Derivado del logaritmo natural de x. Derivados complejos

Derivados complejos. Derivada logarítmica.
La derivada de la función exponencial

Seguimos mejorando nuestra técnica de diferenciación. En esta lección, consolidaremos el material cubierto, consideraremos derivadas más complejas y también nos familiarizaremos con nuevas técnicas y trucos para encontrar la derivada, en particular, con la derivada logarítmica.

Aquellos lectores con un bajo nivel de formación deben consultar el artículo. ¿Cómo encuentro la derivada? Ejemplos de soluciones, lo que te permitirá mejorar tus habilidades casi desde cero. A continuación, debe estudiar detenidamente la página. Derivada de una función compleja, entender y resolver todo los ejemplos que di. Esta lección es lógicamente la tercera consecutiva y, después de dominarla, diferenciará con seguridad funciones bastante complejas. No es deseable adherirse a la posición “¿Dónde más? ¡Y eso es suficiente! ”, Porque todos los ejemplos y soluciones se toman de pruebas reales y se encuentran a menudo en la práctica.

Empecemos por la repetición. En la lección Derivada de una función compleja hemos examinado varios ejemplos con comentarios detallados. En el curso del estudio del cálculo diferencial y otras ramas del análisis matemático, tendrás que diferenciar muy a menudo, y no siempre es conveniente (y no siempre necesario) escribir ejemplos con gran detalle. Por lo tanto, practicaremos la búsqueda de derivados de forma oral. Los "candidatos" más adecuados para esto son las derivadas de las funciones complejas más simples, por ejemplo:

Según la regla de diferenciación de una función compleja :

Al estudiar otros temas de matan en el futuro, a menudo no se requiere un registro tan detallado, se supone que el estudiante puede encontrar derivadas similares en el piloto automático automático. Imagínese que a las 3 am sonó el teléfono y una voz agradable preguntó: "¿Cuál es la derivada de la tangente de dos X?" Esto debe ir seguido de una respuesta cortés y casi instantánea: .

El primer ejemplo estará destinado inmediatamente a una solución independiente.

Ejemplo 1

Encuentre los siguientes derivados oralmente, en un solo paso, por ejemplo :. Para completar la tarea, necesita usar solo tabla de derivadas de funciones elementales(si aún no se recuerda). Si tiene alguna dificultad, le recomiendo releer la lección. Derivada de una función compleja.

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Respuestas al final de la lección.

Derivados complejos

Después de la preparación preliminar de la artillería, los ejemplos con accesorios de funciones 3-4-5 serán menos atemorizantes. Quizás los siguientes dos ejemplos parecerán difíciles para algunos, pero si los entiendes (alguien sufrirá), entonces casi todo lo demás en el cálculo diferencial parecerá una broma de niño.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función

Como ya se señaló, al encontrar la derivada de una función compleja, en primer lugar, es necesario derecho ENTIENDA los archivos adjuntos. En los casos en los que hay dudas, recuerdo una técnica útil: tomamos el valor experimental "X", por ejemplo, y tratamos (mentalmente o en un borrador) de sustituir este valor en la "expresión terrible".

1) Primero, necesitamos calcular la expresión, lo que significa que el monto es la inversión más profunda.

2) Entonces necesitas calcular el logaritmo:

4) Luego eleva el coseno a un cubo:

5) En el quinto paso, la diferencia:

6) Y finalmente, la función más externa es la raíz cuadrada:

Fórmula de diferenciación de funciones complejas se aplican en orden inverso, desde la función más externa a la más interna. Nosotros decidimos:

Parece sin errores….

(1) Obtenga la derivada de la raíz cuadrada.

(2) Tomamos la derivada de la diferencia usando la regla

(3) La derivada del triple es cero. En el segundo término, tomamos la derivada del grado (cubo).

(4) Tomamos la derivada del coseno.

(5) Tomamos la derivada del logaritmo.

(6) Finalmente, tomamos la derivada del anidamiento más profundo.

Puede parecer demasiado difícil, pero este no es todavía el ejemplo más brutal. Tomemos, por ejemplo, la colección de Kuznetsov y apreciará todo el encanto y la sencillez del derivado analizado. Noté que les gusta dar algo similar en el examen para verificar si el estudiante entiende cómo encontrar la derivada de una función compleja, o no la entiende.

El siguiente ejemplo es para una solución de bricolaje.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función

Sugerencia: primero, aplique las reglas de linealidad y la regla de diferenciación de productos

Solución completa y respuesta al final del tutorial.

