Raíz de potencia n: definiciones básicas. Raíz de potencia n: definiciones básicas Propiedades y limitaciones básicas
Felicitaciones: hoy examinaremos las raíces, uno de los temas más importantes del octavo grado. :)
Muchos están confundidos acerca de las raíces, no porque sean complejas (lo cual es muy difícil, un par de definiciones y un par de propiedades), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se determinan a través de una jungla tal que solo los autores de los libros de texto ellos mismos pueden descifrar este garabato. E incluso entonces solo con una botella de buen whisky. :)
Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de la raíz, la única que realmente debería recordar. Y solo entonces explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.
Pero primero, recuerde un punto importante, que por alguna razón muchos compiladores de libros de texto "olvidan":
Las raíces pueden ser de grado par (nuestro querido $ \ sqrt (a) $, así como todo tipo de $ \ sqrt (a) $ e incluso $ \ sqrt (a) $) y grados impares (todo tipo de $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $, etc.). Y la definición de raíz de un grado impar es algo diferente de una par.
Aquí en este puto "algo diferente" escondido, probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces. Por lo tanto, tratemos la terminología de una vez por todas:
Definición. Incluso la raíz norte de $ a $ es cualquiera no negativo un número $ b $ tal que $ ((b) ^ (n)) = a $. Y la raíz impar del mismo número $ a $ es generalmente cualquier número $ b $ para el que se cumple la misma igualdad: $ ((b) ^ (n)) = a $.
En cualquier caso, la raíz se indica así:
\ (a) \]
El número $ n $ en dicho registro se llama exponente de la raíz y el número $ a $ se llama expresión radical. En particular, para $ n = 2 $ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz par), y para $ n = 3 $ - cúbico (grado impar), que también se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.
Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ end (alinear) \]
Por cierto, $ \ sqrt (0) = 0 $ y $ \ sqrt (1) = 1 $. Esto es bastante lógico, ya que $ ((0) ^ (2)) = 0 $ y $ ((1) ^ (2)) = 1 $.
Las raíces cúbicas también son comunes, no les tengas miedo:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ end (alinear) \]
Bueno, y un par de "ejemplos exóticos":
\ [\ begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ end (alinear) \]
Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par y un grado impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!
Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por lo que necesitábamos introducir una definición separada para indicadores pares e impares.
¿Por qué necesitamos raíces en absoluto?
Después de leer la definición, muchos estudiantes preguntarán: "¿Qué fumaron los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" De hecho: ¿por qué necesitamos todas estas raíces?
Para responder a esta pregunta, volvamos a las clases de primaria por un minuto. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar números correctamente. Bueno, algo así como "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero después de todo, puedes multiplicar números no en pares, sino en triples, cuatros y, en general, conjuntos enteros:
\ [\ begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (align) \]
Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son personas vagas, por lo que tenían que escribir la multiplicación de diez por cinco de esta manera:
Entonces se les ocurrió grados. ¿Por qué no sobrescribir el número de factores en lugar de una cadena larga? Como esto:
¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino en cuadernos para anotar unas 5.183. Tal registro se llamó el grado de número, encontraron un montón de propiedades en él, pero la felicidad resultó ser de corta duración.
Después de un gran trago, que se organizó justo sobre el "descubrimiento" de grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: "¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero no sabemos el número en sí?" Ahora, realmente, si sabemos que cierto número $ b $, por ejemplo, en la quinta potencia da 243, entonces ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $ b $?
Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los grados "listos" no existen tales números "iniciales". Juzga por ti mismo:
\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ end (alinear) \]
¿Qué pasa si $ ((b) ^ (3)) = $ 50? Resulta que necesitas encontrar un cierto número, el cual, multiplicado tres veces por sí mismo, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es. este número se encuentra en algún lugar entre tres y cuatro, pero a lo que es igual: higos, lo entenderá.
Es por esto que los matemáticos inventaron las raíces del $ n $ -ésimo grado. Por eso se introdujo el símbolo radical $ \ sqrt (*) $. Para designar el mismo número $ b $, que, en la medida especificada, nos dará un valor previamente conocido
\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Flecha derecha ((b) ^ (n)) = a \]
No discuto: estas raíces a menudo se cuentan fácilmente; hemos visto varios ejemplos de este tipo anteriormente. Aún así, en la mayoría de los casos, si adivinas un número arbitrario y luego intentas extraer una raíz arbitraria de él, te espera un cruel fastidio.
¡Lo que está ahí! Incluso el $ \ sqrt (2) $ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual, como un número entero o una fracción. Y si escribe este número en una calculadora, verá esto:
\ [\ sqrt (2) = 1.414213562 ... \]
Como ves, después de la coma hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puede redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:
\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ aproximadamente 1.4 \ lt 1.5 \]
O aquí hay otro ejemplo:
\ [\ sqrt (3) = 1.73205 ... \ aproximadamente 1.7 \ gt 1.5 \]
Pero todos estos redondeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparación y redondeo es obligatoriamente verificada en el examen de perfil).
Por lo tanto, en matemáticas serias, no puede prescindir de raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $ \ mathbb (R) $, así como fracciones y números enteros que nos son familiares durante mucho tiempo.
La imposibilidad de representar una raíz como una fracción de la forma $ \ frac (p) (q) $ significa que esta raíz no es un número racional. Tales números se denominan irracionales y no pueden representarse con precisión de otro modo que con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas (logaritmos, grados, límites, etc.). Pero más sobre eso en otro momento.
Considere algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales todavía permanecerán en la respuesta.
\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ approx 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ approx -1.2599 ... \\ \ end (align) \]
Naturalmente, por la apariencia de la raíz, es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puede contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más perfecta nos da solo los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $ \ sqrt (5) $ y $ \ sqrt (-2) $.
Por eso se inventaron. Para registrar convenientemente las respuestas.
¿Por qué se necesitan dos definiciones?
