важи за всички x от нейната околност. Извиква се стойността на функцията в минималната точка минимална функцияи обозначават.
Околността на точка се разбира като интервал , където е достатъчно малко положително число.
Минималните и максималните точки се наричат ​​точки на екстремум, а стойностите на функцията, съответстващи на точките на екстремум, се наричат екстремуми на функцията.

За изследване на функцията върху монотонността, използвайте следната схема:
- Намерете обхвата на функцията;
- Намерете производната на функцията и областта на производната;
- Намерете нулите на производната, т.е. стойността на аргумента, за който производната е нула;
- Върху числовите лъчи маркирайте общата част от областта на функцията и областта на нейната производна, а върху нея - нулите на производната;
- Определете знаците на производната на всеки от получените интервали;
- По знаците на производната определете на кои интервали функцията нараства и на кои намалява;
- Запишете подходящите интервали, разделени с точка и запетая.

Алгоритъм за изследване на непрекъсната функция y = f (x) за монотонност и екстремуми:
1) Намерете производната f ′ (x).
2) Намерете стационарни (f ′ (x) = 0) и критични (f ′ (x) не съществува) точки на функцията y = f (x).
3) Маркирайте стационарните и критичните точки на числовата права и определете знаците на производната на получените интервали.
4) Направете изводи за монотонността на функцията и нейните екстремални точки.

18. Изпъкналост на функция. Точки на огъване. Алгоритъм за изследване на функция за изпъкналост (вдлъбнатост) Примери.

изпъкнала надолуна интервала X, ако неговата графика е разположена не по-ниско от допирателната към него във всяка точка от интервала X.

Извиква се функцията, която трябва да се диференцира изпъкнал нагорена интервала X, ако неговата графика е разположена не по-високо от допирателната към него във всяка точка от интервала X.

Точката на формулата се нарича точка на огъванефункция y = f (x), ако в дадена точка има допирателна към графиката на функцията (тя може да бъде успоредна на оста Oy) и има такава съседство на точковата формула, в рамките на която графиката на функцията има различни посоки на изпъкналост вляво и вдясно от точката M.

Намиране на интервалите за изпъкналост:

Ако функцията y = f (x) има крайна втора производна на интервала X и ако неравенството (), тогава графиката на функцията има издутина, насочена надолу (нагоре) върху X.
Тази теорема дава възможност да се намерят интервалите на вдлъбнатост и изпъкналост на функция; необходимо е само да се решат неравенствата и съответно на областта на дефиниране на първоначалната функция.

Пример: Открийте интервалите, на които графиката на функцията Открийте интервалите, на които графиката на функцията има изпъкналост нагоре и издутина надолу. има издутина нагоре и издутина надолу.
Решение:Областта на тази функция е целият набор от реални числа.
Нека намерим втората производна.

Областта на дефиниране на втората производна съвпада с областта на дефиниране на първоначалната функция, следователно, за да се открият интервалите на вдлъбнатина и изпъкналост, е достатъчно да се реши и, съответно. Следователно функцията е изпъкнала надолу по формулата на интервала и изпъкнала нагоре по формулата за интервала.

19) Асимптоти на функция. Примери.

Правата линия се нарича вертикална асимптотаграфиката на функцията, ако поне една от граничните стойности е или равна на или.

Коментирайте.Правата линия не може да бъде вертикална асимптота, ако функцията е непрекъсната в дадена точка. Следователно вертикалните асимптоти трябва да се търсят в точките на прекъсване на функцията.

Правата линия се нарича хоризонтална асимптотафункционална графика, ако поне една от граничните стойности или е равна.

Коментирайте.Графиката на функциите може да има само дясната хоризонтална асимптота или само лявата.

Правата линия се нарича наклонена асимптотафункционална графика, ако

ПРИМЕР:

Упражнение.Намерете асимптотите на графиката на функция

Решение.Обхват на функцията:

а) вертикални асимптоти: права линия - вертикална асимптота, т.к

б) хоризонтални асимптоти: намираме границата на функцията в безкрайност:

тоест няма хоризонтални асимптоти.

в) наклонени асимптоти:

Така наклонената асимптота е:.

