Векторите могат да бъдат графично представени от насочени сегменти. Дължината се избира чрез конкретна скала за обозначаване величината на вектора и посоката на разделяне представлява посока на вектора . Например, ако заключим, че 1 cm представлява 5 км / ч, тогава североизточният вятър със скорост от 15 км / ч ще бъде представен от насочен сегмент от 3 см дълъг, както е показано на фигурата.

Вектор В самолета това е насочено нарязано. Два вектора равен Ако те имат същото магнитуд и посока.

Помислете за вектора, изготвен от точка А до точка Б. Точката се нарича начална точка Вектор и точка Б се нарича крайната точка. Символичното наименование за този вектор е (прочетено като "AB вектор"). Векторите също са обозначени с удебелени букви, като U, V и W. четири вектора във фигурата отляво имат еднаква дължина и посока. Следователно те представляват равен вени; i.e,

В контекста на векторите се прилагаме \u003d да определим своя капитал.

Дължина, или стойност Той е изразен като ||. За да се определи дали векторите са равни, откриваме тяхната величина и указания.

Пример 1. Вектори U, W са показани на снимката по-долу. Докажете, че u \u003d \u003d w.

Решение Първо откриваме дължината на всеки вектор, използвайки формулата на разстоянието:
| U | \u003d √ 2 + (4 - 3) 2 \u003d √9 + 1 \u003d √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
| W | \u003d √ (4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 \u003d √9 + 1 \u003d √10.
Оттук
| U | \u003d | \u003d | W |.
Вектори U и W, както се вижда от чертежа, изглежда, че имат една и съща посока, но ще проверим наклона им. Ако директният, на който са разположени, имат едни и същи склонове, тогава векторите имат една и съща посока. Изчислете склоновете:
Тъй като u, и w имат еднакви стойности и същото изобретение,
u \u003d w.

Имайте предвид, че равенството на векторите изисква само една и съща стойност и една и съща посока, а не място на едно място. В горната фигура - пример за равенството на векторите.

Да предположим, че човек прави 4 стъпки на изток, а след това 3 стъпки на север. След това човекът ще бъде 5 стъпки от началната точка в посоката, показана отляво. Вектор в 4 единици дълъг и посока надясно представлява 4 стъпки към единиците изток и вектор 3. Дължина. Нагоре представлява 3 стъпки. Сума Двамата от тези вектори имат вектор от 5 етапа с величина и в посочената посока. Сумата също се нарича в резултат Два вектора.

Като цяло, два не-нула вектор U и V могат да бъдат сгънати чрез геометрично подреждане на началната точка v до крайната точка на вектора u, и след това намирането на вятъра, който има една и съща начална точка като вектор U и същия край Точка като вектор V, както е показано на снимката по-долу.

Сумата е векторът, представен от посока сегмент от точката a Vector u до крайната точка c вектор V. Така, ако u \u003d и v \u003d тогава
u + v \u003d + \u003d

Можем също да опишем добавянето на вектори като съвместно поставяне на началните точки на векторите, изграждането на паралелограма и намирането на диагонала на паралелара. (на снимката по-долу.) Това допълнение понякога се нарича като правило Добавяне на вектори. Добавяне на добавяне на вектор. Както е показано на фигурата, и двата вектора U + V и V + U са представени със същия посочен сегмент.

Ако двете сили F 1 и F 2 действат на един обект, в резултат Силата е сумата f 1 + f 2 от тези две отделни сили.

Пример Два сили в 15 Нютона и 25 Нютън действат на един обект, перпендикулярно един на друг. Намерете ги сумата или получената сила и ъгъла, който се формира с по-голяма сила.

Решение Начертайте състоянието на проблема, в този случай правоъгълникът, използващ V или да представлява полученото. За да намерите своята стойност, използвайте теоремата на Pythagore:
| V | 2 \u003d 15 2 + 25 2 Тук | v | обозначава дължината или стойността на V.
| V | \u003d √15 2 + 25 2
| V | 29.2.
За да намерите посоката, отбелязваме, че тъй като OAB е директен ъгъл,
tanθ \u003d 15/25 \u003d 0.6.
Използвайки калкулатора, откриваме θ, ъгъл, който е много оформен с получената сила:
θ \u003d тен - 1 (0.6) ≈ 31 °
Получената стойност има стойност от 29.2 и ъгъл от 31 ° с по-голяма сила.