El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos se derivan de números positivos. Bueno, como último recurso desde cero. Pero las raíces cúbicas se extraen con calma de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.
¿Por qué está pasando esto? Observa la gráfica de la función $ y = ((x) ^ (2)) $:
La gráfica de una función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa Intentemos calcular $ \ sqrt (4) $ usando este gráfico. Para hacer esto, se traza una línea horizontal $ y = 4 $ en el gráfico (marcado en rojo), que se cruza con la parábola en dos puntos: $ ((x) _ (1)) = 2 $ y $ ((x ) _ (2)) = -2 $. Esto es bastante lógico, ya que
Todo está claro con el primer número: es positivo, por lo tanto, es la raíz:
Pero entonces, ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Como si los cuatro tuvieran dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos el número −2 al cuadrado, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribimos $ \ sqrt (4) = - 2 $? ¿Y por qué los profesores miran esos registros como si quisieran devorarte? :)
El problema es que si no se imponen condiciones adicionales, los cuatro tendrán dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos. Pero los números negativos no tendrán raíces en absoluto; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje y, es decir. no acepta valores negativos.
Un problema similar ocurre para todas las raíces con un exponente par:
- Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con un exponente par $ n $;
- De los números negativos, la raíz incluso con $ n $ no se extrae en absoluto.
Es por eso que en la definición de la raíz de una potencia par de $ n $ se estipula especialmente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.
Pero por $ n $ impares no existe tal problema. Para verificar esto, echemos un vistazo a la gráfica de la función $ y = ((x) ^ (3)) $:
Una parábola cúbica toma cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se extrae de cualquier número Se pueden extraer dos conclusiones de este gráfico:
- Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de la habitual, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, a cualquier altura que dibujemos una línea horizontal, esta línea necesariamente se intersecará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede extraer de absolutamente cualquier número;
- Además, dicha intersección siempre será la única, por lo que no es necesario pensar en qué número considerar la raíz "correcta" y qué número puntuar. Es por eso que la definición de raíces para un grado impar es más simple que para uno par (no hay requisito de no negatividad).
Es una pena que estas cosas simples no se expliquen en la mayoría de los libros de texto. En cambio, el cerebro comienza a flotar hacia nosotros con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.
Sí, no discuto: ¿qué es una raíz aritmética? También necesitas saberlo. Y cubriré esto en detalle en un tutorial separado. Hoy también hablaremos de eso, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $ n $ -ésima estarían incompletos.
Pero primero, debe comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, comenzará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada en absoluto.
Todo lo que necesita hacer es comprender la diferencia entre indicadores pares e impares. Así que, una vez más, recopilemos todo lo que realmente necesita saber sobre las raíces:
- Una raíz par existe solo a partir de un número no negativo y en sí misma siempre es un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
- Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí misma cualquier número: para los números positivos es positivo, y para los negativos, como sugiere el límite, negativo.
¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Claro? Sí, en general, ¡es obvio! Entonces ahora vamos a practicar algunos cálculos.
Limitaciones y propiedades básicas
Las raíces tienen muchas propiedades y limitaciones extrañas; habrá una lección separada sobre esto. Por lo tanto, ahora consideraremos solo el "truco" más importante, que se aplica solo a las raíces con un exponente par. Escribamos esta propiedad en forma de fórmula:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ left | x \ derecha | \]
En otras palabras, si eleva un número a una potencia par y luego extrae la raíz de la misma potencia de esto, no obtenemos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que se puede demostrar fácilmente (basta con considerar por separado los $ x $ no negativos, y luego por separado, los negativos). Los profesores hablan constantemente de ello, lo dan en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen el signo radical), los estudiantes olvidan amigablemente esta fórmula.
Para entender la pregunta en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos contar dos números de frente:
\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]
Estos son ejemplos muy sencillos. El primer ejemplo lo resolverá la mayoría de la gente, pero en el segundo, muchos se mantendrán. Para resolver cualquier basura sin problemas, siempre tenga en cuenta el orden de las acciones:
- Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es bastante fácil. Obtendrá un nuevo número, que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
- Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la cuarta raíz. Aquellos. no se produce una "reducción" de raíces y grados; se trata de acciones secuenciales.
Trabajamos con la primera expresión: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Obviamente, primero debe calcular la expresión debajo de la raíz:
\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]
Luego extrae la cuarta raíz del número 81:
Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, para lo cual necesitamos multiplicarlo por sí mismo 4 veces:
\ [((\ left (-3 \ right)) ^ (4)) = \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ izquierda (-3 \ derecha) = 81 \]
Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de menos en el trabajo es de 4 piezas, y todas se destruirán mutuamente (después de todo, menos por menos da un más). Luego extraemos la raíz nuevamente:
En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta será la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" las desventajas, y en este sentido el resultado es indistinguible del módulo habitual:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ derecha | = 3; \\ & \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) = \ left | -3 \ derecha | = 3. \\ \ end (alinear) \]
Estos cálculos concuerdan bien con la definición de una raíz par: el resultado siempre es no negativo y bajo el signo del radical siempre hay un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.
Nota de procedimiento
- La notación $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ significa que primero elevamos al cuadrado el número $ a $, y luego extraemos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que un número no negativo siempre se encuentra debajo del signo de la raíz, ya que $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ en cualquier caso;
- Pero el registro $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, por el contrario, significa que primero extraemos la raíz de un cierto número $ a $ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $ a $ no puede en ningún caso ser negativo; este es un requisito obligatorio en la definición.
Por lo tanto, en ningún caso debe reducir sin pensar las raíces y los grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si hay un número negativo debajo de la raíz y su exponente es par, tenemos un montón de problemas.
Sin embargo, todos estos problemas son relevantes solo para indicadores pares.