Ahora es el momento de pasar a algo más compacto y lindo.
No es raro que un ejemplo dé un producto no de dos, sino de tres funciones. ¿Cómo hallar la derivada del producto de tres factores?

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de una función

Primero, veamos si es posible convertir el producto de tres funciones en el producto de dos funciones. Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el producto, entonces podríamos expandir los corchetes. Pero en este ejemplo, todas las funciones son diferentes: grado, exponente y logaritmo.

En tales casos, es necesario consecuentemente aplicar la regla de diferenciación de productos dos veces

El truco es que para "y" denotamos el producto de dos funciones: y para "ve", el logaritmo :. ¿Por qué se puede hacer esto? Lo es - ¡¿Esto no es producto de dos factores y la regla no funciona ?! No hay nada complicado:

Ahora queda por segunda vez aplicar la regla. al paréntesis:

Todavía puede ser pervertido y poner algo fuera de los corchetes, pero en este caso es mejor dejar la respuesta en este formulario, será más fácil de verificar.

El ejemplo considerado se puede resolver de la segunda forma:

Ambas soluciones son absolutamente equivalentes.

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función

Este es un ejemplo para una solución independiente, en la muestra se resuelve de la primera forma.

Veamos ejemplos similares con fracciones.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función

Hay varias formas de hacerlo:

O así:

Pero la solución se escribirá de forma más compacta si, en primer lugar, usamos la regla para diferenciar el cociente , tomando el numerador completo:

En principio el ejemplo está resuelto, y si lo dejas como está no será un error. Pero si tienes tiempo, siempre es recomendable consultar un borrador, pero ¿es posible simplificar la respuesta? Reduzcamos la expresión del numerador a un denominador común y deshacerse de la fracción de tres pisos:

La desventaja de las simplificaciones adicionales es que existe el riesgo de cometer un error no al encontrar la derivada, sino en el caso de transformaciones escolares banales. Por otro lado, los profesores a menudo rechazan la tarea y piden "recordar" la derivada.

Un ejemplo más simple de una solución de bricolaje:

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función

Continuamos dominando los métodos para encontrar la derivada, y ahora consideraremos un caso típico en el que se propone el logaritmo "terrible" para la diferenciación.

Ejemplo 8

Encuentra la derivada de una función

Aquí puede recorrer un largo camino, utilizando la regla de diferenciar una función compleja:

Pero el primer paso lo sumerge inmediatamente en el abatimiento: debe tomar una derivada desagradable de un grado fraccionario y luego también de una fracción.

Entonces antes de cómo tomar la derivada del logaritmo "elegante", se simplifica preliminarmente usando las conocidas propiedades escolares:

! Si tiene un cuaderno de práctica a mano, copie estas fórmulas allí mismo. Si no tiene un cuaderno, vuelva a dibujarlo en una hoja de papel, ya que el resto de los ejemplos de lecciones girarán en torno a estas fórmulas.

La solución en sí se puede estructurar así:

Transformemos la función:

Encuentra la derivada:

La preconfiguración de la función en sí ha simplificado enormemente la solución. Así, cuando se propone un logaritmo similar para la diferenciación, siempre es aconsejable "dividirlo".

Y ahora un par de ejemplos simples para una solución independiente:

Ejemplo 9

Encuentra la derivada de una función

Ejemplo 10

Encuentra la derivada de una función

Todas las transformaciones y respuestas al final de la lección.

Derivada logarítmica

Si la derivada de los logaritmos es una música tan dulce, entonces surge la pregunta: ¿es posible en algunos casos organizar el logaritmo artificialmente? ¡Poder! E incluso necesario.

Ejemplo 11

Encuentra la derivada de una función

Recientemente hemos visto ejemplos similares. ¿Qué hacer? Puede aplicar consistentemente la regla para diferenciar el cociente y luego la regla para diferenciar el trabajo. La desventaja de este método es que obtienes una gran fracción de tres pisos, con la que no quieres lidiar en absoluto.

Pero en teoría y práctica, existe algo tan maravilloso como la derivada logarítmica. Los logaritmos se pueden organizar artificialmente "colgándolos" en ambos lados:

Nota : ya que la función puede tomar valores negativos, luego, en términos generales, debe usar módulos: que desaparecerá como resultado de la diferenciación. Sin embargo, el diseño actual también es aceptable, donde se tienen en cuenta los valores predeterminados. complejo valores. Pero si con toda la severidad, entonces en ambos casos, se debe hacer una reserva que.