Пилотите могат да регулират посоката на полет, ако има страничен вятър. Вятърът и скоростта на въздухоплавателното средство могат да бъдат изобразени като вени.

Пример 3. Скорост и посока на самолета. Самолетът се движи по Azimuth 100 ° със скорост от 190 км / ч, докато скоростта на вятъра е 48 км / ч, а нейният азимут е 220 °. Намерете абсолютната скорост на самолета и посоката на движението му, като се вземат предвид вятъра.

Решение Първо направете рисунка. Вятърът е представен и векторът за скорост на въздухоплавателното средство е. Полученият вектор на скоростта е V, сумата от два вектора. Ъгъл θ между v и извикан ъгъл на разрушаване .


Обърнете внимание, че стойността на COA \u003d 100 ° е 40 ° \u003d 60 °. Тогава стойността на CBA също е 60 ° (противоположните ъгли на паралелния модел са равни на). Тъй като сумата от всички краища на паралелограмата е 360 ° и кочан и OAB имат една и съща стойност, всеки трябва да бъде 120 °. До правило Косинусов в OAB имаме
| V | 2 \u003d 48 2 + 190 2 - 2.48.190.COS120 °
| V | 2 \u003d 47,524.
| V | \u003d 218.
Тогава, | v | Еднакво 218 км / ч. Според правилник Синусов , в същия триъгълник,
48 / Sinθ \u003d. 218 / Грях 120 °,
или
sinθ \u003d 48.sin120 ° / 218 ≈ 0.1907
≈ 11 °
След това, θ \u003d 11 °, до най-близкия цяло ъгъл. Абсолютната скорост е 218 км / ч, а посоката на нейното движение с вятър: 100 ° - 11 °, или 89 °.

Ако сме зададени вектор W, можем да намерим два други вектор U и V, сумата от която е w. U и V вектори се наричат компоненти W И процесът на намиране им се нарича разлагане или векторно представяне от неговите векторни компоненти.

Когато изложим вектора, обикновено търсим перпендикулярни компоненти. Много често, обаче, един компонент ще бъде паралелната ос X, а другата ще бъде успоредна на оста Y. Следователно те често се наричат хоризонтален и вертикален Компоненти на вектора. На фигурата по-долу векторът W \u003d се разлага като сума U \u003d и v \u003d.

Хоризонтален компонент W е U и вертикалният компонент - v.

Пример 4. Векторът W има стойност 130 и наклон от 40 ° спрямо хоризонталата. Разстелете вектора на хоризонтални и вертикални компоненти.

Решение Първо, ние рисуваме с хоризонтални и вертикални вектори и V, чиято количество е w.

От ABC, ние откриваме | и | v |, използване на косинусови и синусни определения:
cos40 ° \u003d | U | / 130, или | u | \u003d 130.cos40 ° ≈ 100,
sin40 ° \u003d | v | / 130, или | v | \u003d 130.sin40 ≈ 84.
След това хоризонталният компонент W е 100 десен и вертикалният компонент W е 84 нагоре.

Тази страница е посветена на група задачи в геометрията, свързана с вектори, и е продължаване Разглеждане на серия геометрични задачи, характерни за изпита и Оге в математиката .
В демонстрационни варианти EGGE 2020. години те могат да се срещат под номерата 8 и 15 за основно ниво и номер 3 За ниво на профила. Ако не сте били ангажирани в други типове тази задача, следвайте връзките в края на страницата.

ВНИМАНИЕ: За повишаване на учебния ефект отговори и решения Зареждане отделно за всяка задача да натиснете серийно бутоните на жълт фон. (Когато има много задачи, бутоните могат да се появят със закъснение. Ако бутоните изобщо не са видими, проверете дали е разрешено в браузъра ви JavaScript.)

Задачи за вектор.

Вектор - насочен сегмент.