Eliminar el signo menos del signo raíz
Naturalmente, las raíces con indicadores impares también tienen su propio contador, que, en principio, no existe para los pares. A saber:
\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]
En resumen, puede quitar el signo menos debajo del signo de las raíces de un grado impar. Esta es una propiedad muy útil que le permite "descartar" todas las desventajas:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ end (alinear) \]
Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no hay necesidad de preocuparse: de repente, una expresión negativa se ha deslizado debajo de la raíz y el grado en la raíz resulta ser uniforme. Basta con "tirar" todas las desventajas fuera de las raíces, después de lo cual se pueden multiplicar entre sí, dividir y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", están garantizadas para llevarnos a un error.
Y aquí entra en juego otra definición, la misma con la que en la mayoría de las escuelas comienza el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Bienvenido por favor!
Raíz aritmética
Supongamos por un momento que solo puede haber números positivos debajo del signo de la raíz, o como máximo cero. Olvidémonos de los indicadores pares / impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?
Y luego obtenemos la raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.
Definición. Una raíz aritmética del $ n $ ésimo grado de un número no negativo $ a $ es un número no negativo $ b $ tal que $ ((b) ^ (n)) = a $.
Como puede ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, ha aparecido una nueva restricción: la expresión radical ahora es siempre no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.
Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a los gráficos de parábola cuadrada y cúbica ya familiares:
Área de búsqueda de raíz aritmética: números no negativos Como puede ver, a partir de ahora solo nos interesan aquellas partes de los gráficos que se encuentran en el primer trimestre de coordenadas, donde las coordenadas $ x $ y $ y $ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a enraizar un número negativo o no. Porque los números negativos ya no se consideran en principio.
Puede preguntar: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan castrada?" O: "¿Por qué no puede arreglárselas con la definición estándar dada anteriormente?"
Bueno, daré solo una propiedad, por lo que la nueva definición se vuelve apropiada. Por ejemplo, la regla para la exponenciación es:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay unos ejemplos:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (align) \]
¿Así que cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos haber hecho esto antes? Este es el por qué. Considere una expresión simple: $ \ sqrt (-2) $ - este número es bastante normal en nuestro sentido clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos transformarlo:
$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (align) $
Como puede ver, en el primer caso, eliminamos el menos de debajo del radical (tenemos todos los derechos, ya que el indicador es impar), y en el segundo, usamos la fórmula anterior. Aquellos. desde el punto de vista de las matemáticas, todo se hace según las reglas.
¡¿WTF?! ¿Cómo puede el mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Es solo que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para números positivos y cero, comienza a ser una herejía cuando se trata de números negativos.
Para deshacerse de tal ambigüedad, idearon raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que ahora no nos detendremos en ellos: la lección ya resultó ser demasiado larga.
Raíz algebraica: para los que quieren saber más
Pensé durante mucho tiempo si poner este tema en un párrafo separado o no. Al final, decidí irme de aquí. Este material está destinado a aquellos que quieran comprender las raíces aún mejor, no a un nivel de "escuela" promedio, sino a un nivel cercano al nivel de la Olimpiada.
Entonces: además de la definición "clásica" de la raíz $ n $ -ésima de un número y la división asociada en indicadores pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas . A esto se le llama raíz algebraica.
Definición. La raíz algebraica del $ n $ ésimo grado de cualquier $ a $ es el conjunto de todos los números $ b $ tales que $ ((b) ^ (n)) = a $. No existe una designación bien establecida para tales raíces, por lo que solo ponemos un guión en la parte superior:
\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]
La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que una raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con números reales, solo hay tres tipos de este conjunto:
- Conjunto vacio. Ocurre cuando se requiere encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
- Un conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de grados impares, así como las raíces de grados pares desde cero, entran en esta categoría;
- Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: el mismo $ ((x) _ (1)) $ y $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, que vimos en la función cuadrática gráfica. En consecuencia, tal alineación es posible solo cuando se extrae una raíz par de un número positivo.
Este último caso merece una consideración más detallada. Contamos un par de ejemplos para entender la diferencia.
Ejemplo. Evaluar expresiones:
\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]
Solución. La primera expresión es simple:
\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]
Son dos números los que componen el conjunto. Porque cada uno de ellos en el cuadrado da un cuatro.
\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]
Aquí vemos un conjunto que consta de un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.
Finalmente, la última expresión:
\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]
Tenemos un juego vacío. Porque no hay un solo número real, que cuando se eleva al cuarto (¡es decir, par!) Grado nos dará un número negativo -16.
Comentario final. Tenga en cuenta: no fue por casualidad que noté en todas partes que trabajamos con números reales. Debido a que también hay números complejos, allí es muy posible contar $ \ sqrt (-16) $ y muchas otras cosas extrañas.
Sin embargo, en el curso de matemáticas de la escuela moderna, los números complejos casi nunca se encuentran. Fueron eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran este tema "demasiado difícil de entender".
Eso es todo. En la próxima lección, veremos todas las propiedades clave de las raíces y finalmente aprenderemos cómo simplificar expresiones irracionales. :)
Capítulo primero.
Extensión al cuadrado de expresiones algebraicas de un término.
152. Determinación de la titulación. Recuerda que el producto de dos números idénticos Automóvil club británico llamado la segunda potencia (o cuadrado) del número a , el producto de tres números idénticos Ah llamado la tercera potencia (o cubo) del número a ; trabajo general norte números idénticos aa ... a llamado norte poder del número a ... La acción por la cual se encuentra el grado de un número dado se llama elevar a un grado (segundo, tercero, etc.). El factor de repetición se llama la base de la potencia y el número de los mismos factores se llama exponente.
Los grados abreviados se indican de la siguiente manera: un 2, un 3, un 4 ... etc.
Primero hablaremos sobre el caso más simple de elevación a una potencia, a saber, sobre elevación a la plaza; y luego consideremos la exaltación en otros grados.
153. La regla de los signos al subir a un cuadrado. De la regla para multiplicar números relativos, se deduce que:
(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;
(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9
(+ a) 2 = (+ a) (+ a) = + a 2
(-a) 2 = (- a) (-a) = + un 2
Esto significa que el cuadrado de cualquier número relativo es un número positivo.