Ahora necesitas "destruir" al máximo el logaritmo del lado derecho (¿fórmulas frente a tus ojos?). Describiré este proceso con gran detalle:

De hecho, procedemos a la diferenciación.
Incluimos ambas partes debajo del trazo:

La derivada del lado derecho es bastante simple, no lo comentaré, porque si está leyendo este texto, debe enfrentarlo con confianza.

¿Y el lado izquierdo?

A la izquierda tenemos función compleja... Preveo la pregunta: "¿Por qué, también hay una letra" ygrek "debajo del logaritmo?"

El hecho es que este "igrek de una letra" - EN SI MISMO ES UNA FUNCIÓN(si no es muy claro, consulte el artículo Derivado de una función implícita). Por tanto, el logaritmo es una función externa y el "juego" es una función interna. Y usamos la regla de diferenciar una función compleja :

En el lado izquierdo, como por arte de magia, tenemos una derivada. Además, de acuerdo con la regla de la proporción, lanzamos el "juego" desde el denominador del lado izquierdo hasta la parte superior del lado derecho:

¿Y ahora recordamos qué tipo de función de "juego" discutimos en la diferenciación? Observamos la condición:

Respuesta final:

Ejemplo 12

Encuentra la derivada de una función

Este es un ejemplo de una solución "hágalo usted mismo". Una muestra del diseño de un ejemplo de este tipo al final de la lección.

Con la ayuda de la derivada logarítmica se pudo resolver cualquiera de los ejemplos No. 4-7, otra cosa es que las funciones allí son más simples y, quizás, el uso de la derivada logarítmica no está muy justificado.

La derivada de la función exponencial

Aún no hemos considerado esta función. Una función exponencial es una función en la que y el grado y la base dependen de "x"... Un ejemplo clásico que se te dará en cualquier libro de texto o en cualquier conferencia:

¿Cómo encontrar la derivada de una función exponencial?

Es necesario utilizar la técnica que acabamos de considerar: la derivada logarítmica. Colgamos logaritmos en ambos lados:

Como regla general, el grado se saca de debajo del logaritmo en el lado derecho:

Como resultado, en el lado derecho, obtuvimos un producto de dos funciones, que se diferenciarán de acuerdo con la fórmula estándar .

Encontramos la derivada, para ello encerramos ambas partes debajo de los trazos:

Otras acciones son simples:

Por fin:

Si alguna transformación no está del todo clara, vuelva a leer detenidamente las explicaciones del Ejemplo 11.

En las tareas prácticas, la función exponencial siempre será más complicada que el ejemplo de clase considerado.

Ejemplo 13

Encuentra la derivada de una función

Usamos la derivada logarítmica.

En el lado derecho tenemos una constante y el producto de dos factores: "x" y "logaritmo del logaritmo de x" (otro logaritmo está incrustado debajo del logaritmo). Al diferenciar la constante, como recordamos, es mejor quitar inmediatamente el signo de la derivada para que no se interponga debajo de sus pies; y por supuesto aplicamos la regla familiar :

Al diferenciar una función exponencial o expresiones fraccionarias engorrosas, es conveniente utilizar la derivada logarítmica. En este artículo, veremos ejemplos de su aplicación con soluciones detalladas.

La presentación adicional implica la capacidad de utilizar la tabla de derivadas, las reglas de diferenciación y el conocimiento de la fórmula para la derivada de una función compleja.

Derivación de la fórmula para la derivada logarítmica.

Primero, hacemos el logaritmo en base e, simplificamos la forma de la función usando las propiedades del logaritmo y luego encontramos la derivada de la función implícitamente dada:

Como ejemplo, encontremos la derivada de una función exponencial x elevada a la potencia de x.

Tomando el logaritmo da. Por las propiedades del logaritmo. Diferenciar ambos lados de la igualdad conduce al resultado:

Respuesta: .

El mismo ejemplo se puede resolver sin utilizar la derivada logarítmica. Puedes realizar algunas transformaciones y pasar de diferenciar una función exponencial a encontrar la derivada de una función compleja:

Ejemplo.

Encuentra la derivada de una función .

Solución.

En este ejemplo, la función es una fracción y su derivada se puede buscar utilizando las reglas de diferenciación. Pero debido a lo engorroso de la expresión, esto requerirá muchas transformaciones. En tales casos, es más prudente usar la fórmula para la derivada logarítmica ... ¿Por qué? Lo entenderás ahora.