Дължината на рязане се нарича вектор модул. Два вектора са равни, ако имат равни модули и са еднакво насочени.
Векторът означава или малки латински букви a, B, C ...или посочване на краищата на сегмента Ab, cd, mn ... За да се разграничи обозначението на вектора от нотацията за само сегмент, тези знаци се допълват от по-горе в DATS или стрелки. В отпечатания текст латиновите букви често разпределят само в удебелени шрифтове.

Ако векторът е показан с две букви (краищата на сегмента), тогава началото на вектора винаги стои на първо място.

Задайте вектор по различни начини:
1. Графично - изобразяване на координатната мрежа.
2. Задайте началните и крайните точки и техните координати.
3. Задайте дължината на сегмента и посоката. Посоката определя ъглите с координатните оси (Ръководство за косин).
4. Задайте векторни координати.

Претендират за концепцията за координата на вектора.

Нека векторът но Самолетът има начало в точката НО(х. А; y. А) и край в точка В(х. Б; y. Б).
Векторните координати се наричат \u200b\u200bномера
а. 1 = х. B - х. А I. а. 2 = y. B - y. А.
По този начин, вектор а. има координати ( а. 1 ;а. 2).

На фигура векторът AB има координати (9; 5). Моля, обърнете внимание, че тези цифри действително определят косите на правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е сегмент AU.. Дължината на тези катетри няма да се промени, ако преместим паралелния сегмент, и с него целият триъгълник, на друго място. Координатите на вектора не зависят от позицията му в равнината и само по дължината на сегмента и посоката. Ако посоката на вектора не съвпада с посоката на координатна ос, съответната векторна координатна координация ще бъде равна на дължината на катема с "минус" знак.

Векторът може да бъде сгънат, приспада се, умножено по номера. За вектори също дефинирани специални типове умножение - скаларен продукт, резултатът от който е номерът, и векторният продукт, резултатът от който е векторът. (Векторната работа не е включена в задължителната учебна програма в областта на математиката, но частично се случва в уроците по физика, когато се изучават законите за индукцията на магнитното поле.) Операциите на вектори могат да бъдат направени или чрез координатен метод или по графики (Правилото на паралелограмата, правилото на триъгълника ...). Повторете тези правила в учебника или референтната книга и изберете себе си "Любими". Предвиждам решение на този метод, който е по-кратък за конкретна задача.

За следващата група задачи, чертежът в състоянието, общо казано, не се изисква. Ако решите проблемите с координатовия метод, след това в решението можете да направите без рисуване, особено след като мрежата не се нуждае. Въпреки това, по-добрите рисунки винаги трябва да избягват неочаквани грешки. И мрежата помага за визуално наблюдение на нейното решение. Разбира се, ако скалата ви позволява.

Задача 1.

Две страни на правоъгълник ABCD. равен на 6 и 8.
Намерете дължината на вектора за променлив ток.

Дължина на AC вектора — равно на дължината на рязането Ac.което е хипотеница на правоъгълен триъгълник АВС с известни обичаи.
Ac. 2 = AB. 2 + Пр. Хр. 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; Ac. = 10.

"Геометрия" на трапеца "- мисля. Квадрат на трапеца. Ah \u003d. 1. AD \u003d 4 cm. База. Намерете ABCD трапецовидна област. Намери правоъгълна зона. Геометрия. Повторете доказателството на теоремата. Разбийте многоъгълник на триъгълниците. Задача с решение.

"Определение на аксиалната симетрия" - изграждане на точки "и Б". Аксиална симетрия. Фигура. Пропуснати координати. Изграждане на сегмент. Раздел. Оста на симетрията. Симетрия в поезията. Изграждане на триъгълник. Точки, лежащи на една перпендикулярна. Изграждане на точка. Симетрия. Триъгълници. Изграждане на триъгълници. Снимка на точка. Изграждане на точка. Фигури, притежаващи една ос на симетрия. Направо. Цифри, притежаващи две оси на симетрия. Симетрия в природата.

"Квадругове, техните знаци и свойства" - тестове. Ъгли на ромб. Правоъгълник, чиито всички страни са равни. Видове квадратчета. Да се \u200b\u200bзапознаят с видовете когла. Четириъгълник, чиито върхове са в средата на страните. Четириъгълник. Квадрати, техните знаци и свойства. Трапец. Паралелограма. Свойства на паралелеограмата. Диагонал. От които два равни триъгълника могат да бъдат сгънати квадрат. Правоъгълник. Квадрат. Видове трапец.