154. El aumento en el cuadrado del producto, grado y fracción.
a) Sea necesario elevar al cuadrado el producto de varios factores, por ejemplo. a B C ... Esto significa que se requiere a B C multiplicar por a B C ... Pero multiplicar por el producto a B C , puedes multiplicar el multiplicador por a , el resultado se multiplica por B y que consigues multiplicar por Con .
(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc
(hemos eliminado los últimos paréntesis, ya que esto no cambia el significado de la expresión). Ahora, usando la propiedad combinada de la multiplicación (Sección 1 § 34, b), agrupamos los factores de la siguiente manera:
(aa) (bb) (cc),
que se puede escribir brevemente: a 2 b 2 c 2.
Medio, para cuadrar el producto, puede cuadrar cada factor por separado
(Para abreviar el discurso, esta regla, como la siguiente, no está totalmente expresada; sería necesario agregar: “y multiplicar los resultados obtenidos”. Se implica la adición de de sí mismo ..)
De este modo:
(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y 2; (- 0,5 mn) 2 = + 0,25 m 2 n 2; etc.
B) Deje que se requiera algún título, por ejemplo. a 3 , cuadrar. Esto se puede hacer así:
(una 3) 2 = una 3 una 3 = una 3 + 3 = una 6.
Como esto: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4 + 4 = x 8
Medio, para elevar el exponente al cuadrado, puedes multiplicar el exponente por 2 .
Así, aplicando estas dos reglas, tendremos, por ejemplo,:
(- 3 3/4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3/4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225/2 a 2 x 4 y 6
v) Suponga que quiere elevar al cuadrado una fracción a / B ... Luego, aplicando la regla de multiplicar una fracción por una fracción, obtenemos:
Medio, para elevar al cuadrado una fracción, puede elevar al cuadrado el numerador y el denominador por separado.
Ejemplo.
Capitulo dos.
El polinomio al cuadrado.
155. Derivación de la fórmula. Usando la fórmula (División 2 Capítulo 3 § 61):
(a + b) 2 = a 2 + 2аb + b 2 ,
podemos cuadrar el trinomio a + b + c considerándolo como un binomio (a + b) + c :
(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2 (a + b) c + c 2
Así, con la adición al binomio a + b tercer término Con después de la elevación, se agregaron 2 términos al cuadrado: 1) el producto doble de la suma de los dos primeros términos por el tercer término y 2) el cuadrado del tercer término. Aplicamos ahora al trinomio a + b + c otro cuarto trimestre D y plantear el cuatrimestre a + b + c + D al cuadrado, tomando la suma a + b + c por un término.
(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c) d + d 2
Sustituyendo en lugar de (a + b + c) 2 la expresión que obtuvimos arriba, encontraremos:
(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2 (a + b) c + c 2 + 2 (a + b + c) d + d 2
Nuevamente notamos que con la adición de un nuevo término, se agregan 2 términos al polinomio elevado en su cuadrado: 1) el doble producto de la suma de los términos anteriores por el nuevo término y 2) el cuadrado del nuevo término. Obviamente, dicha adición de dos términos continuará a medida que se agreguen nuevos términos al polinomio elevado. Medio:
El cuadrado del polinomio es igual a: el cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término, más el doble producto de la suma de los dos primeros términos por el Tercero, más el cuadrado del tercer término, más el doble del producto de la suma de los primeros tres términos por el cuarto, más el cuadrado del cuarto término, etc. Por supuesto, los términos del polinomio también pueden ser negativos.
156. Una nota sobre los signos. El resultado final con signo más será, en primer lugar, los cuadrados de todos los términos del polinomio y, en segundo lugar, aquellos productos duplicados que han surgido de la multiplicación de términos con el mismo signo.
Ejemplo.
157. Elevación abreviada al cuadrado de números enteros... Usando la fórmula para el cuadrado de un polinomio, puedes elevar al cuadrado cualquier número entero de manera diferente a la multiplicación ordinaria. Dejemos, por ejemplo, que desee cuadrar 86 ... Descompongamos este número en dígitos:
86 = 80 + 6 = 8 dec. + 6 unidades.
Ahora, usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos números, podemos escribir:
(8 dec. + 6 unidades) 2 = (8 dec.) 2 + 2 (8 dec.) (6 unidades) + (6 unidades) 2.
Para calcular esta cantidad más rápido, tengamos en cuenta que el cuadrado de las decenas es centenas (pero puede haber miles); ex. 8 dic... forma cuadrada 64 centenas, porque 80 2 = b400; el producto de decenas por unidades es decenas (pero puede haber centenas), por ejemplo. 3 dic. 5 unidades = 15 dec, ya que 30 5 = 150; y el cuadrado de las unidades es uno (pero puede haber decenas), por ejemplo. 9 unidades al cuadrado = 81 unidades. Por lo tanto, es más conveniente organizar el cálculo de la siguiente manera:
es decir, primero escribimos el cuadrado del primer dígito (centenas); debajo de este número escribimos el producto doble del primer dígito por el segundo (decenas), mientras observamos que el último dígito de este producto está un lugar a la derecha del último dígito del número superior; luego, retrocediendo nuevamente por el último dígito un lugar a la derecha, colocamos el cuadrado del segundo dígito (unidad); y suma todos los números escritos en una sola suma. Por supuesto, uno podría complementar estos números con el número apropiado de ceros, es decir, escribir así:
pero esto es inútil si solo firmamos los números correctamente uno debajo del otro, retrocediendo cada vez (con el último dígito) un lugar a la derecha.
Suponga que todavía necesita ser cuadrado 238 ... Porque:
238 = 2 celdas. + 3 dic. + 8 unidades, entonces
Pero cientos en un cuadrado dan decenas de miles (por ejemplo, 500 en un cuadrado serán 25 diez mil, ya que 500 2 = 250,000), el producto de cientos por decenas da miles (por ejemplo, 500 30 = 15,000), etc. ...