Encontremos primero. En las transformaciones usaremos las propiedades del logaritmo (el logaritmo de la fracción es igual a la diferencia entre los logaritmos, y el logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos, y el grado de la expresión bajo el El signo del logaritmo se puede sacar como un coeficiente delante del logaritmo):

Estas transformaciones nos llevaron a una expresión bastante simple, cuya derivada es fácil de encontrar:

Sustituimos el resultado obtenido en la fórmula por la derivada logarítmica y obtenemos la respuesta:

Para consolidar el material, daremos un par de ejemplos más sin explicaciones detalladas.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de la función exponencial

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La derivada del logaritmo natural de x es igual a uno dividido por x:
(1) (ln x) ′ =.

La derivada del logaritmo en base a es igual a uno dividido por la variable x por el logaritmo natural de a:
(2) (log a x) ′ =.

Prueba

Sea algún número positivo que no sea igual a uno. Considere una función que depende de la variable x, que es el logaritmo de la base:
.
Esta función se define en. Encontremos su derivada con respecto a la variable x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3) .

Transformemos esta expresión para reducirla a las conocidas propiedades y reglas matemáticas. Para hacer esto, necesitamos conocer los siguientes hechos:
A) Propiedades de los logaritmos. Necesitamos las siguientes fórmulas:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuidad del logaritmo y propiedad de los límites para una función continua:
(7) .
Aquí hay alguna función que tiene un límite y este límite es positivo.
V) El significado del segundo límite notable:
(8) .

Aplicamos estos hechos a nuestro límite. Primero, transformamos la expresión algebraica
.
Para ello aplicamos las propiedades (4) y (5).

.

Usemos la propiedad (7) y el segundo límite notable (8):
.

Y finalmente, aplicamos la propiedad (6):
.
Base de logaritmo mi llamado logaritmo natural... Se designa de la siguiente manera:
.
Entonces ;
.

Por tanto, hemos obtenido la fórmula (2) para la derivada del logaritmo.

Derivada del logaritmo natural

Una vez más, escribimos la fórmula para la derivada del logaritmo con respecto a la base a:
.
Esta fórmula tiene la forma más simple para el logaritmo natural, para la cual,. Entonces
(1) .

Debido a esta simplicidad, el logaritmo natural es muy utilizado en el análisis matemático y en otras ramas de las matemáticas relacionadas con el cálculo diferencial. Las funciones logarítmicas con otras bases se pueden expresar en términos del logaritmo natural usando la propiedad (6):
.

La derivada básica del logaritmo se puede encontrar a partir de la fórmula (1), si la constante se saca del signo de diferenciación:
.

Otras formas de demostrar la derivada del logaritmo

Aquí asumimos que conocemos la fórmula para la derivada del exponente:
(9) .
Entonces podemos derivar la fórmula para la derivada del logaritmo natural, dado que el logaritmo es el inverso de la función exponencial.

Demostremos la fórmula para la derivada del logaritmo natural, aplicando la fórmula para la derivada de la función inversa:
.
En nuestro caso . La función inversa al logaritmo natural es el exponente:
.
Su derivada está determinada por la fórmula (9). Las variables se pueden designar con cualquier letra. En la fórmula (9), reemplace la variable x con y:
.
Desde entonces
.
Entonces
.
La fórmula está probada.

Ahora probamos la fórmula para la derivada del logaritmo natural usando reglas de diferenciación de funciones complejas... Dado que las funciones y son inversas entre sí, entonces
.
Diferenciamos esta ecuación con respecto a la variable x:
(10) .
La derivada x es igual a uno:
.
Aplicamos la regla de diferenciar una función compleja:
.
Aquí . Sustituir en (10):
.
De aquí
.

Ejemplo

Encuentra derivadas de En 2x, En 3 veces y ln nx.

Solución

Las funciones originales son similares. Por tanto, encontraremos la derivada de la función y = ln nx... Luego, ingrese n = 2 y n = 3. Y, así, obtenemos fórmulas para las derivadas de En 2x y En 3 veces .

Entonces, estamos buscando la derivada de la función
y = ln nx .
Imaginemos esta función como una función compleja, que consta de dos funciones:
1) Funciones dependientes de variables :;
2) Funciones dependientes de variables :.
Entonces la función original se compone de funciones y:
.

Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable x:
.
Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable:
.
Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.
.
Aquí lo configuramos.

Entonces encontramos:
(11) .
Vemos que la derivada es independiente de n. Este resultado es bastante natural si transformamos la función original usando la fórmula para el logaritmo del producto:
.
es constante. Su derivada es cero. Entonces, de acuerdo con la regla para diferenciar la suma, tenemos:
.

Respuesta

; ; .

Derivada del logaritmo del módulo x

Encontremos la derivada de otra función muy importante: el logaritmo natural del módulo x:
(12) .

Consideremos un caso. Entonces la función tiene la forma:
.
Su derivada está determinada por la fórmula (1):
.