"Теорема на вписаните въглища" е изследването на нов материал. Кръгове се пресичат. Отговор. Актуализиране на знанията на учениците. Проверете себе си. Радиус на кръг. Правилен отговор. Радиусът на кръга е 4 см. Фиксиране на изследвания материал. Остър ъгъл. Намерете ъгъла между акордите. Триъгълник. Теорема на вписания ъгъл. Концепцията за изписан ъгъл. Намерете ъгъла между тях. Какво е името на ъгъла с върха в центъра на обиколката. Решение. Актуализиране на знанията.

"Изграждане на допирателна към обиколката" - кръг. Взаимно подреждане на пряка и обиколка. Кръг и права. Диаметър. Общо точки. Акорд. Решение. Кръг и директни имат една обща точка. Допирателна до обиколка. Повторение. Теорема на сегменти от допирателни.

"Геометрия" подобни триъгълници "- два триъгълника се наричат \u200b\u200bподобни. Стойностите на синуса, косинус и печат за ъгли от 30 °, 45 °, 60 °. Намерете областта на равновесен правоъгълен триъгълник. Теорема за отношението на областите на такива триъгълници. Подобни триъгълници. Вторият знак за сходството на триъгълниците. Продължаване на страните. Стойности на синуса, косинус и допирателни. Пропорционални сегменти. Две страни на триъгълника се присъединиха към сегмента, нереалната трета.

Тази глава е посветена на развитието на векторна геометрична апаратура. С помощта на вектори можете да докажете теоремите и да решите геометрични задачи. Примери за това прилагане на вектори са дадени в тази глава. Но проучването на векторите също е полезно и защото те са широко използвани във физиката, за да опишат различни физически количества, като скорост, ускорение, сила.

Много физически количества, като сила, движение на материала, скоростта се характеризират не само чрез числената им стойност, но и от посоката в пространството. Такива физически количества се наричат векторни магнити (или къса вектори).

Помислете за пример. Нека тялото действа в 8 N. На фигурата, силата е изобразена с сегмент със стрелка (фиг. 240). Стрелката показва посоката на силата, а дължината на сегмента съответства на числената стойност на силата в избраната скала. Така на фигура 240, силата в 1 час е изобразена с половин сегмент от 0,6 cm, така че силата в 8 часа е изобразена с сегмент от 4,8 cm.

Фиг. 240.

Пиене от специфичните свойства на физическите векторни количества, пристигаме в геометричната концепция на вектора.

Помислете за произвол. Неговите краища се наричат \u200b\u200bсъщо ограничени точки на точките.

На сегмента можете да посочите две посоки: от една гранична точка до другата и обратно.

Да избере една от тези указания, се нарича една гранична точка на сегмента началото на рязането, и другият - края на рязането И ние приемаме, че сегментът е насочен от началото до края.

Дефиниция

На фигурите векторът е изобразен от сегмент със стрелка, показваща посоката на вектора. Векторите са обозначени с две главни латински букви със стрелка над тях, например. Първата буква обозначава началото на вектора, вторият е краят (фиг. 242).

Фиг. 242.

Фигура 243 и изобразени вектори Точки А, С, Е - началото на тези вектори, и B, D, F са краищата им. Векторите често се обозначават с една малка латинска буква със стрелка над нея: (Фиг. 243, б).

Фиг. 243.

Защото е препоръчително да продължите, че всяка точка на равнината също е вектор. В този случай векторът се нарича нула. Началото на нулевия вектор съвпада с неговия край. На фигурата, този вектор е представен с една точка. Ако, например, точката, изобразяваща нулевия вектор, е обозначена с буквата m, след това този нулев вектор може да бъде обозначен, както следва: (Фиг. 243, А). Нулевият вектор също е символ на фигура 243 вектори ненулева и векторна нула.