Ejemplos.
Capítulo tres.
y = x 2 y y = ah 2 .
158. Gráfica de una función y = x 2 ... Rastreemos cómo cuando cambia el número elevado X su cuadrado cambia X 2 (por ejemplo, cómo al cambiar el lado de un cuadrado, cambia su área). Para ello, primero prestamos atención a las siguientes características de la función y = x 2 .
a) Con cualquier significado X
una función siempre es posible y siempre solo obtiene un valor definido. Por ejemplo, en X
= - 10
la función será (-10) 2 = 100
, en
X
=1000
la función será 1000 2 =1 000 000
etc.
B) Porque (- X ) 2 = X 2 , luego para dos valores X difiriendo solo en signos, se obtienen dos valores positivos idénticos en ; por ejemplo, en X = - 2 y en X = + 2 significado en será el mismo, es decir 4 ... Valores negativos para en nunca funciona.
v) Si el valor absoluto x aumenta indefinidamente, entonces en aumenta indefinidamente. Entonces, si por X daremos una serie de valores positivos infinitamente crecientes: 1, 2, 3, 4 ... o una serie de valores negativos infinitamente decrecientes: -1, -2, -3, -4 ..., luego para en obtenemos una serie de valores infinitamente crecientes: 1, 4, 9, 16, 25 ... Estos se expresan brevemente, diciendo que para X = + ∞ y en X = - ∞ función en hecho + ∞ .
GRAMO) X en ... Entonces, si el valor x = 2 , vamos a dar un incremento, poner, 0,1 (es decir, en lugar de x = 2 llevar x = 2,1 ), entonces en en vez de 2 2 = 4 se volverá igual
(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .
Medio, en aumentará en 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 ... Si el mismo valor X le daremos un incremento aún menor, poner, 0,01 , entonces y se vuelve igual a
(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .
Esto significa que entonces y aumentará en 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , es decir, aumentará menos que antes. En general, que en una fracción más pequeña, aumentaremos X , cuanto menor sea el número aumentará en ... Por tanto, si imaginamos que X aumenta (establecido desde el valor 2) continuamente, pasando por todos los valores superiores a 2, luego en también aumentará continuamente, pasando por todos los valores superiores a 4.
Al notar todas estas propiedades, creemos una tabla de valores de función y = x 2 , por ejemplo, esto:
Representemos ahora estos valores en el dibujo en forma de puntos, cuyas abscisas serán los valores escritos X , y las ordenadas son los valores correspondientes en (en el dibujo, tomamos un centímetro como unidad de longitud); los puntos resultantes estarán rodeados por una curva. Esta curva se llama parábola.
Consideremos algunas de sus propiedades.
a) La parábola es una curva continua, ya que con un cambio continuo en la abscisa X (tanto en la dirección positiva como en la negativa) la ordenada, como hemos visto ahora, también cambia continuamente.
B) Toda la curva está en un lado del eje. X -ov, exactamente del lado en el que se encuentran los valores positivos de las ordenadas.
v) La parábola está subdividida por el eje. en -ov en dos partes (ramas). Punto O donde estas ramas convergen se llama vértice de la parábola. Este punto es el único punto común para la parábola y el eje. X -ov; por tanto, en este punto la parábola toca el eje X -ov.
GRAMO) Ambas ramas son infinitas ya que X y en puede aumentar infinitamente. Las ramas se elevan desde el eje X -ov hacia arriba sin límite, al mismo tiempo alejándose del eje indefinidamente y -ov a la derecha y a la izquierda.
mi) Eje y - ov sirve para una parábola con eje de simetría, de modo que, doblando el dibujo a lo largo de este eje para que la mitad izquierda del dibujo caiga sobre la derecha, veremos que se combinarán ambas ramas; Por ejemplo, un punto con abscisa - 2 y ordenada 4 es compatible con un punto con abscisa +2 y la misma ordenada 4.
mi) En X = 0 la ordenada también es igual a 0. Por lo tanto, para X = 0 la función tiene el valor más pequeño posible. La función no tiene el mayor valor, ya que las ordenadas de la curva aumentan infinitamente.
159. Gráfica de una función de la formay = ah 2 ... Supongamos primero que a hay un número positivo. Tomemos, por ejemplo, estas 2 funciones:
1) y = 1 1 / 2 X 2 ; 2) y = 1 / 3 X 2
Compongamos tablas de los valores de estas funciones, por ejemplo, las siguientes:
Pongamos todos estos valores en el dibujo y dibujemos curvas. A modo de comparación, hemos colocado en el mismo dibujo (línea discontinua) otro gráfico de la función:
3) y =X 2
Puede verse en el dibujo que para la misma abscisa, la ordenada de la 1a curva en 1 1 / 2 , veces más, y la ordenada de la segunda curva en 3 veces menor que la ordenada de la 3ª curva. Como consecuencia, todas estas curvas tienen un carácter general: infinitas ramas continuas, un eje de simetría, etc., solo para a> 1 las ramas de la curva están más elevadas hacia arriba, y en a< 1 están más inclinados hacia abajo que la curva y =X 2 ... Todas estas curvas se denominan parábolamas.
Supongamos ahora que el coeficiente a será un número negativo. Dejemos, por ejemplo, y = - 1 / 3 X 2 ... Comparando esta función con esta: y = + 1 / 3 X 2 tenga en cuenta que por el mismo valor X ambas funciones tienen el mismo valor absoluto, pero son de signo opuesto. Por lo tanto, en el dibujo de la función y = - 1 / 3 X 2 obtienes la misma parábola que para la función y = 1 / 3 X 2 solo debajo del eje X -ov simétricamente con una parábola y = 1 / 3 X 2 ... En este caso, todos los valores de la función son negativos, excepto uno, que es igual a cero en x = 0 ; este último valor es el mayor de todos.