Ahora considere el caso. Entonces la función tiene la forma:
,
donde .
Pero también encontramos la derivada de esta función en el ejemplo anterior. No depende de ny es igual a
.
Entonces
.

Combinamos estos dos casos en una fórmula:
.

En consecuencia, para el logaritmo base a, tenemos:
.

Derivadas de orden superior del logaritmo natural

Considere la función
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(13) .

Encuentra la derivada de segundo orden:
.
Encuentra la derivada de tercer orden:
.
Encontremos la derivada de cuarto orden:
.

Se puede ver que la derivada de n-ésimo orden tiene la forma:
(14) .
Demostremos esto por el método de inducción matemática.

Prueba

Sustituyamos el valor n = 1 en la fórmula (14):
.
Dado que, entonces para n = 1 , la fórmula (14) es válida.

Suponga que la fórmula (14) se cumple para n = k. Demostremos que esto implica que la fórmula es válida para n = k + 1 .

De hecho, para n = k tenemos:
.
Diferenciamos con respecto a la variable x:

.
Entonces tenemos:
.
Esta fórmula coincide con la fórmula (14) para n = k + 1 ... Así, del supuesto de que la fórmula (14) es válida para n = k, se sigue que la fórmula (14) es válida para n = k + 1 .

Por lo tanto, la fórmula (14), para la derivada del n-ésimo orden, es válida para cualquier n.

Derivadas de orden superior del logaritmo con base a

Para encontrar la derivada de n-ésimo orden de la base a logaritmo, debes expresarla en términos del logaritmo natural:
.
Aplicando la fórmula (14), encontramos la enésima derivada:
.

¿Crees que aún queda mucho tiempo antes del examen? Es un mes ¿Dos? ¿Año? La práctica muestra que el alumno afronta mejor el examen si empezó a prepararse para él con antelación. Hay muchas tareas difíciles en el examen que se interponen en el camino del estudiante y del futuro solicitante de las puntuaciones más altas. Necesitas aprender a superar estos obstáculos, además, no es difícil hacerlo. Debe comprender el principio de trabajar con varias tareas desde los tickets. Entonces no habrá problemas con los nuevos.

A primera vista, los logaritmos parecen increíblemente complejos, pero un análisis detallado simplifica mucho la situación. Si quieres aprobar el examen para obtener la máxima puntuación, debes comprender el concepto en cuestión, que te proponemos hacer en este artículo.

Comencemos separando estas definiciones. ¿Qué es un logaritmo (log)? Es un indicador del grado en que se debe elevar la base para obtener el número indicado. Si no está claro, veamos un ejemplo elemental.

En este caso, la base de abajo debe elevarse a la segunda potencia para obtener el número 4.

Ahora tratemos con el segundo concepto. La derivada de una función en cualquier forma es un concepto que caracteriza el cambio en una función en un punto reducido. Sin embargo, este es un plan de estudios escolar, y si tiene problemas con estos conceptos por separado, vale la pena repetir el tema.

Derivada del logaritmo

En las tareas del examen sobre este tema, se pueden citar como ejemplo varias tareas. Para empezar, la derivada logarítmica más simple. Es necesario encontrar la derivada de la siguiente función.

Necesitamos encontrar la siguiente derivada

Hay una fórmula especial.

En este caso x = u, log3x = v. Sustituimos los valores de nuestra función en la fórmula.

La derivada x será igual a uno. El logaritmo es un poco más difícil. Pero puede comprender el principio si simplemente sustituye los valores. Recuerde que la derivada lg x se llama derivada del logaritmo decimal y la derivada ln x es la derivada del logoritmo natural (base e).

Ahora simplemente inserte estos valores en la fórmula. Pruébelo usted mismo, luego verifique la respuesta.

¿Cuál podría ser el problema aquí para algunos? Hemos introducido el concepto de logaritmo natural. Te lo contaremos y, al mismo tiempo, descubriremos cómo resolver problemas con él. No verás nada complicado, sobre todo cuando entiendas cómo funciona. Deberías acostumbrarte, ya que se usa a menudo en matemáticas (especialmente en educación superior).

Derivada del logaritmo natural

En esencia, es la derivada en base e del logaritmo (este es un número irracional que equivale aproximadamente a 2,7). De hecho, ln es muy simple y, por lo tanto, se usa a menudo en matemáticas en general. En realidad, solucionar el problema con él tampoco será un problema. Vale la pena recordar que la derivada en base e del logaritmo natural será igual a uno dividido por x. La solución más reveladora será el siguiente ejemplo.