Дължината или модулът на ненулевия вектор се нарича дължина на AV сегмента. Дължината на вектора (вектора) е посочена, както следва :. \\ t Дължината на нулевия вектор се счита за нула:

Дължините на векторите, изобразени на фигури 243, А и 243, 6, са:

(Всяка клетка на фигура 243 има страна, равна на единица за измерване на сегментите).

Вектори за равенство

Преди да дадете дефиницията на равни вектори, обърнете се към примера. Помислете за движението на тялото, в което всичките му точки се движат със същата скорост и в една и съща посока.

Скоростта на всяка точка на тялото е векторна стойност, така че тя може да бъде изобразена с посока сегмент, началото на които съвпада с точката m (фиг. 244). Тъй като всички точки на тялото се движат по същата скорост, тогава всички насочени сегменти, изобразяващи скоростите на тези точки, имат една и съща посока и тяхната дължина е еднаква.

Фиг. 244.

Този пример предполага как да се определи равенството на векторите.

Предварително въвеждане на концепцията за колонерни вектори.

Неалните вектори се наричат collinear.ако лежат или по една права линия, или на паралелни прави линии; Нулевият вектор се счита за колинеар до всеки вектор.

На фигура 245, вектори (вектор нула) колинеарни и вектори и не колинеарни.

Фиг. 245.

Ако два ненулеви вектора и колинеар, те могат да бъдат насочени еднакво или противоположни. В първия случай векторите се наричат скръбнии във втория - противоположно насочено 1 .

Охладителят на векторите и е показан, както следва: ако векторите са противоположно насочени, това се нарича: на фигура 245, както избраните, така и противоположно, насочените вектори са изобразени:

Началото на нулевия вектор съвпада с неговия край, така че нулевият вектор няма определена посока. С други думи, всяка посока може да се счита за посока на нулевия вектор. Ние се съгласяваме да вярваме, че нулевият вектор е покрит с всеки вектор. Така на фигура 245 и т.н.

Вечовете, които не са нулеви, имат свойства, илюстрирани на фигура 246, и в. \\ T




Фиг. 246.

Сега даваме дефиницията на равни вектори.

Дефиниция

Така векторите са равни, ако. Равенство на векторите и е посочено като:

Настройка на вектора от тази точка

Ако точката А е началото на вектора, тогава те казват това векторът е отложен от точка А (Фиг. 247). Нека докажем следното изявление:

от всяка точка m, вектор може да бъде отложен равен на този вектор и само с един.




Фиг. 247.

Всъщност, ако е нулев вектор, тогава желаният вектор е векторът. Да предположим, че векторът е ненулев, а точките А и Б са нейното начало и край. Пресичане на точката m direct p, успоредно на ab (фиг. 248; ако m е точката на директна AV, тогава като директно p, вземете директното AV). По права линия ще отложа сегментите на MN и MN ", равен на сегмента на AB, и ще избират от вектори Този, който е режисиран с вектора (на фигура 248). Този вектор е желаният вектор, равен на вектора. От конструкцията следва, че такъв вектор е само един.




Фиг. 248.

Коментар

Равни вектори, висящи от различни точки, често показват същото писмо. Така бе отбелязано, например, еднакви вектори на скоростта от различни точки на фигура 244. Понякога за такива вектори те казват, че това е един и същ вектор, но се отлага от различни точки.

Практически задачи

738. Маркирайте точки А, В и С, без да лежат по една права линия. Начертайте всички ненулеви вектори, началото и края на които съвпадат с някои две от тези точки. Напишете всички получени вектори и посочете началото и края на всеки вектор.

739. като избират подходяща скала, нарисувайте векторите, изобразяващи полета на въздухоплавателното средство на първо място на 300 км южно от града и до Б, а след това на 500 км източно от града в C. След това начертайте вектор, който изобразява преместване от началото точка до финала.

740. Проектирайте векторите така, че:

741. Инструктирайте двата не-елементарен вектор и. Картина на няколко вектора: а) покрита с вектор; b) покрит с вектор; в) противоположно насочен вектор; г) противоположно насочен вектор.

742. Дизайн две версии: а) с равни дължини и не-комбинирани / б) с равни дължини и покрити; в) с еднаква дължина и противоположно насочено. В този случай получените вектори са равни?

Отговор В случай на б).