Comentario. Si la relación entre dos variables en y X expresado por igualdad: y = ah 2 , donde a algún número constante, entonces podemos decir que el valor en proporcional al cuadrado de la cantidad X , ya que con un aumento o disminución X 2 veces, 3 veces, etc.valor en aumenta o disminuye 4 veces, 9 veces, 16 veces, etc. Por ejemplo, el área de un círculo es π R 2 , donde R hay un radio de un círculo y π número constante (igual a aproximadamente 3,14); por lo tanto, podemos decir que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio.
Capítulo cuatro.
Ascenso a un cubo y a otras potencias de expresiones algebraicas de un término.
160. La regla de los signos al elevar hasta cierto grado. De la regla de multiplicación de números relativos se sigue que
(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;
(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;
(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;
(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = + l; etc.
Medio, de elevar un número negativo a potencia con exponente par se obtiene un número positivo, y de elevarlo a potencia con exponente impar se obtiene un número negativo.
161. Elevando el grado de un producto, grado y fracción. Al elevar el producto de una potencia por una fracción hasta cierto punto, podemos actuar de la misma manera que al elevar a un cuadrado (). Entonces:
(abc) 3 = (abc) (abc) (abc) = abc abc abc = (aaa) (bbb) (ccc) = a 3 b 3 c 3;
Capítulo cinco.
Representación gráfica de funciones: y = x 3 y y = ah 3 .
162. Gráfica de una función y = x 3 ... Considere cómo cambia su cubo cuando cambia el número elevado (por ejemplo, cómo cambia su volumen cuando cambia el borde del cubo). Para ello, primero indicamos las siguientes características de la función y = x 3 (parecido a las propiedades de la función y = x 2 considerado por nosotros anteriormente):
a) Con cualquier significado X función y = x 3 posible y tiene el único significado; entonces, (+ 5) 3 = +125 y el cubo de + 5 no puede ser igual a ningún otro número. De manera similar, (- 0.1) 3 = - 0.001 y el cubo de -0.1 no puede ser igual a ningún otro número.
B) Con dos valores X difiriendo sólo en signos, la función x 3 obtiene valores que también difieren entre sí solo en signos; entonces, para X = 2 función x 3 es igual a 8, y en X = - 2 es igual - 8 .
v) A medida que x aumenta, la función x 3 aumenta y, además, más rápido que X , e incluso más rápido que x 2 ; así que en
X = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 será = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...
GRAMO) Incrementos muy pequeños de números variables X también hay un incremento muy pequeño de la función x 3 ... Entonces, si el valor X = 2 aumentar por fracción 0,01 , es decir, si en lugar de X = 2 llevar X = 2,01 , entonces la función en no 2 3 (es decir, no 8 ), a 2,01 3 , Cuál podría ser 8,120601 ... Por lo tanto, esta función aumentará en 0,120601 ... Si el valor X = 2 aumentar aún menos, por ejemplo, por 0,001 , entonces x 3 se volverá igual 2,001 3 , Cuál podría ser 8,012006001 , y por lo tanto, en solo aumentará en 0,012006001 ... Así, vemos que si el incremento del número de variable X será cada vez menor, entonces el incremento x 3 será cada vez menos.
Notando esta propiedad de la función y = x 3 , dibujemos su horario. Para ello, primero componimos una tabla de los valores de esta función, por ejemplo, la siguiente:
163. Gráfico de funciones y = ax 3 ... Tomemos estas dos funciones:
1) y = 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3
Si comparamos estas funciones con una más simple: y = x 3 , luego notamos que por el mismo valor X la primera función obtiene valores la mitad de grandes, y la segunda es dos veces más grande que la función y = ax 3 , en todos los demás aspectos, estas tres funciones son similares entre sí. Sus gráficos se muestran a modo de comparación en el mismo dibujo. Estas curvas se llaman parábolas de tercer grado.
Capítulo seis.
Propiedades básicas de la extracción de raíces.
164. Tareas.
a) Calcula el lado de un cuadrado cuya área es igual al área de un rectángulo con una base de 16 cm y una altura de 4 cm.
Designar el lado del cuadrado requerido con la letra X (cm), obtenemos la siguiente ecuación:
x 2 = 16 4, es decir x 2 = 64.
Vemos de esta manera que X es un número que, cuando se eleva a la segunda potencia, da 64. Este número se llama la raíz de la segunda potencia de 64. Es igual a + 8 o - 8, ya que (+ 8) 2 = 64 y (- 8 ) 2 = 64. Un número negativo - 8 no es adecuado para nuestro problema, ya que el lado del cuadrado debe expresarse mediante un número aritmético ordinario.
B) Una pieza de plomo que pesa 1 kg 375 g (1375 g) tiene forma de cubo. ¿Qué tan grande es la arista de este cubo, si se sabe que 1 cubo? cm de plomo pesa 11 gramos?
Sea la longitud del borde del cubo X cm. Entonces su volumen será igual x 3 cachorro. cm, y su peso será de 11 x 3 GRAMO.
11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.
Vemos de esta manera que X existe tal número que, cuando se eleva al tercer grado, es 125 ... Este número se llama raíz del tercer grado de 125. Como puedes adivinar, es igual a 5, ya que 5 3 = 5 5 5 = 125. Esto significa que la arista del cubo mencionado en el problema tiene una longitud de 5 cm.
165. Determinación de la raíz. Por la raíz del segundo grado (o cuadrado) del número a se llama un número cuyo cuadrado es igual a a ... Entonces, la raíz cuadrada de 49 es 7, y también - 7, ya que 7 2 = 49 y (- 7) 2 = 49. La tercera raíz (cúbica) del número a se llama tal número, que el cubo es igual a a ... Entonces, la raíz cúbica de -125 es - 5, ya que (- 5) 3 = (- 5) (- 5) (- 5) = -125.