Отговор.Вертикалната асимптота е права.

Наклонената асимптота е права.

20) Общата схема на изследване на функцията и построяването на графиката. Пример.

а.
Намерете ODZ и точките на прекъсване на функцията.

б. Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

2. Направете изследване на функцията с помощта на първата производна, тоест намерете точките на екстремум на функцията и интервалите на нарастване и намаляване.

3. Изследвайте функцията с помощта на производната от втори ред, т.е. намерете точките на прегъване на графиката на функцията и интервалите на нейната изпъкналост и вдлъбнатост.

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията: а) вертикална, б) наклонена.

5. Въз основа на изследването построете графика на функцията.

Имайте предвид, че преди да начертаете графиката, е полезно да определите дали дадената функция е нечетна или четна.

Припомнете си, че функцията се извиква дори ако стойността на функцията не се променя, когато знакът на аргумента се промени: f (-x) = f (x)и функция се нарича нечетно ако f (-x) = -f (x).

В този случай е достатъчно да се изследва функцията и да се изгради нейната графика за положителни стойности на аргумента, принадлежащ на ODZ. За отрицателни стойности на аргумента графиката се попълва въз основа на това, че за четна функция е симетрична спрямо оста Ой, и за нечетни спрямо произхода.

Примери.Изследвайте функциите и начертайте техните графики.

Обхват на функцията D (y) = (–∞; + ∞).Няма точки на прекъсване.

Пресичане на оси вол: х = 0,y = 0.

Функцията е нечетна, следователно е възможно да се изучава само на интервала, а аргументът й е в единици [x], тогава производната (скорост) се измерва в единици.

Проблем 6

х(T) = 6T 2 − 48T+ 17, където х T T= 9s.

Намерете производната
х"(T) = (6T 2 − 48T + 17)" = 12T − 48.
Така получихме зависимостта на скоростта от времето. За да намерите скоростта в даден момент от време, трябва да замените нейната стойност в получената формула:
х"(T) = 12T − 48.
х"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Отговор: 60

коментар: Нека се уверим, че не сме сбъркали с размерността на количествата. Тук мерната единица за разстояние (функция) [x] = метър, единица време (аргумент на функцията) [t] = секунда, оттам мерната единица на производната = [m/s], т.е. производната дава скоростта точно в онези единици, които са споменати във въпроса за задачата.

Проблем 7

Материалната точка се движи по права линия според закона х(T) = −T 4 + 6T 3 + 5T+ 23, където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете скоростта му (в метри в секунда) в момент от време T= 3s.

Намерете производната
х"(T) = (−T 4 + 6T 3 + 5T + 23)" = −4T 3 + 18T 2 + 5.
Заместваме дадения момент във времето в получената формула
х"(3) = −4 · 3 3 + 18 · 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Отговор: 59

Проблем 8

Материалната точка се движи по права линия според закона х(T) = T 2 − 13T+ 23, където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент (в секунди) скоростта му е била равна на 3 m / s?

Намерете производната
х"(T) = (T 2 − 13T + 23)" = 2T − 13.
Приравняваме скоростта, дадена от получената формула, на стойността от 3 m / s.
2T − 13 = 3.
След като решим това уравнение, ние определяме в кой момент равенството е вярно.
2T − 13 = 3.
2T = 3 + 13.
T = 16/2 = 8.

Отговор: 8

Проблем 9

Материалната точка се движи по права линия според закона х(T) = (1/3)T 3 − 3T 2 − 5T+ 3, където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент (в секунди) скоростта му е била равна на 2 m / s?

Намерете производната
х"(T) = ((1/3)T 3 − 3T 2 − 5T + 3)" = T 2 − 6T − 5.
Също така съставяме уравнението:
T 2 − 6T − 5 = 2;
T 2 − 6T − 7 = 0.
Това е квадратно уравнение, което може да бъде решено с помощта на дискриминанта или теоремата на Виета. Тук според мен вторият начин е по-лесен:
T 1 + T 2 = 6; T 1 · T 2 = −7.
Лесно е да се досетите T 1 = −1; T 2 = 7.
Поставяме само положителен корен в отговора, тъй като времето не може да бъде отрицателно.