Generalmente la raíz norte-th grado de entre a se llama tal número, que norte-th grado es a.
Número norte , es decir, en qué grado se encuentra la raíz, se llama exponente raíz.
La raíz se denota con el signo √ (el signo del radical, es decir, el signo de la raíz). Palabra latina base significa raíz. Firmar√ introducido por primera vez en el siglo XV.... Debajo de la línea horizontal, escriben el número a partir del cual se encuentra la raíz (número de raíz) y el indicador de raíz se coloca sobre el agujero de la esquina. Entonces:
la raíz cúbica de 27 se denota por ..... 3 √27;
la cuarta raíz de 32 se denota ... 3 √32.
Es costumbre no escribir en absoluto el indicador de raíz cuadrada, por ejemplo.
en lugar de 2 √16, escriben √16.
La acción mediante la cual se encuentra la raíz se llama extracción de raíz; es inverso a la elevación en un grado, ya que a través de esta acción se busca lo que se da en la elevación en un grado, es decir, el fundamento del gemido, y lo que se da es lo que se busca cuando se eleva en un grado, precisamente el grado mismo. . Por tanto, siempre podemos verificar la corrección de la extracción de la raíz elevándola hasta cierto punto. Por ejemplo, para comprobar
igualdad: 3 √125 = 5, basta con elevar 5 a un cubo: habiendo recibido el número radical 125, concluimos que la raíz cúbica de 125 se extrae correctamente.
166. Raíz aritmética. Una raíz se llama aritmética si se extrae de un número positivo y es en sí misma un número positivo. Por ejemplo, la raíz cuadrada aritmética de 49 es 7, mientras que el número 7, que también es la raíz cuadrada de 49, no se puede llamar aritmética.
Indicamos las siguientes dos propiedades de la raíz aritmética.
a) Suponga que se requiere encontrar la aritmética √49. Tal raíz será 7, ya que 7 2 = 49. Preguntémonos si es posible encontrar algún otro número positivo X , que también sería √49. Supongamos que existe tal número. Entonces debe ser menor que 7 o mayor que 7. Si asumimos que X < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что X > 7, luego x 2 > 49. Esto significa que ningún número positivo, ni menor que 7 ni mayor que 7, puede ser igual a √49. Por lo tanto, solo puede haber una raíz aritmética de un grado dado a partir de un número dado.
Llegaríamos a una conclusión diferente si no estuviéramos hablando del significado positivo de la raíz, sino de algunos; entonces, √49 es igual al número 7 y al número - 7, ya que ambos 7 2 = 49 y (- 7) 2 = 49.
B) Tomemos dos números positivos desiguales, por ejemplo. 49 y 56. Del hecho de que 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125
De hecho: 3 √64 = 4 y 3 √125 = 5 y 4< 5. Вообще un número positivo más pequeño corresponde a una raíz aritmética más pequeña (en el mismo grado).
167. Raíz algebraica. Una raíz se llama algebraica si no se requiere que se extraiga de un número positivo y que ella misma sea positiva. Así, si bajo la expresión norte √a por supuesto una raíz algebraica norte -th grado, esto significa que el número a puede haber tanto positivo como negativo, y la raíz misma puede ser tanto positiva como negativa.
Indiquemos las siguientes 4 propiedades de una raíz algebraica.
a) Una raíz impar de un número positivo es un número positivo .
Entonces, 3 √8 debe ser un número positivo (es igual a 2), ya que un número negativo elevado a un exponente impar da un número negativo.
B) Una raíz impar de un número negativo es un número negativo.
Entonces, 3 √-8 debe ser un número negativo (es -2), ya que un número positivo elevado en cualquier grado da un número positivo, no negativo.
v) Una raíz par de un número positivo tiene dos significados con signos opuestos y el mismo valor absoluto.
Entonces, √ +4 = + 2 y √ +4 = - 2 porque (+ 2 ) 2 = + 4 y (- 2 ) 2 = + 4 ; similar 4 √+81 = + 3 y 4 √+81 = - 3 , porque ambos grados (+3) 4 y (-3) 4 son iguales al mismo número. El doble significado de una raíz suele indicarse mediante el establecimiento de dos signos delante del valor absoluto de la raíz; entonces escriben:
√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;
GRAMO) Una raíz par de un número negativo no puede ser igual a ningún número positivo o negativo , ya que ambos, después de elevar a una potencia con un exponente par, dan un número positivo y no negativo. Por ejemplo, √ -9 no es +3, ni -3, ni ningún otro número.
Una raíz par de un número negativo se suele llamar número imaginario; los números relativos se llaman reales, o válido, números.
168. Extraer una raíz de una obra, de un grado y de una fracción.
a) Que sea necesario extraer la raíz cuadrada del producto. a B C ... Si fue necesario elevar el producto a un cuadrado, entonces, como vimos (), puede elevar cada factor al cuadrado por separado. Dado que extraer una raíz es la acción opuesta a elevar a una potencia, se debe esperar que para extraer una raíz de un producto, se pueda extraer de cada factor por separado, es decir, que
√a B C = √a √B √C .
Para asegurarnos de que esta igualdad es correcta, elevemos el lado derecho de la misma en un cuadrado (según el teorema: elevar el producto a una potencia ...):
(√a √B √C ) 2 = (√a ) 2 (√B ) 2 (√C ) 2
Pero de acuerdo con la definición de la raíz,
(√a ) 2 = a, (√B ) 2 = B, (√C ) 2 = C
Por eso
(√a √B √C ) 2 = a B C .
Si el cuadrado del producto √ a √B √C es igual a a B C , esto significa que el producto es igual a la raíz cuadrada de a B C .
Como esto:
3 √a B C = 3 √a 3 √B 3 √C,
(3 √a 3 √B 3 √C ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √B ) 3 (3 √C ) 3 = a B C
Medio, para extraer la raíz del producto, basta con extraerla de cada factor por separado.
B) Es fácil verificar mediante la verificación que las siguientes igualdad son verdaderas:
√a 4 = a 2 Porque un 2 ) 2 = a 4 ;
3 √X 12 = X 4 , „ (X 4 ) 3 = X 12 ; etc.
Medio, Para obtener la raíz del exponente dividida por la raíz del exponente, puede dividir el exponente por la raíz del exponente.
v) Las siguientes igualdades también serán verdaderas:
Medio, para extraer la raíz de una fracción, puede cambiar el numerador y el denominador por separado.
Tenga en cuenta que en estas verdades se asume que estamos hablando de las raíces de la aritmética.
Ejemplos de.
1) √9a 4 B 6 = √9 √a 4 √B 6 = 3a 2 B 3 ;
2) 3 √125 a 6 X 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √X 9 = 5a 2 X 3
Observación Si se supone que la raíz deseada de un grado par es algebraica, entonces, delante del resultado encontrado, es necesario poner un signo doble ± Entonces,
√9 veces 4 = ± 3X 2 .
169. Las transformaciones radicales más simples,
a) Realización de factores para el signo radical. Si la expresión radical se descompone en factores de modo que se pueda extraer una raíz de algunos de ellos, dichos factores, después de extraer la raíz de ellos, se pueden escribir antes del signo del radical (se pueden sacar fuera del signo del radical).
1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = a √a .
2) √24 a 4 X 3 = √4 6 a 4 X 2 X = 2a 2 x √6 veces
3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 X = 2x 3 √2 X
B) Resumiendo factores bajo el signo radical. A veces es útil, por el contrario, poner los factores que tiene delante bajo el signo de radical; para hacer esto, basta con elevar dichos factores al grado, cuyo exponente es igual al exponente del radical, y luego escribir los factores bajo el signo del radical.
Ejemplos.
1) a 2 √a = √(a 2 ) 2 a = √a 4 a = √a 5 .
2) 2x 3 √X = 3 √(2x ) 3 X = 3 √8x 3 X = 3 √8x 4 .
v) Liberación de la expresión radical de los denominadores. Demostremos esto con los siguientes ejemplos:
1) Transformamos la fracción para poder extraer la raíz cuadrada del denominador. Para hacer esto, multiplica ambos términos de la fracción por 5:
2) Multiplica ambos términos de la fracción por 2 , sobre el a y en X , es decir, en 2Oh :
Comentario. Si desea extraer una raíz de una suma algebraica, sería incorrecto extraerla de cada término por separado. Por ejemplo, √ 9 + 16
= √25
= 5
, mientras que
√9
+ √16
= 3 + 4 = 7
; de ahí la acción de echar raíces en relación con la suma (y la resta) no tiene propiedad de distribución(además de exaltación, división 2 capítulo 3 § 61, observación).
Ejemplos:
\ (\ sqrt (16) = 2 \) ya que \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), porque \ ((- \ frac (1) (5)) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)
¿Cómo calcular la raíz enésima?
Para calcular la raíz del \ (n \) - ésimo grado, debe hacerse la pregunta: ¿qué número en la \ (n \) - ésima potencia dará debajo de la raíz?
por ejemplo... Calcule la raíz \ (n \) - ésimo grado: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0.00001) \); d) \ (\ sqrt (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).
a) ¿Qué número en el \ (4 \) - ésimo grado dará \ (16 \)? Obviamente, \ (2 \). Entonces:
b) ¿Qué número en el \ (3 \) -ésimo grado dará \ (- 64 \)?
\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)
c) ¿Qué número en el \ (5 \) - ésimo grado dará \ (0.00001 \)?
\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)
d) ¿Qué número en el \ (3 \) -ésimo grado dará \ (8000 \)?
\ (\ sqrt (8000) = 20 \)
e) ¿Qué número en el \ (4 \) - ésimo grado dará \ (\ frac (1) (81) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)
Hemos considerado los ejemplos más simples con la raíz \ (n \) - ésimo grado. Para resolver problemas más complejos con raíces \ (n \) - enésimo grado - es vital conocerlos.
Ejemplo. Calcular:
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\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \) |
Por el momento, no se puede calcular ninguna de las raíces. Por lo tanto, aplicamos las propiedades de la raíz \ (n \) - ésimo grado y transformamos la expresión. |
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\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \ sqrt (-32) = \) |
Reorganicemos los factores en el primer término de modo que la raíz cuadrada y la raíz \ (n \) -ésima estén una al lado de la otra. Esto facilitará la aplicación de propiedades como la mayoría de las propiedades de las raíces \ (n \) -ésimas funcionan solo con raíces del mismo grado. |
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\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9) - (- 5) = \) |
Aplicar la propiedad \ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) y expandir el corchete |
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\ (= \ sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \) |
Calcula \ (\ sqrt (81) \) y \ (\ sqrt (-27) \) |
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\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \) |
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¿Están relacionadas la raíz n-ésima y la raíz cuadrada?
En cualquier caso, cualquier raíz de cualquier grado es solo un número, aunque escrito en una forma desconocida.
Característica de la raíz del n-ésimo grado
La raíz \ (n \) - ésima potencia con impar \ (n \) se puede extraer de cualquier número, incluso negativo (ver ejemplos al principio). Pero si \ (n \) es par (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), entonces se extrae dicha raíz solo si \ (a ≥ 0 \) (por cierto, la raíz cuadrada tiene lo mismo). Esto se debe a que extraer una raíz es lo opuesto a la exponenciación.
Y elevar a una potencia par hace que incluso un número negativo sea positivo. De hecho, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Por lo tanto, no podemos obtener una potencia par de un número negativo debajo de la raíz. Esto significa que no podemos extraer dicha raíz de un número negativo.
El grado impar de tales restricciones no tiene: un número negativo elevado a un grado impar seguirá siendo negativo: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Por lo tanto, bajo la raíz de un grado impar, puede obtener un número negativo. Esto significa que también puede extraerlo de un número negativo.
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